CC BY
39
ЗАДАЧА РЭЛЕЯ ДЛЯ ЖИДКОСТИ С ТЯЖЕЛОЙ ПРИМЕСЬЮ
О.Н. Дементьев *
Челябинский государственный университет
Определена область устойчивости неравномерно нагретого слоя жидкости со свободными границами, в котором н( однородно распределены тяжелые твердые частицы Устойчивость равнов( сия подогреваемого снизу слоя жидкости значительно повышается с ростом массовой концентрации примеси.
Ключевые слова: устойчивость, равновесие, конвекция, тяжелая примесь.
Устойчивость подогреваемого снизу горизонтального бесконечного слоя жидкости, ограниченною параллельными плоскостями, на которых исчезают касательные напряжения, исследована достаточно подробно (см. [1]). Конвективная устойчивость равновесия несжимаемой среды (жидкости или газа), содержащей небольшое количество твердой примеси, исследовалась в работах [2 - 4] (в [2] пренебре1 алось оседанием частиц). Жидкость с примесью заполняла горизонтальный плоский слой с твердыми 1раницами. В основу было положено представление о системе жидкость - частицы в виде взаимопроникающих и взаимодействующих друг с другом сплошных сред.
Ниже исследуется конвективная устойчивое'!ь равновесия подозреваемого снизу горизонтального слоя жидкости со свободными границами, поперек которого оседают хяжелые пзердые частицы примеси.
1. Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость, содержащую примесь тяжелых твердых часгиц. Жидкость и примесь предполагаются взаимо проникающими и взаимодейс гвующими друг с другом сплошными средами, взаимодействием между частицами пренебрежем. Взаимодействие межд\ фазами при их относительном движении подчиняется закону Стокса. Объемная доля час 1 ид настолько мала, что можно пренебречь эйнштейновской поправкой к вязкости жидкости. Частицы предполагаются сферическими, недеформируемыми, одинаковой массы т и радиуса г; плотность материала частиц р\ много больше плотности жидкости р. Уравнения свободной кон-
* Исследования проводились при финансовой поддержке РФФИ, грант №96-01-015X4.
векции несжимаемой жидкости с тяжелой примесью в приближении Бусси- < неска (см. [3; 5]), записанные в безразмерной форме, имеют вид i
' du/dt + (wV)u = -Vp + Ай + a{up - u)/tv + GVTf, dup/dt + {{up + us)V)up = -(up - u)/tv, < dT/dt+ иЯГ = ЬТ/Р + аЪ(Тр-Т)/ти (1.1)
dtp/ot + (йр + «s)V7p = -(Tp - t)/tu . (V«) = 0, ON/dt + {V(N(up + us)))/P = 0.
Здесь
tv = 2r2pi/(9h2p), rt = 3Prvb/2, = -r^Gaf, a = Nm/p.
b = ci/c, Ga — ghs /¡/2, P = v/x, Gr = (1 + a)g/JQhs / .
В (1.1) приняты следующие обозначения: и - скорость; Г - хемперату-ра; р давление жидкости, отсчитываемое от перенормированною за счет присутствия оседающих частиц гидростатического давления; с теплоемкость жидкости при постоянном давлении;/3, и, х коэффициент объемного расширения жидкости, ее кинематическая вязкость и температуронро-водносхь; g = -gускорение свободного падения. Величины с индексом р огнося'хся к облаку часхиц, причем ир скорость, приобретаемая часхици ми в результате их взаимодействия с движущейся жидкостью (огсчихыва ется от скорости оседания частиц Us); с1 теплоемкость материача частиц; N число частиц в единице обьема.
Величины Tv и т> безразмерные времена и представляют собой со-отвественно: ть - время, необходимое для того, чтобы скорость частиц относительно жидкости уменьшилась в е раз по сравнению с ее исходным значением; rt время, необходимое для уменьшения разности температур жидкости и частиц также в t раз; Ga, Р, Gr числа Галилея, Прандгля и Грасюфа. В качестве единиц измерения расстояния, времени, скорости, давления и температуры выбраны соотвехственно: h, h2jv, vjh, pvljh\ Q. где h - ширина слоя жидкое хи. 0 полу разность темпера хур между границами слоя.
