Устойчивость комбинированного конвективного течения в условиях фиксированного теплового потока Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика Вып. 2 (17)

УДК 536.25

Устойчивость комбинированного конвективного течения в условиях фиксированного теплового потока

В. Е. Клименко, Н. И. Лобов

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Численно исследуется линейная устойчивость комбинированного течения в плоском вертикальном слое. Слой нагревается сбоку, при этом тепловой поток через границы слоя фиксирован. Это приводит к тепловой изоляции границ относительно возмущений температурного поля. На свободное конвективное течение накладывается вынужденное напорное течение, вызванное продольной прокачкой жидкости в вертикальном направлении. Обнаружено эффективное подавление невязкого и вязкого механизмов кризиса в присутствии напорного течения. Получены численные характеристики неустойчивости течения, построена карта устойчивости. Установлено существование нарастающих температурных волн при малых числах Прандтля.

Ключевые слова: комбинированное течение, конвективная устойчивость, течение Гершуни, течение Пуазейля, теплоизолированные границы, тепловые волны.

1. Введение

Как известно, в вертикальном слое, подогреваемом сбоку, равновесие невозможно, и при сколь угодно малой разности температур границ возникает движение (течение Гершуни). Течение состоит из двух встречных потоков, жидкость поднимается у горячей стенки и опускается у холодной. Подробный анализ его устойчивости содержится в работе [1]. При малых числах Прандтля кризис течения имеет гидродинамическую природу и связан с развитием монотонных возмущений в виде вихрей на границе встречных потоков. С ростом числа Рг , при Рг > Рг„ = 11.562, появляется

и становится более опасной неустойчивость типа нарастающих тепловых волн.

В работах [2-4] рассматривается влияние продольной прокачки на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое. Кроме вихрей на границе двух встречных потоков появляется еще одна гидродинамическая мода неустойчивости, связанная с существованием волн Толлмина-Шлихтинга. С увеличением интенсивности вынужденного течения невязкий механизм неустойчивости эффективно подавляется, что приводит к почти 60-кратному увеличению порогового числа вг . С

другой стороны, нагрев сбоку затрудняет развитие волн Толлмина-Шлихтинга, минимальное критическое число Рейнольдса вырастает примерно в 1.7 раза. Таким образом, суперпозиция двух течений, которые сами по себе потенциально неустойчивы относительно гидродинамических возмущений, приводит к их взаимной стабилизации.

Продольное напорное течение модифицирует и вязкий тепловой механизм кризиса. Температурные волны оказываются возможны и опасны при

Рг>Рг (Рга <Рг„). Область неустойчивости ограничена по числам Грасгофа сверху и снизу. Предельное число Рга уменьшается с ростом числа

Рейнольдса; Рг ® 9.723 при Яе ® Г . Сказанное относится к температурным волнам, бегущим в направлении вынужденного движения жидкости.

Перейдем к рассмотрению влияния тепловых условий на границах слоя. Гидродинамический механизм неустойчивости течения Гершуни малочувствителен к изменению тепловых свойств границ, что и следовало ожидать. По данным работы [5], переход к теплоизолированным границам приводит к существенному уменьшению критического числа Прандтля, при котором возникает колебательная мода: Рг„ = 0.891. Теплоизолированность

границ понимается во вполне определенном смысле - теплопроводность жидкости гораздо больше

© Клименко В. Е., Лобов Н. И., 2011

теплопроводности твердых массивов, ограничивающих слой. Следует отметить, что в этом предельном случае зависимость Огт(Рг) становится

немонотонной.

В данной работе рассматривается задача об устойчивости комбинированного течения в плоском вертикальном слое в условиях фиксированного теплового потока через границы слоя. Есть надежда, что в этих условиях присутствие вынужденного движения приведет к другим количественным характеристикам неустойчивости по сравнению со случаем идеально теплопроводных границ.

2. Постановка задачи. Методы решения

Итак, рассматривается устойчивость течения несжимаемой жидкости в вертикальном слое, ограниченном плоскостями х = ± И (х - горизонтальная координата) и подогреваемом сбоку. Тепловой поток через границы слоя считается фиксированным. Боковой нагрев приводит к появлению конвективного подьемно-опускного течения. На свободное конвективное течение накладывается вынужденное напорное течение, вызванное продольной прокачкой в вертикальном направлении. Вынужденное течение является течением Пуазейля.

Конвективное движение описывается уравнениями тепловой конвекции в приближении Бусси-неска:

Ч V

— + (V С > = - С р +D V + Т е , (1)

Ч Т 1

— + (VС)Т = —DТ , аіуV =0.

