Влияние прокачки жидкости на устойчивость течения в слое с внутренними источниками тепла при фиксированном тепловом потоке через его границы Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика Вып. 1 (16)

УДК 532.5.013.4+536.25

Влияние прокачки жидкости на устойчивость течения в слое с внутренними источниками тепла при фиксированном тепловом потоке через его границы

Н. И. Лобов, И. С. Снигирева

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассматривается устойчивость комбинированного конвективного течения в плоском вертикальном слое. Течение обусловлено равномерно распределенными внутренними источниками тепла и продольной прокачкой жидкости в вертикальном направлении. Предполагается, что тепловой поток через границы слоя фиксирован. Определены количественные характеристики неустойчивости. Построены карты устойчивости течения на плоскости число Грасгофа -число Рейнольдса и на плоскости число Грасгофа - число Прандтля Показано, что при положительных числах Рейнольдса слабая прокачка приводит к стабилизации течения. С усилением прокачки жидкости устойчивость понижается, и становятся опасными волны Толлмина-Шлихтинга. В случае отрицательных чисел Рейнольдса наблюдается существенная стабилизация течения.

Ключевые слова: устойчивость, конвекция, комбинированное течение, внутренние источники тепла, прокачка, стабилизация.

1. Введение

К настоящему времени очень подробно изучено конвективное течение в вертикальном слое жидкости с однородно распределенными по объему внутренними источниками тепла. Вертикальный канал замкнут, ограничен параллельными плоскостями, которые поддерживаются при одинаковых температурах. Внутренний разогрев приводит к формированию подъемно-опускного течения. Течение состоит из восходящего центрального потока и двух конвективных потоков, нисходящих около границ слоя. Профили скорости течения и температуры являются четными функциями поперечной координаты.

Устойчивость такого течения исследовалась в ряде работ. Первые результаты исследования устойчивости этого течения получены в работах [1,

2]. Методом Галеркина получены спектры возмущений, нейтральные кривые и фазовые скорости нейтральных возмущений для четной и нечетной моды неустойчивости. Декременты нормальных возмущений являются комплексными при любых малых числах Грасгофа, что приводит к дрейфу возмущений. В работе [3] получены форма возму-

щений и структура вторичных течений. Нелинейные режимы, возникающие после потери течением устойчивости, изучены в [4]. Результаты экспериментальных исследований устойчивости конвективного течения в слое с внутренними источниками тепла приведены в работе [5]. В достаточно широком диапазоне чисел Прандтля получено удовлетворительное согласие с результатами линейной теории устойчивости.

Приведем некоторые результаты исследований устойчивости течения. Для течения характерны конвективные механизмы кризиса - формирование вихрей на границе встречных потоков и бегущие температурные волны. В условиях четности профилей скорости и температуры действие этих механизмов весьма специфично. При числе Прандтля Рг = 0 (гидродинамическое приближение) кризис течения связан с развитием вихрей на двух границах встречных потоков. Решения спектральной амплитудной задачи устойчивости распадаются на два класса - четных и нечетных решений. Нижней моде неустойчивости соответствуют цепочки вихрей, сдвинутые относительно друг друга (четная относительно поперечной координаты функция тока возмущений скорости). Такая система вихрей медленно дрейфует вниз (возмущения с длинами

© Лобов Н. И., Снигирева И. С., 2011

волн, соответствующими минимуму нейтральной кривой). При смещении вдоль нейтральной кривой фазовая скорость вихрей меняет знак, и при значениях волнового числа к > 2.65 возмущения сносятся вверх.

С увеличением числа Прандтля тепловые факторы начинают играть все более и более существенную роль. В результате происходит смена типа неустойчивости, гидродинамическая неустойчивость сменяется неустойчивостью относительно бегущих тепловых волн. Из-за непрерывной деформации нейтральных кривых по мере роста числа Прандтля минимальное критическое число Грасгофа монотонно уменьшается, длина волны критических возмущений возрастает. В области коротковолновых возмущений возникает добавочный минимум; при Рг » 5.7 на нейтральной кривой появляется точка возврата, а с дальнейшим ростом Рг формируется замкнутая петля. При больших Рг коротковолновая часть нейтральной кривой соответствует неустойчивости, связанной с вихрями на границах встречных потоков. Длинноволновая часть нейтральной кривой отвечает бегущим тепловым волнам, их фазовая скорость при этом достаточно велика.

Таким образом, течение в слое с внутренними источниками тепла может быть неустойчивым относительно волновых тепловых возмущений. Если для течения в нагреваемом сбоку вертикальном слое характерно появление тепловых волн пороговым образом, начиная с Рг*, то в рассматриваемом течении тепловая мода проявляется в ходе непрерывной деформации нейтральной кривой.

