Кинематические возмущения в динамике механических колебательных систем: обобщенные подходы в построении математических моделей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62.752 Хоменко Андрей Павлович,

д. т. н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения,

тел /факс: 8(3952) 63-83-11 Елисеев Сергей Викторович,

д. т. н., профессор, г. н. с., директор научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, тел/факс: 8(3952) 59-84-28, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В ДИНАМИКЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ: ОБОБЩЕННЫЕ ПОДХОДЫ В ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

A. P. Khomenko, S. V. Eliseev

KINEMATIC DISTURBANCES IN DYNAMICS OF MECHANICAL OSCILLATORY SYSTEMS: THE GENERALIZED APPROACHES IN CREATION OF MATHEMATICAL MODELS

Аннотация. Рассматриваются вопросы обобщения подходов в решении задач динамики машин на основе сопоставления методов построения математических моделей уравнения движения машинных агрегатов и виброзащитных систем.

Динамические аналогии, привлекаемые для построения алгоритма формирования математической модели механической цепи, используют понятия приведенного механизма и объекта защиты. Показано, что построение базовых моделей основано на использовании понятий о приведенных силах и моментах сил, приведенных моментах инерции и массах, а также других параметров, таких как приведенные жесткости. Методологические продолжения таких представлений создают условия для расширения теоретического базиса динамики механических колебательных систем путем расширения набора типовых элементов систем и введения дополнительных связей, среди которых особое значение имеют рычажные.

Показано, что формирование приведенных параметров механических систем происходит с применением рычажных связей, которые проявляются через соотношение скоростей, что трансформируется в соотношения между элементами размерной цепи или конфигурации механической системы.

Предложена обобщенная математическая модель механической цепи общего вида, приводимая к начальному звену, обладающему приведенными характеристиками. Показано, что выделение звена приведения эквивалентно выделению объекта защиты в задачах вибрационной защиты с последующим уточнением способов и средств определения приведенных параметров. Предлагаемый подход раскрывает новые возможности в постановке задач виброзащиты путем целенаправленного формирования приведенных массоинерционных свойств и учета особенностей внешних воздействий со стороны опорных поверхностей механических колебательных систем.

Ключевые слова: приведенные массы и моменты инерции, звено приведения, математическая модель движения, объект защиты, дополнительные связи.

Abstract. Questions of synthesis of approaches in the solution ofproblems of dynamics of machines on the basis of comparison of methods of creation of mathematical models of the equation of the movement of engine units and vibroprotective systems are considered.

The dynamic analogies attracted to creation of algorithm offormation of mathematical model of a mechanical chain use concepts of the given mechanism and object of protection. It is shown that creation of basic models is based on use of concepts about the specified forces and the moments offorces, the given moments of inertia and masses, and also other parameters, such as given rugged-ness. Methodological continuations of such representations create conditions for expansion of theoretical basis of dynamics of mechanical oscillatory systems by expansion of a set of standard elements of systems and introduction of additional ties among which the lever have special value. It is shown that formation of the specified parameters of mechanical systems happens to application of lever ones ties which are shown through a ratio of speeds that is transformed to ratios between elements of a dimensional chain or a configuration of mechanical system.

The generalized mathematical model of a mechanical chain of a general view brought to the initial link possessing the provided characteristics is offered. It is shown that allocation of a link of reduction is equivalent to allocation of object ofprotection in problems of vibration protection with the subsequent specification of modes and means of determination of the specified parameters. The offered approach opens new opportunities in vibroprotection problem definitionby purposeful formation of the properties given the mass-inertial properties and the accounting offeatures of external influences from seatings of mechanical oscillatory systems.

Keywords: specified masses and moments of inertia, reduction link, mathematical model of the movement, object ofprotection, additional ties.

Введение

Управление динамическим состоянием технических объектов в теоретических и практических аспектах нашло отражение в широком спектре задач динамики современных машин [1, 2]. Большое внимание при этом уделяется колебаниям машин в различных формах проявления, характерных как для переходных, так и для установившихся режимов работы [3, 4]. Вопросы динамики машинных агрегатов относятся к достаточно раз-

витому направлению современной теории механизмов и машин со сложившимся теоретическим базисом [5-7].

Особенностями обобщенного подхода в решении разнообразных задач динамики машин являются методологические позиции, основанные на возможности построения математических моделей машин и механизмов к базовой модели в виде звена приведения с соответствующим формированием приведенных параметров, характеризующих

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

силовые факторы и массоинерционные свойства системы. Такой подход в формировании уравнений движения машинных агрегатов обладает большими возможностями в исследовании и оценке параметров исходных систем в периодических движениях машинных агрегатов с учетом их нелинейных свойств и конструктивно-технических особенностей.

Задачи вибрационной защиты машин, оборудования, приборов и аппаратуры как одно из актуальных направлений современной динамики машин в методологическом плане решаются на аналогичных основах, в рамках которых широко используются представления о базовых системах [8-10]. Выделение объекта защиты от вибрационных воздействий предопределяет возможности обобщенных представлений о динамических связях в механических колебательных системах, рассматриваемых в виде расчетных схем для оценки, контроля и необходимых измерений динамического состояния технических систем в специфических режимах [11-14].

