Новая концепция в механике на основе понятий пространство, время и энергия Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.01

Новая концепция в механике на основе понятий пространство,

время и энергия

Ю.А. Алюшин

Национальный исследовательский технологический университет МИСиС, Москва, 119991, Россия

Предложена новая концепция в механике на основе понятий пространство, время и энергия. Энергия представлена суммой тринадцати слагаемых из произведений инвариантов уравнений движения в форме Лагранжа и скалярных множителей, соответствующих физическим свойствам материалов. Из условия независимости энергии от выбора системы отсчета скоростей получены дифференциальные уравнения движения и равновесия, в которых искомыми функциями являются переменные Эйлера, аргументами — переменные Лагранжа. Приведены предположения, при которых данные уравнения могут быть преобразованы в уравнения Пуассона и Лапласа. Используя закон сохранения энергии, получены зависимости между напряжениями и деформациями Лагранжа в области обратимых деформаций; приведено их сравнение с используемыми в теории упругости выражениями. Рассмотрена возможность перехода к выбору начала отсчета средних напряжений с учетом объемной плотности энергии частиц в их исходном состоянии, а также к одной константе для описания процессов упругой деформации. Приведен пример применения энергетической модели и уравнений движения в форме Лагранжа для описания механизма перехода от обратимых деформаций к необратимым. Разрабатываемая модель отличается от классической применением двух независимых операторов бесконечно малых для времени и пространства. Показано, что закон инерции Ньютона можно рассматривать как один из вариантов определения обобщенных сил, характеризующих изменение кинетической энергии тела на приращениях расстояния между началом системы координат наблюдателя и центром масс тела. Обосновано применение переменных Лагранжа и принципа суперпозиции для описания любых пространственных движений, в том числе для абсолютно твердых тел, которые могут быть использованы при динамическом анализе рычажных и иных механизмов. Рассмотрены вопросы многовариантности выбора обобщенных сил для абсолютно твердых тел, в том числе с появлением пассивных сил. Разработанная на основе энергетической модели методика динамического анализа механизмов обеспечивает выполнение закона сохранения энергии для любой части исследуемой системы в произвольном интервале времени.

Ключевые слова: уравнения движения, переменные Лагранжа, инварианты, обобщенная скалярная функция, энергетическая модель, напряжения, деформации, твердые тела DOI 10.24411/1683-805X-2018-13007

A new concept in mechanics based on the notions of space, time, and energy

Yu.A. Alyushin

National University of Science and Technology MISIS, Moscow, 119991, Russia

A new concept in mechanics is proposed based on the notions of space, time, and energy. The energy is represented by the sum of thirteen terms expressed as products of invariants of the equations of motion in the Lagrangian form and scalar factors corresponding to the physical properties of materials. Differential equations of motion and equilibrium are obtained from the condition of the frame indifference of energy, in which the Eulerian variables are the sought functions and the Lagrangian variables are the arguments. Assumptions are made under which these equations can be transformed into the Poisson and Laplace equations. The law of conservation of energy is used to obtain dependences between the Lagrangian stresses and strains in the reversible deformation region; they are compared with the expressions used in the theory of elasticity. The possibility is considered of whether the reference choice for the mean stresses can be done with regard to the volume energy density of particles in their initial state, as well as whether elastic deformation can be described using a single constant. As an example, the energy model and the equations of motion in the Lagrangian form are applied to describe the mechanism of transition from reversible to irreversible deformation. The developed model differs from the classical one by using two independent infinitesimal operators for the time and space. It is shown that Newton's law of inertia can be regarded as a variant for the determination of the generalized forces characterizing the kinetic energy change in a body on increments of the distance between the origin of the observer coordinate system and the center of mass of the body. The application of the Lagrangian variables and the superposition principle for describing any spatial motions, including for absolutely rigid bodies, which can be used in the dynamic analysis of linkages and other mechanisms is validated. The multivariance of the choice of generalized forces for absolutely rigid bodies, including when passive forces arise, is considered. The method of dynamic analysis of mechanisms developed on the basis of the energy model allows the fulfillment of the law of conservation of energy for any part of the studied system in an arbitrary time interval.

Keywords: equations of motion, Lagrangian variables, invariants, generalized scalar function, energy model, stresses, strains, solids

© Алюшин Ю.А., 2018

1. Математическая формулировка понятия энергия

Понятие пространство позволяет описать положение находящихся в нем объектов, используя упорядоченную совокупность чисел, в частности хг е (х, у, z) в декартовой системе координат. Время t позволяет регистрировать изменение положения частицы в этом пространстве в виде уравнений

X = X(ар'')> (1)

где ар е (а, Р, У) — переменные Лагранжа [1], в качестве которых будем использовать начальные координаты частиц а = х ' =0, в = у ' =0, 4 = 2 =0.

Любые внешние воздействия должны отражаться на уравнениях движения (1), они несут всю информацию об изменениях, происходящих в каждой частице наблюдаемой механической системы. Энергия по определению Аристотеля является обобщенной скалярной характеристикой любых видов движения и, следовательно, должна учитывать все инвариантные характеристики системы (1). В самом общем случае она имеет тринадцать инвариантов ^ = 1, ..., 13), в том числе три модуля векторов перемещения, скорости и ускорения:

$1 = м=^ $2=и=>/■

$з = 14=-/

2 + 2 + 2 хм х + м у + м 2 ,

2 , 2 , 2 Их + И у + И2 ,

2

4х + 4у + 42 ,

(2)

три инварианта тензора дх^дар = хг а , которые определяют деформацию частицы (безразмерные обобщенные координаты):

$5 = ха + ув + 2у,

$6 = Ха + Хр + X2 + у1 + Ур + у2 +

+ 2а + + 2у ,

$7 =1Х, р 1=8Г/ 8^0, три инварианта тензора скорости деформации

(3)

дхи да р

= Хг^а. (скорости безразмерных обобщенных координат):

$8 = х1а + у1в + 21 у,

$9 = хга + хф + Ху + ую + уф + уу +

+ 21а + + 2гу, $10 = |хгур| •

Кроме этого, инвариантами являются путь

'2

5 = | vdt

(4)

(5)

и три интеграла по времени от трех инвариантов (4) тензора скорости деформации

= $12 =№', $13 =№• (6)

К последним, в частности, относится «накопленная де-

формация» (мера Одквиста), которая характеризует упрочнение и степень использования пластических свойств материала [2].

