CC BY
32
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Г ом V 197 4
УДК 629.78.015:525.7
ВЛИЯНИЕ ВЕСОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ НА НАБОР МАКСИМАЛЬНОЙ ВЫСОТЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ В АТМОСФЕРЕ
Г. Л. Гродзовский, Б. Н. Кифоренко, В. В. Кузьменко
Для точки переменной массы, ускорение которой создается двигательной установкой с ограниченной скоростью истечения, исследовано влияние весовых ограничений на набор максимальной высоты при вертикальном движении в атмосфере. Показано, что оптимальное управление скоростью истечения струи в данной задаче— граничное, хотя при других формулировках вариационных задач оптимальной может оказаться переменная скорость истечения струи. Определены условия, при которых участок переменной тяги включается в состав оптимальной траектории. Исследована эффективность оптимального дросселирования тяги по сравнению с движением в случае постоянной тяги.
Задача о наборе максимальной высоты при вертикальном движении материальной точки переменной массы с заданной максимальной скоростью истечения реактивной струи впервые была рассмотрена в работах К. Э. Циолковского [1] и Р. Годдарда [2]. В работе [3] анализ этой задачи проведен методами вариационного исчисления и получены необходимые условия экстремума для участка траектории с переменной тягой. Состав оптимальной траектории, включающей участки импульсного набора скорости, переменной тяги и пассивного движения, исследован в работе [4]. Среди большого числа работ, в которых задача о наборе максимальной высоты рассмотрена в предположении об ограниченной величине тяги, характерном для современного подхода к изучению движения с ограниченной скоростью реактивной струи (см., например, [5]), отметим статью [6], в которой изложена общая теория оптимальных режимов вертикального движения материальной точки переменной массы. В работе [7] задача исследована е помощью принципа максимума А. С. Понтрягина, и условия оптимальности участка переменной тяги получены при изучении особого управления тягой.
1. Цель настоящей работы — определить условия с учетом весовых затрат на создание тяги [8], при которых участок переменной
тяги включается в состав оптимальной траектории, и оценить эффективность дросселирования тяги путем сравнивания с движением материальной точки в случае постоянной тяги.
Ниже вес точки G принимается состоящим из полезной нагрузки G* и весовых затрат на выполнение маневра: веса запаса рабочего вещества G^ и весовых затрат на ускорение рабочего вещества GT
G (t) = GK -f- Gp. 4- G-j. (1-1)
Величина GT, в соответствии с [8], принимается пропорциональной максимальному значению Р0 управляющей функции Р — тяги двигателя:
От=тЛ). Т = const. (1.2>
Отметим, что в работах [5]—[7] весовые затраты на ускорение вещества не учитываются, GT принимается равным нулю, см. (1.1). Поскольку в рассматриваемой задаче импульсный набор скорости в начале подъема оптимален [4], наибольшая высота достигается при неограниченной тяге (Р0 = что противоречит предположению о движении с ограниченной скоростью реактивной струи [9]:
0<. const = Р° < Р < Р0 = const < ОО.
В работах [5]—[7] величина Р0 фиксируется при формулировке задачи. Учет весовых затрат GT (1.1),'(1.2) дает возможность определить конечное оптимальное значение Р0, причем метод, предложенный в работе [8], позволяет использовать при этом результаты работ [5]—[7].
Дифференциальные уравнения движения материальной точки вдоль вертикальной прямой с граничными условиями, соответствующими изучаемому маневру, запишем следующим образом:
М0)= 1 — т«о, МЛ =
h — v, Л(0) = 0, h (Т) = шах;
-/(*)■ *«» = 0, v(T) = opt.
(1-3>
Уравнения (1.3) — безразмерные. Высота к отнесена к где 1/0— максимальное значение скорости реактивной струи, — некоторое постоянное значение ускорения силы тяжести, скорость движения V и скорость истечения струи V отнесены к 1/0, время к весовые компоненты к начальному весу (70 = 0(0),.
а тяга Р к максимальной тяге Р0, причем
Ос =в% + С7,,., а0 = Р0С^1.
Выражения /(Л) и Р (к, V) представляют в (1.3) безразмерные значения ускорений от силы тяжести и равнодействующей внешних сил (аэродинамическое сопротивление и пр.) соответственно.
Вариационная задача о наборе максимальной высоты формулируется следующим образом: среди кусочно-непрерывных функций Р (£) и V Ц) и постоянных значений параметра а0, удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений (1.3) и ограничениям
0<У<1, 0<Р<1, (1.4}
необходимо выбрать такие, которые обеспечивают выполнение граничных условий (1.3).
