CC BY
33
Механика
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ С НЕРАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ТЯЖЕЛОЙ ПРИМЕСЬЮ
О Н Дементьев *
Челябинский государственный университет
Изучено влияние поперечного градиента температур на устойчивость стационарного движения вязкой несжимаемой жидкости в вертикальном плоском слое, ограниченном двумя бесконечными твердыми плоскостями Движение жидкости обусловлено оседанием тяжелых твердых сферических частиц, неоднородно распределенных поперек слоя, и горизонтальным градиентом температуры Рассчитаны спектры декрементов малых нормальных возмущений для различных размеров частиц и различной степени неоднородности распределения частиц примеси Устойчивость стационарного течения жидкости с примесью понижается с ростом градиента температуры и увеличением радиуса частац, а повышается при стремлении распр( деления частиц к однородному
Ключевые слова устойчивснть движение, конвекция, тяжелая примесь
Устойчивость изотермического плоскопараллельного течения вязкой несжимаемой жидкости (газа), несущей небольшое количество неравномерно распределенных тяжелых твердых сферических частиц, исследовалось в работе [1], где показана зависимость устойчивости течения от характера распределения частиц в слое В статье [2] рассматривалось влияние на конвективную устойчивость стационарного течения жидкости с однородно распределенной примесью факторов, характеризующих частицы примеси скорость оседания частиц, их размеры, плотность и теплоемкость, массовая концентрация частиц
Ниже исследуется влияние поперечного градиента температур на устойчивость стационарного движения вязкой несжимаемой жидкости в вертикальном плоском слое, ограниченном двумя бесконечными твердыми плоскостями Движение жидкости обусловлено оседанием неравномерно распределенных поперек слоя твердых сферических частиц и разностью темпера-гур храниц слоя
I Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость, содержащую примесь тяжелых твердых частиц Жидкость и примесь предполагаются взаимоп-
* Исследования проводились при финансовой поддержке РФФИ, грант № 96-01 01684
роникающими и взаимодействующими друг с другом сплошными средами, взаимодействием между частицами пренебрегается. Взаимодействие между фазами при их относительном движении подчиняется закону Стокса. Объемная доля частиц настолько мала, что можно пренебречь эйнштейновской поправкой к вязкости жидкости. Частицы предполагаются сферическими, недеформируемыми, одинаковой массы m и радиуса г; плотность материала частиц pi много больше плотности жидкости р0-
Сначала рассмотрим однородно нагретый слой жидкости. В замкнутом вертикальном слое между плоскостями х = ± h сквозь жидкость движутся оседающие частицы, распределенные поперек слоя симметрично относительно вертикальной оси z по закону (см. [1]):
, ч 4chachá - ch- chía - 2
Nq(X, а) =--fe-fe-,
V ' Acha — ch2a — 3
где N0 - число частиц в единице объема; а - коэффициент, определяющий концентрацию примеси вблизи границ слоя (рис. 1). Эта формула хорошо описывает распределение оседающих частиц в вертикальном канале, наблюдаемое экспериментально [3]
Оседающие неравномерно распределенные поперек слоя частицы, взаимодействуя с жидкостью, приводят ее в движение Стационарные распределения скоростей жидкости и частиц в изотермическом случае находятся из системы уравнений, описывающих поведение несжимаемой жидкости с примесью тяжелых твердых частиц (см. [1]), в предположении, что траектории как жидких, так и твердых частиц - прямые, параллельные вертикальной оси z, а слой на бесконечности замкнут сверху и снизу:
щ = GaBi{{4chachax - ch2ax/4)/a2 + В2х2 - В3), (1.1)
mh3 „ 3 ,15 , 7
В - - в — ¿Ma _ ~ch2a - 4),
p(4cha — ch2a — 3) 4а2Ча 2 h
45 7 1
UpO = Щ + Us = -Ga,Tv.
Здесь введены безразмерные переменные; в качестве единиц расстояния, времени, скорости и давления приняты соответственно h, h2 ¡v, v/h, pov2/h2, причем
Tv - 2r2px/{9h2p0), a0 = N0m/p0, Ga^ghï/v2,
где v кинематическая вязкость; величины с индексом р относятся к облаку частиц, г„ - безразмерное время, в течение которого скорость частиц
-а=1 О а=10 0 •а=200 а=30 О а=40 О
400
200
-200
-400
-а=1 О а=100 -а=20 О а=30 О а=40 0
относительно жидкости уменьшается в е раз по сравнению с ее исходным значением; и8- скорость оседания частиц; д - ускорение свободного падения; (7а - число Галилея.