Вторые производные по времени от хга не рассматриваются, т.к. в соответствии с основным постулатом механики [1] поведение частиц определяют только их положение и скорости. Инварианты $г (;' = 1, ..., 13) являются основой для математической формулировки понятия энергия.

Использование понятия энергия и закона сохранения энергии позволяет выявить свойства, необходимые для прогнозирования поведения системы в любых условиях внешних воздействий, а также методы определения этих свойств по реально наблюдаемым движениям.

Для обозначения бесконечно малых приращений любой функции f (а, Р, у,'), учитывая различную природу координат ар е (а, Р, у) и времени ^ необходимо использовать два независимых оператора: оператор d для приращений во времени:

d f (а, р, у,') = ftdt, оператор 8 для приращений в пространстве:

8/ (а, р, у,') = /а8а + /р8р + /у8у, где 8а, 8р, 8у — бесконечно малые приращения переменных Лагранжа.

Носителями энергии являются частицы, в том числе бесконечно малые с объемом 8К0 = 8а8р8у. Для обобщенной скалярной функции воспользуемся обозначением 8Е = 8Е($г), оператор 8 подчеркивает ее локальный характер. Современным представлениям не противоречит гипотеза о том, что функцию 8Е($г) можно представить в виде суммы 13 слагаемых, которые зависят только от одного из инвариантов

13

8Е = £8Ег ($г),

г=1

(7)

причем каждое слагаемое можно представить произведением соответствующего инварианта на объем 8К0 и скалярный множитель ^, обеспечивающий равенство размерностей слагаемых:

8Е = £ 8Е ($,-) = £ ЪЪЩ. (8)

г=1 г=1

Основываясь на кинематических инвариантах, можно постулировать существование 13 различных видов энергии, характеризующих в общем случае движение абсолютно твердых или деформируемых тел, отражающих влияние на энергию различных кинематических факторов, проявляемых в изменении положения, объема и формы составляющих их частиц.

2. Энергетическое определение понятия сила

Для практического использования закона сохранения энергии удобнее определять не энергию, а приращения ее составляющих ё8Ег ($г), которые зависят от инвариантов $г (;' = 1, ..., 13), являющихся в свою оче-

редь функциями компонент соответствующих векторов или тензоров. Совокупность кинематических параметров, через которые можно найти инварианты Ъ = Ъ ), образуют обобщенные координаты qj. Тогда для приращения во времени dSЕ1 (к, Ъ (^у)) на приращениях выбранных для описания движения координат qj следует записать

dщ (к, ъ (q j))=дЕ ду d qj=dqj. (9)

По форме правая часть уравнения (9) совпадает с определением обобщенных сил Pj как меры приращения работы на приращениях обобщенных кинематических координат qj [1, 2] dА = £ Pjdqj. Следовательно, уравнение (9) можно рассматривать как распространение понятия «обобщенных сил» на различные виды энергии Е1. Множитель у в уравнении (9) является энергетическим определением обобщенной локальной силы

щ=д§Е=к ^

(10)

которая характеризует скорость изменения соответствующего вида энергии §Е 1 (Ъ )) частицы при изменении кинематической координаты qj.

Выбор обобщенных координат в общем случае субъективен. Каждый из инвариантов Ъ, в зависимости от особенности рассматриваемой задачи, может быть представлен через проекции векторов в принятой системе координат наблюдателя (декартовой, цилиндрической, сферической и пр.), субъективной по своей природе. Но поскольку произведение обобщенных сил и соответствующих кинематических координат должно быть скалярной величиной, обобщенные силы сохраняют математические свойства соответствующих им кинематических координат. В частных случаях сила может быть вектором, если параметры qj являются проекциями вектора (линейные или угловые перемещения), тензором напряжений, если кинематическими координатами являются компоненты тензора деформаций Эхг-1дар = х1а , или скаляром, если в качестве кинематического параметра выбран скаляр, например путь 5 или квадрат скорости V2. Скалярные коэффициенты к _ к13 также можно рассматривать как силы, характеризующие изменение объемной плотности соответствующих видов энергии Е1 на приращениях независимых инвариантов - Ъ13:

1 дЪ 8Г0'

Только произведение компонент обобщенных сил 0у (10) и соответствующих приращений обобщенных координат dqj (или скоростей qjt), в соответствии с уравнением (9), позволяет получить скалярную характеристику состояния (или процесса) — приращение

энергии (или скорость ее изменения). Но для этого необходимо знать полный комплект обобщенных сил и соответствующих обобщенных кинематических координат. Определение обобщенных сил через энергетическое уравнение (9) определяет их физический смысл и основное назначение — определение приращений или скорости изменения различных видов энергии.

3. Закон сохранения энергии для бесконечно малой частицы

При решении практических задач, в том числе при формулировке граничных условий, возникает потребность использования дополнительного вида энергии — энергии внешних воздействий, которая по существу является энергетическим эквивалентом влияния заменяемых внешних воздействий на движение рассматриваемой механической системы. В частности, для бесконечно малой частицы внутри тела энергетический эквивалент внешних воздействий 8Ее на перемещениях границ частицы можно определить скалярным произведением действующих на границах сил §Р и их перемещением dr:

й 8Ее (§Р • йг) = Х (§Р • уЖ (11)

Суммирование в правой части должно быть проведено по всем ограничивающим рассматриваемую частицу поверхностям. Воспользуемся понятием поверхностной плотности сил

8р8у

§рв1 т , 8а8у' у1 8а8р'

(12)

где индекс р е (а, в, у) для сил 8Ррг- и напряжений тр1 указывает направление нормали к рассматриваемой площадке в исходном состоянии, индекс 1 е (х, у, z) — направление проекции силы и скорости. С учетом возможных изменений сил и скоростей на противоположных гранях, предполагая все функции дифференцируемыми и заданными в переменных Лагранжа, для скорости изменения удельной энергии внешних воздействий, с учетом правила суммирования по повторяющемуся индексу, получим [3, 4]

й§ЕР _ . (13)

ю =

= + х1^рдтр1 ~Тр1Х;р ~да~

У 0й „„.р

Напряжения трг- образуют несимметричный тензор второго ранга, который для краткости будем называть напряжениями Лагранжа. Напряжения т р1 подобны напряжениям Пиола-Кирхгофа [1, 5], но отождествлять их нельзя, они отличаются областью изменения аргументов (переменными Лагранжа) и выбором начала отсчета шкалы средних напряжений, которое может быть смещено относительно общепринятой [6].