"2. Рассмотрим горизонтальный бесконечный слой жидкости, адрани-ченный параллельными плоскос 1ями ~ = 0. ~ = 1; границы предполагают
ся свободными, т.е на них исчезают касательные напряжения. Через верхнюю границу в слой поступают частицы, концентрация которых однородна, нижняя граница подогревается Час1ицы оседают, поэюму в невозмущен ном состоянии в слое имеется поперечное движение примеси с однородной вертикальной скороеiью us
Найдем стационарные распределения температур несущей среды То и облака частиц TpU при огсуитвии конвективного движения рассматривав мой двухфазной системы (индекс 0 отличает стационарное решение системы (1 1))
ГЦ + аЬР(Тр0 - Т0)/тг = 0, иьГ'р0 + (Тр0 - To)/rt = 0 (2 1)
(пприхом обозначено дифференцирование по координате г) Граничные условия
Гц = 1 при г = 0, То = Т„о = - 1 при г = I (2 2)
Часшцы поступают в слой, имея ieMnepaiypv ею верхней храницы Распределения температур в слое несущей среды и облаке час 1иц при ста ционарном поперечном движении примеси имеют вид (на рисунке 1 Ga = 43600, Р = 0,73, а = 0,1, b - 2,7, прямой 1 соохвегс :в\ет иъ = 0, кривой 2 ¡¿s = 15 кривой 3 и, = 30)
Т0 = fli(cxp[??!i(~ - 1)] - mi) + «2(е\р[/иЛ- - 1)] - »'О - 1, (2 3)
Гро = aii?i4(exp[77ii (с — 1)] — 1) +- a2m4e\i)[m2{z - i)] - 1) - 1, где
a, =2/[(l-exp(-m1))(m, - 1)], a2 = 2/[(l - exp(-m2))(l/m3 ~ 1)], 1щ 2 = -l/(2rtus) ± yfl/(¿t,us)2 + Pab/rt, m3 = [1 - ехр(-?/г2)](1 - m,)/[(l - exp(-m, ))(1 - ms)],
m4 = mj/(Pabub), m^ = ?/i2/(Pabus)
В предепьном случае взвешенных частиц (и, = 0) из уравнений (2 1) и ¡раничных условий (2 2) поручим тинейное по вершкалп распределение температур I,м = Г0 = -2~ + 1 Как видно из (2 3), при отличной oi нуля скорости оседания чаоиц распределения юмператур жидкоеiи (га за) и облака частиц отличаются от линейных При увеличении скорос!и
Рис. 1
оседания частиц, а также с ростом их массовой конценхрации а и относительной хеплоемкости 6 искажение линейного распределения температуры жидкосхи увеличивается. При дальнейшем росте перечисленных параметров у нижней границы формируется пограничный слой, внутри которого сосредоточено основное изменение температуры несущей среды.
3. Для исследования конвективной устойчивости равновесия слоя среды. содержащей оседающие частххцы. рассмотрим возмущенные поля скоростей, температур, давления и числа частиц в единице объема: й, ир + и,, Т0+ Г, Тр0 + Гр, ро + р, N0 + где и, ир, Т, Тр, р, N - малые возмущения. Уравнения для возмущений можно получить из (1.1), производя линеаризацию по возмущениям. Исключая из этих уравнений обычным образом давление, ж, у - компоненты скорости жидкости и облака частиц, можно получить уравнения для вертикальных компонент возмущений скоростей иг(,1-, г/, г, ¿), Ирг(х, у, -М) и температур Т(х,у,г,1), Тр{л Будем рассматривахь нормальные возмущения вида
иг(.г, (/,;,<) = у(г)ехр[-А< + Цкгх + к2у)], иГ(х,у,;Л) - ур(с)ехр[-А/+ 4 к2у)].
(•3.1)
Г(|,!/,;,/) - 0(:)ехр[-А* + г(АЬ1 -} кгу)].
1р(1,у.г.Ц = 0р(~)ехр[-А/ + ?(/>,.г 4 к2у)],
где и А*2 вещественные волновые числа вдоль направлений .г и у; А = А, + гА, - комплексный декремент возмущений. В результате из (1.1) получим с учетом вида возмущений (3.1) безразмерные уравнения для ам-шшхуд возмущений:
с/у - 2к'2и" + к4г -(-- А)(г" - /Л.) - а,к2в+ ть
а Г 1 . 1 г , 11
((А--) — + г') + (-(- - А)2-А2)гр] = 0, (3/2)
т, г^«, г, и„ и- т,
+ (-— А)гр - — = О,
Ту
^ тг г т1
1де к2 = к\ + Ц.