Как видно из (1.1) и рис.1 (нижняя часть), в слое под воздействием оседающих частиц устанавливается движение жидкости с двумя восходящими и одним нисходящим потоками, симметричное относительно оси г. Интенсивность движения быстро уменьшается с ростом а (при а —> оо, т.е. при стремлении распределения частиц к однородному, щ —> 0). Исследуем устойчивость найденного движения по отношению к малым нормальным возмущениям вида ехр(гк(г — с£)), т.й. в рассматриваемом случае, как и для чистой жидкости [4], с точки зрения возникновения неустойчивости наиболее опасны плоские возмущения (к - вещественное волновое число, с — ст + гс( комплексная фазовая скорость возмущений). Безразмерные уравнения для амплитуд возмущений функции тока ф имеют вид (штрихом обозначено дифференцирование по координате х)\
ф1У - 2к2ф" + к4ф + гк{ф" - к2ф)(с -и0 + - 1)) +
ХкТу Ту
гк „ , , . 2а0к2
-1) + ф({ки" + а0и'р0 + а()«р0) + ° дг Р°' ) " а'Са = °> С1-2)
/
где
д = +1, „ = +
771 , ч / т И \ т лг / \ / т ,
а = —п(х), а — —п [х), ао = —1чи(х,а), ац = —А0(х,а).
Ро Ро Ро Ро
Граничные условия
ф = ф' = 0 при х = ± 1. (1-3)
Краевая задача (1.2), (1.3) определяет спектр характеристических возмущений и их декрементов с,, границы устойчивости находятся из условия сг = 0. В предельных случаях больших значений вязкости или плотности несущей примесь жидкости, малого размера или плотности материала частиц скоростью оседания частиц можно пренебречь, значит, в этих случаях движение жидкости не возникает и гидродинамические возмущения монотоннно затухают (состояние покоя жидкости с примесыо устойчиво). При произвольных значениях параметров задача (1.2) - (1 3) решалась численно методом Рунге-Кутта-Мерсона с ортогонализацией векторов-
решений по Грамму-Шмидту на каждом шаге интегрирования; ортонорми-ровка проводилась к максимальному по модулю (на данном шаге) вектору-решению (см [5]).
Наличие частиц примеси сказывается прежде всего на спектре декрементов возмущений. В отличие от спектра чистой жидкости [4] теперь спектр возмущений значительно богаче за счет появления возмущений, связанных с облаком частиц. В слое появляются колебательные возмущения (см [1]) Следует отметить, что устойчивость течения слоя жидкости с неравномерно распределенными тяжелыми твердыми частицами примеси обусловлена взаимодействием встречных потоков: нисходящего центрального и двух восходящих около стенок Неустойчивость движения вызывается нижними модами гидродинамических возмущений, декременты нормальных возмущений оказываются комплексными Оседающие частицы порождают колебательные (бегущие) возмущения и способствуют их переносу.
В результате расчетов было выяснено, что при увеличении радиуса частиц г интенсивность течения увеличивается и его устойчивость понижается На рис 2 показана зависимость lgGam (Gam - минимальное критическое число Галилея, после превышения которого движение становится неустойчивым) от радиуса частиц г для а — 10, pi = 0 65, ро = 0.0013 (верхняя часть рисунка) С ростом параметра а, характеризующего концентрацию примеси вблизи границ слоя, устойчивость течения повышается, т к уменьшается его интенсивность (нижняя часть рисунка) На рис 3 изображены графики зависимости минимального критического радиуса час гид rm, после превышения которого движение становится неустойчивым (верхний рисунок), и величины 1/а, характеристики изотермического течения, определяющей его интенсивность (нижний рисунок), от числа Ga. На рисунке можно увидеть, что уменьшение вязкости (рост Ga) приводит к понижению устойчивости Фазовая скорость гидродинамических возмущений с, падает с увеличением Ga (а - const.) и растет в случае г = const
2 Перейдем к рассмотрению движения неравномерно нагретой жидкости с примесью. Уравнения свободной конвекции несжимаемой жидкости с примесью тяжелых твердых частиц, развивающейся на фоне стационарною изотермического течения, в приближении Буссинеска, записанные в безразмерной форме имеют вид
du/dt + ((u0 + u)V)(u0 + u) = -Vp + Au + a0{up - u)/tv+
+ (1 + а0)ОгГ7, (2 1)
dup/dt + ((upo + up)V)(upo + Up) = -(up - u)/r„, 8T/dt + (uo + u)VT = AT/Pr + a0b{Tp - T)/rt,
1 10 20 30 40
в*
ва
dTp/dt + (up0 + up)VTp = -(Tp - Т)/ти (Vu) = 0, dN/dt + (V(iV( Upo + Up) + N0up))/Pr = 0, rt = 3PrTvb/2, b = Ci/C, Pr = v/X, Gr — gflQh?/v2.
