CC BY
14_ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_
2013 Серия: Физика Вып. 2 (24)
УДК 536.25
Возникновение конвекции в коллоидной суспензии при положительном эффекте термодиффузии
И. Н. Черепанов, Б. Л. Смородин
Пермский государственный национальный исследовательский университет
614990, Пермь, ул. Букирева, 15
В рамках линейной теории изучено возникновение конвекции в коллоидной суспензии, заполняющей горизонтальный слой при подогреве снизу. Рассмотрен случай положительных значений параметра термодиффузионного разделения смеси. Для колебательных и монотонных режимов конвекции получены границы конвективной неустойчивости, а также характерные значения частот нейтральных колебательных возмущений.
Ключевые слова: наножидкость; термодиффузия; гравитационная стратификация; конвекция
1. Введение
Большое внимание в последнее десятилетие уделяется исследованию конвекции бинарных смесей (растворов) [1]. В двухкомпонентной модели (среда носитель - примесь) учитывается стратификация смеси, связанная с термодиффузией молекул [1-3] или коллоидных частиц [4-6], а также гравитационной стратификацией [4-8] коллоидной примеси. Большое различие в размерах частиц молекулярных и коллоидных бинарных смесей, а следовательно, большое различие коэффициентов диффузии приводят к различному поведению конвективных течений в этих средах. В случае смеси, тяжелые частицы которой обладают положительным коэффициентом термодиффузии, при нагреве слоя снизу возникает конкуренция термодиффузионного и гравитационного потоков. Это может коренным образом изменять характер конвекции
[4;5].
В данной работе рассматриваются результаты линейной неустойчивости коллоидной жидкости, обладающей положительной термодиффузией и заполняющей горизонтальный слой.
2. Система уравнений и метод решения
Рассмотрим горизонтальный бесконечный плоский слой коллоидной жидкости, ограниченный сверху и снизу твердыми плоскостями. Слой находится в поле тяжести g (рис. 1). На горизонтальных
непроницаемых идеально теплопроводных границах г = 0, г = ё (ё - толщина слоя) поддерживаются постоянные, но разные температуры Т(0)=© /2 и Т (ё )=-©/2 , что обеспечивает неравномерный нагрев жидкости. Неоднородность концентрации в нашем случае создается двумя механизмами: гравитационной стратификацией коллоида, а также эффектом термодиффузии Соре.
Будем исходить из уравнений конвекции бинарной смеси в приближении Буссинеска [1], в котором предполагается линейная зависимость плотности от температуры и концентрации:
р=р0 (1 -адТ + р8С).
(2.1)
где р0 - средняя плотность; 5Т, 5С - отклонение температуры и концентрации от средних значений; а, в - коэффициенты теплового и концентрационного расширения соответственно.
г
Т (ё) = -0 /2
Т(0) = 0 /2 X
Рис.1. Геометрия задачи
© Черепанов И. Н., Смородин Б. Л., 2013
С= С*+5С - концентрация и С* - средняя концентрация тяжелой компоненты. Если ввести безразмерные переменные на основе следующих масштабов: расстояния - ё, времени - ё2/%, скорости -%/ё, температуры - ©, концентрации - С*ё/1, давления - р%/ё2 (V и % - соответственно коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности, I- седиментационная длина), то обезразмеренная система уравнений конвекции смеси в приближении Буссинеска имеет вид
Я77 ( Н
— + (иУ)и = -Ур + РДи + Р ■ КI Т- —С | е ,
— + (иУ)Т = ДТ,
е = (0,0,1),
(2.2)
— + (иУ)С = Ь
8.
Д| С + еКТ В
+1—С I 82
V = 0 ,
где введены следующие обозначения: V - скорость, р - отклонение давления от гидростатического.
Уравнения (2.2) содержат шесть безразмерных параметров: Р^/х -число Прандтля, Ь= Б/х - число Льюиса, R=gP®d3/vх - число Рэлея, е=БТ^/а -параметр разделения смеси, Вт= gpС*d4/vхlsed -число Больцмана [4], 1/1 = ёЛ^ - отношение толщины слоя к седиментационной длине. Б - коэффициент диффузии, БТ -коэффициент термодиффузии Соре.
Рассматривается случай твердых и идеально теплопроводных горизонтальных границ слоя:
и( х,0) = и( х,1) = 0,
Т (х,0) = 0.5; Т (х,1) = -0.5. (2.3)
Граничным условием для концентрации является обращение в ноль на твердой границе нормальной составляющей потока вещества:
8С 8Т 1 —+ е—+-С=0 82 82 г
при 7=0,1.
