Устойчивость течения в слое с внутренними источниками тепла при фиксированном тепловом потоке через движущиеся границы Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011

Серия: Физика

Вып. 1 (16)

УДК 536.25

Устойчивость течения в слое с внутренними источниками тепла при фиксированном тепловом потоке через движущиеся границы

Н. И. Лобов

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Численно исследуется устойчивость комбинированного течения жидкости в плоском вертикальном слое. Течение вызывается совместным действием внутренних источников тепла и встречным движением границ слоя. Тепловой поток через границы слоя фиксирован. Определены численные характеристики неустойчивости в зависимости от параметров задачи - чисел Рейнольдса, Прандтля и волнового числа. Обнаружена достаточно сильная стабилизация конвекции в присутствии вынужденного течения.

Ключевые слова: конвекция, устойчивость, комбинированное течение, внутренние источники тепла, течение Куэтта.

1. Введение

Конвективное течение в вертикальном слое хорошо изучено [1-5]. Кризис течения связан с двумя механизмами - гидродинамическим и тепловым. В работе [6] исследовано влияние встречного движения границ на устойчивость комбинированного течения. Предполагалась высокая теплопроводность плоскостей, ограничивающих слой. Обнаружена весьма сильная стабилизация течения, что связано с гидродинамической природой кризиса в присутствии интенсивного вынужденного течения. В работе [7] показано, что изменение тепловых граничных условий может привести к сдвигу порога устойчивости относительно тепловых возмущений. В настоящей работе рассматривается устойчивость комбинированного течения, вызываемого действием внутренних источников тепла и движения границ. При этом фиксируется тепловой поток через границы слоя. Следует ожидать изменения количественных характеристик неустойчивости (по сравнению со случаем теплопроводных границ), если скорость движения границ невелика.

2. Постановка задачи

Исследуется устойчивость комбинированного конвективного течения, которое возникает в бесконечном вертикальном плоскопараллельном слое при совместном действии однородно распределен-

ных внутренних источников тепла и встречного движения границ слоя. Интенсивность источников тепла будем характеризовать мощностью тепловыделения в единице объема жидкости Ш . Плотность теплового потока через границы слоя фиксирована и равна Шк , все тепло, выделяемое внутренними источниками в слое, выводится полностью через границы слоя. Границы слоя х = ± 1 (х - горизонтальная координата) движутся в параллельных плоскостях с противоположно направленными и равными по величине скоростями ти .

Конвективное течение описывается системой уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска:

С р + D V + Т е

(1)

Шу V = 0 .

Здесь приняты обычные обозначения, е - единичный вектор, направленный вертикально вверх, г - средняя плотность, с - теплоемкость единицы массы. Уравнения (1) записаны в безразмерном виде. Выбраны в качестве единиц измерения расстояния - к , времени - к21п , скорости - ^к ,

© Лобов Н. И., 2011

температуры - п gbк , давления - гп к .

На твердых границах выполняются условия прилипания и постоянства плотности теплового потока:

х =±1: V = шЯе Ч, ^ = швг. (2)

1 х

Кроме того, необходимо потребовать выполнения дополнительного условия замкнутости слоя:

т

- к

V йх = 0.

2

(3)

^ = —(5х4 - 6х2 + 1)- Яе Ч . Л /

0

120

(4)

T = —

0

Ог

2

(■- х2).

і Ц/ + v0ikDj - v0j^kj = Б Б] + Jу,

(5)

- і Б J + v0iЫ - Tук] = —Б J ;

Рг

Б =

йх2

- к

2 .

Здесь 2 - вертикальная координата.

Задача (1) -(3) содержит три безразмерных параметра подобия: число Грасгофа

вг = gbк5Т¥IгсПс , число Прандтля Рг = ^с и число Рейнольдса Яе = Пк/н.

