Влияние силы трения в контакте на напряжённое состояние в галтели прямых зубьев эвольвентных зубчатых передач Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.83

ВЛИЯНИЕ СИЛЫ ТРЕНИЯ В КОНТАКТЕ НА НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ В ГАЛТЕЛИ ПРЯМЫХ ЗУБЬЕВ ЭВОЛЬВЕНТНЫХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ

© 2011 г. В.И. Короткин , Е.М. Колосова , Н.П. Онишков

*НИИ механики и прикладной математики 'Research Institute of Mechanics and Applied

им. И.И. Воровича ЮФУ, г. Ростов-на-Дону Mathematics of Southern Federal University

Ростовский государственный строительный университет Rostov State Building University

Приведены универсальные инженерные зависимости, позволяющие уточнить расчёт на изгиб прямых немодифицированных и бочкообразных зубьев эвольвентных зубчатых передач с учётом действия сил трения в контакте. Зависимости получены как результат моделирования в среде ANSYS напряжённого состояния в галтели зубьев.

Ключевые слова: эвольвентные зубчатые колёса; прямой зуб; бочкообразный зуб; напряжение изгиба; сила трения.

The article presents the universal dependence of engineering, allowing to specify the calculation of the bending straight unmodified and barrel-shaped teeth of involute gears, taking into account the forces of friction in the contact. Dependencies were obtained as a result of modeling in ANSYS stress state in the fillet of the teeth.

Keywords: involute gears; straight tooth; barrel-shaped tooth; bending stress; the frictional force.

Известно [1], что в процессе работы зубчатой передачи между взаимодействующими зубьями во всех фазах зацепления (кроме зацепления в полюсной линии) возникает скольжение, переменная скорость которого определяется векторами окружных скоростей точек профилей зубьев, принадлежащих сопряжённым колёсам зубчатой пары. Это скольжение порождает трение, сила которого считается пропорциональной нормальному давлению, при этом коэффициентом пропорциональности служит коэффициент трения [2]. Величина последнего зависит от многих параметров - вида материала зубьев, чистоты обработки их рабочих поверхностей, наличия смазки и т.д.

Трение влияет на напряжённо-деформированное состояние зубьев, причём не только в области контакта, вызывая перераспределение контактных напряжений, но и в области переходной зоны (галтели) зубьев, воздействуя также на изгибные напряжения.

Большинство расчётных методик по зубчатым передачам либо не учитывают фактор трения, либо учитывают его чисто эмпирически [3]. Попытка аналитического решения контактной задачи с учётом трения применительно, в частности, к условиям работы зубчатых передач Новикова предпринята в работе [4] с принятием ряда допущений и упрощений.

При решении контактных задач сила трения проявляет себя как тангенциальная нагрузка, распределённая по площадке контакта по тому же закону, что и нормальная сила (по причине их пропорциональности).

Для сосредоточенных сил в плоском и объёмном случаях тангенциальная сила (трения) может рассматриваться как некая дополнительная боковая сила, перпендикулярная полюсной линии передачи и могущая иметь в процессе зацепления два противоположных направления.

В данной статье дан анализ влияния силы трения в контакте на растягивающие (изгибающие) напряжения в галтели прямых зубьев цилиндрических эволь-вентных зубчатых передач, включая зубья с продольной модификацией поверхностей (бочкообразные).

Задача решалась с помощью моделирования в среде ANSYS при следующих условиях:

1. Вектор силы Fт трения перпендикулярен вектору силы Fn нормального давления и расположен в

плоскости, касательной к поверхности зуба в рассматриваемой точке.

2. Вектор силы трения при работе зубчатых передач может иметь два направления - либо во внешнюю сторону (от оси колеса), способствуя растяжению галтели зуба (это направление будем в дальнейшем считать положительным, а силу трения обозначать + Fт), либо во внутреннюю сторону (к оси колеса), способствуя сжатию галтели зуба (это направление будем в дальнейшем считать отрицательным, а силу трения обозначать соответственно - Fт).