Ч і Рг

Здесь V - скорость движения жидкости, Т -температура, р - давление, е - единичный вектор, направленный по вертикали вверх (вдоль оси 7). Уравнения (1) записаны в безразмерном виде. В качестве единиц измерения выбраны: расстояния -

И , времени - И21п , скорости - п^ , температуры

2/3 2/2

- п ^ЪН , давления - гп И , где г - плотность, п и с - коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности, g - ускорение свободного падения, Ъ - коэффициент теплового расширения.

Систему (1) дополним граничными условиями и добавочным условием, учитывающим прокачку жидкости:

х = +И : V = 0, Т у= - вг, т и^х = . (2)

Уравнения (1) и условия (2) содержат три параметра подобия: числа Грасгофа в г, Рейнольдса Яе и Прандтля Рг :

вг= g-ЪAН4

Задача (1)-(2) допускает стационарное решение, описывающее плоско-параллельное течение в вертикальном направлении с распределениями скорости и температуры, зависящими только от поперечной координаты х , и с давлением, зависящим от вертикальной координаты:

вг о 3 о

ип = —(х - х) + — Яе(1 - х ).

0 6 4

(3)

3

Ро = - 2 Ке Ч .

Видно, что течение является суперпозицией конвективного течения и течения Пуазейля. Оба течения хорошо изучены, как и механизмы их устойчивости.

Рассмотрим линейную устойчивость комбинированного течения. Можно показать, что существуют преобразования Сквайра, позволяющие получить характеристики пространственных

возмущений по соответствующим характеристикам плоских возмущений, зависящих только от координат х и г . При этом пространственные возмущения оказываются более опасными, чем плоские. Плоские возмущения подчиняются спектральной краевой задаче:

- I Бу + илкБу - иШ] = Б Бу - 3у, (4)

-13 + иЛЫ - /Юг/ = —Б3 ;

0 Рг

х = ± 1: / = / У= 3 У= 0. (5)

Здесь / (х) - амплитуда функции тока нормальных возмущений скорости, введенная соотношениями

и =ЧУ

х Чг

и =-ЧУ

г Чх

3(х) - амплитуда возмущений температуры,

I = I + ш - декремент, к - волновое число, Б

- плоский лапласиан,

к , штрихом

обозначено дифференцирование х .

Задача (4)-(5) решалась численно с использованием метода дифференциальной прогонки со стыковкой в промежуточной точке [6], система дифференциальных уравнений для элементов про-

п

с

п

2

гоночной матрицы интегрировалась методом Рун-ге-Кутты-Мерсона с пошаговым контролем точности. Для нахождения собственных значений задачи использовался метод двумерных секущих.

3. Результаты

3.1. Гидродинамические механизмы неустойчивости

Для рассматриваемого комбинированного течения характерны два гидродинамических механизма кризиса - вихри на границе встречных потоков и волны Толлмина-Шлихтинга. Как и ожидалось, гидродинамический механизм неустойчивости слабо чувствителен к изменению условий на границах слоя.

тельно гидродинамических возмущений, т.е. зависимость вгт (Яе) выглядит так же, как и в случае теплопроводных границ, и здесь не приводится.

3.2. Температурные волны

Перейдем к рассмотрению неустойчивости, связанной с нарастанием бегущих температурных волн. Колебательная мода порождается парой комплексно сопряженных декрементов, поэтому возможны тепловые волны, распространяющиеся в потоке как вверх, так и вниз.

Как уже отмечалось ранее, в чисто конвективном течении эта мода неустойчивости возникает

*

при некотором числе Прандтля Рг . Известно, что для тепловых волн произведение Юг остается конечным во всем диапазоне возможных значений к (на всех нейтральных кривых), включая и к = 0.

Это позволяет определить величину Р г*.

270

Юг

220

Рис. 1. Зависимость мининимального критического числа Грасгофа от числа Прандтля, Яе = 0

На рис. 1 показано положение верхней границы области устойчивости конвективного течения относительно вихрей на границе встречных потоков при разных значениях числа Прандтля. Кривая 1 показывает зависимость вгт (Р г) для теплопроводных границ, кривая 2 соответствует теплоизолированным границам. Наибольшее отличие наблюдается при Рг О(0.03 - 3). В этом диапазоне значений числа Прандтля происходит существенная перестройка спектра декрементов, связанная с изменением относительного расположения гидродинамических и тепловых уровней спектра.