В предлагаемой статье развивается обобщенный подход в построении математических моделей для машин и механизмов, работающих в режиме малых колебаний относительно установившегося динамического состояния, что предполагает объединение возможностей использования моделей звена приведения машинных агрегатов с определением массоинерционных параметров исходной системы в пределах одного оборота ведущего звена и моделей упругих взаимодействий относительно выбранной конфигурации механизма.

I. Общие положения. Особенности постановки задачи исследования. Особенность обобщенного подхода в динамике машин заключается в том, что динамическая система, каковой является технологическая машина, приводится к основной или базовой модели в виде звена приведения. Такое звено обладает приведенными массоинер-ционными параметрами; к этому звену приводятся все действующие на машину силы, что в конечном итоге позволяет получить уравнение движения машинного агрегата [2, 5, 6].

Аналогичная ситуация складывается при решении задач вибрационной защиты. Особенности такой задачи заключаются в том, что рассматриваются динамические взаимодействия в механической колебательной системе, содержащей объект защиты, упругодиссипативные и массоинерционные элементы. В упрощенной форме задача может быть сведена к рассмотрению базовой модели (по аналогии с динамикой машинного агрегата). Базовая модель представляет собой механическую систему из объекта защиты - это звено, обладающее массоинерционными свойствами. Упругие элементы рассматриваются как линейные

элементы с сосредоточенными параметрами или с распределенными, которые могут приводиться к эквивалентным сосредоточенным. В систему входит стойка или опорные поверхности. Базовая модель виброзащитной системы в виде механической колебательной системы с одной степенью свободы также может рассматриваться как некоторый механизм, обладающий определенными особенностями. В частности, объект защиты может обладать приведенной массой, а упругий элемент базовой модели может иметь приведенную жесткость, отражающую упругие свойства всей системы [9, 10, 12]. Базовая модель в рамках линейной теории может отражать и детализированные представления о виброзащитной системе в плане учета сил сопротивления и конструктивно-технических особенностей виброзащиты и виброизоляции, что реализуется через введение в исходную систему дополнительных связей [15].

Вместе с тем в определении приведенных параметров динамических систем различного назначения имеются вполне определенные представления об эквивалентных соотношениях и условиях приведения параметров.

1.1. Приведенные параметры динамических взаимодействий. Для виброзащитных систем с развитой структурой, имеющих в своем составе многозвенные образования или контуры, используются различные методы математического моделирования, среди которых в силу специфики динамического состояния объекта защиты одной или двумя координатами может быть использован метод приведения сил и масс к объекту защиты как звену приведения.

Приведенные массы (или моменты инерции) во многих случаях возникают за счет переменности передаточных отношений, если не изменяются массы самих звеньев. Приведенная масса является специально вводимым понятием и не связано с представлениями о физическом изменении массы твердых тел.

Приведенная масса формируется исходя из эквивалентности кинетических энергий приводимой и приведенной систем. Этим, в частности, объясняется широкое использование для построения математических моделей механических систем уравнения Лагранжа второго рода в форме, полученной для систем с постоянной массой [16].

1. Виброзащитная система (ВЗС) представляет собой систему с распределенными и сосредоточенными параметрами. Объект защиты и элементы системы обладают механической инерцией, которая распределена по звеньям ВЗС, поскольку и масса системы распределена по звеньям. В то же время в системе могут находиться элементы, которые отождествляются с понятиями сосредото-

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

ченной массы, что соотносится с конструктивно-техническими особенностями ВЗС.

Для упрощения исследований и составления математических моделей распределенные параметры представляются в форме сосредоточенных. При этом массы звеньев считаются сосредоточенными в центрах тяжести. При этом учитывается инерция во вращательных движениях звеньев, что связано с определением моментов инерции звеньев относительно осей, проходящих через центры тяжести. В целом выбор подходов для упрощения представления звеньев зависит от поставленных задач исследования и носит эвристический характер [5-7, 17].

Обычно ВЗС состоит из нескольких звеньев, нагруженных различными силами и парами сил. Для исследования движения ВЗС можно для каждого звена составить уравнение движения как для свободного твердого тела с известной массой, совершающего плоскопараллельное движение с учетом внешних сил и сил реакций кинематических пар отброшенных звеньев. Таким образом может быть сформирована система совместных уравнений движения. При решении такого ряда уравнений возникает ряд проблем, которые проявляются при учете особенностей реакций связи, накладываемых кинематическими парами [18].

Вместо составления и решения системы уравнений, число которых соответствует числу подвижных звеньев ВЗС, при исследовании систем с одной степенью свободы могут использоваться подходы, основанные на использовании приведенных сил и масс. В этом случае вместо многозвенной ВЗС рассматривается упрощенная модель, в которой объект защиты выбирают в качестве звена приведения.

Если звено приведения входит со стойкой (или неподвижным базисом) в поступательную пару, что характерно для ВЗС, то за точку приведения можно принять любую точку звена, как показано на рис. 1, а. Однако, возможны и другие формы выбора звена приведения (рис. 1, б, в), что зависит от особенностей объекта защиты.

Выбрав одну из схем, показанных на рис. 1 , а, б, в, можно найти приведенную силу Qпр, момент приведенной силы, приведенную массу тпр и приведенный момент инерции Jпр.

