CC BY
48
УДК 531.8
М.М. Закатов
К ТЕОРИИ «ИНЕРЦИОИДА»
В статье рассматривается вопрос о причинах движения механического устройства -«инерциоида». Показано, что попытки использования движения «инерциоида» в качестве примера нарушения теоремы механики o движении центра массы системы материальных точек являются необоснованными.
Ключевые слова: механика, законы, теорема о движении центра массы системы материальных точек, сила инерции, вращение массы, «инерциоид».
M. Zakatov
TO THE THEORY OF «INERTIOID»
The article views the topical issues of the causes of mechanical device motion "inertioid" and concerns the attempts of using "inertioid" motion as the example of violation mechanics theorem of the motion of the centre of mass material point systems are unfounded.
Keywords: mechanics, laws, motion of the centre of mass material point systems theorem, force of inertia, weight rotation, "inertioid".
В последнее время вновь возрос интерес к построению механических устройств, двигающихся «вопреки» законам механики и получивших название «инерциоид». В частности, в начале 2001 г. на «Радио России» прозвучало сенсационное сообщение об открытом в США и совершенно засекреченном новом принципе движения, который по своей значимости для развития человечества находится на уровне достижений науки и техники ХХ века. Так как и в США ведутся работы по созданию «инерциоидов», то есть основания полагать, что именно такое механическое устройство дало повод к таким утверждениям.
Интерес к построению таких устройств давний, ещё в 1930 - 1940 годы в СССР инженером В.Н. Толчиным было построено подобное механическое устройство [1]. Теоретическим и экспериментальным изучением движения «инерциоида» занимались многие авторы и в [1] приведена библиография по этому вопросу.
Наблюдения за движением «инерциоида» производят необычное впечатление и, на первый взгляд, это движение противоречит законам механики: например, «инерциоид» двигается тем лучше, чем меньше трение между ним и поверхностью, по которой он перемещается. При прыжке с ладони «инерциоид» потянет её за собой, а не оттолкнёт ладонь от себя как, например, прыгающая с ладони лягушка.
Эти факты, вероятно, и заставляют некоторых авторов объяснять причины движения «инерциоида» силами инерции, обусловленными вращательным движением масс.
По мнению автора этой статьи, искать причины движения «инерциоида» вне рамок механики следует в том случае, если движение «инерциоида» невозможно описать известными методами.
Целью этой работы является теоретическое исследование и объяснение движения «инерциоида» известными методами механики.
Рассмотрим механическую систему (рис. 1), состоящую из платформы массой M (включая массу двигателя и т. д.) и двух грузиков массой m каждый. Грузики закреплены на невесомых стержнях длиной £ каждый, которые, в свою очередь, закреплены на оси двигателя, находящегося на платформе, и могут вращаться вокруг оси двигателя в горизонтальной плоскости при соблюдении следующих условий:
94 -
Научные и образовательные проблемы гражданской защиты - 2011'3
( = -(; ®2 = -®1. Здесь: (1,(2- углы, задающие положения грузиков; й^,^ - их угловые скорости.
О
Х
Рис. 1. Схема «инерциоида» и системы координат
Движение «инерциоида» будем рассматривать в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землей, в декартовой системе координат ХОУ, лежащей в горизонтальной плоскости. На рис. 1 использованы следующие обозначения:
Гм - вектор центра масс С платформы; rm1 rm2 - векторы положения грузиков;
Г1 Г2 - векторы положения грузиков относительно платформы;
|Г/| = Г2| =£.
Платформа может перемещаться в горизонтальной плоскости. Между платформой и плоскостью есть сила трения, проекцию на ось ОХ которой зададим следующей моделью: \FTPX\ < k(M + 2m)g .