Для малой частицы закон сохранения энергии запишем в виде

й8Е = Хй§Е (кЪ) - й8Ее = 0. (14)

Представляя приращение энергии внешних воздействий (13) через объемную плотность скорости ее изменения ю = ё8Ее/(ё,8^0), закон сохранения энергии (14) можно записать в форме энергетического баланса:

ё8Е = 8 V (к1$1,' + к2$2,, + к3$3,, + •••

••• + Л13$13,, -ю)ё, = 0^ (15)

Исключая процессы с диссипацией, т.е. без учета инвариантов, связанных с интегрированием по времени, а также используя общепринятые соотношения для потенциальной и кинетической энергии (ось г направлена вертикально вверх) ё8Е1 = Р0 gzt ,

ё8Е2 = Р0 (X хи + У, У и + X zu )8 ^, в правой части (15) получим

ё 8Е1 + ё 8Е2 + ё 8Е5 + ё 8Е6 + ё 8Е7 = ю8 У0&г,

д$5 , , д$

дt

+ Л,

+ X'

7 д$7 =

617 + ^ИТ "Т^ +

Гдт

3— + Р0(gi - X',,,) да р

(16)

Так как энергия не должна зависеть от субъективных факторов, в том числе от выбора системы отсчета скоростей, сумма последних трех слагаемых в уравнении (16) должна обращаться в 0:

Га*,. ^

р;

да Р

+ Р0gi -Р0X,

= 0^

Обычно приравнивают нулю каждую из скобок: дт.

р;

да Р

+ Р0gi -Р0Х,,, = 0-

(17)

однако это предположение может привести к потере части возможных решений. Пренебрегая гравитационными силами, вместо (17) получим дт р

да

' = р0 Х,Й

(18)

При отсутствии ускорений правая часть обращается

в 0:

дт

р;

да

= 0^

(19)

Уравнения (18) и (19) называют дифференциальными уравнениями движения и равновесия [1, 5]. С учетом последних уравнений выражение для мощности (13) принимает вид ¿8£„

ю = -

Тр;'Х,,р •

(20)

Интегральную мощность

У = I тр;х,,р8^0 = I ю(Х,,а- Х,,Р- ХЛ)8а8р8У (21)

V. V,

можно рассматривать как функционал, в котором аргу-

ментами подынтегральной функции являются скорости обобщенных координат хир • Условиям экстремума функционала [7]

Г

да

дю

дх;

+ др

Г

дю

Л

дх;

Г

ду

дю

Л

дх;

у

= 0

с учетом мощности (20) соответствуют уравнения дтр;у да р = 0, которые совпадают с уравнениями равновесия (19). Отсюда следует, что уравнения движения (1) и соответствующее им поле скоростей с производными по направлениям х; 1р должны обеспечивать минимум интегральной мощности внешних сил, определяемой напряжениями Лагранжа тр; и расходуемой на деформацию рассматриваемого объема тела У0 в условиях, близких к статическим. Такое поле скоростей принято называть действительным [2].

Для каждой задачи, связанной с деформацией, можно предложить иные уравнения движения и поля скоростей, которые отличаются от действительных, но согласуются с условиями на границах тела. Такие поля скоростей называют кинематически возможными. Мощность внешних сил, вычисленная на основе таких полей скоростей и соответствующих им уравнений движения, должна превышать действительное ее значение. Из всех кинематически возможных полей скоростей ближе к действительному будут такие, которые соответствуют минимуму интегральной мощности (21), затрачиваемой на деформацию тела.

4. Напряжения и деформации Лагранжа

Важнейшими характеристиками процессов деформации являются напряжения Лагранжа (12), которые являются локальными обобщенными силами и характеризуют энергетические потоки на границах бесконечно малой частицы через поверхностную плотность сил или скорость изменения объемной плотности энергии частицы на соответствующих компонентах тензора х1 ,а • Именно они, в соответствии с дифференциальными уравнениями движения (17), определяют ускорения частиц и поведение системы. Напряжения Лаг-ранжа т р1 должны зависеть от внешних воздействий и свойств материала, которые присутствуют в законе сохранения энергии (16) в виде коэффициентов Л5 -

Зависимость напряжений от свойств материала и деформированного состояния можно найти из экспериментальных исследований, а также общих термодинамических принципов [8], к которым с полным правом можно отнести закон сохранения энергии. Для области обратимых деформаций (без учета инвариантов, связанных с интегрированием по времени) вместо урав-нения(14) получим

ё 8Е1 + ё 8Е2 + ё 8Е3 + ё 8Е5 + ё 8Е6 + ё 8Е7 = ю8 Уй&г.

Учитывая, что приращение третьего инварианта содержит производные третьего порядка по времени от

текущих координат, которые не могут входить в обобщенный закон движения (16), в дальнейшем ограничимся, с учетом дифференциальных уравнений движения (17), соотношением

к5 ¿к+к6 ^+к7 ^=т ..

5 дt дt 1 дt р

Инварианты (4) не включены в энергетический баланс обратимой деформации, т.к. их производные по времени содержат множители типа х1 ир, которые не входят в выражение (13) для мощности внешних воздействий.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых множителях х1 р, получаем зависимости между компонентами напряжений тр1, элементами тензора дх^ Эа р = = х1а и коэффициентами к, характеризующими физические свойства материала:

Трг = к58р1 + 2к6хг,р + к7Х,р • (22)

По существу, уравнения (22) являются аналогами закона Гука для области упругой деформации материалов. В соотношениях (22) и далее хх1 р — алгебраические дополнения элементов х1 р матрицы дх^Эар =

= х1,ар , тензор 8р1 = 1 для тах , ТРу' V и 8р1 = 0 для всех остальных напряжений, не расположенных на главной диагонали тензора трг-. В исходном состоянии, когда матрица Ъх^Эар = х1 а преобразуется в единичную, компоненты напряжений, не расположенные на главной диагонали тензора трг-, обращаются в 0 (Трх = тух = = тау =Туу =таг = Тр2 = 0). Отличными от нуля остаются только нормальные напряжения на гранях исходного прямоугольного параллелепипеда, все они одинаковы и зависят от коэффициентов к5, к6, к7: при t = 0

Тах = Тву = V = к5 + 2к6 + к7.

