CC BY
9
МЕХАНИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 1. С. 113-117. УДК 532.5
УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДОГРЕВАЕМОГО СНИЗУ СЛОЯ ЖИДКОСТИ С ПРИМЕСЬЮ
О. Н. Дементьев
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия [email protected]
Решена задача о конвективной устойчивости плоского слоя среды, содержащей оседающие тяжёлые твёрдые частицы. Для слоя жидкости со свободными границами подогрева снизу показано, что его устойчивость значительно повышается с ростом массовой концентрации примеси.
Ключевые слова: конвективная устойчивость, твёрдые частицы, плоский слой.
1. Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость, содержащую примесь тяжёлых твёрдых частиц. Жидкость и примесь предполагаются взаимопроникающими и взаимодействующими друг с другом сплошными средами, взаимодействием между частицами пренебрегается. Взаимодействие между фазами при их относительном движении подчиняется закону Стокса. Объёмная доля частиц настолько мала, что можно пренебречь эйнштейновской поправкой к вязкости жидкости. Частицы предполагаются сферическими, недеформируемыми, одинаковой массы ш и радиуса г; плотность материала частиц р! много больше плотности жидкости р. Уравнения свободной конвекции несжимаемой жидкости с тяжёлой примесью в приближении Буссинеска (см. [1-3]), записанные в безразмерной форме имеют вид
д п а
— + (п ■ У)п = -Ур + Ап - -(ир - п) + ОтТ1) (1)
дЬ
т
д п 1
--Л + ((пр + п.) -У)пр = -(ир - п), (2)
£ + (п ■ У)Т = + аь(Тр - Т), (3)
-Тр , , _ _ 1
-Ьр + (пр + пв) ■ УТ = - - (пр - п), (4)
дЫ 1
а1уп = 0, — + р а1у(ы (пр + пв)) = о, (5)
2 2 р! 3Рт„Ь шЫ оЬ3
ти = - г —, т =-, а =-, Оа = ——, п. = — Оат„ 7,
* 9 р ' 4 2 ' р ' V2 ' ' ь
и 3рТ„Ь С!
р = -, Т = —-—, Ь = —, От = (1 + а)-—.
X 2 с V2
В (1)-(5) приняты следующие обозначения: u — скорость; T — температура; p — давление жидкости, отсчитываемое от перенормированного за счёт присутствия оседающих частиц гидростатического давления; c — теплоёмкость жидкости при постоянном давлении; ß,v,x — коэффициент объёмного расширения жидкости, её кинематическая вязкость и температуропроводность; g = —7$ — ускорение свободного падения. Величины с индексом p относятся к облаку частиц, причём up — скорость, приобретаемая частицами в результате их взаимодействия с движущейся жидкостью, отсчитывается от скорости оседания частиц us; C1 — теплоёмкость материала частиц; N — число частиц в единице объёма. Величины tv и Tt — безразмерные времена и представляют собой соответственно: tv — время, необходимое для того, чтобы скорость частиц относительно жидкости уменьшилась в e раз по сравнению с её исходным значением; Tt — время, необходимое для уменьшения разности температур жидкости и частиц также в e раз; Ga, P, Gr — числа Галилея, Прандтля и Грасгофа. В качестве единиц измерения расстояния, времени, скорости, давления и температуры выбраны соответственно: h, h2/v, v/h, pv2/h2, в, где h — ширина слоя жидкости, в — полуразность температур между границами слоя.
2. Рассмотрим горизонтальный бесконечный слой жидкости, ограниченный параллельными плоскостями z = 0,z =1; границы предполагаются свободными, т. е. на них исчезают касательные напряжения. Через верхнюю границу в слой поступают частицы, концентрация которых однородна, нижняя граница подогревается. Частицы оседают, поэтому в невозмущённом состоянии в слое имеется поперечное движение примеси с однородной вертикальной скоростью us. Найдём стационарные распределения температур несущей среды T0 и облака частиц Tp0 при отсутствии конвективного движения рассматриваемой двухфазной системы (индекс 0 отличает стационарное решение системы (1)-(5)) с граничными условиями: T0 = 1 при z = 0; T0 = Tp0 = —1 при z =1. Частицы поступают в слой, имея температуру его верхней границы. Распределения температур в слое несущей среды и облаке частиц при стационарном поперечном движении примеси имеют вид
To = ai(emi(z-1) — m4) + a2(em2(z-1) — m5) — 1, (6)
Tpo = aim4(emi(z-1) — 1) + a2m5(em2(z-1) — 1) — 1, (7)
где
_ 2 _ 2 ai = (1 — e-mi)(ma — 1)' a2 = (1 — e-m2)(1/ma — 1)'
_ 1 I 1 Pab
1,2 2TtUs у (2TtUs)2 Tt ,
(1 — e-m2)(1 — m4) m1 m2
m3 = (1 — e-mi)(1 — m5), m4 = PObU;, m5 = PObUS.
