CC BY
79
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 179-192 Прикладная математика и информатика
УДК 539.3
Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку *
В. И. Иванов, С. А. Скобельцын
Аннотация. Рассматривается задача о прохождении звуковой волны через упругую оболочку с неоднородным покрытием. Решение проводится в рамках моделей гидродинамики идеальной жидкости и линейной теории упругости. Предполагается, что параметры неоднородного покрытия оболочки меняются только в зависимости от расстояния от ее поверхности. Решение проводится в локальной системе координат, вводимой в окрестности точки поверхности разделения неоднородного покрытия и однородной части оболочки. В однородной части упругого слоя решение ищется аналитически в виде суперпозиции продольных и поперечных волн. Для описания колебаний в неоднородном покрытии получена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевая задача в общем случае решается численно. Полученное решение использовано для анализа влияния параметров неоднородного покрытия на характер отражения звука.
Ключевые слова: рассеяние звука, гармоническая плоская волна, упругая оболочка.
Наличие тонкого покрытия из другого материала может заметно изменить акустические свойства упругого тела. Используя такие покрытия, можно манипулировать степенью прозрачности упругого слоя, по крайней мере, в определенном диапазоне частот акустических волн.
Точное аналитическое решение задачи о рассеянии звука упругими оболочками в трехмерном случае получено только для сферических или сфероидальных оболочек [1-6]. Для цилиндрических оболочек такие решения получены для полых цилиндров с круговым или эллиптическим сечением [7-12]. Для оболочек более общего вида предлагаются асимптотические или численные методы [13-16]. При этом упругий материал оболочки обычно полагается однородным. В работах [17-20] численно решались задачи о рассеянии звука оболочками с неоднородным упругим
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514).
материалом. В данной работе предлагается приближенное численное решение задачи о прохождении звука через упругую оболочку достаточно общей формы с неоднородным внешним слоем.
идеальная неоднородное
Рис. 1. Геометрия задачи
Физически рассматриваемая задача состоит в следующем: на упругую оболочку (замкнутую или имеющую форму полого цилиндра), помещенную в идеальную жидкость, падает плоская гармоническая звуковая волна с частотой и (рис. 1). Внутри оболочки также находится идеальная жидкость (в общем случае - другая). Внешняя поверхность слоя покрыта неоднородным упругим материалом. Требуется рассчитать акустические коэффициенты прозрачности и отражения такой оболочки.
Предполагается, что содержащая жидкость (1) имеет плотность р\, а скорость звука - ci, для жидкости (2) внутри оболочки те же параметры равны р2 и c2, соответственно. Обозначим через р0, Ао и ^0 - плотность и модули упругости Ламе материала однородной части упругого слоя. Соответствующие параметры материала неоднородного покрытия - р, А и ^
— в общем случае не постоянны, а изменяются по толщине покрытия.
Решение задачи будем проводить в рамках гидродинамики идеальной жидкости и линейной теории упругости.
Будем считать, что потенциал смещений частиц жидкости в падающей волне имеет вид
Фр = exp \i(k1 ■ r — ut)] , (1)
где амплитуда потенциала без ограничений общности полагается равной единице, r — радиус-вектор; t — время; k1 — волновой вектор, определяющий направление распространения падающей волны такой, что |k11 = k1 = u/c1
— волновое число содержащей жидкости.
Будем строить приближенное решение в окрестности каждой отдельной точки оболочки. Для этого введем локальную ортогональную систему координат 5і, 52, 53 так, чтобы ее начало совпадало с точкой М, лежащей на поверхности Го разделения неоднородной и однородной частей оболочки. Координатные линии 51 и 52 направим в ортогональных направлениях по геодезическим линиям поверхности Го, проходящим через точку М. Третью локальную координатную линию - 53 - направим по нормали к поверхности Го в сторону внешней поверхности оболочки, а направления возрастания координат 5і, 52 выберем так, чтобы система координат 51, 52, 53 была правой. Введение локальной системы координат проиллюстрировано на рис. 2
На рисунке представлен фрагмент оболочки в окрестности некоторой точки М. Пунктирной линией показано сечение поверхности Го, в которой и расположены точка М и координатные линии 51, 52. Векторы физического базиса системы координат 51, 52, 53 будем обозначать г1, ¿2 и ¿3, соответственно.