Граничные условия V = 1— в — 0 при 2 = 0, г —
(3.3)
1>р = вр = 0 при 2=1.
Предполагаем, что на верхней границе слоя возмущения скорости и температуры облака частиц исчезают. Краевая задача (3.2), (3.3) опреде ляет спектр декрементов возмущений и границы устойчивости равновесия слоя жидкости (газа), содержащей частицы примеси. Декремент А зависит от семи независимых параметров задачи: чисел Грасгофа, Прандтля и Галилея (или скорости оседания часищ), массовой концентрации примеси, волнового числа и времен релаксации. Из условия А, = 0 определяется граница устойчивости равновесия.
Рассмотрим изотермический (/0 = Трц = соп&1) смой запыленной сре ды (в этом случае 0 = 0, вр = 0). Тяжелые хвердые частицы оседают поперек слоя с однородной вертикальной скоростью и3, однако жидкость остается неподвижной. В предельном случае взвешенных частиц (и4 — 0) система уравнений (3.2) существенно упрощается
_ -2к2 г" + к41, + (А + —^-г И г" - к2 г) = 0. 1 - гу А
Эю уравнение заменой Ал = А(1 + 1_"г х) вводится к соогвсчствующему амплитудному уравнению для чистой жидкости, из которого находятся декременты А „и = п27г2 + к2. п = 1,2,3,... [1]. Тогда гидродинамические декременты рассматриваемой двухфазной системы будут определяйся выражением
1 + а + т„Кп ± УГГ + а + т1 А»„ )2 - 1т, А*п
Ап - •
2т(,
Таким образом, так как декременты возмущений оказываются вещественными и положительными, ю возмущения затухаю! монотонно, а рассматриваемое состояние устойчиво.
В про1Ивоположном предельном случае достаточно больших скорос тей оседания частиц |гг8| > 1, го есть в несущих средах с малой вязкостью
ЗАДАЧА РЭЛЕЯ ДЛЯ ЖИДКОСТИ С ТЯЖЕЛОЙ ПРИМЕСЬЮ
51
или для тяжелых частиц, аналогично можно показать, что запыленная среда устойчива монотонно. Численное решение за дачи об устойчивости изотермического горизонтального слоя жидкости с примесью при произвольных значениях скорости оседания частиц показало, что нормальные возмущения затухают монотонно, такой слой устойчив.
Для решения общей краевой задачи (3.2), (3.3) применялся метод пошагового интегрирования Рунге - Кутта - Мерсона с ортогонализацией получаемых векторов-решений по Граму - Шмидту на каждом шаге интегрирования; ортонормировка проводилась к максимальному по модулю (на данном шаге) вектору-решению (см. [6; 7]).
4. Наличие частиц примеси сказывается прежде всего на спектре декрементов возмущений, который в отличие от спектра чистой жидкости и спектра слоя с поперечным просачиванием жидкости [1] значительно богаче за счет появления возмущений как изотермического - /<Р, так и неизотермического ир типов, связанных с облаком частиц. В слое появляются колебательные возмущения. Следует отметить, что, хотя изотермический слой жидкости с тяжелыми твердыми частицами примеси остается устойчивым, как и в случае чистой жидкости (см. [1]), но теперь, при увеличении скорости оседания частиц, вещественные декременты сначала сливаются, образуя комплексно сопряженную пару (для ту — 0.0345, а — 0.1, к = 1, Са = 0.5, т.е. и& ~ 0.017), а загем, при дальнейшем росте и8, эта пара снова распадается на два вещественных уровня (в приведенном случае два нижних вещественных уровня возникают снова при ив « 0.932). Оседающие
частицы порождают в жидкости бегущие вдоль слоя возмущения.
