Управление тягой орбитального аппарата с двигателем ограниченной мощности при полете с накоплением атмосферного воздуха Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VII 19 76

№ 2

УДК 629.735.33

УПРАВЛЕНИЕ ТЯГОЙ ОРБИТАЛЬНОГО АППАРАТА С ДВИГАТЕЛЕМ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ПРИ ПОЛЕТЕ С НАКОПЛЕНИЕМ АТМОСФЕРНОГО ВОЗДУХА

В. Г. Шумилкин

Рассматривается задача о выборе оптимального закона управления тягой (идеально регулируемого двигателя ограниченной мощности) аппарата, накапливающего атмосферный газ в орбитальном полете, с учетом несферичности Земли. Вариационная задача с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина сводится к краевой задаче. Последняя с использованием модифицированного метода Ньютона решается численно. Приведены результаты численного решения.

В большинстве работ по оптимизации параметров аппарата-накопителя рассматривались круговые орбиты с постоянной плотностью атмосферы вдоль траектории тяга движителя равна сопротивлению в каждый момент времени (см., например, [ 1, 2]). Однако в силу несферичности Земли такая модель полета аппарата-накопителя описывает лишь движение по экваториальным орбитам.

Для орбит с наклонением к плоскости экватора 1ф 0 полет на высоте, соответствующей постоянной плотности, не может быть реализован при постоянной тяге. Вопросы выбора закона управления тягой движителя аппарата, накапливающего атмосферный газ в орбитальном полете, впервые рассматривались в работе [3]. В настоящей работе рассматривается аналогичная задача, но в отличие от [3] с краевыми условиями, соответствующими оптимальному выбору высоты и вектора скорости в начальной точке орбиты. Отличие в постановке задачи привело к заметному различию в численных результатах.

1. Постановка задачи. Рассматривается аппарат-накопитель, компенсация аэродинамического сопротивления которого осуществляется электрореактивным движителем, использующим в качестве рабочего тела часть „приходящего“ через воздухозаборник воздуха. Предполагается, что зависимости радиуса земной поверхности и потенциала поля тяготения Земли от геоцентрической широты соответствуют зависимостям для сжатого сфероида.

6— Ученые записки ЦАГИ № 2

8)

Задача формулируется следующим образом: требуется выбрать оптимальные высоту и вектор скорости в начальной точке орбитального движения и построить оптимальную программу управления тягой на одном обороте при обеспечении максимума накопления массы за время одного оборота и равенства координат и составляющих скорости аппарата в начале и конце движения

Г (0) = г (/j) = ropt) V (0) = V (t) = V opt.

Начальная масса аппарата М0, мощность бортового источника ЭНерГИИ N, Коэффициент ПОЛеЗНОГО деЙСТВИЯ ДВИЖИТеЛЯ lf]T и

коэффициент аэродинамического сопротивления сх считаются заданными.

Вариационная задача записывается в формулировке Майера: М = q» — q\ /И(0) = М0, УИ(/,) = max;

r = v\ г (0) = r0, r(tt) = r0; (1)

v = {p(t) +F(t))/M(t) + R; v{0) = v0, v(tl) = v0, где M, r, v — фазовые координаты; M(t) — текущая масса аппарата;

г, v — радиус-вектор и скорость центра масс аппарата; R{t) — вектор гравитационного ускорения, t — текущее время, q^ = vSt>?f— секундный расход массы воздуха через воздухозаборник; q — расход

через движитель; p(t) — вектор тяги двигателя; F(t) — вектор сил аэродинамического сопротивления (/<; 1 — коэффициент, учитывающий отличие реального секундного расхода qt> от „идеального“ VS»?).

Распишем каждый член правой части системы уравнений (1) и сделаем некоторые предположения относительно параметров аппарата и условий его полета.

Вектор гравитационного ускорения может быть записан в виде

R = grad и, (2)

где и — потенциал поля тяготения.

Для Земли потенциал поля тяготения в точке с геоцентрической широтой Ф определяется соотношением [2],

(3)

и = —1^1 -f- (1 — sin ф) + (^sin Ф — 5sin3 Ф +...)