Полагается, что толщина оболочки всюду одинакова, а внешняя и внутренняя ее поверхности отстоят от поверхности Го на расстояние Н и Н соответственно. Положим, что единицей координат 51, 52, 53 в точке М является единица длины пространства, а точки координатных линий 51, 52 переносятся в другие точки слоя по нормали к поверхности Го. Тогда
уравнение поверхности Го будет иметь вид 93 = 0, внешняя поверхность оболочки Г1 будет определяться уравнением 93 = h, а внутренняя -уравнением 93 = —H. При этом метрические коэффициенты Ламе локальной системы координат будут иметь вид
h1 = 1 + aq3, h2 = 1 + в93, h3 = 1, (2)
где а = a(q1, q2) — кривизна координатной линии q1; в = в(9ъ 92) — кривизна координатной линии 92.
В так введенной системе координат неоднородность упругого покрытия оболочки будет характеризоваться зависимостями
р = p(q3), А = А(<й), V = ^(93)- (3)
Будем рассматривать установившийся процесс звуковых колебаний, поэтому при решении задачи не рассматриваются начальные условия, а такие характеристики движения как потенциалы, смещения, скорости, давления, компоненты тензоров напряжений и деформаций будут иметь зависимость от времени вида exp (—iu t) — как и в падающей волне. Поэтому далее для функций, зависящих и от координат и от времени, зависимость от времени exp(—iut) будем опускать.
Введем потенциалы Ф1, Ф2 скоростей частиц жидкости во внешней среде (V1) и внутри оболочки (V2) так, что
V1 = gradФ1, V 2 = gradФ2. (4)
Согласно модели распространения малых звуковых колебаний в
идеальной жидкости [21] потенциалы Ф1, Ф2 должны удовлетворять
уравнениям Гельмгольца
ДФ1 + k2 Ф1 = 0, (5)
ДФ2 + k2Ф2 = 0, (6)
где k2 = u/c2 — волновое число жидкости в полости.
Предположим далее, что характер возбуждения и геометрия оболочки таковы, что движение в жидкостях и в упругой оболочке в окрестности M не зависят от координаты 92. Если волновой вектор падающей волны k1 расположен в касательной плоскости координатных линий 91, 92, то такая ситуация возникает, например, при нормальном падении на любую цилиндрическую оболочку или при осесимметричном - на оболочку вращения. В этом случае векторы смещения и скорости и в упругой среде оболочки, и в жидкостях не будут иметь составляющих с i2.
При этом оператор Лапласа уравнений (5), (6) в локальной системе координат принимает вид
д2 д2 д
Д = я""2 + я"~2 + а^я—, (7)
dq 2 dqf dq3
где а = а + в.
Колебания упругой среды в однородной части оболочки (—H ^ q3 ^ 0) будем описывать потенциалами продольных Ф и поперечных Ф волн такими, что вектор смещения U имеет вид
U = gradФ + rotФ. (8)
Потенциалы Ф и Ф должны удовлетворять волновым уравнениям [22]
ДФ + к2Ф = 0, (9)
ДФ + к2Ф = 0, (10)
где k = w/q — волновое число продольных волн; к = u/ct — волновое число
2 ^ + 2^ 2 ^
поперечных волн; c¿ = ---------; ct = —.
Ро Ро
Для интерпретации (5), (6), (9) в локальной системе координат будем использовать (7). А для упрощения (10) представим вектор Ф в виде
Ф = Ф^2, (11)
где Ф — некоторая скалярная функция qi, q2 и t.
Такое представление, очевидно, возможно, поскольку вектор rotФ, как часть вектора смещения U, должен быть расположен в плоскости векторов ¿i, ¿3. Подставляя (11) в уравнение (10) получим уравнение для Ф
д2Ф д2Ф дФ , 2. , .