Здесь: k - коэффициент трения; g - ускорение свободного падения. Составим Лагранжиан «инерциоида»:
L = 2M(Гм )2 + 2 т1 (Г»1 )2 + 2 m2 (Гт2 )2 , r = r + r r = r + r
ml 'м^ 'l> m2 'м^' 2'
Из симметрии задачи следует, что центр масс С платформы и центр масс «инерциоида» могут двигаться только вдоль оси ОХ, следовательно,
к = 2 МхМ + 2 т!( ХМ -2 ХмС1Г1 ^пШ + ®12 Г12) + 2 т 2 (^ -2 Хм®2 + ®22
В качестве обобщённых координат выберем углы и координату центра масс плат-
формы хм . Обобщённые силы соответственно равны: ММ1(^1), ЫЫ2(ф2) - вращающие моменты, приложенные к стержням со стороны двигателя, и сила трения FIP (хм). Уравнения движения «инерциоида» имеют вид:
1РХ \ м )■>
^ _ 1к = * (х ); (2)
(3)
(4)
Ж 1 хм 1 хм
а 1 к 1 к =
Ж 1 ф 1ф
а 1 к 1 к =
= ММ ф = ММ ,(фД
а; 1 ф2 1 ф2 2^2)
Подставив Лагранжиан в (2) - (4), получим:
(М + т1 + т2)х м - §1п(ф1)); - т2г2(©2 э1п(ф2 )); = ^ (хм ),
тхг2ах -щтхX м Б1п(ф1) = ММх(фф),
т2Г2С2 - т2Г2Х м ^^п(ф2 ) = ММ2(ф2).
Введём обозначения: ф = \ф1\ = \ф2\, ю = = \ю2\, получим:
(М + 2т)х м- 2т1(° 8т(ф)); = ^(хм);
2
(5)
т1 а - т1Хм Бт(ф) = ММ(ф). (6)
Эти уравнения устанавливают однозначную связь между ускорением платформы X м и угловым ускорением грузика с.
Заметим, что уравнение (5) можно интерпретировать следующим образом: по платформе вдоль оси ОХ движется масса 2т с ускорением
Х м - 1 (С ^Ч^У;
относительно системы координат ХОУ. В соответствии с третьим законом механики на платформу со стороны массы 2т по оси ОХ действует сила
2т(х м -1 (с ^п(фЮ.
Таким образом, «инерциоид» может быть построен не только на вращательном движении грузиков, но и на их поступательном, относительно платформы, движении.
Выразим из (5) X м и подставим в (6):
•/т 2т . 2.,.. та2 . .„М(ф) $,т(ф)п „ , . с(1 зт2(ф))_—— зт(2ф) = . *1рХ(хм). (7)
М + 2т М + 2т т1 I (М + 2т)
Это уравнение позволяет по заданному моменту двигателя и заданной силе трения определить движение грузика и, следовательно, определить движение платформы. Но, ввиду нелинейности уравнения (7), решить эту задачу механики не представляется возможным. Поэтому будем ре-
шать обратную задачу: задавая модель движения платформы, определим по (5) алгоритм управления движением грузика, а по (6) найдем потребную мощность двигателя.
Потребуем, чтобы платформа передвигалась только в положительном направлении оси ОХ, т. е. хм > 0 в любой момент времени t, а в начальный момент времени t = 0 платформа покоилась, причём её центр масс находился в начале координат, т. е.:
Хм(0)= 0; Хм(0)= 0; Х м(0)= 0. (8)
В дальнейшем индекс м опустим и будем писать: х, Х, Х. Предположим, что при t = 0 начальные углы поворота грузиков были равны:
ф(0) = фо.
Проведём исследование движения «инерциода» для следующей модели движения платфор-
2п
мы: на интервале времени 0 < t < tl = — ускорение центра масс платформы задаётся законом:
У
Х^) = аsin(г С учётом (5) получим:
Х^) = аsin(гt) = р(esin(ф)+a>2cos(ф))-kg, (9)
где приведённая длинар определяется формулой:
2т ,
Р =-1.
М + 2т
При условии:
Х ^1) = 0, (10)
из (9) с учётом (8) получим: а
Х(/) = —(l-cos(yt)) = рomn(ф)-kgt; (11)
У
а sin(yt) kgt2
х(0 = - А--—) = р(cosфo) cos(ф)) — —. (12)
г У 2
Из (12) получим:
Из (11) получим:
^(ф) = . (13)
РУ У 2Р
а (1 - ))+kgt юЮ = 1-——-. (14)
Из (9) получим:
Р^Ц^Х/
- с2 cos(^)
а sin(yt) + kg 2
е(0=-Р-. (15)
Бт(^)
При движении платформы должны выполняться требования непрерывности скорости платформы, перемещения платформы, угла поворота грузика, угловой скорости грузика. Угловое ускорение грузика может меняться скачком соответственно скачкообразным изменениям вращающего момента двигателя.
Для данной модели движения платформы до момента времени t = 0:
1. Скорость и ускорение платформы равны нулю.
2. Угловая скорость и угловое ускорение грузика равны нулю.
3. Начальный угол поворота грузика равен: ф(0) = ф0.