В работе [6] рассмотрено влияние продольного градиента давления на устойчивость течения в вертикальном слое с равномерно распределенными внутренними источниками тепла. Вынужденное течение при этом является плоским течением Пуа-зейля. Предполагалась предельно высокая теплопроводность границ. Обнаружено подавление конвективных механизмов кризиса попутным вынужденным движением слабой и умеренной интенсивности, когда прокачка усиливает центральный восходящий поток. Установлена возможность полной дестабилизации течения в присутствии интенсивного попутного вынужденного движения. При этом неустойчивость комбинированного течения связана с развитием волн Толлмина-Шлихтинга. При прокачке в противоположном направлении (встречное вынужденное движение), кризис течения связан с бегущими тепловыми возмущениями, устойчивость течения при этом существенно повышается.

Изменение тепловых граничных условий может привести к сильной деформации карты устойчивости течения. Так, например, в работе [7] исследована устойчивость течения в плоском вертикальном слое, подогреваемом сбоку (течение

Гершуни), в случае, когда границы слоя являются теплоизолированными. Теплоизолированность границ понимается во вполне определенном смысле - теплопроводность жидкости гораздо больше теплопроводности твердых массивов, ограничивающих слой. Как и следовало ожидать, гидродинамический механизм неустойчивости оказался малочувствительным к изменению тепловых свойств границ. Переход к теплоизолированным границам приводит к существенному уменьшению критического числа Прандтля, при котором возникает колебательная мода: Рг* = 0.891 (напомним, что в случае теплопроводных границ

*

Рг = 11.562). Кроме того, в этом предельном случае зависимость минимального критического числа Грасгофа от числа Прандтля становится немонотонной.

В данной работе рассматривается влияние на устойчивость свободно-конвективного течения, вызываемого внутренними источниками тепла, плоского напорного течения Пуазейля. Предполагается, что тепловой поток через границы слоя фиксирован.

2. Постановка задачи

Несжимаемая жидкость находится в плоском вертикальном слое толщиной 2к . Внутри слоя однородно распределены источники тепла с мощностью энерговыделения в единице объема Ж . Тепловой поток через границы слоя фиксирован и равен Ж к . Заметим, что рассматривается достаточно упрощенная ситуация: все тепло, выделяемое внутренними источниками в слое, выводится полностью через границы слоя. Продольную прокачку в вертикальном направлении будем характеризовать объемным расходом жидкости Q через поперечное сечение слоя.

Конвективное течение описывается системой уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска:

(1)

+ (V С )Т = с D Т + — , 1 * гср

Шу V = 0.

Здесь V , Т , р - соответственно скорость, температура и давление, g - ускорение свободного падения, е - единичный вектор, направленный вертикально вверх, г - средняя плотность, с -теплоемкость единицы массы.

На твердых границах выполняются условия:

x = ±1: V = 0, k ^ = mWк . (2)

1 x

Кроме того, выполняется дополнительное условие:

к

Т уйх = <2

(3)

Здесь х и г - горизонтальная и вертикальная координата соответственно.

Запишем уравнения (1) и условия (2), (3) в безразмерном виде; выбрав следующие единицы измерения: расстояния - к , времени - к2у/п , скорости - п/к , температуры - п2^gbк3 , давления -

гп21к2 . Безразмерные уравнения и дополнительные условия выглядят следующим образом:

— + (у С > = - С р + D V + Т е

(4)

действием внутренних источников тепла, и плоского напорного течения Пуазейля. Свободноконвективное течение состоит из трех потоков -центрального восходящего и двух нисходящих около границ слоя. При положительных числах Рейнольдса вынужденное течение и свободноконвективное в центральной части слоя направлены в одну сторону, такую прокачку будем называть сопутствующей. В противоположном случае отрицательных чисел Яе вынужденное течение подавляет центральный поток в течении, вызываемом внутренними источниками тепла (встречная прокачка).

Можно показать, что для рассматриваемого течения справедлива теорема Сквайра, поэтому ограничимся рассмотрением только плоских возмущений, зависящих лишь от пространственных координат х и г . Для анализа линейной устойчивости комбинированного течения относительно малых нормальных плоских возмущений скорости и температуры необходимо решить следующую спектральную краевую задачу:

-1 Б] + у(ікБ] - у$к] = ББ] + 3у,

(7)

+ (у С )Т = — D Т + —, Т Ґ у г Рг Рг

div V = 0 :

-1 Б3 + У0ік3 - Тукі = —Б3 ;

Рг

Б = — - к2; ёх 2

х = ±1: V = 0 , ^ = швг; (5)

1 х

1

т У2йх = Яе.