—2 + ~тт^2 + а1 о----------------------+ (а2 + к )Ф = 0, (12)
dq2 dq2 dq3
где а2 = (а - в)в.
Потенциал падающей волны (1) в локальных координатах представим следующим образом:
Фр = exp[i(kiiqi + ki3q3)], (13)
где k i i = k[ sin 0, k i 3 = k[ cos в; в — угол между направлением
распространения волны (вектором k i) и осью q3.
При этом
, / , .а i
k i w k i + i — cos 0,
что вытекает из подстановки (13) в уравнение (5) с учетом (7) и того факта, что
Ф i = Фр + Ф*, (14)
где Ф8 — потенциал скоростей в отраженной волне, который, как и потенциалы падающей волны (1) и потенциал скоростей в суммарном поле (14), должен удовлетворять уравнению вида (5)
ДФ5 + k 2Ф5 = 0. (15)
Неизменность свойств рассеивающей оболочки в направлении координаты q i и закон Снеллиуса обусловливают то, что зависимость всех
компонент движения от 5 1 (и в жидкости, и в упругом слое) должна быть такой же, что и в возбуждающей волне, т.е. иметь вид ехр(гк 1 15 1).
Опуская далее везде данный множитель, потенциалы продольных волн , Ф1, Ф и функцию Ф будем искать в виде
Из дисперсионных уравнений, получаемых при подстановке этих выражений в (15), (6), (9), (12) с учетом (7) определим множители к23, к3,
Уравнения распространения упругих волн в неоднородной части упругой оболочки получим из общих уравнений движения упругой среды в криволинейных ортогональных координатах [23]. С учетом выражений (2) для коэффициентов Ламе эти уравнения при гармонической временной зависимости и независимости от 52 и и2 = 0 принимают следующий вид:
где акт — физические компоненты тензора напряжений; и к — составляющие вектора смещения.
С учетом сделанного выше замечания о характере зависимости параметров движения от координаты 51 представим компоненты смещения и часть компонентов тензора напряжений в неоднородной части оболочки в виде
где т принимает значения 1 или 3.
Граничные условия на поверхностях Г1 и Г2 однотипны, это - граничные условия упругого тела с идеальной жидкостью. На этих границах должны совпадать нормальные скорости частиц среды, находящихся по разные стороны поверхности разделения. В упругой среде должны отсутствовать
Фз = А ехр(г^із5з),
Фі = В ехр(-г&235з),
Ф = С ехр(г^з5з) + Б ехр(-г^з5з), Ф = Е ехр(ікз5з) + Б ехр(-ікз5з).
(16)
(17)
(18) (19)
кз:
д5і д5з
даіз + дазз д5і д5з
+ (а + аі)аіз — —рш2иі,
(20)
ааіз — ва22 + аіазз = —рш2из,
ит(5і,5з) = ит (5з)ехр(г^іі5і), атз(5і,5з) = ат(5з) ехр(гйц5і),
(21)
(22)
касательные напряжения, а нормальные напряжения должны совпадать с давлением, действующим со стороны жидкости. Формально эти условия могут быть записаны так:
Г1 : гш и3|дз=^ = ^135 ^33|дз=^ = -р1; alз\q3=h = 0; (23)
Г2 : гши3\дз=-Я = ^235 °"33\дз=-Н = -Р25 3^-Я = 0 (24)
где штрихами обозначены компоненты вектора смещения и тензора напряжений в однородной части оболочки; Ук3, Рк — проекция вектора скорости на ось 53 и давление во внешней среде (к = 1) и в жидкости внутри оболочки (к = 2).
Заметим, вторая касательная составляющая вектора напряжения обращается в ноль из-за предположений о независимости от 52 и отсутствия смещения по 52.