где/?э = 6,3781ХЮ6м — экваториальный радиус Земли; у = 1,723X10“* и y‘i = 6ХЮ_6 — коэффициенты второй и третьей зональных гармоник; г —текущий радиус; k — гравитационная постоянная.

Запишем потенциал поля тяготения Земли (3) в сферической системе координат. Поскольку член с у, так называемая вторая зональная гармоника, выражающая главный эффект сжатия Земли, много больше всех остальных (y/y’i ~ Ю3), влиянием третьей и последующих гармоник можно пренебречь.

Геоцентрическая широта Ф, фаза <р и угол наклонения плоскости орбиты к плоскости экватора i связаны соотношением

sin Ф = sin sin г. (4)

Гравитационный потенциал (3) с учетом (4) будет иметь вид:

(5)

k

и = — г

1+ 3 ( г ' (1 ~3sin?sin¿)

Атмосфера принимается покоящейся, т. е. движение атмосферы за счет вращения Земли не учитывается (скорость набегающего потока равна скорости движения аппарата). Предполагается также, что вектор тяги направлен по оси аппарата и коллинеарен силе аэродинамического сопротивления.

Зависимость плотности атмосферы от высоты полета h аппроксимируется экспоненциальной зависимостью

р = р*ехр[— H(h— Л*)], (6)

где р* — плотность атмосферы на некоторой опорной высоте h Н = const.

Считается, что поверхности постоянной плотности имеют ту же эллипсоидальную форму, что и поверхность Земли.

Зависимость высоты полета от угла <р при движении аппарата-накопителя по орбите с углом наклонения плоскости орбиты i может быть записана в виде

h(i) = r(t)-----------MLzf)--------- ; (7)

[1 — (2 — е) е (1 — sin2 i sin5 <р)]

здесь е=1 — Яп//?э~0,00352 — эксцентриситет эллипсоида вращения (полярное сжатие Земли); R3, Rn — экваториальный и полярный радиусы.

Сила аэродинамического сопротивления, с учетом сделанных предположений, определяется соотношением

F =----~cxp(h) vS& v, (8)

где сх отнесен к площади входа воздухозаборника s&.

Рассматривается идеально регулируемый движитель, регулировочная характеристика такого движителя описывается соотношениями [2]:

p = qV=2NriT/V] ч\ЛР, Ц)= const; 1

0<W<A^max; — оо< 1/< со; \ '

здесь V — скорость истечения реактивной струи из движителя, N—мощность, потребляемая движителем.

Затраты мощности на сжижение захваченной массы воздуха считаются малыми и не учитываются. Тогда из уравнения (9), при условии полного использования мощности на работу движителя vV=./Vmax, следует, что выбор оптимального закона управления тягой эквивалентен отысканию оптимального закона управления скоростью истечения.

Поскольку рассматривается задача об определении оптимального закона изменения тяги на одном обороте, изменением массы

аппарата (за счет накопления газа) можно пренебречь [2].

2. Уравнения вариационной задачи. В сферической системе координат полная система дифференциальных уравнений и граничных условий рассматриваемой вариационной задачи (для плоского движения) с учетом зависимостей (1)—(9) может быть записана в следующем виде:

i-i [~~~ e~Hi'h~h*) v — а0/ V31; г = vrr v-:;

aQVrr 1

v, - —г — тзтг (3 Sin2 i sin3 С? — 1) - /0 -i- г?-"<й-Л*)>

Vw„ r v,, г г3 v

-(_____—

Vv r ' г3 v

v-i = -П77Г — vr + 737Г- (sin2 1 sin 2?) - /о vre-H(h~h^\

(10)

здесь и. — скорость накопления массы атмосферного газа, отнесенная к М0; и V*— радиальная и трансверсальная составляющие скорости движения; V = V V* + /о = ^ Р* ^ ^ — безраз-

мерное ускорение на опорной орбите от сил аэродинамического

сопротивления; а0 =

о* Мп gif

— безразмерное ускорение от реактив-

ной тяги при скорости истечения, равной скорости набегающего потока на опорной орбите, / =—у7?э\г\-

В системе (10) время отнесено к ¿* = й-1/2г3/2, скорости — к v^ — k1|‘2r^1|2, ускорения-—к — линейные размеры — к г*.