(23)

Условие (23) не исключает, что эти напряжения в исходном состоянии будут равны 0, если коэффициенты к5 - к7 будут определять не только свойства, но и выбор шкалы напряжений трг-, по аналогии с потенциальной энергией тел в гравитационном поле Земли.

Чтобы найти зависимость между напряжениями Лагранжа трг- и Коши Фу [1], рассмотрим энергетический баланс (13) в начальный момент времени, когда напряжения Лагранжа трг- совпадают с напряжениями Коши Фн

й8Ее = §¥й #.

(24)

Переходя от производных по переменным Эйлера дхи!дху = х11у к производным по переменным Лагранжа дх1 ¿1 Эар = х1 р с помощью общих соотношений, вытекающих из уравнений движения (1)

=1э/ -

дх1 ~ R Эа р Хир' 1 р

и приравнивая коэффициенты при одинаковых множителях х1 р в правых частях уравнений (13) и (24), полу-

чим систему линейных уравнений

Т р1 = ф Р ху, р,

которые формально совпадают со статическими условиями на контуре и определяют связь между напряжениями Лагранжа и Коши

Ф л =

Т р1ху,р Я

Эти равенства известны как зависимости между напряжениями Коши и Пиола-Кирхгофа [4, 5], но, как отмечено выше, напряжения Лагранжа отличаются областью определения переменных и возможностями изменения начала отсчета шкалы средних напряжений.

5. Физические свойства, определяющие движение и энергию

Скалярные коэффициенты к, позволяющие через наблюдаемые и непосредственно измеряемые кинематические параметры Ъ переходить к ненаблюдаемым энергетическим, должны характеризовать важнейшие физические свойства материала либо среды, в которой происходит движение. Так как они вместе с инвариантами Ъ входят в закон сохранения энергии, только 12 из инвариантов могут быть независимыми. Аналогично скалярные коэффициенты к ( = 1, ..., 12) зависят от выбора шкалы принимаемого за основу базового вида энергии, т.е. выбор значения и размерности одного из них оказывает влияние на значения и размерность других. Соотношение между этими множителями можно найти, рассматривая движения, когда изменяются соответствующие виды энергии.

Например, соотношение между коэффициентами при перемещениях к1 и скоростях к2, которые по общепринятой терминологии характеризуют потенциальную и кинетическую энергию, можно определить, рассматривая свободное падение тела в виде материальной точки при отсутствии сопротивления воздуха.

Если ориентировать ось г к центру Земли, уравнения будут иметь вид

х = а, у = в, г = у+и2(у, ¿).

Приращения потенциальной й8Е1 и кинетической й8Е2 энергии составят й8Е1 = -к18¥0г^ < 0,

й8Е2 = к28¥0й^2) = 2к28¥0^ > 0. Из закона сохранения энергии й 8Е1 + й 8Е2 = -к^ 8У0^ + 2к2 2( 2а 8 V0йt = 0 следует к1 = 2к2 . Если использовать общепринятое обозначение для ускорения свободного падения = g, тогда к1 = 2к2 g• Если рассматривать не частицу, а тело с массой т, тогда к1 = mg, к2 = т/2, что приводит к общепринятым выражениям для кинетической и потенциальной энергии тела

Ек = mv2/2, АЕр = mgАz•

Из приращения потенциальной энергии ё Ер = —т X Xgd г при направлении оси г к центру Земли или ё Ер = mgd г при направлении оси г от центра Земли обобщенная сила с модулем |2рг| = mg в обоих случаях направлена от центра Земли и противоположна обычно принимаемому направлению веса тела.

Коэффициенты к5 - к7 соответствуют свойствам материалов в области обратимых деформаций. Коэффициенты при интегральных по времени инвариантах, в том числе для пути (5), должны характеризовать дисси-пативные процессы, в том числе связанные с трением на внешних поверхностях частиц.

С учетом (22) напряжения Коши ст ji, как и напряжения Лагранжа тр;, можно представить через коэффициенты к5 - к7:

_ Ь

^ ji п (Taixj,a К

1

+ Tßix/\ß +TYiX/,Y) _

_ ~ [k5 xj,a + 2k6 (xi,axj,a + xi,ßxj,ß + К

+ xi,Y xj ,у ) + k7( xj ,a xi,a + xj ,ß xißß + xj ,Y xi,Y )]' (25)

например

_ К^

+ Tßxxß + TYXXY ) _

Y* Y'

_ 1[k5xa + 2k6 (+ 4 + + К

+ k7 (xa xa + xß xß + xy xxf)]' 1

К

^xy n (Ta»x

a

+ Tßyxß +TYyxY) _

1

= — [k5 xß + 2k6 (xa Уа + xß >ß + К

+ xy yY ) + k7( xa ya + x3 yß + xY yY

Учитывая, что множители коэффициента k7 в уравнениях (25) могут принимать только два значения:

xj,a\а + xj,ßxi,ß + xj,YXi,Y = К ПРи 1 =j и

xj,axi,a + xj,ßxi,ß + xj,Y\Y = 0 ПРи 1 * j' фактически коэффициент k7 входит только в нормальные напряжения

aii = УК (Taixi,a + Tßixi,ß + TYixi,Y ) =

= 1/R [к5 х;,а + 2к6( Х',а Х',а + + Х;',Р Х;',Р + х',у Xi)Y ) + к7 R]•

Основной инвариантной характеристикой напряженного состояния можно считать среднее напряжение Коши ст = (ст хх + ст уу + ст )/3, для которого из (25) получаем

3стЯ = к5$5 + 2кб$ 6 + 3к7$ 7, (26)

или с учетом $7 = Я = 8 V / 8 У0

ст = (к5$5 + 2к6$6)/(3Я) + к,.

Коэффициент к7 является аддитивной составляющей среднего напряжения, может влиять только на выбор начала отсчета шкалы средних напряжений и не

может характеризовать его изменение, которое зависит только от двух коэффициентов к5 и к6:

к5$5 + 2к5$6

Аст_А

3К

_ k5 I — - 1 51 3К

+2k6 [ж -1

Среднее напряжение в исходном состоянии можно определить из (26), если учесть начальные значения инвариантов R = 1, = 3, = 3, = 1,

a0 \t=0 = k5 + 2k6 + k7'

что согласуется с уравнениями (23). Можно допустить, что коэффициент k7 учитывает предшествующую обработку, в том числе пластическую деформацию, которая может привести к упрочнению и изменению энергетического состояния материала.

