Устойчивость пластин, ослабленных отверстиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 539.3

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН,

ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЯМИ

А. В. Лебедев

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, privater@mail.ru

1. Введение

Настоящая статья посвящена исследованию задачи о потери устойчивости тонкой изотропной упругой прямоугольной пластины, ослабленной квадратным центральным отверстием, подвергнутой сжимающему нагружению, приложенному к торцам. Исследуется влияние геометрических параметров оболочки и отверстия, граничных условий закрепления пластины на величину критической нагрузки и форму потери устойчивости. Численные значения величины критической нагрузки, полученные путем моделирования пластины с помощью метода конечных элементов в пакете прикладного программного обеспечения А^УБ у.10, сравнивались с результатами, полученными методом Рэлея—Ритца [1], а также аналитическими результатами для пластин без отверстия [2, 3].

Работа состоит из нескольких частей, сгруппированных по типу граничных условий. В каждом разделе производится исследование влияния пропорций пластины и площади отверстия на величину критической нагрузки.

2. Потеря устойчивости пластины под действием осевого нагружения со свободными боковыми краями

Рассматривается тонкая изотропная упругая пластина под действием осевого сжимающего распределенного усилия ц, направленного вдоль оси ОХ, (см. рис. 1).

Боковые стороны пластины имеют длину а, торцевые — Ь, причем а ^ Ь. Сжимающее нагружение во всех случаях граничного закрепления приложено вдоль торцов пластины, стороны центрального квадратного отверстия длиной ! параллельны сторонам пластины.

© А. В. Лебедев, 2009

Рис. 1. Прямоугольная пластина под действием осевого сжатия.

Уравнение для определения критической нагрузки для пластины постоянной толщины, подвергнутой осевому сжатию имеет вид:

22 d2w ^ Eh3 . .

"v-v-»+9^ = o, В=щ^у т

где w — прогиб, D — цилиндрическая жесткость, E — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, а h — толщина пластины [2]. Используются безразмерные переменные, связанные с размерными (отмеченные знаком ~) соотношениями

D q {a,d,h,w}

в = тт- ,=Ш' <*•**•»>-—ь—■

Будем рассматривать только симметричные граничные условия типа шарнирного опирания, свободного края и жесткой заделки.

Начнем со случая шарнирного опирания торцов и свободных боковых сторон (Ш-С). В этом случае для длинной пластины уравнение (1) при отсутствии отверстия h = const для определения критической нагрузки и формы потери устойчивости сведется к более простому [2]:

w

^ dxA ^ d,x2 ~ wU=o,a — 0, iv |ж=о,о — 0. (2)

Критическая нагрузка определяется формулой

п

2D

Ясг 9 1 (3)

а2

а форма потери устойчивости имеет вид т = А Бт (ппх/а), что соответствует цилиндрическому изгибу. В этом случае форма прогиба пластины будет схожа с формой стержня, находящегося под действием продольного сжимающего усилия.

Для численного анализа задачи использовался программный пакете Л^УБ, в котором задача устойчивости решается в 2 этапа: сначала определяется исходное напряженно-деформированное состояние, а затем решается задача на собственные значения вида

([К ]+ А^ ]){ФЬ = 0.

Здесь [К] — матрица жесткости, [Б] — матрица, характеризующая усилия, возникающие в модели оболочки, Аг — г-е собственное число, использующееся как мультипликатор для нагрузок при создании матрицы [Б], — собственный вектор перемещений. По-

дробный алгоритм решения задачи изложен в [4], вычисленные собственные вектора нормализуются.

В качестве конечных элементов были выбраны БИЕЬЬбЗ. Такой элемент определяется четырьмя узлами, каждый из которых имеет шесть степеней свободы. Число конечных элементов определялось их относительным размером 0.025. Для оценки точности модели, построенной методом конечных элементов, было произведено сравнение результатов численного моделирования в Л^УБ и аналитических расчетов для пластины без отверстия. При выборе БИЕЬЬбЗ элементов для стальной пластины (Е = 2.0 • 1011Н/м2, V = 0.3) толщины Н = 0.01 с размерами сторон а = 2, Ь =1 численные и аналитические значения величины критической нагрузки, полученные по формуле (3), для пластины со свободными боковыми сторонами отличаются на 7%. Причина расхождения заключается в том, что формула (3) достаточно точна лишь для длинных пластин или пластин из материала с малым коэффициентом Пуассона.

Перейдем к пластине, ослабленной центральным квадратным отверстием, стороны 3 которого параллельны сторонам пластины. Было произведено численное моделирование с целью выяснить влияние площади отверстия Б = 32 на величину критической нагрузки.

Ыь- * 105

Рис. 2. Зависимость величины критической нагрузки от величины отверстия для пластины с граничными условиями вида Ш-С.