В (2.1) приняты следующие обозначения: u - скорость конвективного течения, возникающего на фоне стационарного изотермического движения со скоростью uо ; Т - температура; р ~ давление жидкости, отсчитываемое от перенормированного за счет присутствия оседающих частиц гидростатического давления; С - теплоемкость жидкости при постоянном давлении; /?, х ~ коэффициент объемного расширения жидкости и ее температуропроводность; С\ - теплоемкость материала частиц. В качестве единицы измерения температуры выбрана 0 - полуразность температур между границами слоя Величина r¿ - безразмерное время, необходимое для уменьшения разности температур жидкости и частиц в е раз по сравнению с ее исходным значением; Pr, Gr - числа Прандтля и Грасгофа.
Теперь найдем стационарное решение системы уравнений (2.1) при наличии постоянного горизонтального градиента температуры, т.е. когда конвективное движение, вызванное неравномерной нагретостью жидкости, накладывается на стационарное движение жидкости ио (рис.1), вызванное взаимодействием с неравномерно распределенными оседающими твердыми частицами Используя условие прилипания жидкости к твердым границам слоя и условие замкнутости течения, получим:
где
„ .ж3 m Acha 2
U° = Gr{J f ^a-chía- ^-аГ^^ " a^'
—^Axch'lax - -sh2ax) - c/t2a + 2 + + Uüj (2.2)
4cr a 6
UPQ = U0 + щ, То = Tpo = -x,
Cl ~ ~6 ~ 2po(4cha - ch2a - 3) ~ йаЛ2о!Ь
—5-(c/i2a - —sh2a)--тг")-
la¿ a. 3
В слое под воздействием оседающих частиц и горизонтального градиента температуры устанавливается несимметричное движение жидкости с двумя восходящими и одним нисходящим потоками. Интенсивность движения уменьшается с ростом а.
В предельном случае однородно распределенных частиц (а -4 оо, т.е. Nd = const, ао = const) из формул (2.2) получим, что изотермическая составляющая скорости ио = 0, а конвективная - представляет собой обычный кубический профиль скорости (см. [2; 4]).
3. Для исследования устойчивости движения неравномерно нагретой среды, содержащей неоднородно распределенные оседающие частицы, рассмотрим возмущенные поля скоростей, температур, давления и числа частиц в единице объема: U0 + v, Upo + vp, T0 + T, Тр0 + Тр, р0 + Р> Щ + N, где v, vp, Т, Тр, р, N - малые возмущения. Уравнения для возмущений можно получить из (1.1), производя линеаризацию по возмущениям.
Как и в случаях чистой жидкости [6] и жидкости с равномерно распределенной примесью [2, 7], для среды с неоднородно распределенной примесью тяжелых твердых частиц можно показать, что задача об устойчивости конвективного течения относительно пространственых возмущений сводится к соответствующей задаче для плоских возмущений. В случае вертикальной ориентации слоя плоские возмущения более опасны, т.е. раньше пространственных (при меньших значениях критических чисел Галилея и Грасгофа) приводят к неустойчивости. Следовательно, при исследовании устойчивости достаточно ограничиться изучением плоских возмущений.
Рассмотрим плоские "нормальные" возмущения
Vj = —dip/dz, vz - дф/дх, (3.1)
■ф(х, z, t) = ф(х) exp[ik(z - ct)}, Т(х, z, t) = в(х) exp[ik(z - ct)] N{x, z, t) = n(x) exp[ik(z - ct)},
где -ф - функция тока; ф, в, п - амплитуды возмущений.
В результате из (2 1) получим в линейном приближении с учетом вида возмущений (3.1) безразмерные уравнения для амплитуд возмущений
ф1У - 2к2ф" + кАф 4 %к{ф" - к2ф){с - С/0 + (- 1)) +
ZrCTy Л
а'о^Л hTT„ м ik . п„ ^ ,п1 . 2aQk2rv(U^)2
~r I ^ ^ 0 + 0 -Аз-'
+ (1 + а0)Сгв' + a'GrT + aGrT' + а'0Сгв = 0, (3.2)
- к2в) + 0(^(1 _ 1) + гк(с - С/о)) + гкфТ'(^ + 1) = 0,
Pr , Tt ts АО
где
А = гкти(иро - с) + 1, В = гкт,(ир0 - с) + 1,
П =
tv 2N0k2rvU'рйф А - 1 А2
(
Граничные условия
ф = ф' = 0 = 0 при х = ±1.