В предельном случае взвешенных частиц (us = 0) получим линейное по вертикали распределение температур Tp0 = T0 = —2z + 1. Как видно из (6), (7), при отличной от нуля скорости оседания частиц us распределения температур жидкости (газа) и облака частиц отличаются от линейных. При увеличении скорости оседания частиц, a также с ростом их массовой концентрации a и относительной теплоёмкости b искажение линейного распределения температуры жидкости увеличивается. При дальнейшем росте перечисленных параметров у нижней границы формируется пограничный слой, внутри которого сосредоточено основное изменение температуры несущей среды.
3. Для исследования конвективной устойчивости равновесия слоя среды, содержащей оседающие частицы, рассмотрим возмущённые поля скоростей, температур, давления и числа частиц в единице объёма: п, пр + п., Т0 + Т, Тр0+Тр, р0 +Р, Ы0 + Ы, где п, ир,Т, Тр,р, N — малые возмущения. Уравнения для возмущений можно получить из (1)-(5), производя линеаризацию по возмущениям. Исключая из этих уравнений обычным образом давление, ж, у — компоненты скорости жидкости и облака частиц, можно получить уравнения для вертикальных компонент возмущений скоростей п(ж, у, г, ьь), прг(ж, у, г, ьь) и температур Т(ж, у, г, Ь), Тр(ж, у, г, ьь). Будем рассматривать нормальные возмущения вида
3-Ai+i(fcl£+fc2y)
u*(x,y,z,t) = V(z)e-Ai+i(felx+fe2y), Upz(x,y,z,t) = Vp(z)e-T(x,y,z,t) = ©(z)e-Ai+i(fclX+fc2y), Tp(x, y, z, t) = ©p(z)e-At+i(fclX+fc2y),
(8) (9)
где к! и к2 — вещественные волновые числа вдоль направлений ж и у; Л + Лг + гЛ^ — комплексный декремент возмущений. В результате из (1)-(5) получим с учётом вида возмущений (8), (9) безразмерные уравнения для амплитуд возмущений
(v1V - 2k2v" + k4v) + (v" - k2v) ( A - ^ ) - Grk2e+
+ао
Vv
^((a - 1) * + V '] +
UsTv \ \ Tv Us
A - ^2 ^ - k2
Tv
Vp
U2
us^ - (A - "M Vp - Tt = 0,
\ ' v / ' v
P(в» - k2e) - (£ - a) в - VT0 +
Tt
V в Us»p - (1/Tt - A)»p + PTp0 - - = 0,
Tt
где k2 = k2 + k|. Граничные условия имеют вид
(10)
(11)
(12) (13)
v = v" = ft = 0, z =1; Vp = 0p = 0, z =1.
(14)
Предполагаем, что на верхней границе слоя возмущения скорости и температуры облака частиц исчезают. Краевая задача (10)—(14) определяет спектр декрементов возмущений и границы устойчивости равновесия слоя жидкости (газа), содержащей частицы примеси. Декремент A зависит от независимых параметров задачи: чисел Грасгофа, Прандтля и Галилея (или скорости оседания частиц), массовой концентрации примеси, волнового числа и времён релаксации. Из условия Ar = 0 определяется граница устойчивости равновесия.
Рассмотрим изотермический (T0 = Tp0 = const) слой запылённой среды (в этом случае в = 0, ep = 0), тяжёлые твёрдые частицы оседают поперёк слоя с однородной вертикальной скоростью us, однако жидкость остаётся неподвижной. В предельном случае взвешенных частиц (us ^ 0) система уравнений (10)—(13) существенно упрощается. Тогда гидродинамические декременты рассматриваемой двухфазной системы будут определяться выражением
1
Ara = —(1 + а + TvA*„ ± \J(1 + а + TvA*„)2 - 4tvA*„), A*
2t,
A
+ Tv A,
0
Таким образом, так как декременты возмущений оказываются вещественными и положительными, то возмущения затухают монотонно, а рассматриваемое состояние устойчиво.
В противоположном предельном случае достаточно больших скоростей оседания частиц |и| >> 1, то есть в несущих средах с малой вязкостью или для тяжёлых частиц, аналогично можно показать, что запылённая среда устойчива монотонно. Численное решение задачи об устойчивости изотермического горизонтального слоя жидкости с примесью при произвольных значениях скорости оседания частиц показало, что нормальные возмущения затухают монотонно, такой слой устойчив. Для решения общей краевой задачи (10)—(14) применялся метод пошагового интегрирования Рунге — Кутта — Мерсона с ортогонализацией получаемых векторов-решений по Граму — Шмидту на каждом шаге интегрирования; ортонормировка проводилась к максимальному по модулю (на данном шаге) вектору-решению (см.
