Влияние слабого вращения на устойчивость адвективного течения в горизонтальном слое жидкости с твёрдыми границами при малых числах Прандтля Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 4 (22)

УДК 532.15.013.4:536.252

Влияние слабого вращения на устойчивость адвективного течения в горизонтальном слое жидкости с твёрдыми границами при малых числах Прандтля

Д. Г. Чикулаев, К. Г. Шварц

Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Исследуется влияние слабого вращения на гидродинамическую моду неустойчивости адвективного течения в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твердыми границами при малых числах Прандтля (Рг < 0.4). Определяются границы моды при малых значениях числа

Тейлора (Та). Представлены нейтральные кривые зависимости числа Грасгофа от волнового числа. Численный анализ показывает, что при 0 < Та < 100 с ростом числа Тейлора возрастает устойчивость адвективного течения и сужается диапазон монотонной моды по числу Прандтля в связи с тем, что возникает более опасная колебательная мода.

Ключевые слова: адвективные течения, устойчивость, вращение, нейтральная кривая, метод дифференциальной прогонки, метод сеток.

1. Введение

В плоском горизонтальном слое жидкости при наличии вдоль границ постоянно градиента температуры возникает адвективное течение [1]. При наличии вращения такие течения были впервые описаны аналитически в [2, 3].

Устойчивость адвективных течений, возникающих в слое при отсутствии вращения, исследована довольно основательно. В частности в [4], было показано, что при малых значениях числа Прандтля нормальные возмущения в виде валов с осями, перпендикулярные основному потоку (“плоские возмущения”), приводят к неустойчивости, обусловленной гидромеханическим механизмом. Она связана с развитием вихрей на границе встречных потоков.

В работе [5] было показано, что для адвективного течения в слое с твёрдыми границами при отсутствии вращения монотонная гидродинамическая мода существует при числе Прандтля Рг < 0.4 . При малых числах Прандтля неустойчивость обусловлена гидродинамическим механизмом (неподвижные вихри на границе встречных потоков). При Рг = 0 критическое число Грасгофа Огс = 495, что, естественно, совпадает с точкой

потери устойчивости изотермического течения с кубическим профилем. С ростом числа Прандтля имеет место сильная стабилизация гидродинамической моды, физический механизм которой понятен: при конечных Рг в области образования вихрей имеется устойчивая температурная стратификация, затрудняющая их развитие.

Устойчивость адвективного течения во вращающемся слое жидкости с твёрдыми границами была исследована с использованием метода сеток в монографии [6]. В работах [7, 8] эта устойчивость исследовалась при числе Рг = 6.7 (вода), а в работе [9], в которой была обнаружена монотонная мода, при Рг = 0.1. Было показано, что слабое вращение стабилизирует адвективные течения.

В работе [10] исследовалась устойчивость адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости со свободной верхней границей. В [11,12] изучалось влияние слабого вращения на адвективное термокапиллярное течение в условиях невесомости.

Цель данной работы — исследовать влияние слабого вращения на гидродинамическую моду при малых числах Прандтля 0 < Рг < 0.4 и определить границы неустойчивости при малых значениях числа Тейлора (Та).

© Чикулаев Д. Г., Шварц К. Г., 2012

2. Постановка задачи

Рассмотрим плоский горизонтальный слой несжимаемой жидкости, ограниченный твёрдыми плоскостями z = ±Н и вращающийся с постоянной

угловой скоростью □ = □ 0 /2 , где 12 — орт-

вектор вертикальной оси г . Направление оси вращения совпадает с вертикальной осью координат. Изучение адвективных течений будем производить на основе уравнений конвекции в приближении Буссинеска во вращающейся системе отсчёта в декартовой системе координат [5]. Выбрав в качестве единиц измерения длины, времени, скорости, температуры и давления соответственно Н, Н2 V, gPAh2 /V, АН, р0 gPAh2 (здесь V — коэффициент вязкости, g — ускорение силы тяжести, в — коэффициент теплового расширения, А — постоянный горизонтальный температурный градиент на границе слоя, р0 — средняя плотность), получим исходные уравнения в безразмерном виде во вращающейся системе координат [6]:

,(z ) = 0, Т0 = х + GrPrт0 (z),

дv

Gr(уУу) +4Га (і2 х у) = -Ур + Ау + Т ■ і2,

дt

div у = 0,

— + Gr (уУТ) = — А Т, дt х ’ Рг

(1)

где V — вектор скорости, Т — температура, р — давление, Gr = gPAh4 /V2 — число Грасгофа,

Та = ^2О0Н2 /V) —число Тейлора, Рг = v/x -число Прандтля. Здесь х — коэффициент температуропроводности. На обеих плоскостях задана температура, линейно меняющаяся с продольной координатой х, условия прилипания и замкнутости потока

- V V

z = ±1: Т = х, V = 0, |Vх dz = 0, |Vу dz = 0. (2)

-1 -1

Профили скорости и температуры возникающего адвективного течения описываются в виде точного решения задачи (1)—(2) [6]:

М°(2 ^ = 7Та 1Ш (2 ^ ’

У°(2^ = 7та (2 - (2^ ’

Т 0(z) _ ^гауо(z) ’

(3)

где и0 (z), у0 (z) и w0 (г) — компоненты вектора скорости, Re — действительная часть комплексного значения, 1т — мнимая часть комплексного значения.

Для исследования устойчивости стационарного плоскопараллельного адвективного течения применим метод малых возмущений [1]. Рассмотрим возмущённое течение V = у0 + V, Т = Т0 + в,

р = р0 + Р, где V , в, Р — малые нестационарные возмущения. Пренебрегаем квадратичными по V = (и, V, ^) и в слагаемыми и получаем

ду

дt

Ог (ку)у0 + (У0у^) + л/га X V)=

= -УР + АV + в • і,, div V = 0,

(4)

дв + Ог (куг0 + У0Ув) = -!- Ав. дt Рг

На твёрдых границах слоя возмущения скорости обращаются в нуль. Кроме того, будем считать, что ограничивающие слой пластины являются идеально теплопроводными; практически это означает, что теплопроводность материала, из которого изготовлены пластины, много больше теплопроводности жидкости. Отсюда следует, что на границах исчезают возмущения температуры. Имеем, таким образом, граничные условия для возмущений

2 = ±1:У = 0, в = 0.

(5)

Учитывая дивергентность возмущений скорости, введём функцию тока возмущений щ:

дш дш

и = ——, =-— и вихря возмущения скорости

дz дх

д 2у д2у

Ф = —— +---------— = А у. В качестве малых возмуще-

дх дг

ний рассматриваем нормальные возмущения.

Расчеты производились с помощью метода дифференциальной прогонки (пакет прикладных программ “Гидродинамическая устойчивость” [13, 14]) и метода сеток [15].

w

+

+

190

Д. Г. Чикулаев, К. Г. Шварц

3. Результаты вычислений

Расчеты показали, что с ростом числа Тейлора сужается граница монотонной моды неустойчивости по числу Прандтля (рис. 1) там, где она более опасная, чем колебательная. Так, например, при Та = 1 диапазон числа Прандтля 0 < Рг < 0.3 , при Та = 10 — 0 < Рг < 0.26 , а при Та = 100 —

0 < Рг < 0.08 .

Gr•10-

Та

Рис. 1. Граница монотонной моды неустойчивости

На рис. 2 представлены нейтральные кривые монотонной и колебательной мод неустойчивости на правой границе диапазона числа Прандтля (Рг = 0.26) при Та = 10 . Монотонная мода является более опасной, так как критическое число Грас-гофа для неё Огс = 33745.94, а для колебательной Огс = 40395 . За границей диапазона при Рг = 0.27 и Та = 10 (рис. 3) Огс = 64960 для монотонной моды и для колебательной Огс = 37470.

Расчеты показали, что при фиксированном числе Тейлора растет критическое число Грасгофа при увеличении числа Прандтля (рис. 4, 5). При фиксированном числе Прандтля с ростом Та растет Огс, а волновое число кх , соответствующее критическому числу Грасгофа, убывает.