В момент времени t = 0 на электродвигатель скачком подаётся напряжение для создания вращающего момента и, соответственно, углового ускорения грузика: £0 = е(0). Из требования X (t1) = 0 получим соотношения:
2ж
1) для момента времени: t1 =-; (16)
У
2жа
2) смещения платформы: х1 = x(t1) = —— ; (17)
У
X nkg
3) угла поворота грузика: cos(f1) = cos(f0)-— (1+-); (18)
р a
2nkg
4) угловой скорости: ю1 = ®(ti) =-. (19)
РУ sin(<A)
kg
— - ©12 cos($ )
5) углового ускорения грузика: e1= s(t1) = —-. (20)
sin(<A)
Определим закон управления движением грузика и мощность электродвигателя, необходимую для этого управления, чтобы осуществить на интервале 0 < t < t1 заданное движение платформы, для следующих исходных данных:
m = 2 кг; М = 6 кг; t = 0,4 м; а = 1^2; у = 14 ^Д ; фо = 30°; g = 10 ^. (21)
Приведённая длина: р= 0,16 м, е0 = 1,250 .
Расчёты проведём для коэффициента трения: k = 0,01. На момент времени t1 = 0,4488 с получим:
xi = 0,0321 м; ф1 = 52,96°; а>1 = 0,3514^ ; £i = 0,6898^ .
Максимальная скорость движения платформы достигается в момент времени
^ = 0,2244 с и равна: X (= 0,1429 f. 2 2 с
Расчёт потребного вращающего момента будем проводить по формуле (6)
MM(t) = ml 2ä(t) - mlX м (t )sin(0),
а мощность электродвигателя по формуле
N(t) = MM(t)rn(t).
В табл. 1 приведены результаты расчётов кинематических характеристик движения грузика (закон движения) и потребной мощности электродвигателя в зависимости от времени при коэффициенте трения k = 0,01.
Таблица 1
Закон управления движением грузика и мощностью электродвигателя (к = 0,01)
t, с y(t), град х (t), ^ MM(t), Нм N(t), Вт
0,00 30,00 0,0000 1,2500 0,0000 0,4000 0,0000
0,05 30,29 0,2701 9,0971 0,6442 2,6511 0,7161
0,10 31,82 0,8213 11,7798 0,9854 3,3539 2,755
0,15 34,96 1,336 7,953 0,8632 2,149 2,872
0,20 39,20 1,569 1,281 0,3350 0,2404 0,3774
0,25 43,64 1,483 - 4,577 - 0,3508 - 1,271 - 1,885
0,26 44,47 1,429 - 5,453 - 0,4780 - 2,013 - 2,876
0,30 47,45 1,158 - 7,776 - 0,8716 - 1,975 - 2,286
0,35 50,196 0,7575 - 7,657 - 0,9825 - 1,847 - 1,399
0,40 51,88 0,4451 -4,376 - 0,6313 - 1,003 - 0,4464
0,42 52,35 0,3768 -2,417 - 0,3924 - 0,5250 - 0,1978
0,43 52,56 0,3578 -1,359 - 0,2602 - 0,2695 - 0,0964
0,4488 52,96 0,3514 0,6899 0,0000 0,2208 0,0776
Потребуем, чтобы на интервале времени ^ < < ^ грузик повернулся от угла ф1 до угла ф2 = п. Зададим закон движения грузика на этом интервале таким образом, чтобы платформа оставалась неподвижной, т. е. ускорение платформы оставалось равным нулю. Из (9) следует, что при этом должно выполняться неравенство:
\p(esin(y)+а>2cos(y)) \ < kg.
Пусть на этом интервале е = 0, следовательно, ю = Неравенство примет вид:
р ю12 \ < kg.
При угле = п получим:
Р < kg. (22)
Это неравенство можно представить в виде:
ю1 < к>0 -
Для заданных: т, М, I, а, у, ф0, g, с учётом (16) - (19), неравенство имеет решение относительно коэффициента трения к, при котором возможно осуществление заданного движения платформы:
k <k Л — min ■
k = ^(P (
min ' Vi
Kg X ]¡
x
2(1 - cos(4) + + cos(^) -1) -1). (23)
P
Для исходных данных (21),
kmin = 0,0767; Vo =0,7906 .
Следовательно, на интервале времени 11 <1 < t2 платформа будет оставаться неподвижной при движении грузика на этом интервале по закону:
£ = 0, т = т1, т. к. коэффициент трения k = 0,01, и =0,3514 ^^ .
Определим значение момента времени t2.
