Эффект смещения центра масс Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.01 С.В. Савелькаев СГГА, Новосибирск

ЭФФЕКТ СМЕЩЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС

S.V. Savel'kayev

Siberian State Academy of Geodesy (SSGA) 10 Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russian Federation

EFFECT OF SHIFT OF THE MASS CENTER

It is shown that shift of the mass centre of mechanical system at counter rotary moving does not depend on resistance of an external medium and always is constant. This shift is zero at zero resistance.

Рассмотрим механическую систему S [1, 2], показанную на рис. 1, а. Она содержит опорное тело с массой mx, на котором посредством идеальных стержней с длиной R2x , шарнирных по отношению к этому телу mx , установлены два рабочих тела с массами m2 с возможностью их синхронного встречного вращательного перемещения относительно опорного тела mx на угол 0 < ¡21 < л с относительной скоростью v21.

В качестве основной системы отсчета выберем неподвижную K , а вспомогательной - собственную систему отсчета Kx опорного тела mx , которая вместе с ним может совершать поступательное движение в системе отсчета K с абсолютной скоростью xx.

В качестве обобщенных координат выберем декартову координату xx опорного тела mx в системе отсчета K и полярную координату <р2Х тел m2 в системе отсчета Kx.

Декартовы координаты x2 , y2 и скорости x2 , y2 тел m2 в системе отсчета K можно выразить в виде

x2 = x1 + R21cos^21, У2 = R21sin (Р2Х , (2)

Х2 = Xx - (Р2хr2x sin (р2х , У2 = <¡>21R2X COS (p2x,

где (¡21 = л/tB - угловая скорость вращательного перемещения тел m2 в системе отсчета Kx на угол <р2Х = л; tB - его длительность.

Учитывая, что потенциальные силы в рассматриваемой механической системе S отсутствуют ее лагранжиан L можно выразить в виде

1 9 1 9 9

L = -Ш1Х1+-Т~2(x2 + J>2) , (3)

где m2 = 2m2 - удвоенная масса тел m2, сводящая решаемую задачу к задаче с одним рабочим телом m2.

а)

б)

Рис. 1. Механическая система S (а) и графики положения хг и скорости Хх ее опорного тела т1, а также положения хС ее центра ОС масс (б)

Подставив (2) в (3) получим

1 ~ 2 1 ~ 2 2 L = х (mi + m~2)xi 1П2<Р'2.1 Ri + U2.

Первое слагаемое (4) представляет собой кинетическую энергию поступательного движения рассматриваемой системы S как целого в системе отсчета K , которая при взятии частной производной dL / dxx и дифференцировании по времени d/ dt позволяет определить силу инерции (даламберову) Ф1 = (т1 + m2)Хх этой системы S, второе - кинетическую энергию вращательного перемещения тела т2 в системе отсчета Kx, которая при взятии частной производной dL / dR2X позволяет определить его

Л

центростремительную силу инерции (эйлерову) Ф21 = т~2<Р1\Ri • Третье

слагаемое к кинетической энергии не относится и представляет собой обобщенный корреляционный потенциал

U2 = -f~2Х\ Ф21R21 Sin <21 (5)

рассматриваемой системы S, возбуждаемый телом т2 из-за его участия в двух взаимно влияющих движениях (сложном движении), таких как переносное (поступательное движение вместе с системой отсчета Kx в системе отсчета K) и относительное (вращательное перемещение в системе отсчета Kx) со скоростями xx и v21 = <р21 R21.

Запишем уравнение Лагранжа

d dL dD

--=-- (6)

dt dxx dxx

рассматриваемой системы S с учетом сопротивления jux внешней среды движению опорного тела mx.

Подставив в это уравнение лагранжиан L (4) и диссипативную функцию

D = 1 JxXx2 • (7)

Получим

F

x1 + 2y1x1 =-^-, (8)

m1 + т2

где Fx - обобщенная сила инерции

_ d dU ~ • 2 n • /АЧ

F1= = m2<^21 R21 COS<^21t, (9)

dt dx1

оказывающая на рассматриваемую систему S в системе отсчета K действие эквивалентное внешнему, которому противодействует сила инерции Ф1 =

(т1 + щ)хх этой системы S; ух = ^х/[2(тх + т~2)] - коэффициент затухания поступательного движения опорного тела тх.