(з.з)
Краевая задача (3.2), (3.3) определяет спектр декрементов возмущении и границы устойчивости движения (сг = 0) неравномерно нагретой жидкости, содержащей неоднородно распределенные поперек слоя частицы примеси Для решения этой краевой задачи также применялся метод пошагового интегрирования Рунге - Кутта - Мерсона с ортогонализацией решений по Грамму - Шмидту на каждом шаге интегрирования. 4. Наличие частиц примеси изменяет спектры декрементов гидродинамических и тепловых возмущений: появляются колебательные возмущения, связанные с облаком частиц (рис. 4, где Gr = 10~3, Рг — 0.73, ¿ = 2.7, а = 10, р\ = 0 65, ро = 0.0013, г = 0.05). Неустойчивость течения неравномерно нагретого слоя жидкости с неоднородно распределенными тяжелыми твердыми частицами примеси обусловлена взаимодействием встречных потоков. Неустойчивость движения вызывается нижними модами гидродинамических возмущений (сплошная и пунктирная кривые), декременты тепловых возмущений отрицательны. Декременты нормальных возмущений оказываются комплексными Оседающие частицы порождают колебательные возмущения и способствуют их переносу.
Перейдем к обсуждению результатов исследования влияния конвекции на устойчивость стационарного движения жидкости, вызванного оседанием неравномерно распределенных поперек вертикального слоя тяжелых твердых частиц примеси. При выбранных в данной работе параметрах несущей среды и примеси стационарное конвективное течение является малой добавкой к стационарному изотермическому движению (максимальная скорость изотермическою течения более чем в десять раз превосходит максимальную скорость конвективного течения). В нашем случае гидродинамические моды спектров декрементов возмущений (Рг = 0.73) практически совпадают со спектрами, полученными в изотермическом случае, причем ответственными за нарушение устойчивости остаются гидродинамические возмущения С ростом числа Gr конвективная составляющая скорости жидкости увеличивается, устойчивость течения понижается. На рис. 5 показана зависимость минимального критического числа Галилея Gam от числа Грасгофа (рг = 0.65, р0 = 0.0013, а = 10, Рг = 0.73, г = 0.05, b = 2.7, что соответствует древесной пыли в воздухе). Критическое число Галилея уменьшается, а фазовая скорость возмущений увеличивается. Это же наблюдается также при увеличении радиуса частиц примеси: при увеличении радиуса частиц от 0.015 до 0.05 Gani уменьшается почти в 70 раз. При уве-
Рис. 4
Вис. 5
33400 33300
32800
Рис. 6
160
О Н Дементьев
личении параметра а, определяющего степень неоднородности распределения часгиц в канале, интенсивность изотермической составляющей течения понижается, а устойчивость течения повышается На рис 6 представлены графики зависимости логарифма минимального критического числа Галилея, определяющего нижнюю границу устойчивости, от г и от а
Сравнение полученных в этом разделе данных с результатами, приведенными в [1] и в первом разделе данной работы, показывают, что влияние слабой конвекции на устойчивость изотермического течения жидкости, вызванного оседанием неравномерно распределенных тяжелых частиц, незначительно (порог устойчивости снижается примерно на 5-7%) Устойчивость течения неравномерно нагретой жидкости с примесью значительно возрастает при увеличении параметра а, характеризующего степень однородности распределения частиц поперек слоя, приближаясь к результатам для устойчивости течения жидкости с однородно распределенной примесью (см [2]) Рост размеров частиц приводит к значительному понижению устойчивости движения
Список литературы
1 Бурмистрова А Б , Дементьев О Н Устойчивость стационарного течения жидкости с тяжелой примеью // ПМТФ 1986 № 2
2 Дементьев О Н Конвективная устойчивость среды, содержащей тяжелую твердую примесь // ПМТФ 1976 »3 С 105-115
3 Coy С Гидродинамика многофазных систем М Мир, 1971
4 1 ершуни Г 3 Жуховицкии Е М Непомнящии А А Устойчивость конвективных течении М Наука, 1989
5 Ьеллман Р , Калаба Р Квазилинеаричацил и нелинейные краевые задачи М Мир 1968
(> Гершуни Г 3 , Жуховицкии Е М Конвективная устойчивость несжимаемой жид кости М Наука, 1972
7 D< mentiev С) Stability of steady state flows of a liquid with a heavy impurity //Zeitschuft fui Angevandte Math und Mech ICIAM95 special issue 1996 V IVb
SUMMARY
A study us made of the stability of steady convective flow of a medium c ontammg an additive between vertical plates heated to different temteratures It is shown that the piesence of setting solid particles has a significant stabilizing effect on convective stability