(2.4)
Так как концентрация входит в явном виде в граничные условия, необходимо рассматривать абсолютное значение концентрации, а не отклонение от среднего значения, как это делается для температуры.
В состоянии механического равновесия, когда отсутствует макроскопическое течение жидкости, равновесное распределение температуры и концентрации описываются уравнениями
(2.5)
(2.6)
Т = 0.5 - 2 .
С0 =
(1 - е-11)
1 е
В _ еК
1е* В
Как видно из (3.9), при = 1 распределение
концентрации в покоящемся слое жидкости является однородным, и в слое должна возникать стационарная конвекция при К= В/е . При е К<В, преобладает гравитационная седиментация, тяже-
лой примеси больше в нижних слоях жидкости. В случае, когда е К>В, преобладает термодиффузия, при нагреве нижней границы легкая компонента дрейфует в ту же сторону, создавая потенциально неустойчивое распределение плотности.
3. Уравнения для малых возмущеий и базисные функции, используемые в методе Галеркина
Для анализа устойчивости механического равновесия используем метод малых возмущений. Для этого представим концентрацию и температуры в виде С = С0 + с, Т = Т0 + 9 и рассмотрим малые возмущения вертикальной скорости ТУ = (ип). 9 , с , м> являются малыми нестационарными возмущениями.
После исключения давления линеаризованная система уравнений примет вид
8 2 — АТУ = РгД уУ - Рг
8.Г
8 9 82с^
К "8^ " В 8г
899 = - ту Т.+Д§
8.Г 82
(3.1)
8с
8Сп
18с еК
— = -у—- + Ье\ Ас +--+ — Д9 ,
8.Г 82 ^ I 82 В )
где Т0, С определено в (2.5), (2.6). Решение будем искать в виде нормальных возмущений, когда все величины представлены в виде
м> (/, х, 2) = й( 2)ехр(-Х. + 1кх),
9 (., х, 2) = 9( 2)ехр(-Х. + 1кх),
(3.2)
с(/, х, 2) = с( 2 )ехр(-Х/ + 1кх), Здесь к - вещественное волновое число. Х=Хг + ¡Х, - комплексный декремент, характеризующий временную эволюцию возмущений. При Хг> 0 возмущения являются затухающими, если Хг< 0 возмущения будут нарастать, что приведет к потере устойчивости. Граница устойчивости находится из условия Хг = 0 . При этом декремент является функцией параметров задачи Х = Х(К, Рг, Ье, В,I,к,е). Если мнимая часть декремента равна нулю Х= 0 , возмущения являются монотонными. При ненулевой мнимой части возмущения являются колебательными с частотой а = Х.
Система линейных уравнений для нормальных возмущений примет вид
ХДй + РгДДй + к2 Рг (К9- Вс ) = 0,
Х9- йТ0, +Д9= 0 ,
1 еК 4 Хс -йСп, + Ье| Ас + -с' + — Д9 I В )
(3.3)
Здесь штрих обозначает дифференцирование по
г.
Граничные условия для возмущений имеют следующий вид:
w = щ' = 0, в = 0, г = 0,1, (3.4)
,1 еК , с + -с +— в = 0.
I В
Возмущения скорости и температуры на твердых идеально теплопроводных границах должны обращаться в ноль. Граничные условия для концентрации требуют обращения в ноль нормальной компоненты потока.
Для решения задачи методом Галеркина необходимо искать решение уравнений в виде разложения по базисным функциям, удовлетворяющим граничным условиям (3.4). Однако граничные условия для концентрации содержат температуру. Для того чтобы базисные функции для концентрации не зависели от параметров задачи и температуры, проведем следующие преобразования: представим концентрацию в виде
с = ф( г)- — в, В
(3.5)
ф = е-г "/(г).
Подставим (3.8) в (3.7) и умножим все уравне-
В соответствии с идеей метода Галеркина представим искомые функции в виде разложения:
w, т=ид.^
П=1
в=^РА, т = 1,2,3..., (3.11)
/ = ТГР/Р, Р = 0,1,2....
Р=0
В качестве системы базисных функций выбе-
рем
Щ„ = 81И ПШг,
в„ = ътлпг,
/р = соалрг.