- 1

Задача (4) - (5) содержит три безразмерных параметра подобия: число Грасгофа

вг = gЬкЖ¡гсп2с , число Прандтля Рг =

и число Рейнольдса Яе = Q|n .

Указанная задача допускает стационарное решение в виде плоскопараллельного течения в вертикальном направлении с профилями скорости и температуры, являющимися функциями только поперечной координаты:

уп = —(5х4- 6х2+1)+3Яе(1- х2), (6)

0 120' ' 4 V /

Т0=т(1- х!).

Стационарное течение является суперпозицией свободно-конвективного течения, вызываемого

х = ± 1: у = у у= 3 у= 0.

Здесь 3 (х) и у (х) - амплитуды возмущений температуры и функции тока, к - волновое число,

I = I + ш - декремент возмущений, штрихом

обозначено дифференцирование по координате х . Отметим, что требование постоянства потока тепла через границы слоя приводит к требованию их теплоизолированности по отношению к возмущениям поля температуры.

Краевая задача решалась численно методом дифференциальной прогонки со стыковкой в середине слоя [8]. Получаемая методом прогонки система комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений интегрировалась методом Рунге-Кутты-Мерсона с контролем точности. Собственные значения спектральной задачи являются корнями стыковочного определителя; для их определения применялся метод двухмерных секущих.

3. Результаты

Обзор результатов начнем со случая свободноконвективного движения, Яе = 0. На рис. 1 сплошными линиями показаны нейтральные кривые течения при отсутствии прокачки, штриховые

линии соответствуют случаю теплопроводных границ. В гидродинамическом приближении, при числе Прандтля Р г = 0, нейтральная кривая имеет такой же вид, что и в случае теплопроводных границ (кривая 1). Кризис течения связан с развитием вихрей на двух границах встречных потоков. Нижней моде неустойчивости соответствуют цепочки вихрей, сдвинутые относительно друг друга (четная функция тока).

Рис. 1. Нейтральные кривые свободноконвективного течения, Яе = 0

С увеличением числа Прандтля происходит более быстрая деформация нейтральных кривых, нежели в случае теплопроводных границ. Формирование на нейтральной кривой характерной петли начинается при Рг » 1 (сплошная линия 2); в случае теплопроводных границ при таких числах Прандтля наблюдается лишь небольшая деформация коротковолновой части нейтральной кривой (штриховая линия 2). При числе Прандтля Рг = 2 на нейтральной кривой течения в слое с теплопроводными границами формируется добавочный минимум (штриховая линия 3). В нашем случае существуют две четко выраженные области неустойчивости при малых и при средних значениях волнового числа (сплошная кривая 3); неустойчивость течения вызывается температурными волнами.

Присутствие вынужденного течения существенно сказывается на количественных характеристиках неустойчивости. Рассмотрим влияние прокачки жидкости на механизмы кризиса в частном случае Рг = 1. На рис. 2 приведены нейтральные кривые комбинированного течения для нескольких значений числа Рейнольдса - Яе = 0 , 50 , 100, 200, 500 - кривые 1-5 соответственно. Попутная прокачка приводит к размыканию петель на нейтральных кривых. Устойчивость течения относительно температурных волн повышается, при этом диапазон волновых чисел критических тепловых

возмущений непрерывно уменьшается. Слабая прокачка понижает устойчивость течения относи

Рис. 2. Нейтральные кривые комбинированного течения при Яе >0 ; Р г = 1

тельно гидродинамических возмущений (кривые 2,

3), с дальнейшим увеличением интенсивности прокачки устойчивость течения повышается. При Яе > 120 именно гидродинамические возмущения становятся наиболее опасными, критическое волновое число меняется скачком.

С дальнейшим увеличением числа Рейнольдса глобальные минимумы нейтральных кривых сдвигаются в длинноволновую сторону, величина критического волнового числа к приближается к

т г

значению, характерному для минимума нейтральной кривой течения Пуазейля (к = 1.02).