Сформулированная задача допускает стационарное решение, описывающее плоскопараллельное течение в вертикальном направлении с профилями скорости и температуры:

Стационарное течение жидкости является результатом суперпозиции свободно-конвективного движения с четным профилем скорости и плоского сдвигового течения Куэтта. Свободно-

конвективное течение состоит из трех потоков -центрального восходящего и двух нисходящих около границ слоя. Профиль скорости комбинированного течения содержит две точки перегиба, положение которых фиксировано: х = ± 1^л/5 .

Для рассматриваемого течения существуют преобразования Сквайра. Из этих преобразований следует, что пространственные возмущения являются менее опасными, чем плоские. Их характеристики могут быть вычислены по характеристикам плоских возмущений, зависящих лишь от пространственных координат х и 2 .

Для анализа линейной устойчивости комбинированного течения относительно малых нормальных плоских возмущений необходимо решить следующую спектральную краевую задачу:

х = ± 1: у = ] у= 3 у= 0.

Здесь 3 (х) и у (х) - амплитуды малых нормальных возмущений температуры и функции тока, к - волновое число, I = I + ш - декремент возмущений, штрихом обозначено дифференцирование по координате х .

Краевая задача решалась численно методом дифференциальной прогонки со стыковкой в середине слоя [8]. Получаемая в методе прогонки система комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений интегрировалась методом Рунге-Кутты-Мерсона с контролем точности. Собственные значения спектральной задачи являются корнями стыковочного определителя; для их определения применялся метод двухмерных секущих.

3. Результаты

В гидродинамическом пределе (Р г = 0) изменение тепловых условий на границе слоя не сказывается на характеристиках устойчивости. Кризис течения связан с вихрями на границах встречных потоков [6]. Нижний уровень неустойчивости обусловлен формированием двух цепочек вихрей, сдвинутых относительно друг друга. В широком диапазоне величин волнового числа в окрестностях минимумов нейтральных кривых эти вихри дрейфуют вниз. С увеличением числа Прандтля все большую роль начинают играть тепловые факторы.

На рис. 1 показаны нейтральные кривые течения (вверху) и фазовые скорости возмущений и = ^к (внизу), соответствующие нижнему

уровню неустойчивости, при числе Прандтля Р г = 1 и разной интенсивности вынужденного течения. Линии 1-5 являются нижними границами областей неустойчивости при Яе = 0, 10, 50 , 100, 500 соответственно. В отсутствие сдвиговой компоненты течения (кривая 1) на нейтральной кривой отмечаются два минимума. Наиболее опасными являются тепловые возмущения с к » 1. Второй минимум, расположенный в коротковолновой области, соответствует гидродинамическим возмущениям.

С увеличением числа Рейнольдса минимумы смещаются в сторону меньших волновых чисел, кризис течения обусловлен развитием возмущений со все большей и большей длиной волны. При этом устойчивость течения относительно тепловых

к

Устойчивость течения в слое с движущимися границами.

29

Рис. 1. Нейтральные кривые (вверху) и фазовые скорости возмущений (внизу) течения при Рг = 1

возмущений повышается, а возмущения в виде вихрей на границах встречных потоков становятся опаснее. При Яе > 50 именно гидродинамические возмущения отвечают за дестабилизацию плоскопараллельного течения, волновое число к , соот-

Г у т у

ветствующее наиболее опасным возмущениям, меняется скачком (кривая 3). В широком диапазоне величин волнового числа фазовая скорость как гидродинамических, так и тепловых возмущений остается отрицательной, возмущения бегут вниз по слою. Таким образом, добавление к конвективному движению устойчивого (относительно малых возмущений) плоского течения Куэтта приводит к существенному подавлению обоих механизмов кризиса.

На рис. 2 показана карта устойчивости комбинированного течения (4) на плоскости число Грас-гофа - число Рейнольдса для чисел Прандтля Рг= 1 (кривые1), Рг = 10 (кривые 2), Рг= 100 (кривая 3). Границы областей устойчивости образованы пересекающимися линиями, выше нейтральных линий течение неустойчиво.