Результаты работ [6] и [7] позволяют записать выражение для оптимального управления тягой Р следующим образом:
_ I- УС "* Г" — “ ~ - ис \ -
~ 0 при Ф>0 или Ф = 0 и Рос<0 0 при G„ = G%
где
1 при Ф<0 или Ф = 0 и Рос>1 Рос при Ф = 0 и 0<рос<1
<G„ < 1—7а0, (1.5)
Ф = F (v — 1 )-\-vF'v — (G, + Т«о) /.
ао^ос = {(F + fv) (F + vFv + vF-f- (Ga -f- ^a0) [(G3 -f- ^aQ) f * — -(v-\)F'H- vF'U]} (F + 2F'v + F'v + Z7;,)-1 .
Здесь Ф — функция переключения, Poc — величина особого управления тягой. Формулы (1.5) представляют собой решение задачи синтеза оптимального управления тягой в задаче (1.3) при условии, что функции F (h, v) и /(Л) имеют непрерывные производные второго порядка.
Анализ выражения (1.5) для функции переключения Ф указывает на отсутствие участков переменной тяги при движении в пустоте (F = 0^> Ф ф 0).
В частном случае движения в однородном гравитационном поле в среде с плотностью, экспоненциально убывающей с высотой, ря = р0 е~а!г и с постоянным коэффициентом сопротивления сх = const функции F(h, v) и /(/г) задаются соотношениями:
Здесь S—характерная площадь аппарата. Численные значения параметра а зависят от параметров атмосферы и величины скорости 1/0. Так, например, для земной атмосферы (СА-64) h0 = 0, h = 200 км, V0 = 3000 м/с этот параметр а=100. Параметр р кроме р0 зависит от параметров аппарата. В расчетах (кроме фиг. 5) было принято [3 = 3, что приблизительно соответствует следующим значениям физических параметров: р0 = 1,25 • 10-1 кг/м3, К0=3000 м/с, сх = 0,2-, S=25k м2; G0 = 3 • 106 Н.
Оптимальное управление скоростью истечения струи — граничное, V — 1 (см. п. 2).
Закон сопротивления (1.6) относится к классу рассмотренных в работе [10], для которых оптимальная траектория состоит не более чем из трех участков: 1. Р=Ртах; 2. Р = Р0С; 3. Р — 0.
На фиг. 1 приведены зависимости Ф(£)> P(t)> vii), h{t) и G(t) для оптимальной траектории с начальными условиями h0 = v0 = 0 при а = 5, [3 = 3, а0 = 2,6, -f == 0,01, Gn = 0,l. Начальный разгон материальной точки происходит с максимальной тягой Р — 1. Около половины рабочего вещества расходуется на активном участке особого управления, на котором тяга существенно меньше своего максимального значения. Набор высоты происходит в основном на участке особого управления, причем скорость при этом меняется незначительно. Траектория заканчивается пассивным участком, на котором скорость падает до нуля.
(1.6)
Кривые на фиг. 2 дают возможность оценить влияние включения участка особого управления в состав оптимальной траектории на параметры движения материальной точки («==5, р = 3, 7 = 0,01; Он = 0,01). Кривая / иллюстрирует зависимость значения функционала задачи к(Т) от величины параметра а0 = ^,о<5о'1, кривая//—аналогичную зависимость для траектории, состоящей из активного участка с максимальной тягой (Р= 1), при котором расходуется
все рабочее тело, и заключительного пассивного участка. Сравнение кривых указывает на заметное увеличение (для выбранных условий) величины к(Т) при включении особого участка в состав оптимальной траектории и на увеличение оптимального значения а0, отвечающего, при указанных условиях, наибольшему значению Л(Т’). Сопоставление процессов изменения веса и набора высоты при оптимальных значениях параметра а0для траектории с особым участком (кривые /) и без него (Р = 1 на всем активном участке— кривые //) для этого же примера приведено на фиг. 3.
Результаты расчета оптимальных траекторий при различных значениях удельного веса двигателя 7 (1.2) и коэффициента а в зоне убывания плотности с высотой (1.6) для случая [3 = 3
позволили установить на плоскости (а, 7) область, внутри которой включение участка особого управления в состав траектории приводит к увеличению функционала задачи (область 1 на фиг. 4). Для значений а и 7 из области // оптимальная траектория состоит из активного (Р=1) участка, который заканчивается при выполнении граничного условия для Оа(і). Затем следует * пассивный полет (Р — 0) до окончания и набора высоты (г» = 0).
На фиг. 5 представлены границы областей оптимальности особого управления на плоскости (р, 7) для значений а = 20
Фиг. 5
м 1 1 1 ! і '
1 і 1 і і і і і і і і і і і і
ІІІ
і: і і і і і і
Фиг. 6
и а = 100. Участок особого управления входит в состав оптимальной траектории для значений р и 7, при которых соответствующая точка на плоскости лежит выше граничной кривой.
