ВЛИЯНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ТЕЛ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ЕЕ ДВИЖЕНИЕ В ДИССИПАТИВНОЙ СРЕДЕ И ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕТРОЛОГИЯ И МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

УДК 531.231

DOI 10.33764/2411-1759-2022-27-5-183-202

Влияние сил инерции взаимодействующих тел механической системы на ее движение в диссипативной среде и особенности движения

С. В. Савелъкаев1 *

1 Сибирский государственный университет геосистем и технологий, г. Новосибирск,

Российская Федерация * e-mail: sergei.savelkaev@yandex.ru

Аннотация. В настоящее время силы инерции рассматривают с различных точек зрения. Одни считают их фиктивными, другие - реальными, то есть способными влиять на движение взаимодействующих тел механической системы. Сторонники последней точки зрения, например, В. Н. Толчин, разработавший в 1930-е гг. движитель (инерциоид), и Г. И. Шипов, создавший «Теорию физического вакуума» (1993 г.) в его интерпретации «Парадигма», которая якобы обосновывает возможность направленного движения инерциоида за счет сил инерции его внутренних тел в пространстве без взаимодействия опорного тела (основания) с внешней средой. Несостоятельность этой парадигмы доказана испытаниями инерцоида в космосе (2010 г.). В настоящей статье проведен динамический анализ трехмассовой механической системы типа «инерциоид». Целью анализа является исследование влияния сил инерции внутренних тел механической системы, взаимодействующих с ее опорным телом, на движение этой механической системы в диссипативной среде с линейным вязким сопротивлением. Получено уравнение ее движения с учетом сил инерции ее внутренних тел. На основе моделирования движения механической системы установлено, что величина смещения ее центра масс в широком диапазоне значений сопротивления среды остается постоянной, что не противоречит современным представлениям о периодических движениях двухмассовых систем. На основе математического моделирования в рамках предложенной математической модели численными методами определено пороговое значение сопротивления среды, ниже которого смещение его центра масс невозможно. Показано, что смещение центра масс механической системы обусловлено разностью фаз периодического движения его внутренних тел и опорного тела, зависящей от сопротивления среды движению опорного тела. Согласно полученным результатам, силы инерции являются реальными и способны совершать направленное эффективное движение механической системы в среде с малым сопротивлением. В среде с нулевым сопротивлением смещение центра масс невозможно. Кроме того, на основе полученной математической модели выведено измерительное уравнение, обеспечивающее косвенное измерение сопротивления внешней среды в зависимости от величины измеряемой амплитуды колебания основания механической системы, которое может иметь различную форму и размеры. Такое измерение точнее и проще метода Стокса, основанного на гидродинамических методах.

Ключевые слова: инерциоид, уравнение движения, диссипативная среда, вязкое сопротивление, пороговое значение сопротивления, угол диссипативных потерь, смещение центра масс

Введение

В настоящее время силы инерции Ф (Даламбера, Кориолиса и др.) рассматривают с различных точек зрения [1-4]. Например, согласно одной из них, силы инерции Ф взаимодействующих тел МС рассматривают как фиктивные, условные, введенные для того, чтобы сов-

местно с аксиомой связей придать уравнению Ньютона та = Г наиболее удобную форму равновесия в виде принципа Даламбера Ф + Г + Я = 0 . При этом уравнение движения механической системы (МС) взаимодействующих тел записывают в виде

= 41 тч = £Г, 0)

аХ аХ I I

где т = £ тг и т1 - суммарная масса МС и масса ее г -го тела; ус = £ тгУг / т и Ц - скорость

г г

ее центра масс (ЦМ) С и ее г -го тела; £ Г - главный вектор внешних сил Г, каждая из

г

которых независимо действует на г -е тело т1 МС.

Согласно другой точке зрения силы инерции внутренних тел МС, взаимодействующих с ее опорным телом (основанием), влияют на ее движение [2-4]. Для такой точки зрения уравнение движения МС (1) требует уточнения.

Целью работы является исследование влияния сил инерции внутренних тел МС на ее движение в диссипативной среде с линейным вязким сопротивлением.

Объект исследования

На рис. 1, а показана МС из трех взаимодействующих тел (МС3) типа инерциоид Толчина [2]. МС3 снабжена двумя рабочими (ускоряемыми) телами с равными массами т2. Эти тела

посредством идеальных стержней с длиной Я шарнирно закреплены на опорном (ускоряющем) теле, имеющем массу т1, с возможностью их вращательного перемещения в его плоскости. В момент времени Х = 0 рабочие тела т2 находятся в положении , а опорное тело т1 - в положении хц. Коэффициент сопротивления диссипативной среды движению опорного тела т1 составляет ц. Он зависит от геометрической формы и размеров этого тела. Для рабочих тел т2 он составляет ц2 = 0.

Рис. 1. Кинематическая схема МС: а) трехмассовой; б) двухмассовой

Для проведения динамического анализа МС3 введем неподвижную систему отсчета K, начало координат которой свяжем с начальным положением Хц опорного тела ^ в момент

времени t = 0, а также собственную систему K1 опорного тела ^, которая вместе с ним может совершать поступательное движение вдоль оси x системы отсчета K по траектории ^ (на рис. 1, а выделена жирной линией). Рабочие тела m2 при t + At совершают встречное вращательное движение в плоскости опорного тела ^ по траекториям из положения Х21 в положение Х22 на угол ф21 = ±п (где знак «+»для верхнего и «-» для нижнего рабочих тел m2) с угловой скоростью ±©21 = c°nst, которая поддерживается постоянной внутренним уравновешенным моментом M = ±M21, действующим на опорном теле ^ .

Для проведения динамического анализа преобразуем МС3 в эквивалентную МС, состоящую из двух взаимодействующих тел - опорного ^ и рабочего m 2 (МС2 на рис. 1, б), где

масса рабочего тела m2 = 2m2 определена через суммарную массу рабочих тел m2 МС3. Переход к одному рабочему телу с массой mm справедлив для симметричного распределения масс рабочих тел m2 МС3 относительно оси x системы отсчета K, что выполняется, когда угловые скорости |©21 | верхнего и нижнего рабочих тел m2 МС3 для любых 0 <| ф21|< п равны по модулю между собой. Полагаем, что угловая скорость ©21 вращательного движения рабочего тела m2 МС2 (как и рабочих тел m2 МС3) в системе отсчета K1 постоянна ©21 = const.