Эти величины имеют следующий смысл: 2^* — период обращения на круговой орбите радиусом г*; V# — скорость движения по этой орбите; ^ — ускорение от гравитационных сил на расстоянии г* от центра Земли.

Граничные условия могут быть записаны в виде

¡і (0) = 1, (2и) — шах,

г (0) = г0, г (2тг) = г0,

vг(0) = vro, V, (2тг) = Х)г о,

V,? (0) = о, Уу (2л) = V? о-

(И)

Используя принцип максимума Л. С. Понтрягина [4], сведем рассматриваемую вариационную задачу к краевой задаче. Гамильтониан имеет вид

Д0 V, г

1

(Збіп3 і єіп2 ф — 1)

+

До/"

V, + 7з^г- ЄІП2 і віп 2Ф^ — /7,^ а0/1/ + г/о е~н^-п*) X ' . .2р.и

X

/Ч*’

(12)

откуда получаем дифференциальные уравнения для сопряженных переменных

Рр. = 0;

Р-вг а0

Рг—^[Рг +

-1- е~Н{Н-Н*') (\ — Иг)(рг,г №Г/0ІУ<?

+ р*9№—-2 + Зх(Ззіп2 г є і п2 ер — 1 )/г4х/?] —

— (а0/ Vv — Зх біп2 і йіп 2<р/г4 ■Уф) + Vі;

¿«у = — -У“1 Г {/>, + а0 [Руг - Ъг(ръ,г Vг - р„9 г»,)]/®2} +

+/о Г \Руг (V + - 2р,х ъг/ъ* шх + ру<? ъг^] е-«(*-А.)_/7^;

г(Рт + А», «о/ 1^)/^ + а0 г (/7^ г», + ¿ч — /V Vі! Vго’М ^ +

+ Рпг [1 4"'У“2/'-1 + х(3 эт2 іэт2у — 1 )/>3 V2_] +

+ х эт2 і єіп 2ф* Г3 - /о г [2-0/^/^ с, - г»з -

— р~ь,,г Кх/г' — 2р^1сх го] е-н(н-,г*).

Нетрудно показать, что при оптимальных значениях координат гй, vr0, г>?о граничные значения для сопряженных переменных р„ pVr pVtf (определяемые из условий трансверсальности) удовлетворяют следующим условиям [4, 5]

А(0) = А(2^); pVr(0) = /^(2тг); /b?(0)=/7ü?(2ir). (14)

Из условия минимума гамильтониана по V определим оптимальную программу изменения скорости истечения,

Vopt = — 2v/(pvrvr + pv?vv). (15)

Таким образом, рассматриваемая вариационная проблема сведена к краевой задаче шестого порядка, описываемой системой дифференциальных уравнений (10), (13) и граничными условиями (11), (14). Требуется выбрать начальные значения координат г0, vr0, vvo и сопряженных переменных рr0, pv^, pVip0, совпадающие с конечными значениями.

В работе[3] граничные значения координат оптимальными не выбирались и задавались в виде vr(0)=vr(2v:)=0-, vv(0)—vv(2ти)= /—1/2; г(0) = г(2я) = /- = fixe, задача сводилась к краевой задаче 3-го порядка.

Начальное приближение для отыскания оптимальных значений фазовых и сопряженных переменных найдем предположив, что для траекторий, лежащих в плоскости экватора, оптимальными являются круговые орбиты.

Для круговых орбит (vr~0, vr — 0, г = const, h — h% = r— 1), лежащих в плоскости экватора (¿ = 0), из уравнения vr — 0 имеем

= -г; = (1/г — х/г3)1^. (16)

С учетом (15) и (16) из уравнения v? = 0 находим

Pv9 = — 2v2f0 exp Н (I — r)/a0; l^pt = ajv* /0 exp Я(1 — г). (17)

В силу того что pv = const, имеем Pv9 = 0, откуда [см. (13)]

Pvr= — Зг^*/оехР[2Я(1 — г)\/2а0. (18)

Поскольку Pvr= const, то Pvr0 и из 3-го уравнения системы (13) Pr= — 2v3fJa0rexpH(r—l). (19)

