Влияние сжимаемости тяжелых углеводородов на макрокинетику их разложения под действием СВЧ-излучения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.21, 535.233

ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ ТЯЖЕЛЫХ УГЛЕВОДОРОДОВ НА МАКРОКИНЕТИКУ ИХ РАЗЛОЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СВЧ-ИЗЛУЧЕНИЯ

ЧУМАКОВ Ю.А., *КНЯЗЕВА А.Г.

Институт физики прочности и материаловедения Сибирского отделения РАН, 634021, г.Томск, пр.Академический, 2/4 *Национальный исследовательский Томский политехнический университет, 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30

АННОТАЦИЯ. Разработана модель переработки высокомолекулярного углеводорода в более легкие углеводородные соединения в каталитическом реакторе, основанном на использовании частиц катализатора в качестве источника тепла за счет поглощения энергии СВЧ электромагнитного поля. Показано, что учет сжимаемости среды качественно меняет распределение температуры, концентрации, плотности и скорости реагента и продукта реакции. Проанализировано влияние сжимаемости углеводорода на время инициирования реакции. Найдены условия, при которых появляется волны сжатия и разряжения в окрестности частицы.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: разложение углеводородов, тепловое расширение, концентрационное расширение, изотермическая сжимаемость.

ВВЕДЕНИЕ

Термическое разложение углеводородов является предметом многолетнего изучения. В последние годы одним из вариантов переработки тяжелых углеводородов является каталитический крекинг при использовании в качестве источника энергии СВЧ-излучения. Суть процесса состоит в том, что смесь частиц катализатора с углеводородным сырьем в кварцевом реакторе нагревают, воздействуя на пробирку СВЧ излучением [1]. Так как частицы обладают высокой теплопроводностью, а реагент - низкой, в окрестности частиц возникают высокие градиенты температуры, следствием чего могут быть высокие локальные скорости течения, вызванные тепловым расширением вещества. Это, в свою очередь, может приводить к дополнительному перемешиванию реагентов и продуктов, к изменению условий для протекания реакций.

Интенсивность протекания подобных процессов зависит от многих факторов, главными из которых являются температура углеводорода, мольные соотношения между теплоносителем и углеводородом, состояния возбужденностей молекул, скорости протекания реакций, процессы тепломассообмена, гидродинамика. В экспериментальных исследованиях обнаружить и выявить подобные явления весьма затруднительно, поэтому для комплексного описания процесса разложение тяжелого углеводорода под действием СВЧ облучения прибегают к математическому моделированию.

Несмотря на значительное число теоретических работ [2 - 6], применимых в отдельных частных случаях массообмена реагирующих частиц с потоком, общая теория переноса вещества и тепла в дисперсных средах с учетом химических превращении далека от завершения [2]. Базовой моделью, позволяющей изучать роль различных физических факторов в макрокинетике каталитических процессов [7], является модель инициирования реакции в окрестности одиночной частицы катализатора, окруженной реагентом, приходящимся на частицу в суспензии.

В работе [5] предложена модель разложения гексадекана в окрестности одиночной частицы; было показано, что пренебрежение теплопроводностью и размерами частицы по сравнению с матрицей приводит к несколько некорректному описанию гидродинамической картины течение жидкости в точке на границе контакта "частица-матрица", поскольку условие в этом случае ставится в нуле, а не на границе. Поэтому в данной работе мы отказываемся от приближения "бесконечной малой частицы" и рассматриваем сопряженную

модель процесса разложения углеводорода под действием СВЧ облучения. Кроме того, в модели [5] не учитывалось влияние сжимаемости углеводородов на кинетику их разложения, что может быть принципиальным на стадии инициирования реакции в окрестности поглощающих частиц.

Сжимаемость жидкости (или смеси «жидкость-газ») играет важную роль в процессах течения жидкости через каналы, трубы, при обтекании препятствий различной формы, а также, фильтрационного течения сквозь пористые системы [6], что учитывается в теоретических работах различным образом. Например, учет эффекта сжимаемости при течении газированной жидкости в неоднородной гранулированной среде приводит к уменьшению расхода жидкости, а одновременный учет сжимаемости и эффективной вязкости дает минимальные значения расхода [6].

Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании модели инициирования реакции в окрестности частицы, поглощающей СВЧ излучения, находящейся в виде суспензии в реагенте. Особое внимание будет уделено влиянию сжимаемости продуктов реакции на характеристики процесса разложения высокомолекулярного углеводорода.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим задачу об инициировании разложения углеводорода в предположении, что весь комплекс химических стадий, протекающих в жидкой фазе, может быть описан суммарной схемой

Л ^ Вь + 4 .

Предположим, что частицы, находящиеся в объеме реагента, получают некоторое количество энергии от СВЧ излучения, а реагент оказывается для него прозрачным. Так как теплопроводность реагента - чрезвычайно низкая, что и создает проблему для инициирования реакции при традиционном нагреве, то можно принять, что начальная стадия процесса - инициирование реакции в окрестности каждой из частиц происходит независимо от других частиц, поэтому область реагента, приходящуюся на частицу, можно считать бесконечно большой. Предположим далее, что радиус частицы Л0 много меньше по сравнению с размером области реагента, приходящейся на частицу. За один импульс частицы, находящиеся в объеме, поглощают энергию и = q0t0, где ^ - длительность одиночного импульса, а q0=100 - 300 Вт - мощность излучения. Следовательно, за п импульсов каждая частица поглощает энергию Q0 = 3кд0п/N), где к - коэффициент поглощения, N - число частиц. В результате, объемный источник для каждой частицы можно представить в виде

^о, t < ^;

о, t > ,

q =

ti - время действия излучения.

В простейшем приближении для частицы нам требуется только уравнение теплопроводности

^ К = Ь-д{г2 о<г<Ло (1)

дt г дг ^ дг)

где Т - температура частицы, г - радиальная координата, р^с^^ - плотность, теплоемкость и коэффициент теплопроводности частицы.

Так как в этой работе нас интересует роль гидродинамики в макрокинетике разложения, возможными реакциями в порах каталитической частицы пренебрегаем.

Течение вязкой сжимаемой жидкости в окрестности частицы описывается на основе системы уравнений Навье - Стокса:

р — = -Уре + V + |дЛу + pg, (2)

Л

которые мы должны дополнить уравнением неразрывности

&Р+рУ-V = 0, (3)

(М

уравнением диффузии с источником

Р &7 = -у-J ° +ф(Г' П, (4)

уравнением энергии в форме уравнения теплопроводности

1гр

рС — = -V • Jт + Qф(T, П + оу • Vv - аТТ^ • V (5)

Ж

и уравнением состояния, которое для суммарной реакционной схемы можно представить в виде [8]

ёре = Р-1 (аТ(Т + V• V + (ав -аА)&п)• (6)

В (2) - (6) приняты следующие обозначения: V - вектор скорости, р - плотность

те V

жидкости, Т - температура, р - гидродинамическое давление; о - тензор вязких напряжений; п - степень превращения; Су - изохорная теплоемкость; ф - суммарный источник продукта вследствие реакции; ^ - поток тепла; Q- тепловой эффект реакции; ат -объемный коэффициент теплового расширения; Рт - коэффициент изотермической сжимаемости; ав, аА - коэффициенты концентрационного расширения суммарного продукта и реагента,

1 Г^О в 1

ат ; Рт = —

УVдT ) ре У

ду

ак =■

1

Г ду ^

)Т, Пк У

\дПк ) т , ре ,Л1,г * к

дре

JD - диффузионный поток, пв + ПА = 1; Пв = П •

Если жидкость несжимаемая, то условие V • V = 0 позволяет пренебречь последним слагаемым в (5) и считать плотность р некоторой известной функцией температуры и состава. В этом случае мы приходим к модели несжимаемой жидкости в приближении Обербека-Буссинеска. Такой вариант модели рассмотрен в [5].

Для жидкости, состоящей из суммарного реагента и суммарного продукта реакции поток J0 с учетом явления термодиффузии можно представить в виде

J 0 =-Б-^-Р вВ ^Т,

где Р^ - коэффициент Соре.