3. Коэффициент трения f на всей области контакта остаётся постоянной величиной, являясь коэффициентом пропорциональности между нормальными и касательными силами (Кулоново трение), т.е. f = Fx /Fn .

Поскольку, как показали исследования, сила трения не влияет на продольную протяжённость площадки контакта, её влияние на напряжения в галтели зуба происходит исключительно через коэффициент формы зуба, определение которого подробно рассмотрено в работе [5].

Рассмотрим сперва плоский случай, характерный для традиционных (немодифицированных) прямых зубьев.

На рис. 1 показана апробированная модель зуба, взятая из работы [5], на которую действуют одновременно силы Fn и + Fт, а в табл. 1 представлены результаты моделирования напряжённого состояния в галтели зуба с целью получения плоского коэффициента YFSf формы зуба при различных геометрических

параметрах и значениях коэффициента f трения. (Здесь и далее обозначим: YFS, YFSf - плоский коэффициент формы зуба соответственно при отсутствии и наличии силы трения).

F„=seca \ <

ГFx = Ft sec a(cos 9 + f sin 8); = -Ft seca(sin9 + f cos9),

(1)

/•777777777777777777777777777777777

Рис. 1. Расчётная модель зуба для решения плоской задачи изгиба с боковой силой (трения): аЬ - рабочий участок (эвольвента), Ьс - галтель

При введении боковой силы Fт использовались

следующие проекции нормальной и боковой сил в системе координат хОу (рис. 1):

где а - угол профиля исходного контура, Ft - окружная сила, 6 - угол действия силы, зависящий от параметров зуба [5].

В формуле (1) и в остальных помещённых ниже формулах верхние знаки соответствуют положительному, а нижние - отрицательному направлению вектора силы Fт.

Нетрудно убедиться, что при рассмотрении из-гибных напряжений в галтели зуба положительное направление боковой силы (+ Fт) увеличивает растягивающую и уменьшает сжимающую составляющие суммарного усилия (1), следовательно, увеличивает общее напряжённое состояние в галтели. Отрицательное направление боковой силы (- Fт) действует противоположным образом. Поэтому для задач по изгибу имеет смысл рассматривать только «неблагоприятный» случай, т.е. с силой + Fт.

Таблица 1

Значения плоских коэффициентов YFSf формы зубьев при стандартном исходном контуре по ГОСТ 13755-81 и различных коэффициентах / трения (сила +FT)

№ п/п Число зубьев г Смещен. исх. конт. x YFSf

f = 0 f = 0,05 f = 0,07 f = 0,1

1 30 -0,5 4,69 4,90 4,98 5,11

2 40 4,28 4,47 4,55 4,66

3 60 3,95 4,12 4,18 4,29

4 25 -0,2 4,34 4,56 4,64 4,77

5 30 4,16 4,36 4,44 4,56

6 40 3,95 4,13 4,21 4,32

7 60 3,77 3,94 4,01 4,11

8 17 0 4,39 4,63 4,72 4,87

9 20 4,21 4,43 4,52 4,66

10 25 4,03 4,23 4,31 4,44

11 30 3,92 4,11 4,19 4,31

12 40 3,78 3,96 4,03 4,14

13 60 3,69 3,85 3,92 4,02

14 14 +0,2 4,13 4,38 4,48 4,63

15 17 3,99 4,21 4,31 4,44

16 20 3,89 4,10 4,18 4,31

17 25 3,80 4,00 4,08 4,20

18 30 3,73 3,92 4,00 4,11

19 40 3,67 3,85 3,92 4,03

20 60 3,62 3,78 3,85 3,95

21 12 +0,5 3,65 3,89 3,98 4,13

22 17 3,56 3,77 3,86 3,99

23 20 3,54 3,75 3,83 3,95

24 25 3,52 3,71 3,79 3,90

25 30 3,52 3,70 3,78 3,89

26 40 3,51 3,69 3,75 3,86

27 60 3,52 3,69 3,75 3,85

28 12 +0,8 3,18 3,39 3,48 3,60

29 20 3,25 3,43 3,51 3,62

а б

Рис. 2. Компьютерные графики распределения вдоль галтели зуба YES (а) и YESf при f = 0,1 (б) для примера № 5 из табл. 1

На рис. 2 представлены компьютерные графики распределения вдоль галтели зуба плоских коэффициентов YFS (f = 0) и YFSf (f = 0,1) для примера № 5

из табл. 1.