[4; 5]).
4. Определим границы устойчивости равновесия. Влияние оседающих частиц примеси на устойчивость неравномерно нагретого слоя жидкости характеризуется, в частности, зависимостью минимального критического числа Грасгофа от величины массовой концентрации частиц. С увеличением массовой концентрации примеси а у нижней границы слоя начинает формироваться температурный пограничный слой (происходит «сдувание» распределения температуры газа). В результате уменьшается эффективная толщина стратифицированного слоя газа (heff < Л). Характерная же разность температур 20 остаётся при этом фиксированной, и минимальное критическое число Грасгофа, определённое по полуширине слоя, при этом увеличивается по мере уменьшения heff, т. е. с ростом а. Увеличение массовой концентрации от а = 0.06 до а = 0.14 приводит к возрастанию минимального критического числа Грасгофа от Огт « 190 до Огт « 310 (параметры задачи Р = 0.73, т^ = 0.00345, т = 0.0102, Оа = 47, Ь = 2.7 соответствуют древесным частицам в слое воздуха) при критическом значении числа Грасгофа для чистой жидкости Огт ^ 170. Критическое значение волнового числа кт ~ 1.6 с ростом а меняется незначительно, оставаясь меньше соответствующего для чистой жидкости (кт ~ 2.2). С ростом скорости частиц также наблюдается усиление искажающего влияния примеси на распределение температуры несущей среды. Стабилизирующий эффект воздействия частиц на устойчивость равновесия при этом возрастает. В слое воздуха толщиной 2 см движение древесных частиц со скоростью 15 см/с повышает устойчивость почти в 3,5 раза. Однако при больших значениях скорости оседания дальнейшее её увеличение приводит к незначительному искажению устанавливающегося распределения температуры несущей среды и, значит, к малому росту стабилизирующего эффекта.
В заключение следует отметить, что влияние оседающих частиц на устойчивость равновесия неравномерно нагретого горизонтального слоя жидкости (газа) со свободными границами во многом сходно с влиянием примеси на устойчивость слоя жидкости с твёрдыми границами. Это относится к характеру изменений спектра возмущений неподвижного слоя жидкости и причинам повышения конвективной устойчивости равновесия в результате образования температурного пограничного слоя у нижней границы. При достаточно больших значениях скорости все возмущения горизонтального слоя монотонно затухают.
Список литературы
1. Дементьев, О. Н. Конвективная устойчивость среды, содержащей тяжёлую твёрдую примесь / О. Н. Дементьев // Приклад. механика и техн. физика. — 1976. № 3. — С. 105-115.
2. Dementiev, O. Stability of steady-state flows of a liquid with a heavy impurity / O. Dementiev // Zeitschrift fur Angevandte Math. und Mech. ICIAM95 : spec. iss. — 1996. — P. 113-115.
3. Гершуни, Г. З. Устойчивость конвективных течений / Г. З. Гершунин, Е. М. Жу-ховицкий, А. А. Непомнящий. — М. : Наука, 1989. — 320 с.
4. Беллман, Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / Р. Беллман, Р. Ка-лаба. — М. : Мир, 1968. — 156 с.
5. Бетчов, Р. Вопросы гидродинамической устойчивости / Р. Бетчов, В. Криминале. — М. : Мир, 1971. — 351 с.
Поступила в 'редакцию 15.11.2014 После переработки 02.02.2016
Сведения об авторе
Дементьев Олег Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной механики и информационных технологий, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 1. P. 113-117.
STABILITY OF A HEATED FROM BELOW LIQUID LAYER WITH AN IMPURITY
O. N. Dementev
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia [email protected]
The problem of convective stability of a flat layer of a medium containing setting heavy solid particles is discussed. A study is made of the stability of a layer of a medium containing an additive which is heated from below. It is shown that the presence of setting solid particles has a significant stabilizing effect on convective stability.
Keywords: convective stability, solid particles, flat layer.
References
1. Dementiev O.N. Convective stability of a medium containing a heavy solid additive. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1976, no. 3, pp. 383-391.
2. Dementiev O. Stability of steady-state flows of a liquid with a heavy impurity. Zeitschrift fUr Angewandte Mathematik und Mechanik. ICIAM95, 1996, spec. iss., pp. 113-115.
3. Gershuni G.Z., Zhukhovitskiy E.M., Nepomnyashchiy A.A. Ustoychivost' konvektivnykh techeniy [Stability of convective flows]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 320 p. (In Russ.).
4. Bellman R., Kalaba R. Quasilinearization and Nonlinear Boundary Value Problems. New York, Elseiver Publ., 1965.
5. Betchov R., Criminale W.O., Jr. Stability of Parallel Flows. Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 10. New York, London, Academic Press Publ., 1967. xiv+330 p.
Article received 15.11.2014 Corrections received 02.02.2016