Источник компонента представим в виде

Ф(П, Т2 ) = ко (1 -п)ехр

Г Е Л

Еа

V ЯТ2)

где Еа - энергия активации суммарной реакции; Я - универсальная газовая постоянная; к0 - предэкспонент.

Компоненты тензора вязких напряжений связаны с компонентами тензора скоростей деформаций законом Навье-Стокса

= 2!г1} + А,в кк, ( Л

1

где £1у = 2

С учетом сферической симметрии

дуг ду.

К + . J

дхдхг

V } 1 )

V.... = -1 д г 2..., *.. = !.

г

2 дг дг

и соотношения (6) уравнения (2) - (5), справедливые для г > , принимают вид

| + 2^} -а^ТР-1 ~Г(г2к)±0-ф(л,Т2) (7)

С2Р 2

дТ2 дТ2 ■ + V- 2

дг

дг

= Л, Л -д-1 Г 2 дТ2

г2 дг I

Р

дг у

Ф+_Р _д(г2

йг г2 дг йп 1 д

г2 дг

+ ^ — (г ^ )= 0,

(8)

Г дV 1 ._,

Р 2Ы+V аГ Н_

г

а

Л

дТ

г2 Г в д!+р„в ^

I дг дг

+ Ф(т2 ,!),

+а

дп

+

(|-Рт-1)

,г 2 ^ 1+(,+|)а

дг ^ дг | дг

_1 А

г2 дг

дг дг у г где V - радиальная компонента вектора скорости жидкости.

Если среда - несжимаемая, уравнения теплопроводности и движения имеют вид

V2)

(9)

Р2су|

Р2

дТк+V дТ2

дг

1 д Г 2 дТ2 1 , Г дV

дг

г2 дг

дг

+ 2|1 — I ± 0 -ф(Л, Т2),

дТ

'дV 1

, дг дг I I дг

+а

дп

дг

+ "2

| д Гг2 ЗУ*

дг

| г

г~ дг ^

а плотность - функция температуры и состава:

Р2 ~Р0 (1 _ат (т2 _ т0 )-(а в _а а м .

В центре частицы выполняется условие симметрии, а на бесконечном удалении -справедливы условия отсутствия источников и стоков тепла и массы:

Л дТ1 дТ2 Л дп „

г = 0: —1 = 0 и г :—2 = 0, — = 0. дг дг дг

(10)

На границе между частицей и реагентом выполняется условие идеального контакта, условие отсутствия источников и стоков для концентрации и условие прилипания

г = ^0 : ^"Т1 = ^2^" < г дг

дТ1 = * дТ2 , Т1 = Т2, дп = 0, V = 0.

дг

(11)

В начальный момент времени имеем:

г = 0: Т = Т = Т0; п = 0, г > ^0, V = 0, Р2 =Р0. (12)

Заметим, что поскольку скорости в результате явлений теплового и концентрационного расширения в окрестности частицы предполагаются значительными, то в уравнении для п можем пренебречь диффузией (любой физической природы) по сравнению с конвективным переносом. Тогда приходим к уравнению кинетики:

+ V — | = ф(п, Т2 ), дг дг 1 ^ 2;

< г < ю .

(13)

В уравнении движения мы пренебрегли естественной конвекцией, связанной с действием силы тяжести, по той же причине. Но значительный градиент скорости в окрестности поглощающей частицы не позволяет пренебречь работой вязких напряжений в уравнении теплопроводности.

При решении задачи использованы справочные данные по свойствам сибунита и гексадекана [9 - 11], табл.

Таблица

Плотность и теплоемкость материалов

2

Материал Сибунит Гексадекан (С16Н34)

Плотность, р1, кг/м3 650 900

Теплоемкость, с1, Дж/(кг-К) 711 1643

Другие свойства реагента (С16Н34) [11 - 13]: Х2=0,1454 Вт/(м-К), р0=700 кг/м3, Q=227 - 480 кДж/кг, к0=109 с-1, Еа=100 кДж/(моль); Я=8,31 Дж/(моль-К), Я0=0,15 мм, ц=0,0329 м2/с.

Коэффициенты ат, рт и ак для реагента и суммарного продукта реакции неизвестны.