В общем случае радиусы-векторы, определяющие положение опорного m1 и рабочего m2 тел МС2 (см. рис. 1, б) в системе отсчета K, а также координаты и абсолютные скорости в проекциях на оси Х и Х этой же системы отсчета K можно выразить в виде:

А = rc ,0 + Ac ,o ; r2 = Ac ,0 + r2c ,0 = A + R; (2)

xx1 = Xc,0 + X1c,0; У1 = Ус O + У1С,0; X2 = -x1 - R©21 sin Ф21; У2 = У1 + R©21 cos Ф21,

где Aco - радиус-вектор, определяющий положение начала координат собственной системы отсчета Kc ЦМ c (Ac при Ц1 = 0) или начала координат собственной системы отсчета Ko центра O инерционного домена (ИД) [5] (Ао при Ц1 Ф 0) в системе отсчета K, физический смысл которого будет раскрыт ниже; Ajco и A^c о - радиусы-векторы, определяющие положение опорного m1 и рабочего m2 тел в системе отсчета Kc (AJc и A>c при Щ = 0 на рис. 1, б не показаны), а также системе отсчета Ko ( Ao и A>o при Ц1 Ф 0 ); Xoc - переносные скорости систем отсчета Ko и Kc в системе отсчета K, определяющиеся начальными условиями взаимодействия рабочего m1 и опорного mm тел, собственными параметрами МС2 и величиной р_1, что будет подробно рассмотрено ниже; Х^о и y1co - скорость опорного тела m1 в системе отсчета Kc (при = 0) или системе отсчета Ko (при Ц1 Ф 0 ); R©21 - относительная скорость рабочего тела в собственной системе отсчета K1 опорного тела m1.

Для упрощения динамического анализа первоначально предположим, что ЦМ c и центр О ИД покоятся в системе отсчета K - Aco = dAcо /dt = 0.

В среде без потерь, когда Ц1 = 0, опорное тело m1 будет совершать вращательное движение относительно ЦМ С МС2, а рабочее тело mm относительно опорного тела m1 по общей

траектории 5 (общей при т1 = ) в виде окружности, которая показана штрих-пунктиром на рис. 1, б. В отличие от МС2, рабочие тела т2 МС3 при ц = 0 будут совершать вращательное движение относительно ЦМ С в системе отсчета Кс по траектории в виде эллипса ^ , а опорное тело т1 вдоль оси х этой системы отсчета Кс по траектории 51, которые показаны на рис. 1, а штрих-пунктиром.

Согласно рис. 1, б, фаза ф1с вращательного движения рабочего тела т1 в системе отсчета

Кс ЦМ С МС2 связана с фазой вращательного движения рабочего тела в системе отсчета К1 преобразованием

Ф1С = Ф21 + Ф, (3)

где ф = п - угол запаздывания ф = Ф1С - Ф21 фазы Ф1С вращательного движения опорного тела т1 относительно фазы Ф21 вращательного движения рабочего тела в среде без потерь.

Для случая Ф 0 опорное т1 и рабочее тела будут совершать вращательное движение в системе отсчета К0 центра О инерционного домена (ИД), образованного этими взаимодействующими телами, которые движутся по окружностям 51 и 52, как показано на рис. 1, б. Здесь фаза Фю вращательного движения рабочего тела т1 в системе отсчета Ко центра О ИД связана с фазой вращательного движения рабочего тела в системе отсчета К1 преобразованием аналогичного (3) вида

Ф1О = Ф21 + Ф, (4)

где Ф = п + 8 и в - угол диссипативного запаздывания [3, 5-7], учитывающий влияние действия на опорное тело т1 диссипативной силы

Г1 = —1Л, (5)

где = УЮс - скорость опорного тела т1 в системе отсчета К (при ГСо = Отсо / 4 = 0). Методика определения угла в и координат хо, Уо центра О ИД, его скорости \о и скорости ^с ЦМ с в системе отсчета К подробно рассмотрена ниже.

С учетом (4) положения опорного тела т1 МС2 (см. рис. 1, б) в системе отсчета Ко можно определить выражениями:

х1о = А1 Ф1о = А1 сте(Ф21 + Ф) = А1 С^(Ф21 + п + в) = - А1 СОЗ(Ф21 + 8);

(6)

У1о = Д^ФЮ = A1 31П(Ф21 + Ф) = A1 51П(Ф21 + в) = - A1 81П(Ф 21 + в),

где А1 - амплитуда, подлежащая дальнейшему определению.

В среде без потерь, когда в = 0 уравнения (6) определяют положение рабочего тела т1 в системе отсчета Кс [1, 8]:

^с = Асо§ Ф1с = А со^Ф21 + п) = - A1со§ Ф21; (7)

У1С = Д^ФЮ = А ^1п(Ф21 + п) = -А 81П Ф21'

начало координат которой связано с ЦМ С МС2, и с которым в этом случае совпадает центр O ИД, где A = ñi2R /(m + m^) .

Импульс и уравнение движения

С учетом (2) импульс МС2, например при хСо = 0, Усо = 0, можно определить в виде:

Px=mX + m¿2 = (m + m)¿1c о —mR©2isinФ21;

(8)

Py = mi y + m У2 = (mi + щ) Ус о + Щ R®21 cos Ф21,

где первое слагаемое позволяет определить проекцию силы инерции Ф1 МС2 как целой (m = m.1 + m2 ) на ось X и y системы отсчета Ко при 8 ^ 0 или системы отсчета Kc при 8 = 0 :

Ф1х =-d (m1 +m2)-X1C,O = -(m1 +m2)X1C,O;

at (9)

Ф1У = ~dt (m1 +m2)*CO = -(m1 +m2)y1CO.

Второе слагаемое можно рассматривать как проекцию относительной силы инерции

~ 2 ~ Ф21 = т2R®21 рабочего тела в системе отсчета К1 на оси x и y системы отсчета Ко с :

Ф21х = dm2R sln Ф21 = m2Rro21cos Ф21;

aat (10) Ф21у = -Jtm2R cos Ф 21 = m 2 ^21*1п Ф21.