Приведение силы и пары сил выполняется на основе принципа возможных перемещений, который состоит в том, что сумма элементарных работ всех внешних приложенных к ВЗС сил на всех возможных перемещениях точек приложения этих сил равна элементарной работе приведенной силы или приведенного момента на соответствующем возможном перемещении.

а)

б)

в)

Рис. 1. Различные схемы приведения сил и масс: а) поступательно движущееся звено с точкой приведения;

б) вращающееся звено

с приведенным моментом пары сил и приведенным моментом инерции;

в) вращающееся звено с точкой приведения

2. В виброзащитной системе с одной степенью свободы каждая ее точка может совершать только одно перемещение, которое и является ее возможным перемещением.

Если ориентироваться на возможности аналитического аппарата теории цепей или теории автоматического управления [13, 14, 19], то можно использовать не элементарную работу сил и моментов пар сил, а их мощности, что, в частности, дает возможности использовать понятия импедан-сов [20, 21]. Так как в системах с одной степенью свободы возможные перемещения совпадают с действительными перемещениями, определяющими действительные скорости отдельных точек ВЗС, то мощность любой силы Q¡ можно подсчитать по формуле

N, = Q, ■ У, ■ cosa,, (1)

где N¡ - мощность силы Q¡; v¡ - скорость точки приложения силы; a¿ - угол между направлением силы и скорости.

Если известна величина Mj момента пары сил, приложенных к звену j, и угловая скорость oj того же звена, то мощность можно определить:

N = м, ■ ш j. (2)

Так как сумма мощностей приводимых сил и моментов пар сил равна мощности приведенной силы и мощности приведенного момента пары сил, то:

Qt =Ъ ■™+£м , (3)

,=1

м пр =£ Q,

У ■cosa,

ю

j=i j=n

VR

■ +

j=i

^ ю,

X M, , (4) ^ ю

,=i

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

где m - число всех приведенных сил; п - число всех приводимых пар сил, приложенных к звеньям ВЗС; VB - скорость точки приведения, расположенной на вращающемся звене, или скорость любой точки поступательно движущегося звена; ю -угловая скорость звена приведения.

3. Приведенные силы Qпр и моменты сил Mпр зависят не только от приводимых сил, но и от отношения скорости, а отношения мощностей отдельных точек ВЗС с одной степенью свободы могут или быть постоянными, или зависеть только от положения механизма. При этом отношение скоростей не должно зависеть от скорости объекта защиты. Такой подход, особенности которого описаны в [5, 6], в системах с одной степенью свободы позволяет производить приведение сил без знания действительного закона движения звеньев, а затем уже пользоваться этими приведенными характеристиками закона движения.

!.2. Приведенные массы в виброзащитных системах. Приведение масс производится на основании равенства кинетических энергий, т. е. приведенная система должна обладать той же кинетической энергией, что и заданная система. Определяется величина приведенной массы или приведенного момента инерции, подсчитывается величина кинетической энергии всех звеньев ВЗС, величины приравниваются. Кинетическая энергия звена приведения содержит либо искомый приведенный момент инерции, либо искомую приведенную массу, которые из полученного равенства и определяются.

В плоской ВЗС каждое звено может или двигаться поступательно, или вращаться, или совершать плоскопараллельное движение.

При плоскопараллельном движении звена его кинетическая энергия определяется следующим образом:

7-2 2

Г = Л ю , ту.

- + -

щения. Если звено движется поступательно, то его угловая скорость ю равна нулю, и для вычисления его кинетической энергии достаточно одного второго члена правой части (5).

Кинетическая энергия всей ВЗС равна сумме кинетических энергий всех ее звеньев и определяется:

Т=2

ту*

2

- + -

2

(6)

где i = 1, 2,..., п (п - число подвижных звеньев ВЗС).

Выражения кинетической энергии для точки и для звена приведения можно записать в виде

Т =

тпр УБ

Т=3 пр Ш

2 2 где mпр - приведенная масса ВЗС; vB - скорость точки приведения; Jпр - приведенный момент инерции относительно оси, совпадающей с осью вращения звена; ю - угловая скорость звена приведения.

Приравнивая величину сначала кинетической энергии точки приведения, а затем звена приведения величине кинетической энергии ВЗС, получим

т.

=2

г=1

Л пр = 2

1=1

Л.

Л

^ш V

Л, V

+ т.

V УБ )

ш,

Ш

V ;

ш

Л, V

+ т.

VШУ

(7)

(8)

, (5)

2 2

где первое слагаемое правой части представляет собой кинетическую энергию во вращательном движении звена, а второе - кинетическую энергию в поступательном движении вместе с центром тяжести того же звена. В равенстве (5) JS - момент инерции звена относительно оси, проходящей через его центр тяжести; ю - угловая скорость звена; m - масса звена; vS - скорость центра тяжести.

Если звено вращается вокруг неподвижной оси, то поступательная скорость vS центра тяжести равна нулю, и для вычисления кинетической энергии звена достаточно одного первого члена правой части (5). В этом случае момент инерции J0 звена вычисляется относительно неподвижной оси вра-

Эти выражения по структуре одинаковы, поэтому достаточно проанализировать одно из них, например равенство (8).