ь = и + ф — ф = 7,899 с.
Потребуем, чтобы на интервале времени t2 < t < 13 грузик повернулся от угла ф2= п до угла ф(13) = 2п+ ф0 и при t = 13 угловая скорость грузика была равна нулю: т( 13) = 0.
Зададим закон управления движением грузика следующим образом:
t —1
£ (1) = £з±-12. ;. (24)
13 — 12
= + 01- (25)
2 t3 12
Ф(1) = t2) + ^(1 —12) + п. (26)
6 13 —12
Из условий: ю(^) = 0 и ф(^) = 2п+ ф0,
2ю, 3(п + ф0)
следует: £3 = -- и г] =-, где г] = 13- t2.
г] 2т1
Получим: 1з = 23,54 с, £з = - 0,0449 ^ .
Проверим выполнение условия неподвижности платформы:
\p(£sin(ф)+т2cos(ф))\ < р(\£3\ + ю12) = 0,027 < kg = 0,1.
Условие неподвижности платформы выполняется, следовательно, на интервале времени 12 <1 < 13 платформа будет неподвижной.
В момент времени 13 на электродвигатель подаётся скачком напряжение для скачкообразного изменения углового ускорения грузика от
£з = - 0,0449 ^ до £о = 1,250 ^ .
С момента 1 = 1з закон управления движением грузика повторяется с периодом
Т = 23,544 с.
Рассмотрим влияние коэффициента трения на закон управления движением грузиков.
Из формулы (12), являющейся следствием теоремы о движении центра масс системы, следует, что центр масс платформы при отсутствии трения (к = 0), независимо от закона управления движением грузика, движется периодически, с возвратом в первоначальное положение при возврате грузика в первоначальное положение. Как изменится мощность электродвигателя при увеличении коэффициента трения?
В табл. 2 приведены результаты расчётов кинематических характеристик движения грузика (закон движения) и потребной мощности электродвигателя в зависимости от времени при коэффициенте трения k = 0,05.
Таблица 2
Закон управления движением грузика и мощностью электродвигателя (к = 0,05)
t, с град 1/5 О е(0, ? х (^, ^ ММ() Нм Щ^, Вт
0,00 30,00 0,0000 6,250 0,0000 2,000 0,000
0,05 30,65 0,5124 13,58 0,6442 4,083 2,092
0,10 33,16 1,249 14,59 0,9854 4,238 5,292
0,15 37,68 1,866 9,431 0,8632 2,596 4,844
0,20 43,54 2,166 2,639 0,3349 0,6599 1,231
0,25 49,79 2,155 - 2,705 - 0,3508 - 0,6513 - 1,411
0,26 51,02 2,124 - 3,474 - 0,4780 - 0,8144 - 1,730
0,30 55,69 1,940 - 5,381 -0,8716 - 1,146 - 2,224
0,35 60,85 1,668 - 5,004 - 0,9825 - 0,9148 - 1,526
0,40 65,33 1,486 - 1,917 - 0,6313 - 0,1545 - 0,2296
0,42 67,02 1,465 - 0,1793 - 0,3924 0,2316 0,3393
0,43 67,86 1,467 0,7427 - 0,2602 0,4305 0,6315
0,4488 69,45 1,498 2,496 0,000 0,7987 1,196
Ю1 = 1,498^; е5 = - 0,8163 t2= 1,748 с; Ь= 5,418 с.
° с2
Проверим выполнение условия неподвижности платформы:
\р^т(ф)+ю2^(ф))\ <р(\е3\ + о2) = 0,4897 < kg = 0,5000.
Условие неподвижности платформы выполняется, следовательно, на интервале времени t2 < < t3 платформа будет неподвижной.
С момента t = t3 закон управления движением грузика повторяется с периодом Т = 5,418 с. Из расчётов, представленных в табл. 1 и 2, следует, что при увеличении коэффициента трения необходимо увеличение мощности электродвигателя для реализации заданного закона движения платформы. При этом период движения платформы уменьшается.
Выводы. Движение «инерциоида», как геометрически изменяемой системы материальных точек, описывается известными законами и теоремами механики.
«Инерциоид» может быть построен на поступательном относительно платформы движении грузика и привлечение сил инерции, наличие которых обусловлено вращательным движением грузика, для объяснения движения «инерциоида» является необоснованным.
Литература
1. Шипов Г.И. Теория физического вакуума. Теория, эксперимент и технологии. 2- е изд., испр. и доп. - М.: Наука, 1996. - С. 450.