0 12 3

Рис. 3. Фазовые скорости нейтральных возмущений при Яе >0 ; Р г = 1

На рис. 3 показаны фазовые скорости и нейтральных возмущений при попутной прокачке; число Прандтля Рг = 1. Линиями 1-5 изображены

зависимости и (к) для Яг = 0, 50, 100, 200, 500 соответственно. Слабая прокачка притормаживает бегущие тепловые возмущения (кривая 2). С ростом числа Рейнольдса фазовая скорость наиболее опасных возмущений монотонно растет, причем возмущения в целом бегут вверх - фазовая скорость возмущений с волновыми числами, изменяющимися в широких пределах, положительна. На нейтральных кривых по-прежнему существует точка, которой соответствует неподвижное возмущение. С усилением вынужденного движения волновое число стоячего возмущения уменьшается. В присутствии слабой попутной прокачки на нейтральной кривой гидродинамических вихрей может существовать не одна точка, в которой фазовая скорость равно нулю, - вдоль кривой 2 фазовая скорость меняет знак три раза. Подобная картина наблюдалась и в случае теплопроводных границ [6], но при гораздо больших значениях числа Прандтля (Р г = 10).

Рис. 4. Нейтральные кривые комбинированного течения при встречной прокачке;

Рг = 1

Совсем иной сценарий деформации нейтральных кривых наблюдается, если вынужденное течение ослабляет центральный восходящий поток (встречная прокачка). На рис. 4 приведены нейтральные кривые при Яе = 0, -50, -100, -200, -500 - линии 1-5 соответственно. С усилением прокачки петля на нейтральной кривой размыкается, минимум, соответствующий гидродинамическим возмущениям, исчезает уже при слабом вынужденном движении. Так, например, при Яе = - 50 (линия 2) на нейтральной кривой комбинированного течения виден только один минимум. В результате при указанном значении числа Прандтля смены механизма кризиса по мере усиления прокачки не происходит.

Встречная прокачка приводит к стабилизации течения. С ростом Яе минимумы нейтральных

кривых быстро смещаются в область малых волновых чисел, кризис вызывается тепловыми возмущениями с все увеличивающейся длиной волны.

и

Рис. 5. Фазовые скорости тепловых возмущений при встречной прокачке

Возможно, это связано с тем, что встречная прокачка уменьшает градиенты скорости в центральной части канала.

Фазовая скорость тепловых волн с усилением встречного вынужденного движения увеличивается по величине, возмущения сносятся вниз. Это показывают зависимости и (к), изображенные на рис. 5 (зависимости соответствуют нейтральным кривым, приведенным на рис. 4).

На рис. 6 показана сводная карта устойчивости комбинированного течения на плоскости минимальное число Грасгофа вг - число Рейнольдса

Яе при слабой прокачке. Кривые 1-4 показывают положение границы устойчивости течения при Рг=0, 1, 10, 100 соответственно. Штриховая линия 5 обозначает положение границы устойчивости комбинированного течения в слое с теплопроводными границами. Области неустойчивости расположены выше нейтральных линий. Точки пересечения нейтральных линий с осью Яе = 0 соответствуют порогу устойчивости свободноконвективного течения в слое с внутренними источниками тепла, с ростом числа Прандтля минимальное критическое число Грасгофа убывает.

Влияние слабого вынужденного движения на устойчивость существенно зависит от числа Пран-дтля. При малых Р г попутная прокачка приводит к небольшой дестабилизации течения. С ростом Р г интервал чисел Рейнольдса, внутри которого возможна дестабилизация течения, уменьшается. С дальнейшим увеличением интенсивности напорного течения устойчивость течения относительно

гидродинамических возмущений повышается. Сказанное выше иллюстрирует правая линия 2 на рис. 6 (Рг = 1). При Яе > 3000 сопутствующая про-

ЄГт

Рис. 6. Карта устойчивости течения

качка снова приводит к дестабилизации, вгт уменьшается. При Яе = 7696 минимальное критическое число Г расгофа равно нулю, что и следовало ожидать, т.к. течение в этом случае является плоским течением Пуазейля.

Как уже говорилось, «теплоизолированность» границ для возмущений приводит к существенной деформации нейтральных кривых с ростом числа Прандтля. Если число Прандтля невелико, то граница области неустойчивости является непрерывной линией (кривая 1, Рг = 0). При увеличении числа Прандтля на нейтральных кривых течения присутствуют два минимума. В результате этого при Р г > 0.5 граница области устойчивости комбинированного течения состоит из двух пересекающихся линий (линии 2, Рг = 1 ), с увеличении-ем числа Рейнольдса минимальное критическое волновое число к меняется скачком. Границы

области устойчивости относительно гидродинамических возмущений при Рг= 10, 100 практически совпадают с правой линией 2 и на рис. 6 не показаны.

Встречная прокачка приводит к существенной стабилизации течения, эффект которой сильно зависит от числа Прандтля, ослабевая с его ростом. Такая ситуация понятна, т.к. кризис течения в этом случае связан с развитием тепловых возмущений.

