CC BY
149
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 165-166
165
УДК 531.3+534.1
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН, ОСЛАБЛЕННЫХ ВЫРЕЗАМИ
© 2011 г. Ю.Н. Казачек
Нижегородский филиал Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН
yunk_nn@mail.ru
Поступила в редакцию 16.05.2011
Рассмотрено влияние вырезов различной формы на собственные колебания тонких упругих пластин на примере свободно опертой прямоугольной пластины. Для расчета коэффициентов влияния вырезов на собственную частоту колебаний пластины были использованы формулы, полученные интегрированием уравнения малых колебаний пластин с переменной жесткостью, зависящей от числа и размера вырезов, методом Бубнова - Галеркина.
Ключевые слова: пластина с вырезом, собственные частоты, аналитический расчет, конечно-элементный анализ.
Одной из основных задач при расчете вибрационных характеристик элементов конструкций, особенно на стадии проектирования, является определение частот свободных колебаний. Частота собственных колебаний сплошной свободно опертой по всему контуру пластины определяется формулой, полученной С.П. Тимошенко [3]:
( „Л
m n
2 + ~2
2 Л
V
Dl
'poh ’
X =
Do,
P oh
Для квадратного и прямоугольного вырезов коэффициент Ь(й/а) был определен согласно формуле, приведенной в [1]:
'.;
(4)
b а
где D0 — цилиндрическая жесткость пластины; h — толщина пластины; V — коэффициент Пуассона; р0 — плотность материала пластины; а — размер пластины вдоль осиу; b — размеры пластины вдоль оси x; m и n — число полуволн вдоль оси x и у соответственно.
Здесь приведены результаты расчета низшей частоты собственных колебаний (m = n = 1) тонких упругих пластин с отношением сторон bla = 1.5, ослабленных центральными вырезами квадратной, прямоугольной, круглой и овальной формы. Для удобства анализа формулу (1) представим в виде:
1+
a2 8(1-v)
X
b'2 (1+a2/b2)2 An1 (1-cd/ab)-2%-m1m2
где
m1 = sin2a —1— sin2a—;
—1,
m2 = sin2ß—-sin2ß—;
2a
f c d X = n\ m,—+ m2
l a
У 2 .
b r
а = тп/Ь; в = пп/а — число полуволн вдоль оси х и у соответственно; й = х2 — х1; с = у2 — у1; х1, х2 , у1 , у2 — координаты, определяющие положение выреза.
Для кругового и овального вырезов коэф-фициент у был определен согласно рекомендациям [2]:
(2)
2 а 2]1
где к — коэффициент, зависящий от размера, формы и расположения выреза, определяемый по формуле:
к = ко(1 + Ь (й/а)), (3)
где к0 = 1 + а2 /Ь2 — коэффициенты для пластин без вырезов из формулы (1); Ь(й/а) — коэффициент, учитывающий наличие и форму выреза (й — его большая сторона).
\ d Ї 25(a/b)2+b /(4a)( d / a)3 a ) ' (d/c)2 + d/c -1 :
(5)
где с — меньшая ось овала (для круглого отверстия ё = с).
На рис. 1 показаны зависимости коэффициента к от отношения площади выреза к площади пластины 50 для прямоугольной свободно опертой пластины с центральным квадратным (кривая 1), прямоугольным (кривая 2, ё/с = 1.5), круглым (кривая 3) и овальным (кривая 4, ё/с = 1.5)
166
Ю.Н. Казачек
вырезами.
Результаты вычислений, приведенные на рисунке, показывают, что при одинаковой площади выреза наибольшее влияние на собственную частоту пластины оказывает круговой вырез, а наименьшее - овальный. Однако последний вывод «не работает» при малой величине отношения площади выреза к площади пластины (до 0.07). Переход от кругового выреза у к овальному почти сразу же начинает понижать собственную низшую частоту пластины, а при £/£0 = 0.25, когда перестают действовать приближения, принятые в формулах Регистра, разница частот пластин с прямоугольным и овальным вырезом, вычисленных разными способами, составляет 6-7%.
Рис. 1
На рис. 2 показано, что изменение соотношения сторон прямоугольного выреза при небольшой площади выреза (S/S0 < 0.2) не оказывает большого влияния на изменение собственной частоты.
Варьирование соотношением сторон 1 < d/c < < 2.2 приводит к увеличению частоты собственных колебаний по сравнению с пластиной с квадратным вырезом (d/с = 1), а при d/c > 2.2 - к уменьшению, то есть искомая зависимость немонотонная, в отличие от монотонной функции, представленной формулой (5). Возможно, при выбранном нами, часто применяемом на практике, соотношении d/c = 1.5 соответствующая
функция имеет экстремум. При больших значениях d/c частота собственных колебаний пластины с удлиненным вырезом должна стремиться к значению для сплошной пластины.
Рис. 2
Сравнение результатов применения формул Регистра и численного расчета с помощью пакета прикладных программ С08М08-М [4] показало, что значения собственных частот могут быть занижены. С другой стороны, формула (5), возможно, также нуждается в практической проверке и уточнении, так как выявленный неоднозначный характер поведения соответствующих зависимостей требует более глубокого изучения и анализа.
В работе принимала участие Н.Е. Никитина.
Список литературы
1. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981. 191 с.
2. Российский морской регистр судоходства: Сборник нормативно-методических материалов. Книга 14. СПб., 2004.
3. Вибрация в технике: Справочник. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.
4. Никитина Н.Е., Казачек С. В. Влияние круглых и эллиптических вырезов на собственные частоты пластин, вычисленные аналитическим и численным методами // Вестник научно-технического развития: Интернет-журнал. 2010. № 10(38). С. 33-37.
NATURAL OSCILLATIONS OF RECTANGULAR PLATES WEAKENED BY CUTS
Yu. N. Kazachek
The influence of cutouts of the various shapes on the natural vibrations of thin elastic plates is considered in the report, using an example of a freely supported rectangular plate. The calculation of the coefficients of the influence of cutouts on the natural frequency of the plate was realized using the formulas derived by integrating the equations of small vibrations of plates with variable stiffness, depending on the number and size of the cutouts, by the Bubnov - Galerkin method.
Keywords: plate with a cut, natural frequencies, analytical calculation, finite element analysis.