Интересный пример оптимальной траектории приведен на фиг. 6 при 7 = 0,002, а =100 и [3 = 200, когда имеют место два участка с максимальной тягой (Р=1), разделенные участком с особым управлением.
Все изложенные результаты справедливы и для двигателей, тяга которых не дросселируется, но возможно многократное повторное включение; в этом случае максимум высоты достигается (при а и р из области / на фиг. 4) на траектории с бесконечным
числом переключений (скользящий режим). В начальный момент Ф = - 1 и оптимальна максимальная {тяга Р— 1. При смене знака Ф (например, Ф('с) = 0, Ф(т + 8х)>0) происходит переход на пассивный участок: Р — 0 при Ф>0 (1.5). При этом отрицательный член в формуле (1.5) для функции переключения Ф остается постоянным, положительный — убывает, что приводит к обратной смене знака у Ф, т. е. к необходимости перехода на активный участок: Р— 1 при Ф<0 и т. д.
2. В работах [5] — [7] скорость истечения струи V не является, в отличие от описанной в п. 1, управляющей функцией, а принимается У=У0 и постоянная V фиксируется при постановке задачи. Анализ параметров двигателей ограниченной скорости истечения, приведенный в монографии [9] (см. также [10]), указывает на необходимость включения функции V в число управляющих функций задачи. Определение оптимального закона V = V(/) проводится согласно ^принципу максимума из условия минимума функции Н системы (1.3):
Особое управление скоростью истечения струи V, отличное от граничного (2.1), неоптимально. Действительно, необходимое условие существования участка особого управления V состоит в обращении в нуль функции ф0 на интервале времени ненулевой продолжительности, откуда следует обращение в нуль либо разности апР — Р [см. дифференциальное уравнение для (2.1)]-Выполнение равенства а0Р — Р возможно лишь при переменном/3, отличном от граничного Р= 1 (особое управление). Необходимое условие оптимальности двумерного особого управления (V, Р) [11] приводится к виду /^ = 0.
Случай Р — 0 не представляет интереса, так как значение управляющей функции V на пассивном участке не существенно. Условие фг, = 0 приводит, с учетом ^„ = 0 и дифференциальных уравнений (2.1), к соотношению
что противоречит принципу максимума.
Анализ соотношения для определения оптимального значения скорости истечения струи V приводит к выводу о неположительности величины <]>»(£) на активных участках ввиду очевидной неоп-тимальности истечения струи с нулевой скоростью [1/=0, Р ф 0 — бесконечно большая величина (?„, см. (1.3)]. Следовательно, при Рф 0.
При других формулировках вариационных задач переменная скорость истечения струи может оказаться оптимальной (см., например, [12], где принимается, что запас энергии рабочего вещества ограничен).
Авторы считают своям приятным долгом выразить благодарность В. А. Ильину и А. И. Курьянову за обсуждение рассмотренных вопросов.
(2.1)
при
при ^>0.
1. Циолковский К. Э. Собрание сочинений, т. 2. М., Изд. АН СССР, 1954.
2. Goddard R. Н. A Method of reaching extreme altitudes. Smithsonian Inst., Misc. Collect. 71, No 2, 1919.
3. Hamel G. Ober eine mit dem problem der Rakete zusammen — hahgende aufgabe der variationsrechnung, ZAAM, vol. 7, No 6, Dec., 1927.
4. ОхоцимскийД. E. К теории движения ракет. ПММ, т. 10, № 2, 1946.
5. Исследование оптимальных режимов движения ракет. М., Оборонгиз, 1959.
6. М i е 1 е A. Generalized variational approach to the optimum thrust programming for the vertical flight of a rocket, Т. 1, Zeitschr. f. Flugwissenschaften, 1958. Т. Ill, Bd. 6, No 3, Т. II, 1958, IV, Bd. 6, No 4.
7. Isayev V. K-, Kurianov A. I., Sonin V. V. On the application of the maximum principle to rocket. Flight Problems. Proc. XIV Internal. Astronaut. Congr. 1963, Warszawa, 1964.
8. Гродзовский Г. Л. Некоторые вариационные задачи механики космического полета. Механика твердого тела (Инж. журн.). АН СССР, № 6, 1966.
9. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета с малой т\ягой. М., „Наука", 1966.
10. Mu nick Н. Goddard problem with bounded thrust. AIAA J., vol. 3, No 7, 1965.
11. Габасов P. В., Кириллова Ф. М., Срочко В. А., Тарасенко Н. В. Условия оптимальности высокого порядка. Автоматика и телемеханика, 1971, № 6.
12. Марченко В. П. Определение оптимальных условий движения тела переменной массы в поле сил тяготения. Прикл. механика, т. 1, № 4, 1965.
Рукопись поступила 9/II 1973