Кривая 5 на рис.6 показывает положение границы устойчивости течения при Рг =1 в слое с теплопроводными границами. Видно, что изменение характера тепловых граничных условий сказывается на количественных характеристиках неустойчивости лишь при слабом напорном течении. С увеличением числа Рейнольдса эти различия ста-

новятся несущественными. Так, при Рг = 1 и Яе = 500 в случае теплопроводных границ минимальное критическое число Грасгофа вг = 3801

при к = 1.490 , а в случае теплоизолированных

границ вг = 3720 при к = 1.483 . Такое малое

* т * т

отличие связано с гидродинамической природой кризиса при положительных числах Рейнольдса. Отметим, что такой эффект наблюдается и в случае встречной прокачки, хотя природа кризиса при этом связана с тепловыми возмущениями.

В работе [6] аналитически обнаружено, что фиксирование теплового потока через границы слоя приводит к существованию длинноволновой неустойчивости рассматриваемого комбинированного течения. Такая неустойчивость возможна только в присутствии вынужденного течения, причем при Яе < 0. Вычисления показывают, что в большом диапазоне изменения чисел Рейнольдса и Прандтля такая неустойчивость остается длинноволновой, минимумы нейтральных кривых расположены при к =0 . Длинноволновые возмущения являются менее опасными, чем ячеистые, соответствующая область неустойчивости на рис. 6 не приведена.

Огт

Рис. 7. Зависимости минимального критического числа Грасгофа от числа Прандтля

На рис. 7 изображены зависимости минимального критического числа Грасгофа вг от числа

Прандтля Рг для Яе = 0 , 50 , 200, -50 - кривые 1-4 соответственно. Области неустойчивости течения расположены выше соответствующих кривых. При Яе = 0 минимальное критическое число Грасгофа монотонно убывает с увеличением числа Прандтля . При Яе = 50 на нейтральных кривых есть по два минимума, граница области неустойчивости образована двумя пересекающимися ли-

ниями (линии 2). При малых числах Прандтля неустойчивость связана с тепловыми возмущениями, при Рг> 2.2 кризис течения связан с развитием вихрей на границах встречных потоков. При достаточно больших значениях числа Прандтля минимальное критическое число Грасгофа убывает весьма незначительно. Если прокачка жидкости достаточно интенсивна (кривая 3, Яе = 200 ), то с изменением числа Прандтля в широких пределах величина вг практически не меняется. Встречная прокачка приводит к сильной зависимости вг от числа Прандтля (см. также рис. 6).

Список литературы

1. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Якимов А. А. Об устойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла // Прикл. мат. и мех. 1970. Т.34, № 4. С. 700-705.

2. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Якимов А. А. Об двух типах неустойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла // Там же. 1973. Т.37, № 3. С. 546-568.

3. Якимов А. А. О форме неустойчивости стационарного конвективного движения, вызванного

внутренними источниками тепла // Гидродинамика / Перм. ун-т. Пермь. 1972. Вып. 4. С. 37-42.

4. Якимов А. А. Вторичные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости с внутренними источниками тепла // Гидродинамика / Перм. пед. ин-т. Пермь. 1974. Вып. 7. С. 53-64.

5. Козлов В. Г. Экспериментальное исследование устойчивости конвективного движения жидкости, вызванного внутренними источниками тепла // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1978. № 4. С. 23-27.

6. Лобов Н. И. Влияние продольного вынужденного течения на устойчивость конвекции в плоском вертикальном слое с внутренними источниками тепла // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2005. № 2. С. 14-17.

7. Липчин А. Т., Лобов Н. И. Влияние тепловых свойств границ на устойчивость конвективного течения в подогреваемом сбоку вертикальном слое // Конвективные течения / Пермск. пед. ин-т. Пермь, 1987. С. 11-18.

8. Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.

The effect of pumping fluid on the stability of the flow in a layer with the internal heat sources at a fixed heat flux through its boundary

N. I. Lobov, I. S. Snigireva

Perm State University, Bukirev st., 15, 614990, Perm

In this paper the stability of the combined convective flow in a vertical shallow layer is investigated. The flow is caused by internal heat sources uniformly distributed and longitudinal pumping of fluid in the vertical direction. The heat flux through the layer boundaries is assumed to be fixed. The quantitative characteristics of the instability are determined. The maps of flow stability in Grashof number - Reynolds number plane and Grashof number - Prandtl number plane are built. It is shown that weak pumping leads to the stabilization of the flow when Reynolds number is positive. The pumping increasing leads to reducing of the stability threshold and Tollmien-Schlichting wavesare developing. There is a significant stabilization of the flow in the case of negative Reynolds numbers.

Keywords: stability, convection, combined flow, internal heat sources, pumping, stabilization.