Из графиков видно, что наличие трения не смещает область максимальных изгибных напряжений по галтели зуба.

Обработка полученных результатов (включая не приведенные здесь результаты расчёта при отрицательном направлении силы Fт) позволила установить простую линейную (с погрешностью до 3 %) связь между исследуемыми параметрами в виде, весьма удобном для инженерных расчётов:

Ypsf = Yfs (1 ± f).

(2)

Покажем, что формула (2) носит достаточно универсальный характер и пригодна для зубьев не только со стандартным (по ГОСТ 13755-81), но и другими исходными контурами. В качестве последних рассмотрим получившие применение исходные контуры, параметры которых опубликованы, в частности, в работе [6] - см. табл. 2.

Таблица 2

Значения параметров а, с°, г* для стандартного (ГОСТ 13755-81) и нестандартных исходных контуров а > 20», /*=1 [6]

Исходный контур а, град, со* rf

По ГОСТ 13755-81 20 0,25 0,38

Нестандартный № 1 20 0,29509 0,44847

№ 2 22 0,25724 0,41132

№ 3 25 0,20328 0,35208

№ 4 27 0,16844 0,30850

№ 5 28 0,15243 0,28732

№ 6 30 0,12012 0,24023

галтели зуба, У0 - делительная высота головки зуба. (Звёздочка указывает на отношение параметра к модулю).

Эти исходные контуры предназначены для повышения нагрузочной способности зубчатых передач, работающих без смещения (х = 0), при этом контактная прочность увеличивается за счёт повышенного угла профиля зуба, а изгибная - за счёт расширения его основания.

В табл. 3 приведены результаты расчёта YFS у = 0) для различных исходных контуров, что наглядно иллюстрируется графиками на рис. 3, а в табл. 4 приведены соответственно результаты расчёта YFSf для

этих исходных контуров при различных f .

Таблица 3

Значения коэффициентов YFS формы зуба для зубчатых колёс с различными исходными контурами (сила +FT)

z Исходный контур

По ГОСТ 13755-81 № 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6

8 - - - - - - 4,51

9 - - - - - 4,44 4,21

10 - - - - 4,31 4,20 3,99

12 - - - 4,20 3,98 3,87 3,68

14 - - - 3,96 3,76 3,66 3,49

15 - - 4,22 3,88 3,67 3,58 3,42

17 4,39 4,32 4,07 3,73 3,54 3,46 3,30

20 4,21 4,13 3,90 3,59 3,41 3,33 3,17

25 4,03 3,94 3,72 3,43 3,27 3,19 3,03

30 3,92 3,83 3,62 3,34 3,17 3,09 2,94

40 3,78 3,71 3,50 3,22 3,06 2,98 2,84

60 3,69 3,59 3,39 3,11 2,95 2,87 2,73

Параметры означают: а - угол профиля исходного контура, с0 - радиальный зазор в паре, гу - радиус

С помощью численного сопоставления результатов таблиц 3 и 4 нетрудно убедиться, что формула (2) пригодна для всех рассмотренных исходных контуров.

Таблица 4

Значения коэффициентов YFSf формы зуба для нестандартных исходных контуров при различных коэффициентах / трения (сила + FT)