Суммируя силы инерции Ф1 (9) и Ф21 (10) и внешнюю диссипативную силу F (5) с учетом того, что, в соответствии с третьим законом Ньютона, реакции R12 и R21 связи R образуют уравновешенную систему сил R12 + R21 = 0, принцип Даламбера в проекциях на оси координат x и y системе отсчета Ко с можно записать в виде

Ф1х + Ф21х + F1x = Ф1у + Ф21 y + F1 y = 0 (11)

где

F1x = —м-1х1о,с; F1y = —и Кос (12)

- проекции диссипативной силы F = МЛ (5) на оси х и y системы отсчета К0 с при

гс,о = arcо/ dt = 0.

Действие относительной силы инерции Ф21 (10) посредством связи R на МС2 как целую с приведенной массой m = m1 + m2 вызывает ее силу инерции Ф1 (9). Это действие в системе отсчета К можно рассматривать как внешнее F21 = Ф21 и влияющее на движение МС2. Тогда

ее уравнение движения в системе отсчета К (в форме второго закона Ньютона) можно получить посредством переноса силы инерции Ф1 (9) в принципе Даламбера (13) в левую часть. После переноса получим

(т1 + т2) = Г21 + (13) а

где V = й?1 / & - абсолютная скорость опорного тела т1 в системе отсчета К, полученная дифференцированием радиуса-вектора т\ (2) по времени Х . Например, при Г1= 0 угол в = 0 и уравнение (13) при Гсо = &*с о / & = 0 имеет решение (7), для которого рабочее тело т1 будет совершать вращательное движение относительно ЦМ с, а опорное тело относительно рабочего тела т1 по общей траектории 5, показанной на рис. 1, б штрих-пунктиром. Даже при незначительной по величине диссипативной силе Г Ф 0 угол в Ф 0, МС2 не согласована (силы инерции Ф1 (9) и Ф21 (10) не образуют уравновешенную систему сил), и относительная сила инерции Ф21 как внешняя = Ф21 через связь Я будет оказывать существенное влияние на абсолютное движение этой МС2 как на целую с массой т = т1 + , что в явном виде не следует из классического уравнения движения (1), где влияние сил инерции относительного движения Ф21 (10) учтено в суммарном импульсе р (8) МС2 импульсом относительного движения р1 = —т2Яю21 рабочего в системе отсчета К1. Таким образом, уравнение (13) есть разновидность уравнения (1), которое наиболее удобно для динамического анализа МС.

Дальнейшее преобразование (13) дает следующие неоднородные дифференциальные уравнения движения МС2 в системе отсчета К :

х1 + 2У1х1 = аФ 21 Ф21; у1 + 2У1 у1 = аФ 21 ^П Ф21, (14)

2 Ф21

где аю;21 =-—; а = т2Я / (т1 + ); У1 = Ц1 /[2(т1 + )] - коэффициент затухания движе-

т1 + т2

ния опорного тела т1. Каждому из уравнений (14) по физическому смыслу аналогично уравнение вибратора (1.1), которое без вывода и ссылок приведено в работе [4].

Методика определения угла £ и координат х0, Уо центра О ИД

Общее решение неоднородных дифференциальных уравнений вида (14) есть сумма его частного и общего решений [8]. Частное решение неоднородных дифференциальных уравнений (14) в системе отсчета Кс (при в = 0 ) или в системе отсчета Кс (при в Ф 0 ) будем искать в виде (6).

Для определения входящих в (6), амплитудного коэффициента A1 и угла в представим уравнения (14) в комплексной форме

¿¡1 + 2у1</1 = аш^ ехр>21^. (15)

Решение комплексного уравнения (15) будем искать в виде

qx = Вх exp jrnlxt, (16)

где В1 - комплексная амплитуда, подлежащая определению. Дифференцирование (16) по времени Х дает

qi = jBi®2l exP 'ш2lt; ql = "В1ю21 exP jro21t • (17)

Подстановка (17) в уравнение (15) сводит его к виду

-В1ш21 + 2jY1B1®21 = <™221 • (18)

Из (18) комплексную амплитуду можно выразить в виде

2

В1 = 2 ДЮ21-= -¡=1= (-ш221 - j2У1Ю21) = А exp^^/ф), (19)

-ш21 + 2Л1ш21 ф + £2

которая находится в III четверти ее комплексной плоскости.

С учетом того, что амплитуда В1 (19) лежит в III четверти ее комплексной плоскости, ее

модуль А1 и фазу ф можно определить следующим образом:

a b

A1 = . ; ф = ±п + s; s = arctg— = arctg^, (20)

V1+a

где = 2у1 / ю21 - диссипативный параметр; знак «+» или «-» соответствует равноценным по

результату положительному и отрицательному отсчету угла ф ; a = — ш^; b = -2У1Ю21 •

Подстановка (19) в (16) для положительного отсчета угла ф = фю = п + s при Ф21 = 0 (см. рис. 1, б) дает

q1 = A1 exp jш 21t exp(jф) = -А1[сов(ш 21t + s) + j б1п(ш 21t + s)]. (21)

Действительная часть Re q (21) является частным решением дифференциальных уравнений (14): в виде (6) для s Ф 0 или (7) для s = 0 .

Согласно (20) угол s зависит как от коэффициента сопротивления , входящего в коэффициент затухания У1 (14) так и от собственных параметров (m, m и Ш21) МС2. Далее были записаны общие решения

xle (t) = Qx + C2x exp(-2Y1t); (t) = C1 y + C2y exp(-2Y1t) (22)

однородных дифференциальных уравнений:

X + 2УХ = 0; + 2Y1 y = 0, (23)

характеризующие переносную часть движения МС2 вместе с центром O ИД или ЦМ C МС2 в системе отсчета K.

Сумма решений (6) и (22) дает общие решения дифференциальных уравнений (14) в системе отсчета K в виде:

х10) = С1х + C2 х exp(-2y1t) - А1 cos(ю21t + в); xXl(t) = -2С2 IУ1 exP(-2Уlt) + А®21 «п(ю2^ + в); .Уl(t) = С1 у + С2у exP(-2Уlt) - А1 sin(Ю2lt + в); 3>l(t) = -2С2 у 71 ехр(-27^) - А1Ю21 cos(ю2lt + в).