Рис. 2. Карта устойчивости течения

В левой части рис. 2 кривые 1-3 показывают положение границ устойчивости течения относительно тепловых возмущений. Характерные значения волновых чисел малы, очевидна сильная зависимость от числа Прандтля. Сдвиговое течение эффективно подавляет развитие тепловых возмущений. В присутствии вынужденного течения происходит подавление и вихрей на границах встречных потоков, но эффект выражен несколько слабее. Зависимости от теплофизических свойств среды практически нет, поэтому соответствующая кривая для Р г = 100 на рисунке не показана.

Сказанное выше подтверждает рис. 3, на котором изображены зависимости минимального критического числа Грасгофа от Рг для трех значений числа Рейнольдса Яе = 0 , 50 , 200 - кривые 1-3 соответственно.

При отсутствии вынужденного течения в гидродинамическом пределе (Р г = 0) и малых числах Прандтля неустойчивость течения вызывается вихрями на границе встречных потоков. Верхняя граница области неустойчивости показана на рис. 1 линией 1 (левая часть до излома зависимости Яе = 0 ). С увеличением числа Прандтля происходит непрерывная деформация нейтральных кривых. Их минимумы смещаются в сторону малых волновых чисел, неустойчивость течения обусловлена развитием температурных возмущений. Пороговое число Грасгофа быстро убывает с ростом Рг .

Уже достаточно слабое вынужденное движение меняет сценарии кризиса. Граница области устойчивости образована пересекающимися линиями. На рис. 3 эта граница изображена для Яе = 50 . Линия 2 показывает положение порога устойчивости относительно вихрей на границе встречных потоков, кривая 3 является нейтральной линией для тепловых возмущений.

Рис. 3. Зависимость минимального критического числа Грасгофа от числа Прандтля

При больших числах Рейнольдса тепловые возмущения становятся неопасными для устойчивости течения. В большом диапазоне величин числа Прандтля кризис течения связан с гидродинамическими вихрями. Пороговое число Грасгофа очень мало меняется с ростом числа Прандтля.

Список литературы

1. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Якимов А. А. Об устойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла // Прикл. мат. и мех. 1970. Т.34, №

4. С. 700-705.

2. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Якимов А. А. О двух типах неустойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла // Там же. 1973. Т.37, № 3. С. 546-568.

3. Якимов А. А. О форме неустойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла // Гидродинамика / Перм. ун-т. Пермь, 1972. Вып. 4. С. 3742.

4. Якимов А. А. Вторичные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости с внутренними источниками тепла // Гидродинамика / Перм. пед. ин-т. Пермь, 1974. Вып. 7. С. 53-64.

5. Козлов В. Г. Экспериментальное исследование устойчивости конвективного движения жидкости, вызванного внутренними источниками тепла // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1978. № 4. С. 23-27.

6. Лобов Н.И., Шкляев С.В. Влияние движения границ на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое с внутренними источниками тепла // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1997. № 4. С. 3-8.

7. Липчин А. Т., Лобов Н. И. Влияние тепловых свойств границ на устойчивость конвективного течения в подогреваемом сбоку вертикальном слое // Конвективные течения / Пермск. пед. ин-т. Пермь, 1987. С. 11-18.

8. Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.

Stability of a current in a layer with internal sources of heat at a fixed heat flux through its moving boundary

N. I. Lobov

Perm State University, Bukirev St., 15, 614990, Perm

Instability of the combined flow in the vertical liquid layer is investigated numerically. Liquid motion is caused by combined effect of the internal heat sources and opposite motion of layer boundaries. The heat flux through boundaries of layer is fixed. Dependences of numerical instability characteristics on the Reynolds number, Prandtl number and wavenumber are determined. Sufficiently strong stabilization of convection is revealed in forced flow presence.

Keywords: convection, stability, combined flow, internal heat source, Couette flow.