Рис. 2. Нейтральная кривая монотонной неустойчивости — 1 и колебательной неустойчивости — 2 при Та = 10 и Рг = 0.26

Gr■10-3

к,

Рис. 3. То же, что на рис. 2, при Та = 10 и Рг = 0.27

Gr„

Рг

к

Рис. 4. Зависимость критического числа Грасгофа от числа Прандтля при Та = 1,10, 20

Gr„

Pr

Рис. 5. То же, что на рис. 2, при Ta = 50, 70, 80,90,100

Pr

Рис. 6. Зависимость волнового числа , соответствующего критическому числу Грасгофа, от числа Прандтля при различных значениях числа Тейлора

4. Заключение

Исследовано влияние слабого вращения на гидродинамическую моду неустойчивости адвективного течения в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твердыми границами при малых числах Прандтля. Численный анализ показывает, что в диапазоне 0 < Та < 100 с ростом числа Тейлора возрастает устойчивость адвективного течения и сужается диапазон монотонной моды по числу Прандтля в связи с тем, что возникает более опасная колебательная мода.

Список литературы

1. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М.: Гос.изд-во техн.-теор. лит., 1952.

2. Аристов С. Н., Зимин В. Д. Адвективные волны во вращающемся шаровом слое: препринт / АН СССР, Урал. науч. центр. Ин-т механики сплошных сред. Свердловск, 1986. 50 с.

3. Аристов С.Н., Фрик П.Г. Динамика крупномасштабных течений в тонких слоях жидкости: препринт / ИМСС УрО АН СССР. Свердловск, 1987. 47 с.

4. Gershuni G.Z., Laure P., Myznikov V.M., Roux B., Zhukhovitsky E.M. On the stability of plane-parallel advective flows in long horizontal layers // Microgravity Q. 1992. Vol. 2, №3. P. 141-151.

5. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989.

6. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости/ Перм. ун-т. Пермь, 2006.

7. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Об устойчивости адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1999. №5. С. 3-11.

8. Тарунин Е.Л., Шварц К.Г. Исследование линейной устойчивости адвективного течения методом сеток // Вычисл. технологии. 2001. Т. 6, №6. С. 108-117.

9. Шварц К.Г. Влияние вращения на устойчивость адвективного течения в горизонтальном слое жидкости при малом значении числа Прандтля // Изв. РАН. МЖГ. 2005. №2. С. 29-38.

10. Shvarts K.G., Boudlal A. Effect of rotation on stability of advective flow in horizontal liquid layer with a free upper boundary // Journal of Physics: Conference Series. 2010, Vol. 216, No.1. 012005 (14p.)

11. Шварц К.Г. Устойчивость термокапиллярного адвективного течения в медленно вращающемся слое жидкости в условиях невесомости // Изв. РАН. МЖГ. 2012. №1. С.44-58.

12. Shvarts K.G. Influence of slow rotation on the stability of a thermocapillary incompressible liquid flow in an infinite layer under zero-gravity conditions for small Prandtl number // Fluid Dynamics Research. 2012. Vol.44, No.3. 031416 (14p.).

13. Сорокин Л.Е. Исследование устойчивости течений и равновесия жидкости с помощью ППП «Гидродинамическая устойчивость» / Перм. унт. Пермь, 2006.

14. Чикулаев Д.Г., Шварц К.Г. Исследование линейной устойчивости адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости с твёрдыми границами методом дифференциальной прогонки // Вестник Пермского университета. Механика, Информатика, математика. 2011. №3. С. 42-46.

15. Тарунин Е.Л., Шварц К.Г. Исследование линейной устойчивости адвективного течения методом сеток // Вычислительные технологии. 2001. Т.6, №6. С. 108-117.

192

ff. r. HuKynaee, K. r. W^6арц

The effect of slow rotation on the stability of advective flow in a horizontal fluid layer with rigid boundaries at small Prandtl numbers

D. G. Chikulaev, K. G. Shvarts

Perm State National Research University, Bukirev St., 15, 614990 Perm

We investigate the effect of a slow rotation of the hydrodynamic instability mode of advective flow in a horizontal layer of an incompressible fluid with rigid boundaries at small Prandtl number

(Pr < 0.4). it is defined the boundaries of mode at low values of the Taylor number ^. We present neutral curves of dependence of the Grashof number on the wave number. Numerical analysis shows that for 0 < -100 the growth of the Taylor number increases the stability of the advective

flow and narrows the range of monotonous mode by Prandtl number due to the fact that there is a more dangerous oscillation mode.

Keywords: advective flows, stability, rotation, neutral curves, differential sweep method, grid method.