(24)

Для начальных условий х^ = 0) = 0, х^ = 0) = 0 и у^ = 0) = 0, у^ = 0) = 0 из (24) найдем:

С1х = А1

С1 у = А1

г

С

V Г

3

V

cos в --

ю

21

Sin в + -

2У1

ю21 2У1

Sin в

cos в

Л

) Л

)

; С2 х = А1

ю

21

2У1

sin в;

(25)

; С2 у = А1

ю

21

2У1

cos в.

Подставив (25) в (24), получим общее решение неоднородных дифференциальных уравнений (14):

ю

2У1

х1(ф21) = А1 cos в--21 (1 - ехр(--1 ф21))мп в - cos(ф21 + в)

2У1

ю

21

2У1

Х1 (Ф21) = -А1Ю21 еХР(--1 Ф21^П в - ^п(Ф21 + в)

ю

21

у1(Ф21) = А1 ÍSin в + Ю21 (1 - еХР(-— Ф21))С0S в - sin(Ф21 + в) V 2У1 ю

21

г

2У1

Л

Л (Ф21) = А1Ю21 еХР(--1 Ф21)c0S в - С0s(Ф21 + в)

ю2

)

(26)

V 21

Координаты и скорость ЦМ С МС2 в системе отсчета К можно определить по формулам:

хс =

ХС =

т1х1 + т2 х2

т1 + т2

; ус =

т1хх1 + т2 х2

т1 + т2

; Ус =

т1 Л + т2 у2 . т1 + т2

т1 у + т2 у2

т1 + т2

(27)

где координаты х2 , у2 и скорости х2 , у2 определены выражениями (2).

Траектории движения ^ в2 и лс опорного т1, рабочего т2 тел и ЦМ С МС2 в системе отсчета К, расчитанные по решениям (26) и формулам (2) и (27) при ^ = 3,77; Н • с/см, показаны на рис. 2.

Координаты центра О ИД можно определить из решений (26) в виде:

хО (Ф21) = А1 ÍС0S в - Ю21 (1 - еХР(- — Ф21)) sin в 271 ю

V (

21

УО (Ф21) = А1 sin в + ^ (1 - еХР(- — Ф21))c0S в V 2У1 ю21

Л

Образование ИД (рис. 2) за малый интервал времени dt ^ 0 при ^ = 3,77 Н • с /см соответствует представлению о мгновенной передаче взаимодействий в классической механике. Координаты центра O ИД в системе отсчета K при dt ^ 0 составляют x0 = cos s = 0,707 см

и yO = sin s = 0,707 см, где угол s равен s = 45°.

к

см 5

0

-5

-5 0 5 10 15 см

Рис. 2. Движение МС2 в системе отсчета К для различных значений ^

Согласно (28) центр О ИД при ф21 >> п дрейфует по затухающему закону из положения

О0 в положение О со скоростью Уо = у]хО + уО (рис. 2), где скорости хо и уо можно определить дифференцированием выражений (28) по времени Х. При этом опорное ^ и рабочее т тела, а также их ЦМ С будут двигаться по спиральным траекториям ^ ^ и бс в стационарное состояние при ©21 = сош! (©21 = сош! принято при условии того, что потери механической энергии у МС3 компенсируются внутренним моментом М).

При рабочее тело т будет совершать движение по окружности ^ относительно не-

подвижного опорного тела т1, а при ^ = 0 движение тел т1 и т будет совершаться относительно их ЦМ С, который движется с постоянной скоростью Ус = сош!, как показано на рис. 2.

Динамический анализ МС3 проведем для времени действия 0 < Х < ^ - вращательного перемещения рабочих тел т2 из положения Х21 в положение Х22, (рис. 1, а) и времени последействия х > х: - затухающего движения МС3 как целой после абсолютно неупругого уравновешенного встречного удара рабочих тел т2 в положении х22 , ортогонального оси х системы отсчета К .

Движение МС3 во время действия

Поступательное движение опорного тела т1 МС3 вместе с системой отсчета К1 по траектории х1(Ф21) (рис. 3, а и рис. 4, а) будем рассматривать как проекцию вращательного перемещения опорного тела т1 МС2 (рис. 1, б) на ось х системы отсчета К.

Ф21' рад

/1 = 0.5

х1, см/с

Рис. 3. Кинематические характеристики МС3: а) траектории движения опорного т1 и рабочего т2 тел; б) графики положения х1 и скорости х1 опорного тела т1 МС3, а также положения хс ее ЦМ С за время действия и последействия 0 < t < 1,5 с при = 1 ( = 1,571Н • с/см )

Положения х1(ф21) и скорость х^Ф21) опорного тела т1, а также положения хс ЦМ С рассчитаны по решениям (26) и формулам (2) и (27) для различных фиксированных углов

а

б

Ф21 = ю2^ поворота рабочих тел т2 за время действия 0 < t < t1 с ( ^ = 0,5 с). Их графики для диссипативного параметра £ = 1 (20) (сопротивления среды ^ = 1,57 Н• с/см ) показаны на

-13 -12

рис. 3, б, а для £ = 6,367-10 (^ = 1-10 Н• с/см) - на рис. 4, б. Расчет произведен при собственных параметрах образца МС3: т1 = 0,14 кг; т2 = 2т2 = 0,11 кг; Я21 = 7,5 см и в последующем неизменны.