(3.12)
Подставляя разложения (3.11)-(3. 12) в уравнения (3.9)-(3.10) и удовлетворяя условию ортогональности метода Галеркина, получим линейную систему для коэффициентов разложения, содержащую N = N + N + ^ уравнений:
А^т + 4пРп + <р,7р = 0(1 = 1,2,...^),
В1таш + (У,-Х)8ипрп = 0(] = 1,2,...^), (3.13)
тогда уравнение для возмущений концентрации примет вид
еЯ
А(ф-—в) - wCo,+
+Ье |дф +1 с '- —в'|= 0. (3.6) V 11В )
Уравнение содержит декремент X при температуре. Для того чтобы исключить данное слагаемое, умножим уравнение для температуры из системы уравнений (3.3) на еК/В и сложим с уравнением (3.6), после чего получим
тК тК
Хф- w(Co , + — Ти) + — Дв + ВВ
+Ье [дф + 1ф'-еК в' 1= 0. (3.7) V I 1В )
Решения данного уравнения удобно записать в виде
(3.8)
1,Ш Ш V 1 ' 1 ,п/ п
В1 а + В2 В + В3 у = 0(д = 0,1,2,...^).
д,ш ш д,пгп д,р/ р ^ > > > /'
Здесь проводится суммирование по повторяющимся индексам. Матричные элементы определяются следующими соотношениями:
= ХЦ wl Дщшёг+Рг £ щ д2 wшdг, А2п = к2 (Рг К(т +1) щДёг, А3 = к2 РгВ £ щр г /г, 1 =-\10вlWшdг,
(3.14)
В1,ш =-/01(С0 - +еК )/дЩшег пёг,
тК г1
В2 = ™ Г1 е2/1/ в йг - — Г / в ,ег/1ёг д,п п Jo ->д п ¡П д п
д-п в 30 ид п ¡В •'0
Ье 1*1
Вд,р = (Ье((жд)2 + к2)-Х)5д,р --Д //р,йг.
Условием существования нетривиальных решений системы (3.13) является равенство нулю ее определителя:
Бе^ М) = 0, (3.15)
где М - матрица ранга ^ + N + N/, составленная из коэффициентов системы (3.13). Из условия (3.15) находятся декременты X, как функции параметров задачи:
X = Х(К,к,е,В,Ье,Рг,I). (3.16)
Для более удобного численного решения путем элементарных преобразований можно привести
ние на ег/1:
X/ - щег 1 (С0,+еКТ0,)+е1 еК Дв + ВВ
+Ье ^Д/ -1/'-еК в'егП 1 = 0. (3.9)
Подставив (3.5) и (3.8) в граничные условия для концентрации, получим граничные условия для функции / :
/' = 0, г = 0,1.
(3.10)
п=1
матрицу М к виду, в котором декременты Х -расположены только на диагонали:
М = А-ХЕ,
(3.17)
п = Ье((щ)2 +1/412 + к2).
(4.2)
г 0.02
Я
Рис. 2. Спектр декрементов В = 1.695-104, е = 10, Ье = 10-4, к = 3.14, Рг = 10
Жирной линией выделены декременты с ненулевой мнимой частью, которые соответствуют колебательным возмущениям. Видно, что пороговые возмущения являются колебательными, а при некоторой надкритичности комплексная пара декре-
ментов очень быстро расходится на две вещественные ветви, что соответствует монотонным возмущениям.
где М - матрица эквивалентная М . Е -единичная матрица.
Таким образом, задача нахождения декрементов сводится к нахождению собственных значений матрицы А. Для основных расчетов спектров декрементов использовалось 100 базисных функций.
И = 20, И = 40, Щ = 40. (3.18)
4. Границы конвективной устойчивости
В предельном случае отсутствия разности температур между верхней и нижней горизонтальными границами (К = 0) тепловые (V) и концентрационные (п) декременты являются независимыми и соответствуют возмущениям в покоящемся слое жидкости:
Vm= (пт)2 + к2, (4.1)
виг4
Рис. 3. Зависимости критического числа Релея Кс от параметра Больцмана В при положительной термодиффузии е >0. Сплошная линия соответствует границе монотонных возмущений, пунктирная - колебательных. Точечными линиями обозначены зависимости (4.3)
60Г
При наличии гравитационной стратификации гидродинамические декременты (/и) зависят от числа Больцмана даже при нулевой разности температур.
Из соотношений (4.2) видно, что концентрационные декременты пропорциональны числу Льюиса, поэтому они на несколько порядков меньше тепловых и гидродинамических декрементов. На рис. 2 приведен спектр декрементов, рассчитанный при значениях параметров В = 1.695104,т = 10 .