Зависимость, изображенная на рис. 2, позволяет сделать вывод о падении величины критической нагрузки с ростом площади отверстия пластины, теряющей устойчивость при цилиндрическом изгибе. Можно сделать грубую оценку зависимости критической нагрузки от величины отверстия, если вести осредненную толщину пластины с учетом отверстия как Н = Н(1 — 3?/аЬ). Подставляя в формулу (1) получим дег = пПН3/а2(1 — 32/аЬ)3. На рис. 2 эта критическая нагрузка изображена сплошной линией.

3. Потеря устойчивости пластины под действием осевого нагружения с шарнирно опертыми боковыми краями

Рассмотрим пластину, идентичную по своим геометрическим и физическим характеристикам пластине из раздела 2, все торцы которой шарнирно оперты (Ш-Ш). Пластина, как и прежде, находится под действием осевого нагружения, приложенного на торцах.

Для пластины без отверстия уравнение и граничные условия для определения критической нагрузки и формы потери устойчивости имеют вид (1). Прогиб т ищется в форме

т

ппх пту А эш------эт ■

а Ь

при этом величина критической нагрузки такова [2]

цсг = шт

т,п

2б

((тг)2+п2)

п 2 п 2

а

Г= Ъ

(4)

Анализ устойчивости шарнирно опертой пластины в программном пакете Л^УБ дал хорошее совпадение с аналитическими результатами. Так величина критической нагрузки в ЛМБУБ отличалась от величины, полученной по формуле (4), менее, чем на 1%.

На рис. 3 приведена зависимость критической нагрузки от относительной длины сплошной пластины.

Г

Рис. 3. Зависимость величины критической нагрузки от параметра г.

Для оболочки без отверстия зависимость имеет стандартный вид [2, 3] совокупности и-образных кривых соответствующих формам с разными волновыми числами п. Критическая нагрузка определяется как нижняя огибающая этих кривых, причем минимум нагрузки достигается при г = п.

Рассмотрим теперь пластину, ослабленную центральным квадратным отверстием. Наличие отверстия по-разному влияет на критическую нагрузку, соответствующую разным формам. На рис. 4 построены графики зависимости величины критической нагрузки от длины пластины при постоянном размере отверстия и, для сравнения, пластины без отверстия.

Рис.4• Зависимость величины критической нагрузки для пластины с отверстием и без от параметра г.

Из рис. 4 видно, что для нечетных п наличие отверстия приводит в уменьшению критической нагрузки, а для четных п — к росту. Эта задача была рассмотрена в книге [1] методом Рэлея—Ритца. Для нечетных форм, когда критическая нагрузка убывает с ростом площади отверстия, результаты согласуются этой работы хорошо согласуются с нашими, для четных форм различие принципиальное, так как формулы работы [1] не описывают роста критической нагрузки.

На рис. 5 приведены зависимости критической нагрузки от размеров отверстия для пластины с отношением длин сторон г = 2 и г = 3.

а)

* 106

^ * 10 0.7 г 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

Ь)

0.05 0.10 0.15 0.20

Рис. 5. Зависимость величины критической нагрузки от величины отверстия при я) г = 2 и Ъ) г = 3.

а

По-видимому, при определенных условиях закрепление боковой стороны пластины приводит в росту начальных напряжений в поперечном направлении, увеличивающимся с размером отверстия, что приводит к увеличению жесткости системы и, следовательно, к росту критической нагрузки. Резкое падение критической нагрузки на графике вызвано локальной потерей устойчивости тонких полос между отверстием и краем пластины.

4. Потеря устойчивости пластины под действием осевого нагружения с заделанными боковыми краями

В этом разделе рассмотрим случай жесткой заделки всех краев пластины (З-З). Тогда уравнение (1) следует дополнить граничными условиями вида

{ш,ю'х} |х=о,а = 0, {ад, ад,} |у=о,ь = 0. (5)

Результаты расчетов представлены на рис. 6. В точках, где графики теряют гладкость, происходит переход на форму потери устойчивости с другим волновым числом.

^ * 106

Рис. 6. Зависимость величины критической нагрузки жестко заделанной пластины от параметра г.

Как видно из рис. 6, увеличение размера отверстия в пластине, по форме близкой к квадратной (г = 1... 1.5), ведет к снижению критической нагрузки, для пластин с отношением сторон г > 1.5 — ведет сначала к снижению, а потом к росту критической нагрузки, независимо от формы потери устойчивости пластины. При этом по мере роста г критическая нагрузка все меньше зависит от величины отверстия, если отверстие не слишком велико.

5. Заключение

Наличие отверстия может приводить как к росту критической нагрузки пластины, подвергнутой осевому сжатию, так и к снижению, в зависимости от граничных условий и геометрических параметров пластины и отверстия. Так более жесткое опирание боковых сторон способствует росту критической нагрузки.

Литература

1. Преображенский И. Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981.

2. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1991. 336 с.

3. Биргер И. А., Пановко Я. Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. Том 3. М.: Машиностроение, 1968.

4. SAS IP, Inc. ANSYS Release 10.0 Documentation: ANSYS Theory Reference, 2005.

Статья поступила в редакцию 18 декабря 2008 г.