1. Приведенный момент инерции зависит от квадрата отношения скоростей; эта величина переменная, зависящая от положения элементов ВЗС. В частном случае, когда передаточное отношение между элементами ВЗС не меняется (дополнительные связи в виде зубчатых передач с круглыми колесами, фрикционных и ременных передач и т. д.), приведенный момент инерции остается постоянным. Величина приведенного момента инерции всегда положительна. Так как отношения скоростей отдельных точек ВЗС зависят только от взаимного положения элементов, то приведенный момент инерции не зависит от скорости движения объекта защиты. Приведенный момент инерции в общем случае является переменным из-за переменного передаточного отношения, массы же звеньев чаще всего бывают постоянны. Так как приведенный момент инерции вычисляется из равенства кинетических энергий,

1=1

2

4'

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

то при динамических расчетах с приведенным моментом инерции можно пользоваться уравнением Лагранжа второго рода и уравнением кинетических энергий в дифференциальной и интегральной формах [6, 12]. Например, для планетарного механизма (рис. 2) приведенный к звену 1 момент инерции определяется выражением

т = т+зт2 + тя =

Jl <<

+ 3 •

Л <Ю2 + т:

•(^1 + )2 •<

JH Юн 2

(9)

2 2 где Я1 и Я2 - радиусы начальных окружностей колес 1 и 2; юн - угловая скорость водила Н.

При заданных размерах 1АВ, 1ВС и I

мо-

т = ■

Л. •Ю? Л -ю2 т-у2

1А

2

■ + ■

2

■ + ■

2

■ + ■

т • у г

с

777/

Рис. 3. Приведение масс в кривошипно-шатунном механизме

откуда может быть найден приведенный момент инерции:

Л пр = Л1А +

^ю v

л, А2

+ т-,

Ю,

л, V

+ т.

.(10)

Выражение (10) можно представить в виде

^ = + Л

I

2 Г,

Рис. 2. Приведение масс в планетарном механизме

Так как передаточные отношения рассматриваемого механизма являются постоянными, то приведенный момент инерции Jпр получается постоянным и может быть легко вычислен. Рассмотренный пример характерен взаимодействиями нескольких вращательных движений, в которых реализуются соотношения между радиусами звеньев, что представляет собой форму проявления рычажных связей во взаимодействиях звеньев. В работах [8, 9, 15] рассмотрены детализированные примеры взаимодействия звеньев ВЗС, совершающих угловые колебания. Определенный интерес представляют взаимодействия элементов в механизмах с разными видами движения звеньев, например для кривошипно-шатунного механизма (рис. 3).

пр

+ т2 - ^Б

2

АБ 12

1БС

"СБ

+

V УБ У

Л, ^

(11)

V УБ У

+ т3 -1АЕ

V уБ У

ментов инерции J1A и Л х звеньев 1 и 2, масс т2

и т3 звеньев 2 и 3 (рис. 3) кинетическая энергия всего механизма будет равна сумме кинетических энергий всех его звеньев:

2

2

Последнее выражение свидетельствует о том, что приведенный момент инерции масс звеньев зависит от расположения элементов ВЗС, так как в (11) входят отношения линейных скоростей отдельных точек механизма. В рассматриваемом механизме приведенный момент инерции является периодической функцией положения механизма, т. е. функцией его обобщенной координаты, каковой является угол ф поворота кривошипа к линии отсчета. При рассмотрении механизма на рис. 3 как базовой виброзащитной системы, в которой звено 3 с массой т3 является объектом защиты, методическая основа построения соотношений между массоинерционными параметрами отдельных звеньев остается неизменной, хотя в системе в целом формируются нехарактерные для механизмов особенности движения звеньев. В частности, механическая система на рис. 3 при наличии дополнительных упругих связей к, например между тт. А и С, имеет возможность формировать малые колебательные движения относительно некоторого положения статического равновесия. Объ-

2

н

с

V Ю1 У

Vю! У

2

2

с

2

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ект защиты mC (m3) совершает малые колебания относительно положения равновесия при внешних возмущениях, которые могут представлять собой колебания опорной поверхности (точка Л) или это силу, приложенную непосредственно к объекту защиты. В этом случае кривошип не реализует своих возможностей в создании конечного вращения, но определяет структуру или конфигурацию механической системы, создавая возможности вариативных изменений передаточных свойств всей системы в решении специфичных задач вибрационной защиты [22, 23].

Общность приемов в построении математических моделей для машинных агрегатов и виброзащитных систем создает определенные преимущества в решении задач динамического синтеза виброзащитных систем [9, 10, 24, 25].

Задача исследования, исходя из развиваемых исходных положений, заключается в обосновании возможности и разработке подходов к построению обобщенных математических моделей виброзащитных систем, включающих в свой состав кроме традиционных элементов дополнительные связи в виде механических цепей, в том числе и механизмов, совершающих малые колебательные движения относительно установившегося динамического состояния.

II. Построение обобщенной математической модели. Представленная на рис. 4 виброзащитная система может рассматриваться в виде механизма с одной степенью свободы, который опирается на вибрирующее основание.

Рис. 4. 1-е звено ВЗС, опирающееся на основание, вибрирующее по координатам x, у и у

Под действием вибраций основания, то есть при кинематических воздействиях, объект защиты будет совершать малые колебания, а конфигура-

ция механизма обладает упругими и массоинерци-онными свойствами. Предполагается, что углы установки звеньев можно считать в силу малости отклонений условно постоянными. Полагаем, что опорная поверхность в общем случае имеет поступательную двухкомпонентную и вращательную степень свободы в одной плоскости.