Будем считать, что в исходном состоянии для различных видов сплошной среды средние напряжения не следует принимать равными 0. Более того, значение a0 можно рассматривать как физическое свойство, а именно как объемную плотность энергии, связанную с тремя упомянутыми инвариантами, в исходном состоянии частицы.

Необходимость учета начального среднего напряжения следует, например, из сравнения закона упругого изменения объема a = 3Kе с законом Бойля-Мариотта pV = const, который можно преобразовать к виду

p - Ро = Pi(V - V)/Vo и трактовать как частный случай закона упругого изменения объема, если учесть 3e = AV/V0, а модуль объемной упругости K рассматривать как действующее в текущем состоянии давление.

Если коэффициенты k5 - k7 известны, тогда по уравнениям движения в форме (1) можно определить любые кинематические, а затем энергетические и силовые функции, в том числе напряжения Лагранжа по соотношениям (22) и Коши по уравнениям (25).

Принимая k5 = k7 = 0, можно существенно упростить анализ процессов упругой деформации, не вступая в противоречия с классической механикой. В частности, слагаемые напряжений Лагранжа с коэффициентами k5 и k7 не оказывают влияния на дифференциальные уравнения движения или равновесия, т.к.

dxa+axß+dxY

_ 0,

da dß dY и при k5 = const вместо (18) и (19) получаем

d2 x

д 2 xi

дар 2к^'й дар уравнения движения сводятся к трем уравнениям Пуассона или Лапласа, в каждое из которых входит только одна неизвестная функция. Методы интегрирования таких уравнений достаточно хорошо разработаны [9].

При к5 = 0 или дх^да; =дх^даj тензор трг- становится симметричным, как это имеет место в классической механике. Особенно важно, что в этом случае

xi „ или

_0,

напряжения и деформации Лагранжа отличаются лишь масштабным множителем т р1 = 2к6 х1 р, понятие напряжений становится избыточным, а свойства материала определяет только одна физическая константа к6. При к5 = к7 = 0, используя обозначение 2к6 = ф, вместо (26) получим

3фЯ = т р-х, р =ф^6- (27)

В работе [5] высказано предположение, что одного коэффициента ф достаточно для достоверного описания процессов деформации в упругой области, а для перехода от одной шкалы средних напряжений к другой следует ввести среднее напряжение Лагранжа т = фе и преобразовать уравнение (27) к виду

3фЯ = 3те + фГ2, где е = (еа + ер + еу )/3 — среднее значение изменения длин ребер бесконечно малого параллелепипеда ер = = (8//8/„)р = хр + ур + гр, ре (а, р, у) [10]. Тогда при всестороннем сжатии должна соблюдаться зависимость ст = фе2 ¡Я = ф/е = фЯ-^3. Для перехода к обычной шкале достаточно принять т = ф(е -1) и среднее напряжение Коши будет определять уравнение

Ф = те/Я = ф(е -1)/е2 = ф(1- Я"1/3 )/Я1/3. Для железа при ф = 3К и К = 169 ГПа это соотношение отличается от установленного экспериментально в диапазоне до 300 ГПа [11]:

Я = 1+ 5.286 •Ю-7 Ф+ 0.8-10-12 Ф2 с погрешностью не более 0.016 %.

Для линейного растяжения с уравнениями движения х = а(1 + еххX У =р(1-ЦЕхх^ г = у(1 -ЦЕхх X где ц — коэффициент Пуассона, из равенства (27) получаем стхх = фехх (1 - 2ц) или стхх = Еехх, если учесть зависимость между модулями упругости Е = 3К (1 - 2ц).

Возможность исключения инвариантов Ъ5 и Ъ7 из энергетического баланса и коэффициентов к5, к7 из уравнений (22) для процессов деформации твердых тел можно обосновать тем, что фактически они учитывают энергию частицы, связанную с изменением объема и отличаются лишь постоянным множителем. Для линейного инварианта Ъ5 при деформации твердых тел можно считать

Ъ5 = х„ + Ур + гу= 3 + е х +еу +ег =

= 3 + 3е = 3(1 + е) = 3(1 + А¥/¥) = 3Я, что в 3 раза больше инварианта Ъ7, который определяет отношение объемов R.

Таким образом, при сохранении в энергетическом балансе инвариантов Ъ5 и Ъ7 имеется возможность переоценки энергии, накопленной частицей твердого тела за счет изменения объема. Возможно, влияние этих инвариантов может быть существенным для материалов, например синтетических, которые допускают более широкий диапазон изменения объема.

Полную затрату энергии на упругую деформацию учитывает квадратичный инвариант

Ъ6 = ха + хр2 + х2 + уа +... + = 3е2 +Г2.

В правой части первое слагаемое 3е2 учитывает энергию на изменение объема, второе Г2 — на изменение формы. При неизмененном численном значении инварианта Ъ6 возможен переход упругой энергии изменения объема в упругую энергию изменения формы и наоборот, что может быть основой физических процессов, связанных с автоколебаниями и резонансом.

В работе [3] рассмотрены другие возможные варианты интерпретации коэффициентов к5, к6, к7 с учетом общепринятых соотношений и представлений о физических свойствах материалов в области упругих и пластических деформаций, в том числе с использованием условий пропорциональности шаровых тензоров и девиаторов напряжений и деформаций [6].

6. Условия перехода к необратимым деформациям

Энергетическая модель и уравнения движения в форме Лагранжа позволяют описать конкретные механизмы перехода от обратимых деформаций к необратимым. Будем понимать под условием пластичности возможность роста деформации за счет энергии, накопленной в деформируемом теле. Этому состоянию соответствует уравнение

А5(^ + к6(16), + к^ = 0.

