Влияние вырезов на устойчивость прямоугольных упругих пластин при осевом сжатии Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

ВЛИЯНИЕ ВЫРЕЗОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ УПРУГИХ ПЛАСТИН ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ

А. В. Лебедев

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, privater@mail.ru

1. Введение

В настоящей статье исследуются потери устойчивости тонкой упругой прямоугольной пластины, ослабленной отверстием или несколькими отверстиями, подвергнутой сжимающему нагружению, приложенному к торцам.

Напряженно-деформированное состояние конструкций, ослабленных вырезами, изучено достаточно подробно, прежде всего, в работах А. Н. Гузя [9], Э. И. Григолюка [10], И. Н. Преображенского [2, 4]. В то же время, несмотря на большое количество работ, посвященное конкретным задачам и экспериментам, практически отсутствуют публикации, обобщающие накопленные знания по проблемам устойчивости тонких оболочек, ослабленных отверстиями. Исключением являются упомянутые работы И. Н. Преображенского [2].

Первые работы по устойчивости прямоугольных пластинок с отверстиями основывались на методе конечных разностей [4]. Как правило, в них излагались результаты, полученные для прямоугольных пластинок с одним центральным прямоугольным (квадратным) отверстием при различных условиях опирания внешнего и внутреннего контуров.

Одной из первых работ, посвященных исследованию устойчивости прямоугольных пластин с центральным круговым вырезом, была опубликованная в 1947 г. работа Леви, Воллея и Кроля [5]. В ней приведены результаты изучения поведения квадратных пластинок с центральным круговым вырезом. Полученные зависимости были применены практически лишь в 1951 г. Кумаи [6] для сопоставления со своими опытными и теоретическими данными. Обе работы рассматривают случай равномерного нагружения вдоль двух параллельных противоположных краев.

Следует отметить работы А. Л. Шлэка [7, 8]. В функциях, аппроксимирующих перемещения, он изучал влияние отдельных членов на окончательное значение критического параметра нагружения. Теоретический анализ Шлэк осуществлял на основе энергетического метода (метод Ритца). В результате было получено простое аналитическое выражение для определения критического параметра свободно опертой прямоугольной пластинки с центральным круговым отверстием при одноосном равномерном краевом перемещении.

Настоящая статья в известной мере заполняет наметившийся пробел в исследованиях по устойчивости тонких пластин с отверстиями, поскольку рассматривает влияние на устойчивость ранее не исследованных факторов. Так в статье, продолжающей исследования, начатые в [1], рассматривается влияние геометрических параметров пластины и отверстия, формы и местоположения отверстия, граничных условий закрепления и упругих характеристик материала, множественных отверстий (перфорация) на величину критической нагрузки и форму потери устойчивости пластины. Численные зна-

© А. В. Лебедев, 2009

чения величины критической нагрузки, полученные путем моделирования пластины с помощью метода конечных элементов в пакете прикладного программного обеспечения А^УБ у.10, сравниваются с аналитическими результатами для однородных пластин и результатами численных расчетов, полученных другими авторами.

2. Влияние граничных условий

Рассматривается тонкая изотропная прямоугольная упругая пластина под действием осевого сжимающего распределенного усилия ц. Боковые стороны пластины имеют длину а, торцевые — Ь, причем а ^ Ь. Сжимающее нагружение во всех случаях граничного закрепления приложено вдоль торцов пластины, стороны прямоугольного отверстия параллельны сторонам пластины. Нами был проведен анализ зависимости величины критической нагрузки от граничных условиях, заданных на сторонах пластины [1]. Обнаружено, что наличие отверстия в пластине ведет не только к уменьшению её жесткости, но и к увеличению начальных напряжений вблизи отверстия, которые тем больше, чем более жесткие граничные условия заданы на боковых сторонах. При определенных значениях пропорций пластины и отверстия эти обстоятельства могут вызвать рост критической нагрузки при увеличении размера отверстия.

На рис. 1 приведена зависимость безразмерного параметра критической нагрузки (Усг) от относительной длины пластины (ширина Ь выбрана в качестве характеристического размера), шарнирно опертой по торцам и шарнирно опертой (а) или жестко заделанной (Ь) по боковым сторонам для разных значений площади центрального квадратного отверстия.