С появлением вынужденного движения влияние тепловых факторов на устойчивость комбинированного течения относительно невязких гидродинамических возмущений очень быстро падает. На развитии волн Толлмина-Шлихтинга изменение тепловых условий на границах слоя не сказывается. Поэтому карта устойчивости течения относи-

к

170 --------1-----1-----1------1-----1-----1

-0.04 0 0.04 0.08

Рис. 2. Нейтральные кривые Юг (к) температурных волн при Яе = 100

На рис. 2 приведены нейтральные кривые температурных волн в координатах Юг - к для числа Рейнольдса Яе = 100 и чисел Прандтля Рг = 0.95, 0.92, 0.891, 0.875, 0.865 - линии 15 соответственно. Области неустойчивости находятся внутри соответствующих кривых. Штриховая линия показывает положение к = 0 . Правые части кривых, расположенные при к >0 , показывают нейтральные кривые для волн, бегущих в направлении прокачки жидкости. Такие волны будем называть попутными. Левые части соответствуют нейтральным кривым встречных волн, т.е. волн, бегущих навстречу вынужденному течению.

В случае чисто конвективного течения имеется вырождение - волны, бегущие вверх и вниз, равноправны с точки зрения устойчивости. В присутствии напорного градиента давления вырождение снимается, устойчивость течения по отношению к

ним зависит от чисел Рейнольдса и Прандтля.

С уменьшением числа Прандтля верхняя и нижняя точки пересечения нейтральных кривых с линией k =0 сближаются (кривые 1, 2), область волновой тепловой неустойчивости уменьшается. При некотором числе Прандтля нейтральная кривая встречных волн стягивается в точку (кривая 3). Это и есть предельное число Прантдля

Рг* = 0.891. Нарастающие попутные температур*

ные волны возможны лишь при Р г і Р г .

Нейтральные кривые попутных волн при изменении числа Прандтля ведут себя иначе (линии 4-5 на рис. 2). В присутствии вынужденного течения нарастающие температурные волны возможны и

при Р г < Р г . Нейтральные кривые становятся замкнутыми, с убыванием Рг область неустойчивости уменьшается в размерах и стягивается в точку при Р г = Р г . Величина предельного числа

Прандтля Рг монотонно убывает с увеличением интенсивности напорного течения.

Величина Рг* не зависит от числа Рейнольдса и сохраняет свое асимптотическое значение при любой прокачке жидкости. Действительно, значе-

*

ние Р г определяется положением точек пересечения кривых kGr(k) с линией k =0. Но при

k ® 0 критическое число Грасгофа бесконечно нарастает, и прокачка любой интенсивности не может изменить конвективного характера профиля скорости (3).

На рис. 3 вверху на плоскости Gr- Рг изображена карта устойчивости комбинированного течения относительно тепловых волн с положительной фазовой скоростью. В нижней части рисунка приведены соответствующие зависимости экстремальных волновых чисел ^ (Рг). Кривые 1

показывают положение верхней границы области устойчивости и величины экстремального волнового числа для конвективного течения (Яе = 0). Изменение тепловых граничных условий привело к тому, что зависимость Gгm(Pr) становится немонотонной, как и зависимость ^ (Р г). В случае теплопроводных границ нарастающие температурные волны существуют при Рг> 11.562. При приближении к этому предельному значению числа Прандтля устойчивость течения в слое с теплоизолированными границами повышается, а характерные величины волновых чисел становятся малыми. Причины такого совпадения пока не выяснены.

Кривые 2 соответствуют случаю Яе = 50 . Линия Рг = Рг* по-прежнему является асимптотой, но теперь граница области неустойчивости приближается к этой линии со стороны меньших чисел Прандтля. Даже слабая прокачка приводит к

Рис. 3. Карта устойчивости течения (вверху) и критические волновые числа (внизу)

сильной стабилизации течения при Рг : 10. Кривые 3 показывают критическое число Грасгофа и волновые числа при Яе = - 50. Заметим, что свойства симметрии задачи устойчивости таковы, что количественные характеристики кризиса одинаковы для волн, бегущих вверх при Яе <0, и для волн, бегущих вниз при Яе > 0. Видно, что даже слабая прокачка снимает немонотонность зависимостей Gr (Рг) и k (Рг).

Ш у ' m х '

Для выяснения влияния продольного градиента давления на волновую моду неустойчивости необходимо проследить за изменением параметров критических возмущений в зависимости от числа Рейнольдса при фиксированных значениях числа Прандтля.

На рис. 4 приведена карта устойчивости течения относительно тепловых волн на плоскости Gr - Яе (вверху) и зависимости ^ (Яе) (внизу).

Рассматриваются волны с положительной фазовой скоростью.