Построение математической модели движения виброзащитной системы рассматривается около положений устойчивого динамического равновесия.

Для составления дифференциального уравнения движения ВЗС используется уравнение Ла-гранжа второго рода:

С (дТл

ск

дф

дТ дП _

--+ — = 22-.

дф дф

где ф - обобщенная координата (угол поворота звена приведения ВЗС в относительном движении).

Рассматривается общий случай, показанный на рис. 4.

В соответствии с рис. 4 система координат х1й1у1 жестко связана с опорной поверхностью I и может иметь угловую вибрацию вокруг т. 01 по закону у = у(?). Поступательное движение, в свою очередь, имеет вибрации в двух перпендикулярных направлениях: х = х(^ и у = у(Г). Эти движения параллельны осям 0х и 0у неподвижной системы координат. На рис. 4 показана также вторая неподвижная система координат х20у2, ось 0х2 которой горизонтальна, а 0у2 - вертикальна. Система координат хОу повернута против часовой стрелки на угол у относительно х20у2. Системы координат х101у1 и х0у выбраны так, что при отсутствии угловых движений основания при у = 0 их оси совпадают.

Центр тяжести Si рассматриваемого /-го звена ВЗС имеет абсолютную скорость, определяемую выражением

— — Сш йх Су

V = V, + р, — + — + — , (12)

С С й

где Vз, =

СБ, Сф

- относительная скорость (по

Сф с

отношению к основанию) центра тяжести, Si - перемещение центра тяжести в относительном дви-Су

Сг

жении; р,

переносная скорость от угловых

движений основания;

носные скорости от опорной поверхности.

Сх Су

р, = ,Схх ИСУ - перепоступательного движения

Отметим, что /-е звено имеет также абсо- где g - ускорение свободного падения, П(?) - часть

потенциальной силы, зависящей от времени г и не зависящей от угла поворота ф, П0(ф) - потенци-(13) альная энергия упругих элементов, деформация

лютную скорость углового движения: Сф1 ^ Су Сф, Сф Су Сг Сг Сф Сг Сг

п которых зависят от ф, С - некоторая константа,

Здесь ф/ - угол поворота /-го звена в относитель- г ^ г

определяющая статическое смещение.

ном движении. Угол относительной скорости Vs,

Если плоскость работы механизма составля-

с осью х1 обозначается через а з , а угол ет угол а0 с вертикалью, то в уравнении (16) вме-

СБ,

5г = ZБ■°1x2. Величины рь —L, а5 и о/ зависят

Сф '

от угла поворота ф звена приведения ВЗС в относительном движении и не зависят от времени г. Что касается х, у и у, то они являются заданными функциями времени.

Используя (12) и (13), найдем выражения для кинетической и потенциальной энергий механической системы в целом:

Т=IЛ-(ф)-(Сф '

+1 ( СШ12 2 (л, + т. Р 22)+

Су Сф 1

сг сг 2

2 V сг

Л

Сф, СБ

+2 т,

,=1

+ т, р, —-Сф Сф

Су Сх . /_ ч

, "(5, +У) +

сг сг

+ Су ^Су р (5 +у)+

сг сг г у' 7

Сх Сф СБ, / \

+-------со8(а„ + у 1+

Сг Сг Сф у 3 '

Су Сф СБ: . / \ + —------L • 81п 1а„ + у)+

сг сг Сф у 3 '

)+

sin (а Б

-5,)

1 (Сх + 2 •[ ~Сг

1

+ — • 2

(14)

л пр (ф)=2

,=1

Л,

^СфгЛ2 ( сб\ }2

Сф

+ т.

Сф

(15)

сто g нужно принять g • cosа0.

Из выражения (11), используя (14) и (16), делаем ряд преобразований, найдем дифференциальное уравнение движения механизма в виде

л (ф)С!ф+1СЛпр(ф)•(С^2 +

Л пр (ф) С? 2 Сф I Сг1

С 2у 1

Ю2 2

С ф, СБ . I \

Л-- + т1 р —- sin (а — о()

С ф С ф 4 ' '

_Г СуТ р,Ср-

1 Л 1 2-1 ' ' Сф

СБ . / \ —(а, + у) — Сф

—Ср sin (у+ 5) — Сф ^ ''

—р, ССГ~ ^ (у+ 5,) С ф

СБ . / \ —(аБ +у) — Сф

—Ср cos (у+ 5) + Сф ^ ''

+р, sin (у+5,) С ф

СБ

Сг

С у Сх 1

----х 2 т

Сг Сг ,=1

С у Су 1 +—— — х 2т,.

Сг Сг ,=1

С х 1 СБ, / \

+--—х 2 т.---- cos(у + а )"

Сг 2 Сф Б

,=1 2.. 1

С у ^ СБ. . / \

+-^тх2 т--Т--яп (у+а Б,)-

СБ

(17)

Сг2 2 ' Сф (у ^

где / = 1, 2, 3,. - номер звена механизма, у - количество звеньев, подвижных в относительном движении. Jпр (ф) - приведенный момент инерции ВЗС, определяемый выражением

+£-2т, •

Ср sin (у+5 +у) + С ф , '

+р, Ст" cos (у+ 5, + у) С ф

СП0 Сф

= 2.