Граничные условия на поверхностях Го - граничные условия “склейки” двух упругих сред. Они сводятся к требованию равенства смещений и взаимности векторов поверхностных напряжений, что выражается уравнениями
Г0 : и\дз=о = и; ^33\дз=о = °33; ^13\дз=0 = °13- (25)
Используя кинематические условия на поверхностях Го, Г1, Г2 выразим неизвестные коэффициенты А, В, С, Б, Е, Б в выражениях (16), (17), (18), (19) через значения компонент смещения в неоднородном упругом слое на поверхностях Го и Г1. Подставив эти выражения в оставшиеся граничные условия на Го и Г1, получим замкнутую краевую задачу для нахождения функций ит(53) и от(53) в представлениях (21), (22).
Два из уравнений указанной краевой задачи получаются на основе уравнений движения (20), а другие два - из соотношений закона Гука, которые позволяют выразить производные функций Цк(53) через сами значения функций Цт(53) и от(53).
Решение полученной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка проводилось численно.
После определения значений функций Цт(53) и от(53) на границах неоднородного покрытия (53 = 0 и 53 = Л) можно вычислить коэффициенты А, В, С, Б, Е, Б в выражениях (16), (17), (18), (19). Тем самым задача оказывается решенной полностью.
Представленный порядок решения был использован для анализа влияния неоднородности покрытия на звукопрозрачность оболочки.
Рассматривалась оболочка, находящаяся в воде. Полость оболочки предполагалась также заполненной водой. Однородная часть оболочки имела параметры, соответствующие параметрам алюминия. Полагалось, что средние значения механических параметров материала покрытия совпадают со значениями для однородной части оболочки.
Исследовался частный случай, когда в покрытии переменными характеристиками материала были модули упругости Ламе - А и ^ (плотность полагалась постоянной). В качестве зависимостей от координаты 93 рассматривались линейные функции /1(53) и /2(93). В первом случае (/1(93)) обеспечивалось линейное возрастание модуля упругости от внешней поверхности к внутренней с общим интервалом изменения, равным значению модуля упругости в однородном слое (т.е. его среднему значению). Во втором случае функция /2(93) была убывающей с тем же интервалом изменения.
Представленные здесь расчеты проводились для соотношения Л/(Н + + Л) = 0.2, т.е. неоднородное покрытие составляло 20 % всей толщины оболочки. Кроме того, была зафиксирована частота падающей волны так, что безразмерный параметр толщины оболочки по отношению к длине падающей волны - произведение ^(Н + Л) - было равно 15.
Рис. 3. Коэффициент прохождения для плоского слоя при неоднородности /1(93)
На рис. 3, 4 проиллюстрировано влияние неоднородности для оболочки с очень маленькой кривизной (коэффициенты а и в равны 0). На оси абсцисс графика откладывается значение угла падения в в градусах, который отсчитывается как отклонение вектора &1 от нормали к поверхности оболочки. Таким образом, в = 0 соответствует нормальному падению волны в исследуемой точке М. Значение в = 90 соответствует распространению волны вдоль поверхности оболочки. Пунктиром на рисунке представлена зависимость нормированного значения Т(в) для однородной оболочки. Сплошная линия соответствует коэффициенту прохождения для случая оболочки с неоднородным покрытием.
Рис. 4. Коэффициент прохождения для плоского слоя при неоднородности /2(^3)
На рис. 3 показано влияние неоднородности 1-го вида на коэффициент прохождения Т. Как видно, если при малых углах падения неоднородность проявляется только в смещении по углу в точек полной прозрачности оболочки (Т = 1), то при углах падения в области 30о неоднородность приводит к тому, что полная прозрачность уже не наблюдается.
На рис. 4 показано влияние неоднородности 2-го вида на коэффициент прохождения Т. Здесь видно, что смещение точек полной прозрачности в этом случае происходит уже в сторону увеличения угла падения по отношению к аналогичным точкам для однородной оболочки.
На рис. 5 показано влияние кривизны оболочки на коэффициент прохождения Т. Пунктиром на рисунке представлена зависимость значения Т(в) для плоского слоя. Сплошная линия соответствует коэффициенту прохождения для случая цилиндрической оболочки с радиусом равным 20Н. График показывает, что кривизна оболочки снижает величину коэффициента прозрачности в областях его максимального значения.