Поскольку рг= const, имеем рг = 0 и из 2-го уравнения системы (13) получаем следующую зависимость для определения оптимального значения радиуса круговой орбиты аппарата с параметрами /0 и а0\

/о _ (4Hr - 1) exp [H (г - 1)]

а0 сх V3 (\Hr + 1 — or./г3 V3)

Скорость накопления рабочего вещества определится соотношением:

■ 2г/0ехр [Я(1 — г)) \2Нг + 3 — 6х/ (г2 — 7.)] /о 1 \

^ сх [\Нг + 1 — 6%/ (г2 — х)] • '

Решение краевых задач (10) — (14) для орбит с углами наклонения модифицированным методом Ньютона [6] показало, что

использование в качестве исходных значений фазовых и сопряженных переменных, определяемых соотношениями (16) —(20), обеспечивает хорошую сходимость итерационного процесса.

3. Численные результаты. Численные результаты были получены при следующих значениях параметров: е = 0,3352 X Ю-2; /г* = = 120 км; р* = 2,63 X Ю~8; // = 865; сх = 2; /=1; а0 = 0,8 X 10"3; /0 = 0,4 XI О“3.

Как показали результаты расчетов, изменение скорости истечения V, высоты к и составляющих скорости полета V,. и носит по <р периодический характер (период ©„ = ").

На фиг. 1 показаны оптимальные законы скорости истечения для орбит с различными углами наклонения 1^. Из приведенных результатов видно, что скорость истечения практически постоянна.

В работе [3] показано, что при задании граничных значений координат в виде ют(0) = V,.(2тг) = 0; V? (0) = (2тг) = г,/2 (т. е. на траек-

ториях с неоптимальными значениями параметров орбиты) оптимальный закон изменения скорости истечения носит весьма сложный характер и включает участки с реверсом тяги.

Изменение высоты полета аппарата-накопителя И.0?\. от угла <р для орбит с различными углами наклонения показано на фиг. 2. Высота полета колеблется относительно оптимальной высоты экваториальной круговой орбиты в достаточно узком диапазоне (~ 15 км).

Изменение величины накапливаемой массы в процессе движения аппарата по оптимальной орбите показано на фиг. 3. Видно, что для орбит любого наклонения накапливаемая за один оборот масса постоянна. В работе [3] получено, что при задании граничных условий в виде ч)г = 0, ‘о? = г1^, г — г0?\ на полярных орбитах накопление на 30% меньше, чем на экваториальных. Оптимальные начальные значения фазовых и сопряженных переменных для орбит различного наклонения показаны на фиг. 4.

Таким образом, результаты решения краевой задачи (10) — (14) показывают, что на оптимальных траекториях накопления средняя скорость накопления не зависит от угла наклонения плоскости

С, S

0,v

3 j

0,6

К/2

О 10 2,0 3,0 VO 4>,рад

Фиг. 3

Pr, Pvv 1,0005

0,9995

0,9985'

0,99 15

1,0 DÛ 0J9SS 0,999.

0,2

0,1

0,5 1,0

Фиг. 4

W3 Рг1 го

Р >г

Г " I *

IS I

Pvrm

0,40,

0,35

0,30

орбиты. Оптимальный закон управления тягой аппарата-накопителя на одном обороте близок к простейшему: постоянная тангенциально направленная тяга.

ЛИТЕРАТУРА

1. Demetriades S. Т. A. novel system for space flight using a propulsive fluid accumulator. I. Brit Intepl. Soc. vol. 17, N 5, 1959.

2. Гродзовский Г. JI., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета с малой тягой. М., .Наука“, 1965.

3. Цой Э. П. Выбор оптимальной программы управления тягой накопителя рабочего вещества в нестационарном режиме. Труды ЦАГИ, вып. 1145, 1968.

4. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелид-зе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов, М., Физматгиз, 1961.

5. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М., Физматгиз, 1966.

6. Исаев В. К., С о н и н В. В. Об одной модификации метода Ньютона численного решения краевых задач. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 3, № 6, 1963.

Рукопись поступила 5// 1973 г. Переработанный вариант поступил J6jX 1975 г.