Для идеальных газов ат ~ Т-1 К-1, следовательно, для Т~1000 К имеем ат ~0,001 К-1. Для жидкостей эта величина существенно меньше. Например, для глицерина ат-5-10"4 К-1, для растительного масла - 9-10"4 К-1; для нефти - 0,0006 К-1 [12].

Коэффициент изотермической сжимаемости рт можно оценить по данным о средних значениях объемных модулей упругости. Так, для глицерина, керосина и авиационного бензина [14]. Ет -4464; 1275; 1305 МПа, что дает рт - 0,5^2,2 Па-1.

Для коэффициента концентрационного расширения справедлива оценка

1 -

ак -+-,

3 -г +-к

где юк - эффективный мольный объем суммарного продукта реакции; юг - реагента.

Все свойства в общем случае зависят от Т.

В результате находим: ат е[10-5 -И0-2 ] К-1, ак е[10-3 -И0-1 ] м, вт е[10-1 -И03 ] Па-1.

Задачу (7) - (13) решали численно. Дифференциальные уравнения, входящие в систему, аппроксимированы разностными, полученная система линейных алгебраических уравнений решена методом прогонки по алгоритму, описанному в [5].

Требуется исследовать динамику процесса нагрева и оценить влияние сжимаемости на макрокинетику реакции.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

Пример распределения температуры, степени превращения, плотности и скорости жидкости показаны на рис. 1 для двух различных моделей в последовательные моменты времени. Видим, что результаты отличаются весьма значительно. В случае несжимаемой среды (рисунки слева) плотность в окрестности частицы меняется незначительно, максимальные значения скорости достигаются непосредственно вблизи частицы, температура невысока, вследствие чего реакция не происходит до конца, что, в свою очередь, не дает дополнительного тепла.

Если среда - сжимаемая (рисунки справа), к тем же моментам времени происходит полное превращение реагента на границе "частица-реагент". В этом случае наблюдается интересное явление: после отключения источника СВЧ излучения область с полным превращением вещества не расширяется (как в модели несжимаемой среды), а, наоборот, сужается. Это связано с активным тепловыделением в реакции, вызывающим огромные градиенты температуры на границе контакта "частица-реагент", что вследствие теплового расширения приводит к увеличению скорости течения жидкости. Отключение источника меняет градиенты на обратный, что приводит к изменению направления течения в месте смены знака градиента. На профиле плотности появляется максимум, величина которого превышает плотность исходного смеси (имеем область сжатия); между частицей и областью сжатия формируется область разрежения, чего не наблюдалось в модели несжимаемой жидкости. Волна сжатия распространяется в сторону частицы. Полученный результат можно трактовать как образование газовой полости и начало ее схлопывания контакта "реагент-частица", зона реакции распространяется в обратном направлении (кривые 4, 5 рис. 1, б).

Заметим, что в модели несжимаемой среды в процессе поглощения СВЧ излучения частицы прогреваются равномерно. Температура в жидкости монотонно падает от частицы по направлению к исходной смеси (рис. 1, в слева). Если же мы учитываем сжимаемость жидкости, то на профилях температуры в некоторый момент времени в процессе нагрева излучением проявляется ярко выраженный перегиб, соответствующий положению зоны реакции.

р(гД),кг/м 696688680-

0.004

0.008 г,м

V(r,t),см/c 0,020

0,0150,0100,005 0,000-1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 г,

Т(гД),К 600500400300-

р(r,t),кг/м 800

0.005 0.010 0.015 0.020 г,м

а

V(r,t),см/c 0,03

0,020,010,00-

-1-1-г~

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

б

Т(гД),К 1000800600 400-1

0.000 0.006 0.012 г,м

0,000 0,006 0,012 г,м

л(гД) 0.12-1

0.06

0.00

п(гД) 0,80,40,0-

0.0012 0.0015 0.0018 г,м

0,002

0,004

г,м

Рис. 1. Распределение плотности (а) и скорости (б), температуры (в) и степени превращения (г)