z Исходный контур

№ 1 | № 2 | № 3 | № 4 | № 5 | № 6

Коэффициент / трения

0,05 | 0,1 0,05 | 0,1 0,05 | 0,1 0,05 | 0,1 0,05 | 0,1 0,05 0,1

8 - - - - - 4,84 5,17

9 - - - - 4,74 5,05 4,51 4,81

10 - - - 4,60 4,89 4,48 4,77 4,26 4,54

12 - - 4,46 4,73 4,23 4,49 4,12 4,37 3,93 4,18

14 - - 4,20 4,44 3,99 4,22 3,89 4,13 3,71 3,94

15 - 4,46 4,70 4,11 4,34 3,90 4,12 3,80 4,03 3,63 3,85

17 4,56 4,80 4,30 4,53 3,95 4,17 3,76 3,97 3,67 3,88 3,50 3,71

20 4,35 4,57 4,11 4,32 3,79 4,00 3,61 3,80 3,52 3,72 3,36 3,55

25 4,14 4,35 3,92 4,11 3,61 3,80 3,45 3,63 3,37 3,55 3,21 3,39

30 4,02 4,21 3,81 3,99 3,52 3,69 3,35 3,52 3,26 3,43 3,11 3,27

40 3,88 4,06 3,67 3,84 3,39 3,55 3,22 3,38 3,14 3,30 2,99 3,15

60 3,75 3,91 3,55 3,70 3,27 3,42 3,10 3,25 3,02 3,17 2,87 3,02

Перейдём к рассмотрению объёмной задачи изгиба зуба под действием сосредоточенных сил Fn и + Fт (рис. 4), проекции которых в системе координат Охуг соответствуют (1), а Fz = 0. Этот случай характерен для бочкообразных зубьев, работающих с локальным контактом.

Рис. 3. Графики для определения в зависимости от числа г зубьев зубчатого колеса (при х = 0). Цифры на графиках соответствуют номеру исходного контура по табл. 2, цифра «0» соответствует стандартному исходному контуру

Рис. 4. Расчётная модель зуба для решения объёмной задачи изгиба с боковой силой (трения)

Результаты расчётов представлены в табл. 5.

На рис. 5 представлены компьютерные графики распределения вдоль галтели зуба УУе / = 0) и УУе/ / = 0,1) для примера № 9 из табл. 5, а на рис. 6

представлены компьютерные графики распределения вдоль длины зуба УУе и Уу/ для того же примера. Как и

в плоском случае, наличие силы трения не смещает максимума напряжений в галтели, а также не меняет характера распределения напряжений вдоль длины зуба.

Обработка полученных результатов позволила установить также линейную (с погрешностью до 3 %) связь между исследуемыми параметрами в следующем виде:

Ууе/ = Ууе (1 +1,3/). (3)

Здесь УУе, Ууе/ - приведенный объёмный коэффициент формы зуба соответственно при отсутствии силы трения и при её наличии.

Подобно рассмотренному выше плоскому случаю покажем, что формула (3) носит достаточно универсальный характер и пригодна для зубьев не только со стандартным, но и другими исходными контурами (см. табл. 2).

В табл. 6 приведены результаты расчёта УУе для различных исходных контуров, что наглядно иллюстрируется графиками на рис. 7, а в табл. 7 приведены соответственно результаты расчёта УУе/ для этих исходных контуров.

С помощью численного сопоставления результатов табл. 6 и 7 можно убедиться в справедливости формулы (3) для всех рассмотренных исходных контуров.

Выполненное исследование позволяет сделать следующие выводы и дать практические рекомендации.

1. Наличие трения приводит к изменению величины коэффициента формы зуба и, следовательно, величины изгибных напряжений в галтели зуба в зависимости от направления силы трения. Наиболее неблагоприятным, увеличивающим напряжённость, является случай направления силы трения во внешнюю сторону, т.е. в сторону от оси зубчатого колеса.

Таблица 5

Значения коэффициентов YVe/ формы зубьев при исходном контуре по ГОСТ 13755-81 и различных коэффициентах / трения (сила + FT)