В практике встречаются более простые случаи, чем описанные уравнением (17). В частности, основание или опорная поверхность ВЗС может иметь только поступательные или крутильные

Здесь Ji - момент инерции /-го звена механизма,у - количество звеньев относительно центра тяже- вибрации Уравнение движения при поступатель-

сти, т/ - масса /-го звена. Согласно рис. 4, потенциальная энергия ВЗС определится

ных вибрациях из уравнения (17) при у = 0:

П = g •

с/

2т,р, (у + 5,- + у) + П(г)

,=1

+П 0 (ф) + С,

Лр (ф)с

2ф 1 СЛпр (ф) ( сф

г2 + 2

С ф

+

(16)

+

С2 х

• ^ (ф)+• / (ф)+^ (ф)

+

СП0 Сф

(18)

= 2,

,=1

+

2

2

,=1

2

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

где

F (<p) = £ mi~T~c Tí dp

f (pp) = ^^m¡dS-'. Tí dP

p(p)=g 'X m ■

(19)

sin (у+ §,■)+

dp

+ P'dTÍ ■ cos(y + S,) dp

П0(ф) - потенциальная энергия упругих элементов (пружин), деформация которых определяется малым угловым движением по координате ф, вызывающих изменения положения системы.

В последнем уравнении Р(ф) при рассмотрении конкретных ВЗС принимает более простой вид, так же как и П0(ф) [25, 26].

Т1 dw dy

Из (17) при —1- = — = 0 имеем: dt dt

г (^dV 1 dJnp (p) Гdp J*(p) dt2 2 dp

+^H(p)-íIЛ(p)-

dt2

(20)

+K (p, y) + ^ = Q, d p

где

H (p) = X

i=l

dp dS . í 0 \

J — + тг p t— sin (a s - 5 г )

dp

dp

h(p)= X тг Pi-pL , tí dp

J

K (p V) = g 'X

m,

-sin (y+ 5 г +y) +

dp

+ Pi ' c0s(y + 5i +v) dp

,(21)

П0(ф) определяется конфигурацией системы упругих связей.

Отметим, что поступательная и крутильная вибрации, согласно уравнению (17) на относительное движение влияют связано. Поступательные вибрации основания х(?) и у(?) на движение влияют независимо друг от друга.

Поступательные вибрации основания не влияют на потенциальную энергию элементов, обладающих силами тяжести. Однако поступа-

тельные и крутильные колебания опорных поверхностей формируют переносные движения, влияющие на деформации упругих элементов и на величины их потенциальной энергии.

Особенности таких взаимодействий рассмотрены в работах [27, 28]. В решении многих задач вибрационной защиты движение основания выбирается вертикальным, при этом полагается, что ортогональные движения не оказывают существенного влияния на движения системы в целом, если задачи виброзащиты не относятся к числу специальных.

В решении конкретных задач вибрационной защиты построение эквивалентных в динамическом отношении математических моделей требует во многих случаях учета особенностей расположения в механических цепях кинематических пар и приведения характерных точек к новому базису. Рассматриваются некоторые возможности переносов характерных точек звеньев с формированием компенсирующих корректировок параметров мас-соинерционных характеристик.

III. Возможные упрощения исходной системы размещения масс. В рассмотренных выше уравнениях (15)-(21) методический подход основан на получении точных инерционных параметров звеньев механических систем, что приводит в конечном итоге к определенным трудностям,

возникающих из-за того, что рг- , as и некоторые

другие величины, входящие в (15)-(21), находятся в громоздкой зависимости от закона движения основания и угла ф поворота звена приведения ВЗС. При упрощении расчетов возникает необходимость массы звеньев элементов ВЗС размещать не в их центрах тяжести, а в таких точках, где более

простым путем можно определить угол а между

их относительными и переносными скоростями. Для сохранения динамической эквивалентности при составлении уравнений движения упрощенным способом могут быть введены фиктивные дополнительные безмассовые моменты инерции для соответствующих звеньев. В частности, такой подход предлагается в [29]. В этом случае при невозможности динамического уравновешивания, как это трактуется в [5, 6], массы звеньев размещаются в удобные точки и, исходя из условия сохранения неизменности моментов инерции отдельных звеньев, вводятся дополнительные моменты инерции.

Тогда первые два уравнения (15) и (19) после такого размещения масс принимают вид

S

S

г=1

1 41

р (ф)=ЕЕ

С®

т

р

г =1 р1 =1 1 4,

/ (ф)=ЕЕ

,р dф с®.

-008 а.

т

р

р

г=1 р, =1

сф

-8111 а,

1 41

л пр (ф)=ЕЕ

г =1 рг =1

т

Г

сф

+ д/

СФг сф

(22)

тА1 + т (I - ь) = 0,

(23)

Д/ = у | (Ц +1 - х)2 уСх +

о

Ь+ь+Ь / л

+у I" (Ц +1 -х)2уСх-|1---I-тв1?,

¿1 1 т )

(24)

I =

тР

ц + Ь+Ц

Ь,

т

т = У о

| .У сХ,

Ь

о ¿1

(25)

где pi = 1, 2, ..., qi - номера замещающих точек массы /'-го звена, qi - количество этих точек для /го звена, т. - масса /-го звена, помещенная

в точке , Д/ - фиктивный дополнительный момент инерции /-го звена относительно его центра тяжести, арр - угол между векторами относительной и переносной скоростями точки .