а)

N

N

Ь)

Рис. 1. Зависимость критической нагрузки от длины пластины для разных граничных условий: 1 — пластина без отверстия (5* = 0), 2 — = 0.01, 3 — = 0.04, 4 —

5* = 0.09.

а

а

Заметим, что более жесткие граничные условия приводят к большим начальным напряжениям, приводящим к росту критической нагрузки. Причем сами начальные напряжения растут с увеличением коэффициента Пуассона. На рис. 2 изображена зависимость критической нагрузки от коэффициента Пуассона для шарнирно опертых пластин без отверстия и с одним центральным квадратным отверстием со стороной ! = 0.1 при а = 2.

Рис. 2. Зависимость критической нагрузки от коэффициента Пуассона для однородной пластины 5* = 0 (сплошная линия) и пластины с отверстием 5* = 0.01 (пунктир).

3. Влияние перфорации

Пусть теперь шарнирно опертая по контуру пластина ослаблена несколькими отверстиями, расположенными равноудаленно вдоль средних линий пластины в вертикальном или горизонтальном направлениях (рис. 3). Будем рассматривать пластины с разным количеством отверстий, сохраняя их общую площадь. В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластину (а = 2) с п отверстиями общей площадью 5* = 0.04, и 5* = 0.09. На рис. 4 изображена зависимость величины критической нагрузки от количества отверстий (п) для случаев перфорации в горизонтальном (Н) и вертикальном (V) направлениях. Горизонтальная линия соответствует значению критической нагрузки для пластины без отверстия.

У а)

— *-

“*■ □ □ □ □ ^ <7

— X

Рис. 3. Перфорированная пластина: а) —по горизонтали, Ь) — по вертикали.

N.

Рис. 4. Влияние перфорации на критическую нагрузку для прямоугольной пластины: 1 — горизонтальная перфорация (Б* = 0.04), 2 — горизонтальная перфорация (Б* = 0.09), 3 — вертикальная перфорация (Б* = 0.04), 4 — вертикальная перфорация (Б* = 0.09).

Я

Я

При увеличении числа отверстий критическая нагрузка стремится к величине, соответствующей нагрузке для пластины без отверстия. Заметны «резонансные» значения для числа отверстий, кратного волновому числу для формы потери устойчивости. Для оболочек такие «резонансные» формы были впервые описаны в [2].

Заметны резонансные значения при п = а = 2 для горизонтальной перфорации. Вертикальная перфорация приводит к монотонному уменьшению критической нагрузки при увеличении числа отверстий.

4. Влияние формы отверстия

Сравним зависимости величины критической нагрузки от формы отверстия для круглого и квадратного выреза одинаковой площади, равной Б * = 0.04. В качестве примера рассмотрим шарнирно опертую пластину с центральным отверстием. На рис. 5 изображена зависимость критической нагрузки от пропорций пластины для разных форм вырезов одинаковой площади.

N.

Рис. 5. Влияние формы отверстия на величину критической нагрузки: 1 — соответствует пластине без отвертия, 2 — пластине с квадратным отверстием, 3 — пластине с круглым отверстием.

а

Очевидно, что форма отверстия в пластине не оказывает существенного влияния на величину критической нагрузки.

5. Влияние положения отверстия

Обратимся к исследованию влияния на устойчивость пластины положения отверстия. Рассмотрим шарнирно опертую пластину с одним квадратным вырезом, центр которого имеет координаты х*, 1/2 (смещение отверстия в продольном направлении) или а/2, у* (смещение отверстия в вертикальном направлении). Площади пластины и отверстия постоянны. На рис. 6 представлены результаты таких исследований для прямоугольной пластины а =2 с отверстием площадью Б * = 0.01, 0.04, 0.09.

Наибольшее влияние на величину критической нагрузки оказывает смещение отверстия к ненагруженным торцам пластины. В таком случае критическая нагрузка падает быстрее. Увеличение площади отверстия также ведет к увеличению скорости падения критической нагрузки. Для пластин с отверстием, расположенным вблизи боковых сторон, имеет место локальная потеря устойчивости (устойчивость теряет узкая полоса между отверстием и краем пластины), приводящая к уменьшению величины критической нагрузки.