№ п/п Число зубьев г Смещен. исх. конт. х YVef

f = 0 f = 0,05 f = 0,07 f = 0,1

1 30 -0,5 1,037 1,103 1,127 1,151

2 40 0,953 1,011 1,032 1,063

3 60 0,889 0,945 0,966 0,987

4 25 -0,2 0,937 0,996 1,018 1,050

5 30 0,906 0,959 0,980 1,012

6 40 0,876 0,931 0,952 0,973

7 60 0,849 0,903 0,923 0,939

8 17 0 0,885 0,941 0,962 1,003

9 20 0,875 0,930 0,951 0,987

10 25 0,868 0,922 0,944 0,976

11 30 0,856 0,910 0,930 0,958

12 40 0,838 0,891 0,911 0,933

13 60 0,819 0,871 0,890 0,906

14 14 +0,2 0,832 0,885 0,904 0,959

15 17 0,824 0,876 0,895 0,937

16 20 0,815 0,867 0,886 0,922

17 25 0,819 0,871 0,892 0,923

18 30 0,815 0,867 0,886 0,914

19 40 0,807 0,858 0,877 0,900

20 60 0,806 0,857 0,876 0,894

21 12 +0,5 0,764 0,812 0,830 0,884

22 17 0,768 0,817 0,835 0,879

23 20 0,772 0,824 0,845 0,876

24 25 0,776 0,825 0,843 0,876

25 30 0,776 0,826 0,844 0,877

26 40 0,779 0,828 0,847 0,871

27 60 0,791 0,841 0,860 0,879

28 12 +0,8 0,721 0,767 0,783 0,832

29 20 0,739 0,788 0,808 0,838

.№1

.т .ил

.636

.«3 ,352

.21 .т

.166 .372 558 .7« .525

• GM .27$ ла .611 .ВЭТ

рЬ-1.028 Yve-.SIb teta-29.512 lnt-4.152 m-1 PO. 5 i-0 z-20 al-20 x-D

.Kl ,979 .798 .717

Е.Й.

,393 .312 -Ж .15

0 .IM .375 .SM .7« .525

.093 .279 .465 .651 .637

ffr-1.027 Yvs".381 teta-29.512 int-4.594 m-1 P-0.5 f-0.1 2-20 al-20 x-0

б

Рис. 5. Компьютерные графики распределения вдоль галтели зуба YVe (а) и YVef при у = 0,1 (б) для примера № 9 из табл. 5

а

2. Связь между приведенными коэффициентами формы зуба при наличии и отсутствии трения (боковой силы) как в плоском, так и в объёмном случае близка к линейной, причём в первом случае она удов-

летворительно описывается формулой (2), во втором случае - формулой (3). Данные формулы удобны в практических расчётах для учёта влияния трения на изгибные напряжения.

Таблица 6

Значения коэффициентов YVe формы зуба для зубчатых колёс с различными исходными контурами (сила +FT)

z Исходный контур

По ГОСТ 13755-81 № 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6

8 - - - - - - 0,924

9 - - - - - 0,900 0,895

10 - - - - 0,897 0,879 0,863

12 - - - 0,872 0,857 0,846 0,831

14 - - - 0,850 0,824 0,816 0,801

15 - - 0,876 0,838 0,823 0,809 0,792

17 0,885 0,887 0,851 0,819 0,804 0,794 0,769

20 0,875 0,857 0,841 0,808 0,777 0,771 0,755

25 0,868 0,850 0,824 0,782 0,762 0,752 0,731

30 0,856 0,831 0,808 0,766 0,744 0,735 0,717

40 0,838 0,816 0,783 0,754 0,729 0,714 0,692

60 0,819 0,807 0,776 0,721 0,704 0,683 0,672

3. Наличие трения не смещает область максимальных изгибных напряжений по галтели зуба.

4. Показано, что при нулевых смещениях исходного контура зубчатые передачи с нестандартными контурами имеют по изгибной прочности преимущество по сравнению с передачами стандартного контура, увеличивающееся с ростом угла профиля зуба, причем для плоского случая это преимущество выражено сильнее.

5. Связь между приведенными коэффициентами формы зуба при наличии и отсутствии трения (боковой силы) как в плоском, так и в объёмном случае для зубьев с нестандартными контурами может быть описана теми же полученными универсальными формулами (2) и (3), что и для зубьев со стандартным контуром.