IV. Особенности определения дополнительных масс. В качестве примера рассматривается пример размещение массы звена ВЗС (рис. 5) в двух заданных точках А и В, лежащих на прямой с центром тяжести

| (х - Ц )уСх - | (Ц - х )уСх 0 0 _ В зависимости от особенностей звена ДJ может принимать не только положительные, но и отрицательные значения. Задаваясь законом изменения у(х), можно получать выражения для аппроксимации. Относительная ошибка момента инерции, если ограничиться только статическим размещением массы звена и полагать, что у = а + Ьх при Ь1 = Ь2 = 0, будет равна:

Д/

3 • (2 + 5)

52 + 65 + 6

(26)

V. Виброзащитная система с двухповод-ковой группой Ассура второго рода. В данном случае (рис. 6) виброзащитная система в определенном смысле обладает свойствами кривошипно-шатунного механизма при объекте защиты с массой тС.

Рис. 5. Распределение по длине массы звена механизма

Уравнения статического размещения можно представить в виде

Ь1 + ь+ь2

тА + т = у- |уСх,

где тА и тВ - массы, помещенные в точках А и В соответственно, I - расстояние от точки А до центра тяжести у - масса единицы объема звена, у = у(х) - площадь поперечного сечения звена (звено принято из однородного материала).

Вводимый фиктивный дополнительный момент инерции может быть определен выражением

Рис. 6. Кривошипно-шатунный механизм, находящийся

на поступательном вибрирующем основании (1, 2 -рычаги механизма, 3 - упругий элемент жесткостью к)

Составим упрощенное дифференциальное уравнение движения системы, когда основание имеет поступательные прямолинейные колебания по закону х = х(^. Разместим массы звеньев ВЗС в соответствии с (23)-(25) в точках А, В, С (тА, тВ, тС). Фиктивные дополнительные моменты инерции для звеньев 1 и 2 обозначим ДJ1, ДЛ2 соответственно. Из схемы на рис. 6 следует, что

где

Ь + Ь+ь

2

2

х

0

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ав = 90 ° + ф + с - у,

а с = с-у,

(

1 +

А • cos ф Vi - Я2 sin 2

Л

• R • ф sin ф

(27)

sin ф

где R = AB, L = BC.

Согласно (18) дифференциальное уравнение движения примет вид

/ (m)dV 1 dJ-p (ф) (dф

пР (ф) л "

+-

d2 x

d2'

2 d ф

F (ф) + P (ф) + П о (ф) = Q,

(28)

где

л 2 2

Г Í \ А Г П2 Л г А cos ф

Jnp (ф) = AJ1 + mBR 2 + AJ2 • 2

1 - А2 sin2 ф

+ mcR2

F (ф) = -R •

1 +

• sin 2 ф,

А•cos ф д/i-А2 sin2 ф mB • sin (ф + с - у) +

(

m

1 +

А•cos ф

дД -А2 sin2-

2

Р(ф) = gR •

sin ф X sin ф • cos(c - у)

mB • cos^ + c)-

(

1 +

А•cos ф

V1 - А2 sr 2

Л

sin ф

• sin ф

.(29)

А = *.

I

П0(ф) определяется жесткостью пружины к (рис. 6) при изменении расстояния ЛС.

Трансформация уравнения (28) от координаты к координате движения по направлению ЛС может быть выполнена из очевидных геометрических соотношений на схеме (рис. 6).

Заключение. Решение задач динамики машинных агрегатов на основе выбора звена приведения с последующим определением приведенных масс, моментов инерции и внешних воздействий можно рассматривать как систему динамических аналогий по отношению к задачам вибрационной защиты. В этом отношении выбор ведущего звена в машинном агрегате аналогичен выбору и определению параметров объекта защиты с соответствующими приведенными характеристиками внешних воздействий.

Предлагаемая схема построения обобщенной модели механической цепи с ориентацией на учет кинематических возмущений со стороны основания или опорных поверхностей расширяет представления об особенностях процессов динамических взаимодействий между элементами механических колебательных систем. Показано, что приведенные параметры могут использоваться для эквивалентных преобразований исходных систем, когда возникает необходимость удобного выбора в размещении точек приведения или соединения элементов. Возможность использования в схемах приведения отрицательных приведенных масс или моментов инерции не противоречит принципам динамики, поскольку отражает направления инерционных сил при взаимодействиях элементов системы. Вместе с тем приведенные параметры определяют частотные возможности динамических систем и режимы динамических состояний при вынужденных колебаниях.

Кинематические возмущения механических систем обладают большим спектром динамических возмущений на исходную систему в силу изначальной возможности формирования переносных и относительных движений по сравнению с силовыми возмущениями.

В связи с этим в развитых структурах механических колебательных систем при наличии нескольких видов движений, вызванных вибрациями опорных поверхностей, возможны проявления новых форм самоорганизации движения элементов, в том числе режимов единичного, узкополосного и широкополосного динамического гашения колебаний.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вульфсон И.И. Колебания в машинах СПб. : Изд-во СПГУТД, 2006, 2008. 260 с.