N

а)

Ь)

N

У

Рис. 6. Влияние смещения центра отверстия ((а) — в горизонтальном, (Ь) — в вертикальном направлениях) на величину критической нагрузки: 1 — £* = 0.01, 2 — £* = 0.04, 3 — = 0.09.

X

6. Влияние ортотропии

В заключение изучим влияние на устойчивость свойств материала пластины. Рассматривается пластина из ортотропного материала со следующими упругими характеристиками:

Ех = Ео(1 + |е|)з1®пе, Еу = Ео(1 + |е|)-з1®пе,

Ео

у — Ы1 + |^|) ^ , Ех^ух — ЕуиХу — Е0Щ, С —

2(1 + V))

Здесь Ео, щ —постоянные величины, е — коэффициент, характеризующий изменение жесткости пластины в ортогональных направлениях, причем при е = 0 материал изотропный.

Для пластины без отверстия существует аналитическое решение [3]. Прогиб ищется в виде

(ипх\ /шпу\

ги(х, у) = Лет ^^ зт ^—-—у

и формула для определения величины критической нагрузки имеет вид

МСг — п2

^ ґп\2 „/шч2 (п\2 ^

°"(а) +2ЯЫ (ї) + Му)

(1)

где

,, , С/73

-°И = Том------------V’ -2 = Топ--------------V’ Н =

12(1 Уху^ух) 12(1 Уху Уух) 6

Численные эксперименты показали, что погрешность расчета для пластин без отверстия со стороной а — 1, 2, 3, 4 и коэффициентом є — —2 ... 2 по сравнению с аналитическими результатами (1) составляет менее 0.1%.

На рис. 7 изображена зависимость критической нагрузки от коэффициента є для прямоугольной пластины.

4

яние ортотропии: 1 — пластина без отверстия, 2, 3, 4 — пластина с центральным отвертием площадью £* = 0.01, 0.04, 0.09 соответственно.

Критическая нагрузка растет в случае е < 0 по сравнению с аналогичной изотропной пластиной. Увеличение жесткости пластины в поперечном направлении увеличивает начальные напряжения, что ведет к росту критической нагрузки.

Обратный эффект имеет место для положительных е. Уменьшение жесткости в поперечном направлении ведет к снижению величины критической нагрузки.

7. Заключение

На величину критической нагрузки при потери устойчивости пластины с отверстием оказывает влияние комбинация различных факторов, причем наличие отверстия может привести как к росту критической нагрузки, так и к ее снижению. Существенное значение имеет величина начальных напряжений в поперечном направлении, которая зависит от жесткости граничных условий, коэффициента Пуассона, расстояния между отверстием и боковой стороной пластины. Слабый эффект на величину критической нагрузки оказывает форма отверстия. Для перфорированной пластины существенный эффект проявляется для «резонансных» форм.

Литература

1. Лебедев А. В. Устойчивость пластин, ослабленных отверстиями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2009. Вып. 2. С. 94-99.

2. Преображенский И. Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981.

3. Биргер И. А., Пановко Я. Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. Т. 3. М.: Машиностроение, 1968.

4. Воробкова Н. Л., Преображенский И. Н. Обзор исследований по устойчивости пластинок и оболочек, ослабленных отверстиями // Расчет пространственных конструкций. М.: Строй-издат, 1973. С. 89-112.

5. Levy S., Wolley R. M., Kroll W. D. Instability of simply supported square plate with reinforced circular hole in edge compression // Journal of Research of the National Bureau of Standarts. 1947. Issue 39. P. 571-577.

6. Kumai T. Elastic stability of the square plate thrust // Proceedings of the First Japan National Congress of Applied Mechanics. 1951. P. 81-86.

7. Schlack A. L. Elastic stability of pierced square plates // Experimental Mechanics. 1964. Issue 4. (N6). P. 167-172.

8. Schlack A. L. Experimental critical loads for perforated square plates // Experimental Mechanics. 1968. Issue 8. (N2). P. 69-74.

9. Гузь А. Н. Устойчивость оболочки, ослабленной отверстиями. Киев: Наукова Думка, 1974.

10. Григолюк Э.И., Фильштинский Л. А. Перфорированные пластины и оболочки и связанные с ними проблемы. М.: ВИНИТИ, 1967.

Статья поступила в редакцию 2 сентября 2009 г.