Согласно (9) обобщенная сила инерции Рх является компонентой

~ 2 ~

центростремительной силы инерции Ф21 = т^срц^^ тела т.2 на ось х

системы отсчета К . Ее существенным отличием от кориолисовой силы инерции является то, что она приложена не к одному телу, участвующему в двух движениях, а к системе взаимодействующих тел, одно из которых участвует в двух движениях, а другое - в одном.

Частное решение неоднородного уравнения (8) будем искать в виде

) = - Ах^(ф2х1 + е), (10)

где Ах и £ - амплитудный и фазовый коэффициенты, последний из которых характеризует фазовый сдвиг между вращательным перемещением тел т2 в системе отсчета Кх и поступательным движением опорного тела тх

в системе отсчета К .

Для определения коэффициентов Ах и £ (10) представим уравнение (8) в комплексной форме

л

Хх + 2^1 = а ^>21 ехр^'^), (11)

где а = т2 Я2х /(тх + т~2).

Решение этого уравнения будем искать в виде

Х1 =- ^1ехр( ). (12)

Подставив в (12) в (11) найдем комплексную амплитуду

В1 =- 4ехр( £), (13)

где

а

Ах = , , £ = агс1в(2^х / ^). (14)

VI + 4п2/Й Далее запишем общее решение Хх(Г) = Сх + С2ехр( -2у^) (15)

однородного уравнения вида Хх + 2ухХх = 0. (16)

Сумма решений (10) и (15) дает общее решение неоднородного уравнения

(8)

хх(г) = Сх + С2 ехр( -2ухГ) - Ах сов(02хГ + £), (17)

5>1(г) = -2С2У1 ехр( -2у$) + 4021 + £).

Для граничных условий л1(г = 0) = 0 и х-^ = 0) = 0 найдем:

Сх = Ах

с ■ \

COS£-2-2XSln £

2ух

Подставив (18) в (17) получим

С2 = Ах 0Цт£. (18) 2Ух

( 2 л Х1(Р21) = А1 С0^ - Т21^ £(1 - ехР(- <21 )) - С08(Р21 +

2П <Р21

V

( 2/ л Х1(Р2\) = -А1<21 ^£ехР(-^<21) - 81П(<21 + 8)

V <21

(19)

Положение хС (р21) и скорость хС (р21) центра ОС масс

рассматриваемой системы S в системе отсчета К можно определить с учетом (2) и (19) по формулам:

х < ) = т1х1(Рц) + т2Х2(<21) х < ) = т1х1(Р21) + т2Х2(<21) ^0) т1 + т2 ' т1 + т2

Графики положения л1(р21) и скорости х1(р21) опорного тела т1 рассматриваемой системы S, а также положения хС (р21) ее центра ОС масс в системе отсчета К, рассчитанные по формулам (19) и (20) для поворота тел т2 на угол 0 < р21 <ж при т1 = 0,14 кг; т2 = 0,11 кг; Я21 = 7,5 см; ?В = 0,5 с;

2/1 /р21 = 1, показаны на рис. 1, б (сплошные линии).

Затухающее движение рассматриваемой системы Б как целого совместно с ее центром масс ОС в системе отсчета К после завершения вращательного перемещения ее тел т2 описывается уравнением (16) с решениями:

*1(0 = С1 + С2ехр(-2/1(г -?1)), Хс(г) = С3 + С2 ехр(-2/1 (г -, (21)

где г1 - время завершения вращательного перемещения тел т2 на угол поворота р21 = р21г1 , определяющее длительность ЛгВ = г1 этого перемещения.

Дифференцирование йх1(г)/ &г и &хс(г)/&г (21) дает:

А (г) = Хс (г) = -2С2/1 ехр( -2/1 (г - гО). (22)

Для определения коэффициентов С1 - С3 из решений (21) и (22) при г = гх. получим:

Х1(г = г1) = С1 + С2 , ХС (г = г1) = С3 + С2 , х1(^ = ^ = хс (* = ^ = -2с2/1 ,

(23)

где

Х1(г = г1) = Х1(Р21 =<21г1)

определяется решением (19), а

хС(* = ¿0 = хС<21 = <21*1) -

формулой (20) при р21 = р21г1.