О.Юг
В-ИГ
Рис.4. Поведение квадрата частоты критических возмущений при положительной термодиффузии е = 10
Зависимость критического числа Рэлея * от
числа Больцмана для различных значений параметра термодиффузии т приведена на рис 3. При числах Больцмана В <К°се критическое число Рэ-лея линейно зависит от В и подчиняется закону
* -В.
е
(4.3)
Причем, при В < В (е) неустойчивость монотонная, а при В > В (е) - колебательная.
При некотором критическом числе В - К°е > В кривая претерпевает излом, однако зависимость по-прежнему остается линейной. Наиболее опасными являются колебательные возмущения.
Тонкой сплошной линией на рис. 3 обозначена зависимость (4.3).
При В > В = е*0 частота пороговых возмуще-
ний начинает резко расти (рис. 4), при этом пороговые возмущения остаются колебательными в широком интервале значений числа Рэлея.
Расчет конечно-амплитудных конвективных течений, возникающих в области Б1<Б<Б*, проведен на основе полных уравнений (2.2) и граничных условий (2.3), (2.4) с помощью метода конечных разностей [10]. В расчете использованы периодические граничные условия на вертикальных границах ячейки с горизонтальным размером Х=2. В случае Б < Б„ = еК0 конвекция появляется в результате бифуркации вперед. Колебательный режим стоячих волн (рис. 5), возникающий при нарастании колебательных возмущений, существует в узком интервале надкритических значений подогрева, что согласуется с поведением декремен-
5. Заключение
Изучена линейная эволюция и получены границы конвективной неустойчивости в коллоидной бинарной суспензии при учете седиментации и положительной термодиффузии. В пространстве параметров задачи найдены границы монотонной и колебательной неустойчивости. Продемонстрирована возможность существования режима стоячей волны, формирующейся на основе колебательной неустойчивости.
Исследования выполнены при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-
ментальных исследований (№№ 10-01-96037, 1301-96010).
Список литературы
1. Platten J.K., Legros J.C. Convection in Fluids. Berlin: Springer-Verlag, 1984. 680 p.
2. Мызникова Б.И., Смородин Б.Л. О конвективной устойчивости горизонтального слоя двух-компонентной смеси в модулированном поле внешних сил //Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2001. № 1. С. 3-13.
3. Smorodin B.L., Myznikova B.I., Keller I.O. On the soret-driven thermosolutal convection in vibrational field of arbitrary frequency// Lecture Notes in Physics. 2002. Т. 584. С. 372.
4. Shliomis M.I., Smorodin B. L. Onset of convection in colloids stratified by the gravity// Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. 036312.
5. Ryskin A., Pleiner H. Influence of sedimentation оп convective instabilitiesё in colloidal suspensions// International Journal of Bifurcation and Chaos. 2010. Vol. 20. №. 2. P. 225-234.
6. Smorodin B.L., Cherepanov I.N., Myznikova B. I., and Shliomis M. Travelling-wave convection in colloids stratified by gravity//Phys. Rev. E. 2011. Vol. 84. 026305
7. Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование влияния барометрического распределения на течения ферромагнитных коллоидов// Материалы 11-го Рижского совещания по магнитной гидродинамике. Рига, 1984. Т. 3. С. 15-18.
8. ГлуховА.Ф., Демин В.А., Путин Г.Ф. Разделение смесей и тепломассоперенос в связанных каналах // Письма в ЖТФ. 2008. Т.34, вып. 17. С. 45-51.
9. Shliomis M.I., Smorodin B. L., Kamiyama S. The onset of thermomagnetic convection in stratified ferrofluids// Philosophical Magazine. 2003. Vol.83. №17-18. P. 2139-2153.
10. Черепанов И.Н., Смородин Б.Л., Конвекция в стратифицированной коллоидной бинарной смеси с нормальным эффектом термодиффузии// Вестник Пермского Университета. Сер.: Физика. 2013. Вып. 1(23). C. 14-19.
тов возмущений (рис. 2).
The convective instability in colloid suspension with positive thermodiffusion
I. N. Cherepanov, B. L. Smorodin
Perm State University, Bukirev St. 15, 614990 Perm
The linear theory of convective instability in colloidal suspension is studied in the case of a horizontal cell heated from below. The effect of normal thermal diffusion separation and gravity segregation on convective thresholds is analyzed. Keywords: nanofluid, thermal diffusion, convection, gravity stratification