Ф2Ь рад

-10

10

?, сек

0

1 = 0.5

1.787-10

20

3.573-1012

хг, хС,см хС1, см/с

Рис. 4. Кинематические характеристики МС3: а) траектории движения опорного т1 и рабочего т2 тел; б) графики положения х1 и скорости х1 опорного тела т1 МС3, а также положения хС ее ЦМ С за время

действия и последействия 0 < t < 3,573 -1012 с при £ = 6,367 •10-13( = 1 • 10-12 Н• с/см )

п

б

0

Затухающее движение МС3 для времени последействия

Так как при повороте рабочих т2 на угол ф21 = ©21^1 = п происходит их мгновенное торможение в виде абсолютно неупругого встречного удара с линией удара ортогональной оси х, то угловая скорость ю21 их вращательного перемещения при ф21 = п обратится в нуль

( ю21 = 0). В результате этого во время последействия г > гх МС3 будет совершать совместно

с ее ЦМ С в системе отсчета К затухающее поступательное движение по инерции по траектории х1(г) (рис. 3, а и рис. 4, а) как единое целое со скоростью

х^) = !2(*) = Хс (г). (29)

В общем случае затухающее движение МС3 во время последействия г > описывается однородным уравнением (26) с решениями:

х^) = С + С2 ехр(-2у1 (г - ^)); хс (г) = С3 + С2ехр(-2^(г - О). (30)

Дифференцирование dx1(t)/ёг и ёхС(г)/ёг (30) по времени г определяет равенство (29)

как

х1(г) = хс (г) = -2С271 ехр(-2у1 (г - О) . (31)

Для определения коэффициентов С1- С3 представим решения (30) и (31) при г = г1 в виде:

х1(г1) = х1(а) = С1 + С2; хС (г1) = хС (а) = С3 + С2; хх1(г) = хС (г1) = хС (а) = -2С2 Т1 , (32)

где начальное положение х1 (а) основания т1, а также начальное положение хс (а) и начальная скорость ххс (а) ЦМ С определены решениями (26) и формулами (2) и (27) для поворота рабочих тел т2 на угол Ф21 =ю21г1 = а = п . Из (32) получим:

С1 = х1(а) + хС (а) / 2У1; С2 = -хС (а) / 2У1; С3 = хС (а) + хС (а) / 2У1. (33)

Подстановка (33) в (30) и (31) дает:

х^) = х» + х|^[1 - ехр(-2У1 (г - О)]; х^г) = хс (г) = хс (а)ехр(-2У1(г - ^));

71 . (34)

хс (г) = хс (а) + хС(а)[1 - ехр(-2У1 (г - ^))], 2У1

где г > г1.

Значения х1(а), хС (а) и хс^с (а), рассчитанные по решениям (26) и формулам (2) и (27) при г1 = 0,5 с, а = п и £ = 1, составляют: х1(п) = 1,72 см, хС (п) = -1,58 см и хС (п) = -10,82 см/с для

рис. 3, б, а при =6,367-10 13 : х1(л) = 6,6 см, хС(п) = 3,3 см и хс(п) = -2,64-10 11 см/с для рис. 4, б.

Графики положения х^) и скорости Х^) основания т1 МС3, а также положения Хс (X) ее ЦМ С в системе отсчета К для времени последействия ^ < X < 1,5 с ( ^ = 0,5 с) показаны на

-11

12

рис. 3, б, а для времени последействия ^ < X < 3,573 -10 - на рис. 4, б. Они рассчитаны по решениям (37) для двух значений диссипативного параметра (23): = 1 (для сопротивления

—13

среды = 1,571 Н- с/см, рис. 3, б) и ^=6,367-10 (для сопротивления среды —12

= 1-10 Н - с/см, рис. 4, б) при ранее заданных собственных параметрах МС3.

Эффект смещения центра масс

Согласно графикам, показанным на рис. 3, б и рис. 4, б, абсолютное смещение Лхс ЦМ С МС3 в системе отсчета К, за общее время 0 < X < 3,5 с действия 0 < X < 0,5 с и последействия

12

0,5 < X < 3,5 с для рис. 3, б, а также за общее время 0 < X < 3,573 -10 с действия 0 < X < 0,5 с

12

и последействия 0,5 < X < 3,573 -10 с для рис. 4, б составляет [3, 5-7]

— X*ci — Дх^ ^ ,

(35)

где Дхг — —a(1 — cos a) - относительное смещение ЦМ в системе отсчета Ki за время действия 0 < t < 0,5c, где знак «минус» указывает на направление смещения (в сторону отрицательных значений положений хс ЦМ); Дхе — хс3 — хс2 - переносное смещение ЦМ в системе отсчета

12

K за время последействия 0,5 < t < 3,5 с для рис. 3, б и 0,5 < t < 3,573 -10 с для рис. 4, б, равное смещению Дхе — Дх1 опорного тела Ш1 в системе отсчета K для этих времен последействия.

Смещение Дхс (35) ЦМ для любого из углов a — Ф21 поворота рабочих тел m , составляющее 0 < a < п, не зависит от коэффициента сопротивления 0 < ^ < да диссипативной среды движению опорного тела m и остается постоянным Дхс — Дхг — —a(1 — cos a) — const [3, 5-7].

Возможность сохранения постоянного смещения Дхс — const (35) ЦМ МС3 при 0 < § < да обеспечивается вкладом диссипативного угла 8 — arctg(§) (20) в запаздывание Ф — Фю — Ф21 — п + 8 (4) фазы фю — Ф21 + п + 8 вращательного движения опорного тела m относительно фазы Ф21 рабочего тела m . Он обеспечивает начальное отрицательное значение скорости х1(Ф21 — п) — хС (Ф21 — п) < 0 опорного тела m при последействии, как для Ф21 — a — п показано на рис. 3, б и г, для которого выполняется условие

х1 (t) — lim

t ^да

х» + х2^[1 — exp(—2n(t —11))]

2Y1

— Xl(a) + ^ — 0; § > §п, (36) 2Yi

полученное при t ^да из (34). Согласно (36) для всех § > §п значение смещения Дхс — const, где §п - некоторое пороговое значение диссипативного параметра § (20) меньше которого (§ < §п) смещение ДхС Ф const.

Физически условие (36) выражает то, что основание mj при t ^да асимптотически стремится к его начальному положению (началу координат системы отсчета K), определенному в момент времени t = 0 (см. рис. 3, б и рис. 4, б), что не противоречит выводам работ [3, 5-7, 9]. При этом Д1 = 0 и Дхс = -a(1 - cos а) = const (35) согласно работам [3, 5-7].