При умеренных значениях числа Прандтля (кривая 1, Р г = 9) слабое вынужденное течение дестабилизирует течение. Его неустойчивость связана с развитием встречных волн. При дальнейшем усилением напорного движения устойчивость комбинированного течения повышается. Попутные волны эффективно подавляются даже очень слабой

Рис. 4. Влияние прокачки на

характеристики неустойчивости

течения относительно температурных волн

прокачкой (см. также рис. 3). С уменьшением числа Прандтля влияние вынужденного течения меняется на противоположное - теперь более сильно подавляются встречные волны. Этот эффект иллюстрируют кривые 2-5, Рг = 3 , 2, 0.95 , 0.915 соответственно). При этом возмущения становятся все более и более длинноволновыми. Наконец, при *

Рг (кривая 6) течение устойчиво относительно встречных волн. Устойчивость относительно волн, бегущих в направлении прокачки, повышается, причем для зависимостей Gгm(Re) характерны линейные асимптоты.

*

Как уже говорилось выше, при Рг < Рг опасными могут быть только попутные волны. Области неустойчивости ограничены по числам Грасгофа снизу и сверху. Границы областей устойчивости для Рг= 0.88, 0.87, 0.865 показаны кривыми 7

- 9 соответственно. Видно, что волновая неустойчивость появляется при некоторой пороговой интенсивности вынужденного течения.

3.3. Предел больших чисел Рейнольдса

Величина порогового числа Прандтля Рг зависит от интенсивности прокачки, уменьшаясь с

ростом Яе . Результаты, представленные на рис. 4, свидетельствуют, что при больших числах Рейнольдса критическое число Грасгофа Gr : Яе , а

Ш

волновое число k : 1/Яе . Это позволяет найти

m '

минимальное число Р г , при котором становится опасной волновая мода неустойчивости.

Представим число Грасгофа, декремент, волновое число, а так же амплитуды функции тока и температуры в виде рядов по степеням малого параметра e = Яе- 1:

] = ] 0+1 1е +..., - -0 + -1е +..., (6)

l = I 0 + I е + ... , k = ^е + ^е2... ,

Gг = Gг ¿г 1 + Gг0е + ...

Подставляя эти разложения в формулы (4)-(5), в нулевом порядке получаем краевую задачу:

- 1 0 $+ V. ^ 0у- V, № 0 = ] ^ - (7)

- 1 -0 + V 1^Л - Gг- 1Іkl/' 0 = ^^

х = ±1: ! 0 =з 0г = —(7= 0,

где V 1 - асимптотический профиль скорости, определяемый выражением

Gг , - 3 ~

и . = ——(х - X) + — (1 - X ) .

-1 6 4

Задача (7) определяет асимптотические коэффициенты в выражении (6) в зависимости от числа Прандтля. Из ее решения получаем, что минимальное число Р г оказывается равно 0.853 .

4. Заключение

Вычисления показывают, что изменение характера тепловых условий на границах слоя оказывает существенное влияние на количественные характеристики неустойчивости колебательного течения относительно температурных волн. Если границы слоя являются идеально теплопроводными, то нарастающие тепловые волны возможны при Рг > 11.562 . При фиксировании теплового потока черех границы величина порогового числа Прандтля уменьшается до Рг = 0.891. При этом зависимость минимального критического числа Грас-гофа от числа Прандтля становится немонотонной. В присутствии вынужденного напорного течения

нарастающие попутные температурные волны возможны и при меньших значениях Р г , величина порогового число Прандтля уменьшается до Рг = 0.853 .

Список литературы

1. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.

2. Лобов Н. И. Неустойчивость комбинированного конвективного течения в вертикальном слое // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1982. № 3. С. 3-9.

3. Лобов Н. И. Устойчивость комбинированного конвективного течения в вертикальном слое //

Исследование тепловой конвекции и теплопередачи / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1981. С. 9-11.

4. Лобов Н. И. Об устойчивости смешанного конвективного течения в плоском вертикальном слое // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1979. № 6. С. 130-132.

5. Липчин А. Т., Лобов Н. И. Влияние тепловых свойств границ на устойчивость конвективного течения в подогреваемом сбоку вертикальном слое // Конвективные течения / Перм. пед. ин-т. Пермь, 1987. С. 11-18.

6. Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.

The stability of combined convective flow under conditions of fixed heat current

V. E. Klimenko, N. I. Lobov

Perm State University, Bukirev St., 15, 614990, Perm

Linear stability of combined flow in a plane vertical layer is investigated numerically. A layer is heated from the side and herewith heat current through layer boundaries is fixed. It leads to thermal insulation of boundaries relative to temperature field disturbances. Forced pressure flow, causing by pumping of fluid in a vertical direction, is imposed on free convective flow. Effective suppression of nonviscous and viscous mechanisms of crisis in the presence of pressure flow is found out. Numerical characteristics of flow instability are obtained and stability pattern is constructed. An existence of growing thermal waves at small Prandtl numbers is detected.

Keywords: combined flow, convective stability, Gershuni flow, Poiseuille flow, heat-insulated boundaries, thermal waves.