Дальнейший анализ проведем для главных осей, предполагая, что в любой момент времени можно выбрать такую ортогональную систему координат, в которой сдвиги будут отсутствовать

к5 (Ха + Лр + Ху ) + 2к6 (хаха +

+ Ур у1р + ZtY ) + к;^^ = 0. (28)

Например, для всестороннего сжатия вместо (28) получаем

Ха (3к5 + 6к6 ха + 3к7 х^) = 0

и возможными решениями будут либо х1а = 0, либо

к5 + 2к6 ха+ к7 ха = 0.

С энергетической точки зрения условие пластичности сводится к возможности согласованного изменения трех инвариантов тензора деформаций, которое обращает в 0 левую часть равенства (28) при любых значениях коэффициентов к5 - к7. В этом случае возможно самопроизвольное движение только за счет внутренних источников. Решение при любых постоянных значениях коэффициентов к5 - к7 сводится к решению системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных функций — производных от компонент скоростей по направлениям

Ха + Лр + Ху = 0, хаХа + урytр + гуХу = 0, (29)

(29)

ха Ха + ур ytр + zt у = 0.

В условиях гидростатического нагружения система принимает вид

3х,а = 0> 3хах,а = 0, 3хах,а = 0

и имеет только тривиальное решение (х,а = 0), равномерная деформация расширения или сжатия невозможна без изменения накопленной энергии. В других условиях существование нетривиального решения однородной системы (29) для производных х,а, у,р, возможно при равенстве нулю ее основного определителя

ха (^ — Ур ) + Ур( ха — ZY ) + 2у (Ур — ха ) = 0

(30)

При линейном растяжении х = аехр(£х), у = рехр(—цех), г = Yexp(-цеx), за счет ур = ZY уравнение (30) обращается в тождество, допуская переход к необратимой деформации при сохранении направления главных осей и однородного деформированного состояния.

На первом этапе 0 < , < ,8 упругая деформация 0 <ех <е8 с отношением поперечных и продольных деформаций |е у/ е х| = ц приводит к накоплению энергии, в том числе за счет изменения объема: Я = ехр[е х (1 — 2ц)]

На втором этапе ^ < , < ,к появляется новая составляющая Дех > 0, которая отличается от деформации на первом этапе отношением поперечных и продольных деформаций |Де у/Де х| = ц', что обеспечивает возврат объема частиц к исходному значению при одновременном росте деформации в направлении растяжения:

х = аехр(ех +Дех

у = рехр(—ц£х — ц'Дех г = Y ехр (-Ц£ х -ц'Де х)-

Начиная с конца первого этапа при сохранении неизменного значения ех и росте Дех отношение объемов частиц и образца в целом составит Я = ехр [е 8 (1 - 2ц) + Де х (1 - 2ц')], Различным значениям ц' будут соответствовать различные степени восстановления объема и доли выделяемой энергии. Объем частиц возвращается к исходному значению, если дополнительная деформация удовлетворяет условию

Де х =-е„(1 - 2 ц)/(1 - 2 ц').

Чтобы продолжалось растяжение образца, знаменатель должен стать отрицательным, это возможно при ц' > 0,5, Конечно, полное восстановление объема не является обязательным. Восстановление объема зависит также от отношения деформаций Дех/ е^ Вариант полного восстановления объема возможен, например, при равенстве деформаций на первом и втором этапах, тогда ц' = 1 - ц В этом случае в начале второго этапа при Дех = 0 основные характеристики деформированного состояния достигают значений Я = ехр[е8(1 - 2ц)],

3е = 3 + е8 (1 - 2ц) + 0,5е82 (1 + 2ц2), Г2 = 3 + 2е8 (1 - 2ц) + 2(1 + 2ц) е82, Г2 = 2/3[е8 (1 + ц)]2,

В конце второго этапа при еа = ха= ехр (2е8), вр =

2 2

= eY = ехр(-е8) они составят R = 1, е = 1 + е8, Ге = 3 + + 12е82, Г2 = 6е82,

В итоге объем, средняя длина ребер и упругая энергия вернулись к исходным значениям при существенном изменении размеров частицы, среднеквадратическое отклонение Г2 выросло более чем в 2 раза, работа внешних сил практически полностью диссипирует в пространство.

Общее уравнение для необратимых деформаций без учета трения на внешней поверхности тела принимает вид

ДЕ = к5 Д$5 + к6 Д$6 + к7Д$7 + к8Д$8 + к9Д$9 +

+ к10Д$10 + к11Д$11 + к12Д$12 + к13 Д$13 •

Простейшим примером процесса с диссипацией энергии является деформация при нагреве изотропного твердого тела с уравнениями движения

х1 = а; (1 + ат ДТ) и приращением инвариантов

Д$5 = 3атДТ, Д$6 = 6атДТ + 3(атДТ)2, Д$7 = 3ат ДТ + 3(ат ДТ )2 + (ат ДТ )3, Д$11 = 3ат |ДТ|, Д$12 = ^3|атДТ|,

Д$13 =ат |ДТ|, где ат — коэффициент линейного расширения материала в рассматриваемом диапазоне температур ДТ = = Т - Т0• На деформацию затрачивается энергия

Д8Е = I с8тёТ = сау8тДТ или

Д8Е

Ж

= СауР0ДТ >

(31)

где р0 — плотность материала в исходном состоянии; сау — средняя теплоемкость в диапазоне от Т0 до Т.

Свойства, ассоциируемые с коэффициентами к11 -к13, по существу сводятся к одному сте, т.к. все три инварианта преобразуются к виду Д$; = А ат |ДТ|, где А — постоянные коэффициенты. Условие энергетического баланса принимает вид ДЕ = 3ат ДТ (к5 + 2к6 + к7) +

+ (3к11 +Лк12 + к13 )ат |ДТ| = = 3атДТст0 +ат |ДТ| сте, (32)

где сте = 3кп +Лкп + к13^ Приравнивая правые части (31) и (32), при ст0 = 0 получаем

сте = сауР^ ат • (33)

В соответствии с законом Грюнайзена [12], правая часть должна оставаться постоянной, что подтверждает ранее высказанное предположение, что величины к11 -

k13 можно рассматривать как физические свойства среды, связанные с процессами деформации, причем, как следует из работы [11], свойство сте более устойчиво, чем каждая из входящих в (33) теплофизических характеристик.