Факт асимтотического стремления основания mj при t ^да к его начальному положению xj (0) при t = 0 можно подтвердить непосредственным интегрированием по времени t от 0 до да импульса МС2 (8) (вне зависимости как движутся ее массы, например, рабочее тело m2, когда угловая скорость ©21 ^ const, например, в [3])

да dp да

dpx / dt = -YiXj ; J —xddt = -yj J Xjdt. (37)

0 dt 0

Так как скорость ЦМ C МС3 при t = 0 и да равна vc = 0, то 0 = px(да)-px(0) = = -yj(x1^) -xj(0)) . Следовательно x1^) = xj(0), что согласуется с работой [9] и смещение ДС = const (35), так как при 0 < м1 < да всегда Д^ = Д1 = 0.

Интегральное решение (37) не позволяет анализировать характер движения опорного тела mj внутри интервала времени 0 < t < да , что не обеспечивает возможность определения порогового значения £п диссипативного параметра £ (20).

Для нахождения порогового значения £п было проведено математическое моделирование смещения Дс (35) как функции от коэффициента сопротивления Мь определяющего коэффициент затухания yj = Mj /[2(mj + m^)] (14) и диссипативный параметр £ = 2y1 / ю21 (20). Моделирование проводилось в следующем порядке.

Значение коэффициента сопротивления Mj итерационно уменьшалось от да до 0. Для каждого итерационного значения по решению (26) для xj(92j) и формуле (27) для xC(92j) рассчитывались начальные значения xj(a) и xcc (а), входящие в (34), для поворотов рабочих тел m2 на угол а=п;3п/4; п/2; п/4; п/12.

На каждой итерации и рассчитанных начальных значений xj(a) и xxc (а) регистрировалось, когда рассчитанное из (34) при t ^да положение x1(t) опорного тела mj становилось отличным от нуля x1(t) ^ 0 (чему в (35) соответствует Д1 ^ 0 и Дс ^ const). Если на текущей итерации для рассматриваемого угла а = п;3п /4; п/2; п/4; п/12 значение x1(t) ^ 0, то для этого угла а значению М1 присваивается значение порогового сопротивления предыдущей итерации Ma = М1пор , по которому рассчитываются пороговые значения y^ = М1п / [2(mj + m2)] и £п = 2Y1п / ю21 для этого угла а.

Результаты математического моделирования иллюстрируются графиками, показанными на рис. 5.

Уровни постоянного смещения Axc = const как функции от диссипативного параметра £ составляют:

- для а = п :

-!3

Дс = -6,6 см = const (см. рис. 5) в интервале £п < £ <да , где £п = 6,36740 за общее время 0 < t < 1,5 с (для рис. 3, б) и 0 < t < 3,543 •1012 с (для рис. 4, б);

- для а = 3п/4; п/2; п/4; п/12 (рис. 5):

Ахс =-5,633; -3,3; -0,967; -0,112 см = const (рис. 5) в интервале < < да, где = 1-10-3 за общее время 0 < t < 2 -103 с.

АC, см 0 -0,11

-0,97 -2

-5,63 -6

-6,6

А£, А£, /

а = п/12

а = п/4

а = п/2

1 а = 3п /4

а = п

0 6,367 -10-13 да 0 1-10-3

да

Рис. 5. Графики смещения Ахс ЦМ МС3 для фиксированных улов а как функций от диссипативного параметра £ = /(р^ для вариации 0 < ^ < да

-13

Смещение Ахс ЦМ за малый интервал А£, уменьшения параметра : = 0,061 • 10

(для а = п ) и = 0,084•Ю-4 (для а=3п/4; п/2; п/4; п/12 ) линейно стремится Ахс ^ 0 (на рис. 5 показано штрих-пунктирной линией).

Уровень наименьшего порогового значения параметра min = 6,367 -10 13 и наибольшего смещения Ахсmax = -6,6 см = const ЦМ наблюдается для угла а = п (рис. 3, б и рис. 4, б).

При приближении параметра к пороговому значению ^ начальная скорость Х1(ф21) = х1(п) по закону -sin2а стремится к нулю х1(ф21) = х1(п) ^ 0 (рис. 3, б и рис. 4, б) и за малый интервал А£, приращения параметра обращается в нуль х1(ф21) = х1(п) = 0 . При этом в малом интервале А£, смещение ЦМ Ахс стремится Ахс ^ 0, а при - А£, обращается в нуль Ахс = 0 (рис. 5).

Результаты экспериментальных исследований и их анализ

На рис. 6 показан образец МС3 [3, 5, 7]. На его основании 1 посредством стержней 2 с длиной R21 шарнирно установлены два рабочих тела 3 с возможностью их синхронного

встречного поворота из положения х21 в положение х22 на угол а = п за время t1 = 0,5 с со

средней угловой скоростью ю21 = п /

Положениям x21 и x22 рабочих тел 3 соответствуют положения x^ и xc2 ЦМ МС3 в собственной системе отсчета K1 основания 1. Ее начало координат обозначено знаком « v ». Поворот рабочих тел 3 на угол а = п осуществляет пружина 4 посредством гибкой связи (нити) через приводные шкивы или же с помощью пружинного ударного устройства 5. Фиксацию рабочих тел 3 в положении x21 осуществляют посредством нити, которую в процессе эксперимента пережигают.

В положении x22 рабочие тела 3 претерпевают мгновенное торможение, что обеспечивает

упор 6, снабженный встроенными в него магнитами с тонкими демпфирующими прокладками. Они обеспечивают абсолютно неупругий встречный удар рабочих тел 3. Основание 1 установлено на сменных опорах 6.

Абсолютное смещение Д^ ЦМ в неподвижной системе отсчета K оценивалось по формуле

Д;с = Д;е , (38)

где

Дхг = xc2 - xC1 = -a(1 - cos а) = -2a, (при а = п) (39)

- относительное смещение ЦМ (центра тяжести ЦТ) в системе отсчета K1 основания 1 (рис. 6) для его двух положений xC1 и xC2 , соответствующим положениям рабочих тел 3 x21 и x22; Д:е - переносное смещение ЦМ (смешение начала координат « v » на рис. 6 собственной системы отсчета K1 основания 1 в системе отсчета K .

Каждое из двух положений xC1 и xc 2 ЦТ на основании 1 было определено по горизонту

основания 1 на подвесе треугольного профиля, проходящего по сечению, одного из этих положений.