Из (23) получим:

q = xx(t = ti) + Xc(t = C2 = -Xc(t = tl)/2/l (24)

C3 = xc(t = tx) + ic(t = h)/2Y\ •

Подстановка (24) в (21) дает:

Xi(t) = Xi(t = ti) + Xc (t =^ [1 - exp(-2ri(t - ti))], (25)

xi(t) = xc(t = ti)exP( -Ш - ti)),

ic(t) = ic(t = ti) + ic(t =tl} [1 - exp(-2ri(t - tO)] •

2tt

Графики затухающего движения xi(t) и скорости Xi(t) опорного тела mi рассматриваемой системы S, а также затухающего движения xc (t) ее центра Oc масс в системе отсчета K, рассчитанные по формулам (25) для времени t1 < t <да , показаны на рис. 1, б, где пунктирные кривые Xi(t) = XC(t) - 1 и xi(t) = xC(t) - 2 даны для поворота тел m2 на угол Фи = (P2iti = 71/2, а Xi(t) = XC(t) - 3, xi(t) - 4 и xC(t) - 5 - для их поворота на угол ф2\ = Фti =7.

Смещение Axi и Axc опорного тела m1 и центра Oc масс рассматриваемой системы S за интервал времени 0 < t < да можно определить по формулам:

Axi = xi(t = да) - xi(^2i = 0), Axc = xc(t = да) - xc(^i = 0), (26)

где xi(^2i = 0) = 0 и xc(^2i = 0) = a определяются из (19) и (20), а x1(t = да) и xc(t = да) - из (25).

Графики

смещения Axi и Axc опорного тела mi и центра Oc масс в системе отсчета K , рассчитанные по формулам (26) для различных поворотов тел m2 на угол 0 < ф21 <7 при 0 < 2yilф21 < да, показаны на рис. 2.

^гласно рис. 2 важным свойством рассматриваемой системы S является то, что смещение Ax1 и Axc (26) ее опорного тела m1 и ее центра Oc масс в системе отсчета K для любого из вращательных перемещений тел m2 на угол 0 < ф21 <7 не зависит от сопротивления fi1 внешней среды и всегда остается постоянным

Ax1 = 0, Л*с = const, (27)

Так, например, при ф21 = л и 0 < 2^/ф21 их значения Ах = 0 и Лхс = -2a . При 2/1/ф21 = 0 их значения составляют Лх1 = 2a и Лхс = 0 . Это эффект обусловлен тем, что положение •х1(ф21 = ф21Н) и скорость .^(ф^ = ф21h ) = хС (ф21 = ф21?1) (26) рассматриваемой системы S для любых вращательных перемещений ее рабочих тел m2 на угол 0 < ф21 < л имеют различные соответственно положительный и отрицательный знаки, как показано на рис. 1, б.

45 90 135 180 225 270 315 360 ^,град

-2

-4 -6

ДХ|, Ахс,см

Рис. 2. Графики смещения ^ и ^Хс опорного тела m и центра °С масс

в системе отсчета K для поворота тел m2 на угол 0 < ф21 <ж при

0 < 2у1 / ф21 < ад

На основе этого эффекта был разработан инерциоид Савелькаева [3-5].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Савелькаев, С.В. Теория гравитации [Текст] / С.В. Савелькаев. - М.: МЭИ, 1993. - 108 с.

2. Савелькаев, С.В. Динамическая гравитация в диссипативных средах [Текст] / С.В. Савелькаев // М.: МЭИ, 1995. - 34 с.

3. Эксперимент Савелькаева [Электронный ресурс]. - Режим доступа: /http//www.mirit.ru/video/

4. Пат. №2056524 Россия, F 03 G 3/00. Гравитационный движитель Савелькаева. -

1996.

5. Пат. №2147595 Россия, F 03 G 3/00. Гравитационный движитель Савелькаева. -

2000.

© С.В. Савелькаев, 2009