7. Обобщенные силы в абсолютно твердых телах

Для абсолютно твердых тел уравнения движения (1) могут быть получены в общем виде. Рассмотрим, например, плоскопараллельное движение в плоскости хОу тела с выделенными в нем двумя фиксированными точками Р и М с координатами в начальный момент Р0(а P, PP) и М0(а, в). В произвольный момент точки занимают новые положения с координатами P(xP, xP) и M(x, y). Угол между прямой РМ длиной L0, соединяющей рассматриваемые точки, и осью х в исходном состоянии обозначим ф0, в текущем состоянии — ф. Координаты в начальный и текущий моменты времени отличаются на величину проекций расстояния между ними на оси координат

a = aP + L0cosф0, в = вР + !^тф0, (34)

x = xP + L0cosф, y = yP + ¿^тф. (35)

Переходя к приращениям угла Дф = ф - ф0, получаем уравнения движения в форме Лагранжа x = xP + (а - ар) cos Дф - (в - вр) sin Дф,

У = УР + (а - ар) sin Дф+ (в - вр) cos Дф. Дифференцируя уравнения (36) по времени, получим соотношения между скоростями точек Р и М с учетом изменения угла ф в пространстве переменных Лаг-ранжа и Эйлера

Xt = (Xt )р-ф,[(а-а р) х х sin Дф + (в - вр) cos Дф],

У, = (У,) p + ф,[(а-а р) х

хcos Дф - (в - вр) sin Дф], x, = (x,) p-ф,(У - УрX

yt = (У,) p +ф,(х - хр ) (38)

и ускорениями

x,t = (xtt)P -ф,,[(а-ар)sin Дф +

+ (в-вр )cos Дф]-ф2[(а-ар )cos Дф-- (в-вр)sinДф], Уи = (У и ) P +ф,, [(а-ар )cos Дф--в-вр ^тДф]-фг2[(а-ар )sinДф + + (в-в р ) cos Дф], xtt = (xtt) p-ф,,(У - Ур)-фг2( х - хр

Уи = (У„ )P + ф,,(x - ^) - ф2 (У - Ур где Эф/dí = ф, и д2^3t2 =ф,, — угловая скорость и угловое ускорение рассматриваемого твердого тела.

(36)

(37)

(39)

(40)

Из общих уравнений (3 6)-(3 9) как частные случаи следуют уравнения для поступательного движения (Дф = 0) и вращения относительно неподвижного полюса P(a, b), когда a P = xP = a = const, PP = yP = b = const.

С помощью круговой подстановки можно получить соответствующие зависимости для других плоскостей, а принцип суперпозиции [13] предоставляет возможность описания любых пространственных движений и использования их для динамического анализа.

Для абсолютно твердых тел особый интерес представляет интегральная энергия для тела в целом:

d E, = Qjd qj. (41)

Как в уравнении (9), количество слагаемых в правой части (41) зависит не только от особенностей движения рассматриваемого тела, но и специфики его взаимодействия с другими телами, входящими в рассматриваемую систему. Под интегральными силами Qj следует понимать скорость изменения энергии Et при изменении соответствующей кинематической координаты qj:

Q. А

Qj dq j

Локальные и интегральные обобщенные силы — это математические функции с возможными механическими интерпретациями, которые можно использовать для расчета соответствующих составляющих энергии.

Обобщенные кинематические координаты qj в правой части (41) не обязательно должны быть независимыми. Для абсолютно твердых тел приращение работы внешних сил можно определять через совокупности сил, приведенных к различным точкам тела, а число используемых для расчета кинематических координат q j может превышать число степеней свободы рассматриваемого тела. Например, для тела, колеблющегося относительно неподвижной оси и имеющего всего одну степень свободы, в качестве кинематических координат может быть выбран либо только угол его поворота, либо угол поворота и изменения координат произвольного полюса, например центра масс. В более общем случае не исключен выбор двух полюсов, например при делении энергетических потоков в точках съема мощности [14]. Уравнение (41) следует рассматривать как обычное алгебраическое равенство с целью определения приращения энергии через удобные для рассматриваемой задачи совокупности обобщенных сил.

Рассмотрим методы расчета кинетической энергии тела с объемом V, плотностью р и массой m, которую определяет второй инвариант из (2), для случая плоскопараллельного движения:

Ek = 0.5¡pv28V = 0.5 j v28m = 0.5J (x2 + y?)8m.

V mm

С учетом соотношений (38) между компонентами скорости произвольной частицы и полюса Р находим

Вк = 0.51 {[(х,)Р + (Л)Р -

т

- 2Ф,[(х, )р(у - Ур ) - (у, )р(х - хр)] + + Ф2[( х - хр)2 +(у - ур )2]}8т.

Используя понятия центра масс С(хс, ус) и осевого момента инерции:

хСт = | х8т, уСт =| у8т,

т т

^ = I[(х - хр)2 +(у - ур)2] 8 т,

т

получим наиболее общую формулу для кинетической энергии при плоскопараллельном движении абсолютно твердого тела:

1 2 1 2

Ек = ^т^р + ^Ф,^р-Ф,т[(х,)р(ус -ур)-

- (у,)р(хс - хр)]. (42)

Приращение кинетической энергии можно записать в виде

dЕк = т{[(х, )Р -Ф,(уС - УР )](х,, )Р + +[(у1 )Р + Ф,(хс - хр)](у, )р}й + Ф,Ф,, Jpй,. Для расчета обобщенных сил можно выбрать приращения либо линейных и угловых скоростей й(х, )р , й(у,)р, йф,, либо перемещений йхР, йуР, dф. Кроме этого, полюс можно совместить с центром масс или с осью вращения (мгновенным центром скоростей). Итого получаем 6 возможных комплектов обобщенных сил, каждый из которых включает силы и моменты сил. Их значения и размерности будут различны, общее только одно: значение приращения энергии или скорость ее изменения при правильном использовании этих сил будут одинаковыми. Наиболее распространенными являются обобщенные силы на приращениях линейных координат центра масс. Они же соответствуют более простому виду уравнения (42) при (х1) Р = (х1 )С:

Ек = 0.5то2С + 0.5фг2/С. (43)

Два слагаемых в правой части обычно связывают с поступательным и вращательным движением тела. Но соотношение между этими частями зависит от выбора полюса. Инвариантом является только их сумма, которая совпадает с энергией вращательного движения, если совместить полюс с мгновенным центром скоростей. Записывая приращение уравнения (43) в виде

й Ек = т( х,, )с й хс + т( у,, )с й ус + Jc Ф„ й Ф, получаем обобщенные силы

^х)С = т(хп )с, (^ )с = т(у« )с, (44)

МС = Фй-/С,

первые две из которых совпадают по форме с законом Ньютона (F = та), что дает основание называть их «ньютоновыми» силами [15].