2. Вейц В.Л., Коловский М.З., Качура А.Е. Динамика управляемых машинных агрегатов. М. : Наука, 1984. 352 с.

3. Брискин Е.С., Жога В.В., Чернышев В.В., Малолетов А.В. Динамика и управление движением шагающих машин с цикловыми движениями: монография / под ред. Е.С. Брискина. М. : Машиностроение, 2009. 191 с.

4. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б. Прикладные задачи структурной теории виброзащитных систем. СПб., Политехника, 2013. 364 с.

5. Щепетильников В.А. Уравновешивание механизмов. М. : Машиностроение, 1982. 256 с.

6. Крейнин Г.В., Бессонов А.П. Воскресенский В.В. и др. Кинематика, динамика и точность механизмов. М. : Машиностроение, 1984. 216 с.

ve =

+

2

\

X

/

-m

C

\

7. Левитский Н.И. Колебания в механизмах М.: Наука, 1988. 356 с.

8. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N., Khomen-ko A.P. Dynamics of Mechanical System with Additional ties. Irkutsk : Irkutsk State University, 2006. 315 p.

9. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск : Изд-во ИГУ, 2008. 523 с.

10. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука, 2011. 394 с.

11. Коловский, М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М. : Наука, 1976. 320 с.

12. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск : Ир-ГУПС, 2012. 288 с.

13. Возможности интеграции методов теории цепей и теории автоматического управления в задачах динамики машин [Электронный ресурс] / С.В. Елисеев и др. // Наука и образование. 2012. №6 // technomag.edu.ru:: электронное научно -техническое издание. URL. http:// technomag.edu.ru/doc/378699. html. (Дата обращения: 10.06.2012).

14. Концепция обратной связи в динамике механических систем и динамическое гашение колебаний [Электронный ресурс] / С.В. Елисеев и др. // Наука и образование. 2012. № 5. URL.http://technomag.edu.ru /doc/378353. html. (Дата обращения: 10.05.2012).

15. Елисеев С.В., Волков Л.Н., Кухаренко В.П. Динамика механических систем с дополнительными связями. Новосибирск : Наука, 1990. 386 с.

16. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики : В 2-х т. Т. II. Динамика. 6-е изд., пере-раб. и доп. М. : Наука, ГРФМЛ, 1983. 640 с.

17. Бессонов А.П. Основы динамики механизмов с переменной массой звеньев. М. : Наука, 1967. 280 с., ил.

18. Лурье А.И. Аналитическая механика. М. : Наука, 1968. 720 с.

19. Дружинский И.А. Механические цепи. Л. : Машиностроение, 1977. 240 с., ил.

20. Harris' C.M., Allan G. Shock and Vibration Handbook. USA/ Mc Graw-Hill, New-York. 2002. 877 p.

21. Елисеев С.В. Импедансные методы в исследовании механических систем (основы теории). Иркутск : ИПИ, 1979. 87 с.

22. Хоменко А.П. Механизмы в упругих колебательных системах особенности учета динамических свойств, задачи вибрационной защиты машин, приборов и оборудования / А.П. Хоменко, С.В. Елисеев, А.И. Артюнин, Е.А. Паршута, Е.В. Каимов ; Иркут. гос. ун-т путей сообщения. Иркутск, 2013. 187 с. Деп. в ВИНИТИ 15.08.2013, № 243.

23. Елисеев С.В. Динамика механических колебательных систем: структурные аналогии, механические цепи / С.В. Елисеев, А.О. Московских, Е.В. Каимов ; Иркут. гос. ун-т путей сообщения. Иркутск, 2013. 117 с., ил. Деп . в ВИНИТИ 23.12.2013, № 378.

24. Елисеев С.В. Современные проблемы динамики машин. Защита от вибраций и ударов / С.В. Елисеев, А.П. Хоменко, С.В. Барсуков ; Иркут. гос. ун-т путей сообщения. Иркутск, 2011. 165 с. Деп. в ВИНИТИ 21.03.2011, № 135.

25. Елисеев С.В. Методологические подходы в системном анализе и математическом моделировании механических колебательных систем / С.В. Елисеев, А.И. Артюнин, Ю.В. Ермошенко и др. ; ИрГУПС. Иркутск , 2013. 96 с. Деп. в ВИНИТИ 07.02.2013, № 37.

26. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Ситов И.С. Динамика механических систем. Рычажные и инерционно-упругие связи. СПб. : Политехника, 2013. 319 с.

27. Елисеев С.В., Трофимов А.Н., Каимов Е.В. Конструктивно-технические формы использования рычажных связей в задачах динамики подвесок транспортных средств // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. № 5-2. С. 14-23.

28. Елисеев С.В., Каимов Е.В., Кинаш Н.Ж. Особенности учета скольжения в кинематических парах динамических гасителей колебаний // Вестн. Иркут. гос. техн. ун-та. 2014. № 10 (93). С. 43-49.

29. Рагульскис К.М. Механизмы на вибрирующем основании (вопросы динамики устойчивости). Каунас : Ин-т энергетики и электротехники АН Литовской ССР, 1963. 240 с.