в различные моменты времени (регент - гексадекан, частицы - сибунит) ¿¡=25 с (длительность СВЧ-излучения), аг=10"4 К-1, Рт=800 Па-1, ак=10-3, #0=50 Вт (мощность луча). Радиус частицы Л0=Ьмм; размер расчетной области Л=2 см. Слева - несжимаемая среда; справа - сжимаемая среда а, в, г - ¿=5 с (1); ¿=10 с (2); ¿=25 с (3); ¿=30 с (4); ¿=40 с (5); б - ¿=10 с (1); ¿=25 с (2); ¿=30 с (3); ¿=40 с (4); ¿=50 с (5)

2

г,м

в

г

На результат влияют все параметры модели, причем по-разному, для приближения сжимаемой и несжимаемой среды. Например, в зависимости от величины коэффициента теплового расширения реагента ат при одинаковом значение мощности источника СВЧ излучения реакция может быстро распространиться на прилегающую к частице область (а на границе раздела реакция происходит полностью), а может затухнуть сразу же после отключении теплового источника. Степень влияния коэффициента теплового расширения на температуру, скорость и плотность также различна (рис. 2).

При значении д0=100 Вт при варьировании ат от 10-5 до 2-10-4 К-1, если среда несжимаемая, полного превращения реагента не происходит, температура на границе раздела, и максимальная скорость жидкости монотонно растут, пока действует источник, затем падают (рис. 2, слева, а, в). Реакция не происходит до конца ни при каком ат . Если же среда полагается сжимаемой (рис. 2, справа), то полного превращения регента реакции не наблюдается только при низких значениях ат=10-5 К-1 (кривые 1 на рис. 2 справа), в остальных случаях реакция протекает полностью (на границе «частица-реагент»).

а

б

в

Рис. 2. Изменение температуры, концентрации продуктов реакции на поверхности контакта "реагент-частица" и максимальной скорости со временем #0=100 Вт. №г=240"4 К-1 (1); ат=10-4 К-1(2); ат=5-10"5 К-1 (3); аг=10-5 К-1 (4). Справа - сжимаемая среда; слева - несжимаемая среда

Активное химическое тепловыделение в зоне реакции приводит к резкому увеличению температуры на границе контакта "частица-реагент", на зависимости которой от времени появляется перегиб, типичный для процесса зажигания, а также колебания, вызванные образованием волн разряжения-сжатия, расходованием реагента и поступлением его новых порций.

Значение максимальной скорости в случае сжимаемой среды почти в 2 раза больше (рис. 2, в), чем в случае несжимаемой среды; колебания скорости аналогичны колебаниям температуры. После отключения источника температура в окрестности частицы, конечно, падает.

В качестве характеристики процесса инициирования реакции, как и в [5], удобно принять время, за которое происходит полное превращение регента реакции в продукт на границе "частица-реагент" (рис. 2, б, справа). Математически это будет выглядеть следующим образом

Ь(Яо, г)-1

<8

Эта характеристика зависит от параметров модели (рис. 3). Оказалось, что при любых значениях параметров модели, время г*, рассчитанное в модели несжимаемой среды, всегда больше, чем в модели с учетом сжимаемости среды. Увеличение коэффициента теплового расширения приводит к уменьшению г* (рис. 3, а), что связано с активным гидродинамическим перемешиванием в зоне реакции, вызывающим рост градиента температуры на границе "частица-регент". Увеличение коэффициента сжимаемости реагента приводит к противоположному результату (рис. 3, б). Варьирование коэффициента

концентрационного расширения в широком диапазоне (ак е |10-3 ^Ю-1 ^ ) слабо влияет на г* в обеих моделях (на рисунках не показано).

Цс 12-

4-

100

200

а

300 qo,Вт

Цс 1086420

100

200 б

300 q0,Вт

Рис. 3. Время инициирования реакции в зависимости от коэффициента температурного расширения: а) Рт= 800 Па-1; ак=10-3; ат=10-5 К-1 (1); ат=5-10-4 К-1 (2); ат=10-3 К-1 (3); б) ак=10-3; ат=10-3 К-1; Рт= 100 Па-1 (1); Рт= 400 Па-1 (2);. Рт= 800 Па-1 (3). Сплошные кривые - сжимаемая среда, пунктирные - несжимаемая

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

8

0

Таким образом, в работе осуществлено сравнение динамики процесса инициирования жидкофазной реакции в окрестности поглощающего включения. Показано, что учет сжимаемости среды приводит значительному изменению качественной картины развития процесса и численных значений параметров, характеризующих процесс, а именно,

- качественно меняется распределение температуры, концентрации, плотности и скорости реагента и продукта реакции;

- область разрежения, волны сжатия и разрежения в окрестности частицы (наблюдаемые в эксперименте) обнаруживается только в модели сжимаемой среды.