В подогреваемом снизу слое жидкости с примесью при увеличении числа Грасгофа вещественны0 уровни спектра декрементов также сначала сливаются, образуя комплексно-сопряженные пары, а затем опять распа даются на два вещественных уровня. Неустойчивость лее, как и в случае неподвижного слоя чистой жидкости со свободными границами или слоя жидкости с примесью и твердыми границами ({1; 5]),обусловлена вещественными ветвями спектра, она имеет монотонный характер. На рисунке 2 представлены спектры декрементов возмущений в горизонтальном слое жидкости при наличии поперечного движения частиц. Параметры задачи имеют следующие значения: Са = 47; Р = 0,73; а = 0,1; к = 1; т„ = 0,0345: Тх - 0,0129. Уровни ¡лр, и 1Ург облака частиц лежат выше соответствующих изотермических - и тепловых и1 уровней несущей среды и выходят за пределы рисунка.
О.Н Дементьев
5. Граница устойчивости равновесия определяется из условия Аг = 0. Влияние оседающих частиц примеси на устойчивость неравномерно нагретого слоя жидкости (газа) характеризуется, в частности, зависимостью минимального критического числа Грасгофа от величины массовой концентрации частиц. С увеличением массовой концентрации примеси а у нижней границы слоя начинает формироваться температурный пограничный слой (происходит "сдувание" распределения температуры газа). В результате уменьшается эффективная толщина стратифицированного слоя газа (h.efjt< h). Характерная же разность температур 20 остается при этом фиксированной, и минимальное критическое число Грасгофа, определенное по полуширине слоя, при этом увеличивается по мере уменьшения hejf, т.е. с ростом а. Увеличение массовой концентрации от а = 0.07 до а = 0.13 приводит к возрастанию минимального критического числа Грасгофа о г Grm = 195 до Grm = 309 (параметры задачи Р = 0.73, rv = 0.00345, r¡ = 0.0102, Ga = 47, 6 = 2.7 соответствуют древесным частицам в слое воздуха), при критическом значении числа Грасгофа для чистой жидкости Grm ~ 170. Критическое значение волнового числа кт ж 1.6 с ростом а меняется незначительно, оставаясь меньше соответствующего чистой жидкости (кт & 2.2). На рисунке 3 показаны кривые нейтральной устойчивости для различных значений массовой концентрации примеси тяжелых твердых частиц (Ga = 31830; Р = 0,73; tv = 0,0045; rt = 0,0134): кривой 1 соответствует а = 0,07; кривой 2 а — 0, 1: кривой 3 а = 0,13.
С' ростом скорости часхиц также наблюдается усиление искажающего влияния примеси на распределение температуры несущей среды. Стабилизирующий эффект воздействия частиц на устойчивость равновесия при этом возрастает. В слое воздуха толщиной 2с движение древесных частиц со скоростью « 15с/с (Р = 0.73/ а = 0.1, Ga = 31830, rv = 0.00452, r£ = 0.01336) повышает устойчивость почти в 4 раза. Однако при больших значениях скорости оседания дальнейшее ее увеличение приводит к незначительному искажению устанавливающегося распределения температуры несущей среды и, значит, к малому росту стабилизирующего эффекха.
В заключение следует отметить, что влияние оседающих часхиц на устойчивость равновесия неравномерно нагретого горизонтального слоя жидкости (газа) со свободными границами во многом сходно с влиянием примеси на устойчивость слоя жидкости с твердыми границами. Это относится к характеру изменений спектра возмущений неподвижного слоя жидкости, а также к причинам повышения конвективной устойчивости равновесия в резулыате образования температурнош пограничного слоя у нижней границы.
Gr
Список литературы
1 Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости М Наука, 1972 392 с
2 Scanloil J.W., Segel L.A. A some effect of suspended particles on the onset of Benard convection// Phys. Fluids 1973 V.16, №10
3 Дементьев O.H. Конвективная устойчивость среды, содержащей тяжелую твердую примесь// Журн прикл механики и техн физики 1976 №3 С 105-115
4 Dementiev О. Stability of steady-state flows of a liquid with a heavy impurity// Zeitschrift fur Angevandte Math und Mech ICIAM95-special issue, 1996 Vol 5 P 113115
5 Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений М Наука, 1989 320 с
6 Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи М Мир, 1968 156 с
7 Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости М. Мир, 1971 351 с
Summary
The problem of covective stability of a flat layer of a medium containing setting heavy solid particles are discussed. A study is made of the stability of a layer of a medium containing an additive which is heated from below. It is shown that the piesence of setting solid particles has a significant stabilizing effect on convective stability.