Измеренное значение смещения хе для различных £п < £ < да для времени ? > 1,5 с составило хе = 0 и смещение ЦМ

Ахс = Дхг = —6,6 см (при измеренном Ахе = 0), (40)

что согласуется с его значением, рассчитанным из (39).

Возможность переноса ЦМ на величину Ах^ = - Дхг при Дхе = 0 подтверждается аналогичным видеоэкспериментом [10].

Технические характеристики образца МС3 и величина смещения ДхС (38) его ЦМ в системе отсчета К при повороте рабочих т2 на угол а = л для различных опор приведены в таблице.

Технические характеристики образца МС3

Параметр Значение

Масса основания 1, т1, кг 0,14

Общая масса рабочих тел 3, т2, кг 0,11

Длина стержней, Я21, см 7,5

Коэффициент сопротивления, р,1, Н • с/см :

- армированный резиной подшипник качения (латунь-сталь, 4 шт.) 1,571

- жидкостная опора (контактная пара: пенопласт гладкий - вода) 1 • 10—4

- газовый подвес с диаметром 200 см и толщиной воздушной подушки в области юбки < 0,1 мм (контактная пара: оргстекло - воздух) < 6,366 •ю-13

Смещение Лхс, ЦМ при повороте рабочих

тел 3 на угол а = п для различных типов опор, см:

- подшипники скольжения -6,6

- жидкостная опора -6,6

- газовая опора 0

Коэффициент сопротивления движению опор был определен через измеряемую амплитуду Д возвратно-поступательного движения основания 1 и формулу для 71 (14) в виде

= Ф21(т 2 + т1)(а2/ Д2-1). (41)

Выражение (41) обеспечивает косвенное измерение коэффициента сопротивления движению объектов различной формы, материалов и размеров по амплитуде колебания Д этих объектов в газовой или жидкостной среде.

Заключение

Таким образом, показано, что силы инерции Ф21 = Фг рабочих тел МС, участвующих в относительном движении (в системе отсчета К), оказывают на абсолютное движение (в системе отсчета К ) МС как целой с массой т = т1 + ( да2 = 2да2 ) действие, эквивалентное внешнему. Это является следствием того, что в диссипативной среде фаза фю = Ф21 + ф движения опорного тела т1 (в системе отсчета К0) запаздывает относительно фазы Ф21 = ©2^ взаимодействующего с ним рабочего тела тп2 (в системе отсчета К1) на угол ф = фю - Ф21 = п + 8 (4), учитывающий угол диссипативных потерь 8 (23). В среде без потерь в = 0, угол запаздывания составляет ф = п (3), МС замкнута, является самосогласованной и удовлетворяет принципу наименьшего действия.

Полученные результаты позволяют обосновать возможность эффективного движения инерциоидов [2, 3, 11-15], а также возможность существенного смещения центра масс [6, 7] в среде с малой диссипацией (£ <<£п ). Для эффективного движения инерциоида Толчина [2]

необходимо выбрать угловое ускорение Ю21 перемещения тел из положения Х21 в положение х22 (рис. 1, а) и обратно так, чтобы пороговое значение обобщенного параметра £ (22) в первом случае составляло £ > £п, а во втором - £<£п или наоборот для движения инерциоида

в обратном направлении.

Теоретические выводы статьи согласуются экспериментом Толчина [2], экспериментальными исследованиями МС3, результаты которых представлены в работах [3, 5-7], а также видеоэкспериментом [11].

Кроме того, на основе полученной математической модели выведено измерительное уравнение (41), обеспечивающее косвенное измерение сопротивления внешней среды в зависимости от величины измеряемой амплитуды колебания основания механической системы, которое может иметь различную форму и размеры. Такое измерение точнее и проще метода Стокса, основанного на гидродинамических методах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Никитин Н. Н. Курс теоретической механики : учебник. - М. : Высш. шк., 1990. - 607 с.

2. Толчин В. Н. Инерциоид. Силы инерции как источник поступательного движения. - Пермь : Кн. изд., 1977. - С. 89, 90.

3. Савелькаев С. В. Нетрадиционные виды движения : препринт. - Новосибирск : СГГА, 2011. - 48 с.

4. Егоров А. Г., Захарова О. С. Энергетически оптимальное движение вибратора в среде с наследственным законом сопротивления. // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2015. - № 3. -С.168-176.

5. Савелькаев С. В. Механика. Корреляционная механика механических систем : препринт. - Новосибирск : СГГА, 2013. - 67 с.

6. Савелькаев С. В. Эффект смещения центра масс // ГЕ0-Сибирь-2009. Т. 5: Специализированное приборостроение, метрология, теплофизика, микроэлектроника. Ч. 1: сб. матер. V Междунар. научн. конгресса «ГЕО-Сибирь - 2009», 20-24 апреля 2009 г. - Новосибирск: СГГА, 2009. - С. 219-225.

7. Савелькаев С. В. Эффект независимости величины смещения центра масс механической системы от диссипативности внешней среды // Механика машин, механизмов и материалов. - 2011. -№ 4 (17). - С. 42-48.

8. Савельев И. В. Основы теоретической физики. Механика и электродинамика : учеб. - М. : Наука, 1991. - Т. 1. - 496 с.

9. Черноусько Ф. Л. Оптимальные переодические движения двухмассовой системы в сопротивляющейся среде // ПММ. - 2008. - Вып. 2, Т. 72. - С. 202-215.

10. Эксперимент с гироскопами [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.mirit.ru/video/ 008.htm.

11. Эксперимент Савелькаева [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.mirit.ru/video/ 008.htm.

12. Заявка на открытие № ОТ-М -177 (с присоединением к заявке ОТ-12184). Россия. Закономерность инерционной динамики механических систем в диссипативныхсредах / Савелькаев С. В. - Заявл. 21.07.93. - М. : Акционерное общество «Роснаука».

13. Ким В. Ф., Родионов А. И. О динамике движителя Савелькаева // Вестник СГГА. - 2003. - № 8. -С.216-219.

14. Шипов Г. И. Теория физического вакуума. - М. : НТ-Центр, 1993. - 362 с.