Таблица 7

Значения коэффициентов YVef формы зуба для нестандартных исходных контуров и при различных коэффициентах / трения (сила + FT)

z Исходный контур

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6

Коэффициент / трения

0,05 0,1 0,05 0,1 0,05 0,1 0,05 0,1 0,05 0,1 0,05 0,1

8 - - - - - 0,985 1,047

9 - - - - 0,960 1,020 0,954 1,014

10 - - - 0,957 1,016 0,937 0,996 0,934 1,005

12 - - 0,930 0,988 0,924 0,991 0,902 0,958 0,886 0,941

14 - - 0,906 0,963 0,879 0,933 0,877 0,937 0,854 0,907

15 - 0,934 0,992 0,898 0,958 0,878 0,930 0,863 0,916 0,845 0,897

17 0,946 1,005 0,909 0,967 0,873 0,928 0,857 0,911 0,847 0,899 0,820 0,871

20 0,911 0,966 0,897 0,953 0,862 0,915 0,829 0,880 0,822 0,873 0,805 0,855

25 0,906 0,963 0,879 0,933 0,834 0,886 0,813 0,863 0,802 0,852 0,779 0,828

30 0,886 0,941 0,862 0,915 0,817 0,868 0,791 0,839 0,784 0,833 0,765 0,812

40 0,866 0,914 0,835 0,887 0,799 0,844 0,777 0,826 0,757 0,801 0,738 0,784

60 0,861 0,910 0,818 0,861 0,769 0,817 0,751 0,798 0,728 0,774 0,712 0,752

вы N

617 533 455

4

222 141 064

961

.69 т

т

156 067

.028 Yve=.875 teta-29.S12 int-4.152 M.S f-0 z-20 al-20 к-0

Eii-1.027 Yve-.987 teta-29.512 int-4.594 Jt^l P-0.5 £-0.1 z-20 al-20 №0

б

Рис. 6. Компьютерные графики распределения вдоль длины зуба 7уе (а) и при / = 0,1 (б) для примера № 9 из табл. 5

а

Рис. 7. Графики для определения У¥е в зависимости от числа г зубьев зубчатого колеса (при х = 0). Цифры на графиках соответствуют номеру исходного контура по табл. 2, цифра «0» соответствует стандартному исходному контуру

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 10-08-00031.

Литература

1. Кудрявцев В.Н., Державец Ю.А., Глухарев Е.Г. Конструкции и расчет зубчатых редукторов : справочное пособие. Л., 1971. 328 с.

2. Гришко В.А. Повышение износостойкости зубчатых передач. М., 1977. 232 с.

3. Часовников Л.Д. Передачи зацеплением (зубчатые и червячные). 2-е изд. перераб. и доп. М., 1969. 486 с.

4. Короткий В.И., Пожарский Д.А. Влияние трения на контактную прочность и адаптационную способность зубчатых передач Новикова // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2000. № 3. С. 58 - 65.

5. Короткий В.И., Колосова Е.М., Сухов Д.Ю. Коэффициент формы зуба при расчёте на изломную прочность цилиндрических эвольвентных зубчатых колёс, работающих в условиях локального контакта // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Технические науки. 2009. № 5. С. 78 - 84.

6. Вулгаков Э.Б. Зубчатые передачи модифицированного исходного реечного контура. М., 1962. 100 с.

Поступила в редакцию

Короткин Виктор Ильич - канд. техн. наук, доцент, института механики и прикладной математики им. И.И. Тел. (863)2-97-52-23. E-mail: korotkin@math.rsu.ru

28 февраля 2011 г.

заведующий лабораторией научно-исследовательского Воровича, Южный Федеральный университет. 344090,

Колосова Елена Михайловна - канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник, НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета Тел. (863)297-52-55. E-mail: ekolosova@sfedu.ru

Онишков Николай Петрович, кандидат технических наук, доцент Ростовского государственного строительного университета.

Korotkin Viktor Iljich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, head of Laboratory, Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University. Ph. (863)2-97-52-23. E-mail: korotkin@math.rsu.ru

Kolosova Elena Mikhailovna - Candidate of Science in Physics and Mathematics, Research Fellow, Vorovich Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University. Ph. (863)297-52-55. E-mail: ekolosova@sfedu.ru

Onishkov Nikolay Petrovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Rostov State Building University.