- время инициирования реакции в модели без учета сжимаемости среды значительно выше, чем в модели с учетом сжимаемости;

- для активации реакции и полного превращения реагента (при прочих равных условиях) в модели с учетом сжимаемости среды "требуется" гораздо меньшие

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российском Федерации, соглашение № 14.A18.21.2014.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Удалов Е.И., Болотов В.А., Танашев Ю.Ю., Черноусов Ю.Д., Пармон В.Н. Пиролиз жидкого гексадекана в условиях селективного нагрева катализатора СВЧ-излучением // Теоретическая и экспериментальная химия. 2010. T. 46, № 6. С. 370-377.

2. Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С. Массотеплообмен реагирующих частиц с потоком. М. : Наука, 1985. 336 с.

3. Дильман В.В., Полянин А.Д. Методы модельных уравнений и аналогий в химической технологии. М. : Химия, 1988. 304 с.

4. Кутепов А.М., Полянин А.Д., Запрянов З.Д., Вязьмин А.В., Казенин Д.А. Химическая гидродинамика : справочное пособие. М. : Квантум, 1996. 336 с.

5. Чумакова Ю.А., Князева А.Г. Роль теплового расширения в разложении углеводородов в окрестности горячей частицы // Химическая физика и мезоскопия. 2012. Т. 14, № 2. С. 195-205.

6. Гаврилов А.В., Ширко И.В. Течение жидкости в неоднородной гранулированной среде // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74, № 3. С. 375-390.

7. Сеттерфилд Ч. Практический курс гетерогенного катализа / пер. с англ. М. : Мир, 1984. 520 с.

8. Князева А.Г. Термодинамическая модель вязкого теплопроводного газа и ее приложение к моделированию процессов горения // В сб. «Математическое моделирование систем и процессов», 2006. Вып. 14. С. 92-108.

9. Базаров И.П. Термодинамика. М. : Высшая школа, 1991. 376 с.

10. ГОСТ 8.610-2004. Государственная система обеспечения единства измерений. Плотность нефти. Таблица измерений.

11. Варграфтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М. : Наука, 1972. 720 с.

12. Бабичев А.П., Бабушкина Н.А., Братковский А.М. и др. Физические величины : справочник / под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М. : Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

13. Вильнер Я.М., Ковалев Я.Т., Некрасов Б.Б. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам. М. : Высшая школа, 1976. 416 с.

THE INFLUENCE OF HEAVY HYDROCARBONS COMPRESSIBILITY ON THE MACROKINETICS OF ONES DECOMPOSITION UNDER THE MICROWAVE RADIATION

Chumakov Yu.A., *Knyazeva A.G.

Scientific Research Institution - Institute of Strength Physics and Materials Science of the Siberian Branch of the

Russian Academy of Sciences, Tomsk, Russia

*National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russia

SUMMARY. The model of high-molecular hydrocarbon processing to light hydrocarbon compounds in catalytic reactor was developed. Microwave energy of electromagnetic field is used in catalytic reactor for catalyst particles heating which were heat sources. Medium compressibility was shown affect the distribution of temperature, concentration, density, reactant and product flow velocities. The hydrocarbon compressibility influence on time of the reaction initiation was analyzed. The condition of the appearance of compression and dilatation waves near the particle was found.

KEYWORDS: hydrocarbon decomposition, thermal expansion, concentration expansion, isothermal compressibility.

Чумаков Юрий Александрович, кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, e-mail: yura014@rambler.ru

Князева Анна Георгиевна, доктор физико-математических наук, профессор, зав. лабораторией НИ ТПУ, e-mail: anna@ispms.tsc.ru