15. Савелькаев С. В. Теория гравитации. - М. : МЭИ, 1993. - 108 с.

Об авторах

Сергей Викторович Савелькаев — доктор технических наук, профессор кафедры специальных устройств, инноватики и метрологии.

Получено 19.07.2022

© С. В. Савелькаев, 2022

Influence of inertia forces of interacting bodies of mechanical system on its motion in a dissipative medium and features of motion

S. V. Savelkaev1*

1 Siberian State University of Geosystems and Technologies, Novosibirsk, Russian Federation

* e-mail: sergei.savelkaev@yandex.ru

Abstract. At present, the forces of inertia are considered from various points of view. Some consider them fictitious, others - real, that is, capable of influencing the movement of interacting bodies of a mechanical system. Supporters of the latter point of view, for example, Tolchin V.N., who developed in the 1930s. mover (inertioid) and spikes G. I. Shipov, who created the Theory of Physical Vacuum "(1993) in his interpretation of the" Paradigm ", which supposedly substantiates the possibility of directed movement of the inertioid due to the forces of inertia of its internal bodies in space without the interaction of the supporting body (base) with the external environment. The inconsistency of this parodygm was proved by tests of the inercoid in cosmos (2010). In this article, a dynamic analysis of a three-mass mechanical system of the inertioid type is carried out. The purpose of the analysis is to study the influence of the internal bodies inertia forces of a mechanical system interacting with its supporting body on the motion of this mechanical system in a dissipative medium with linear viscous resistance. An equation of its motion is obtained taking into account its internal bodies inertia forces. Based on the simulation of a mechanical system motion, it was found that the displacement of its center of mass in a wide range of environmental resistance values remains constant, which does not contradict modern ideas about the periodic motions of two-mass systems. Based on mathematical modeling within the framework of the proposed mathematical model, the threshold value of the resistance of the medium below which the displacement of its center of mass is impossible is determined by numerical methods. It is shown that the displacement of the center of mass of a mechanical system is due to the phase difference between the periodic motion of its internal bodies and the support body, which depends on the resistance of the medium to the movement of the support body. According to the results obtained, the inertia forces are real and capable of performing a directed effective motion of a mechanical system in a medium with low resistance. In a medium with zero resistance, the displacement of the center of mass is impossible. In addition, on the basis of the obtained mathematical model, a measuring equation was derived that provides an indirect measurement of the resistance of the external environment depending on the magnitude of the measured amplitude of the mechanical system vibration base, which can have various shapes and sizes. Such a measurement is more accurate and simpler than the Stokes method based on hydrodynamic methods.

Keywords: inertioid, equation of motion, dissipative medium, viscous resistance, threshold value of resistance, dissipative loss angle, displacement of the center of mass

REFERENCES

1. Nikitin, N. N. (1990). Kurs teoreticheskoi mekhaniki [Course of Theoretical Mechanics]. Moscow: Vysshaia Shkola Publ., 607 p. [in Russian].

2. Tolchin, V. N. (1977). Inertsioid. Sily inertsii kak istochnik postupatel'nogo dvizheniia [Inertioid. Forces of inertia as a source of translational motion]. Perm: Kn. Izd. Publ., P. 89, 90.

3. Savel'kaev, S. V. (2011). Netraditsionnye vidy dvizheniia [Non-traditional types of movement]. Novosibirsk: SSGA Publ., 48 p. [in Russian].

4. Egorov, A. G., & Zakharova, O. S. (2015). Energetically optimal movement of a vibrator in an environment with a hereditary law of resistance. Izvestiia RAN. Teoriia i sistemy upravleniia [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Theory and Control Systems], 3, 168-176 [in Russian].

5. Savel'kaev, S. V. (2013). Mekhanika. Korreliatsionnaia mekhanika mekhanicheskikh sistem [Mechanics. Correlation mechanics of mechanical systems]. Novosibirsk: SSGA Publ., 67 p. [in Russian].

6. Savel'kaev, S. V. (2009). The effect of displacement of the center of mass. In Sbornikmaterialov GEO-Sibir'-2009: T. 5, ch. 1 [Proceedings of GEO-Siberia-2009: Vol. 5, Part 1] (pp. 219-225). Novosibirsk: SSGA Publ. [in Russian].

7. Savel'kaev, S. V. (2011). The effect of independence of the displacement of the center of mass of a mechanical system from the dissipativity of the external environment (Effect Savelkaev). Mekhanika mashin, mekhanizmov i materialov [Mechanics of Machines, Mechanisms and Materials], 4(17), 42-48 [in Russian].

8. Savelyev, I. V. (1991). Osnovy teoreticheskoifiziki. Mekhanika i elektrodinamika: T. 1 [Fundamentals of Theoretical Physics. Mechanics and electrodynamics: Vol. 1]. Moscow: Nauka Publ., 496 p. [in Russian]

9. Chernous'ko, F. L. (2008). Optimal periodic motions of a two-mass system in a resisting medium. Prikladnaia matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. Issue. 2. Vol. 72, 202-215 [in Russian].

10.Experiment with gyroscopes. (n. d.). Retrieved from http://www.mirit.ru/video/008.htm [in Russian].

11.Savelkaev's experiment. (n. d.). Retrieved from http://www.mirit.ru/video/008.htm [in Russian].

12. Savelkaev S. V. Regularity of inertial dynamics of mechanical systems in dissipative environments. Application for discovery No. OT-M3-177 (with attachment to the application OT-12184).

13.Kim, V. F., & Rodionov, A. I. (2003). On the dynamics of Savelkaev's mover. VestnikSGGA [Vestnik SSGA], 8, 216-219 [in Russian].

14. Shipov, G. I. (1993). Teoriia fizicheskogo vacuuma [Theory of Physical Vacuum]. Moscow: NT-Tsentr Publ., 362 p. [in Russian].

15.Savel'kaev, S. V. (1993). Teoriia gravitatsii [Theory of Gravity]. Moscow: MEI Publ., 108 p. [in Russian].

Author details

Sergei V. Savelkaev - D. Sc., Professor of the Department Special Devices, Innovation and Metrology. Received 19.07.2022

© S. V. Savelkaev, 2022