При совмещении полюса с мгновенным центром скоростей в роли обобщенных будут центробежные си-

лы [16], характеризующие скорость изменения кинетической энергии абсолютно твердых тел на скоростях изменения расстояния между центром масс и мгновенным центром скоростей. Так как положение этих точек не зависит от выбора системы координат наблюдателя, центробежные силы менее зависимы от субъективных факторов.

Уравнение (43) записано в инвариантной форме и применимо не только для плоскопараллельного, но и для пространственного движения абсолютно твердого тела.

Для изменения потенциальной энергии тела с массой т (ось г направлена от центра Земли) следует использовать приращение координаты в соответствующем направлении (или скорость ее изменения для мощности потенциальных сил Wp):

й Е„

йЕр = mgйг, Wp = mgzt. (45)

Форма (45) позволяет выбрать способ определения энергии внешних воздействий (11) на поверхности бесконечно малых частиц. Однако интегральные по объему обобщенные силы для твердых тел должны учитывать приращение работы не только на линейных, но и на угловых перемещениях: й Ее = Qiй х, + М1й ф1.

В теоретической механике обычно используют термин точка приложения силы. Принимая во внимание энергетический смысл обобщенных сил и возможность произвольного выбора полюса, их правильнее называть точками приведения обобщенных сил.

Главным отличием интегральных по объему обобщенных сил для абсолютно твердых тел является их возможное многообразие, в том числе с появлением пассивных сил, которые направлены ортогонально скорости точки их приведения, и поэтому их мощность равна 0. К ним, в частности, относятся центробежные силы при вращении тела относительно неподвижной оси. Значительно больше вариантов появления пассивных сил возникает при описании энергии внешних воздействий.

Пассивные силы следует отнести к потенциальным, часто они обеспечивают выполнение кинематических связей и могут производить мощность при изменении этих связей. Пассивные силы могут порождать не совпадающие с ними по направлению другие силы, например силы трения на поверхностях контакта. К пассивным должны быть также отнесены силы на неподвижных опорах механизма. В соответствии с общепринятыми представлениями, расчет пассивных сил выполняют по уравнениям статики, однако получаемые при этом результаты могут оказаться заниженными по сравнению с их расчетом на основе анализа энергетических потоков.

Утверждение о неоднозначности пассивных сил, возникающих как в подвижных, так и в неподвижных опорах, является одним из важных результатов перехода к энергетической интерпретации обобщенных сил и методов их определения. Именно максимально возможные значения пассивных сил должны учитываться при проектировании механизмов, а также при проверке их на прочность, устойчивость и надежность. По существу, единственным способом однозначного описания состояния элементов системы является переход к скалярным инвариантам.

Разработанная на основе энергетической модели методика динамического анализа различных механизмов обеспечивает выполнение закона сохранения энергии для любой части исследуемой системы в произвольном интервале времени [14].

8. Заключение

Предложена концепция, в которой энергия как обобщенная скалярная функция любых видов движения представлена в виде суммы слагаемых, каждое из которых зависит только от одного инварианта уравнений движения в форме Лагранжа. Использование закона сохранения энергии позволяет получить основные соотношения классической механики, включая дифференциальные уравнения движения и равновесия, а также соотношения между напряжениями и деформациями, преобразованные к пространству переменных Лагран-жа. Предлагаемая концепция открывает новые возможности для решения различных задач, в том числе по обоснованию физических свойств материалов, входящих в математическую формулировку энергии, методов их определения, возможности изменения шкалы средних напряжений с учетом объемной плотности энергии частиц в их исходном состоянии. Рассмотрены вопросы многовариантности выбора обобщенных сил для абсолютно твердых тел, включая пассивные силы на контактах смежных тел механической системы.

С позиций энергетической модели механики предложено рассматривать второй закон Ньютона как один из способов определения обобщенных сил, характеризующих приращение кинетической энергии абсолютно твердого тела на приращениях расстояния между началом координат системы наблюдателя и центром масс движущегося тела.

Литература

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. - М.: Наука, 1970. -492 с.

2. Колмогоров В.Л. Напряжения, деформации, разрушения. - М.: Металлургия, 1970. - 460 с.

3. Алюшин Ю.А. Энергетические основы механики: Учеб. пособие для вузов. - М.: Машиностроение, 1999. - 192 с.

4. Алюшин Ю.А. Определяющие соотношения при лагранжевом описании обратимой и необратимой деформации // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2007. - № 5. - С. 47-56.

5. Хилл Р. Математическая теория пластичности. - М.: Гостехиздат, 1956. - 408 с.

6. Алюшин Ю.А. Энергетическая шкала средних напряжений и физические свойства металлов в области обратимых и необратимых деформаций // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2010. - № 3. - С. 95-104.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1986. - 720 с.

8. ИшлинскийА.Ю. Механика: Идеи. Задачи. Приложения. - М.: Наука, 1985. - 624 с.

9. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1964. - 830 с.

10. Алюшин Ю.А. Механика твердого тела в переменных Лагранжа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Машиностроение, 2012. - 192 с.

11. Кэй Дж., Лэби Т. Таблицы физических и химических постоянных. - М.: ГИФМЛ, 1962. - 246 с.

12. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. - М.: Наука, 1973. - 456 с.

13. Алюшин Ю.А. Принцип суперпозиции движений в пространстве переменных Лагранжа // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2001. - № 3. - С. 13-19.

14. Алюшин Ю.А. Силовой расчет шарнирно-рычажных механизмов на основе анализа энергетических потоков // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2003. - № 2. - С. 125-133.

15. Ишлинский А.Ю. К вопросу об абсолютных силах и силах инерции в классической механике // http:termech.mpei.ac.ru.

16. Alyushin Yu.A. Energy nature of centrifugal and Newtonian forces // Int. J. Mech. Eng. Automat. - 2016. - V. 3. - No. 3. - P. 121-127.

Поступила в редакцию 17.01.2018 г.

Сведения об авторе

Алюшин Юрий Алексеевич, д.т.н., проф. МИСиС, [email protected]