На рис. 6, 7, 8 представлены зависимости коэффициента прозрачности от точки наблюдения на поверхности оболочки с эллиптическим сечением с отношением полуосей 1/2. При этом полагается, что волна распространяется вдоль большей оси сечения оболочки, а точка наблюдения на поверхности оболочки фиксируется углом р цилиндрической системы координат, полярная ось в которой направлена по большей оси сечения оболочки и против направления распространения падающей волны. Таким образом, как и с углом в на предыдущих рисунках, значение р = 0 соответствует
Рис. 5. Влияние на коэффициент прохождения кривизны оболочки
Рис. 6. Коэффициент прохождения для однородной эллиптической
оболочки
точке нормального падения волны на оболочку, а р = 90 соответствует направлению распространения волны вдоль поверхности оболочки.
На рис. 6 сравниваются зависимости коэффициента прозрачности Т(р) для круговой цилиндрической оболочки (пунктирная линия) и указанной выше эллиптической (сплошная линия). На графике видно, что в целом для
Рис. 7. Коэффициент прохождения для неоднородной эллиптической
оболочки
Рис. 8. Коэффициент прохождения для однородной и неоднородной эллиптической оболочки
эллиптической оболочки коэффициент прозрачности в области его больших значений оказывается меньше коэффициента прозрачности для круговой оболочки.
Следующий рис. 7 показывает аналогичное сопоставление для такой же пары оболочек, но имеющих неоднородность вида 1. По характеру разница между двумя оболочками такая же, что и в однородном случае.
На рис. 8 сравниваются зависимости коэффициента прозрачности T(р) для эллиптической оболочки в случае однородного материала (пунктирная линия) и при наличии неоднородного покрытия с неоднородностью вида 1 (сплошная линия). На графике видно, что как и для плоского слоя (рис. 3) влияние неоднородности проявляется в смещении максимумов коэффициента прозрачности в область меньших углов.
Таким образом, расчеты показывают, что как кривизна поверхности оболочки, так и наличие неоднородного покрытия заметно влияют на звуковую проницаемость оболочки. Поэтому при практическом использовании акустических методов следует учитывать влияние обоих факторов.
Список литературы
1. Silbiger A. Scattering of Sound by an Elastic Prolate Spheroid // J. Acoust. Soc. America. 1963. V. 35. No. 4. P. 564-570.
2. Hickling R. Echoes from Spherical Shells in Air. // J. Acoust. Soc. America. 1967. V. 42. №2. P. 388-390.
3. Метсавээр Я.А. О рассеянии волн упругими сферическими оболочками в акустической среде // Изв. Академии наук Эстонской ССР. 1970. Т. 19. №4. С. 415-422.
4. David H.Y. Yen Interaction of a Plane Acoustic Wave with an Elastic Spherical Shell // J. Acoust. Soc. America. 1970. V. 47. №5. P. 1325-1333.
5. Клещёв А.А. Рассеяние звука упругой сжатой сфероидальной оболочкой // Акуст. журн. 1975. Т. 21. №6. С. 938-940.
6. George J., Nagl A., Überall H. Isolation of the resonant component in acoustic scattering from fluid-loaded elastic spherical shells // J. Acoust. Soc. America. 1979. V. 65. №2. Р. 368-373.
7. Лямшев Л.М. Дифракция звука на бесконечной тонкой цилиндрической оболочке // Акустический журнал. 1958. Т. 4. Вып. 2. С. 161-167.
8. Шендеров Е.Л. Прохождение звуковой волны через упругую цилиндрическую оболочку // Акуст. журн. 1963. Т. 9. Вып. 2. С. 222-230.
9. Doolittle R.D., Überall H. Sound scattering by elastic cylindrical shells // J. Acoust. Soc. America. 1966. V. 39. № 2. P. 272-275.
10. Simon M.M., Radlinski R.P. Elastic wave scattering from elliptical shells // J. Acoust. Soc. America. 1982. V. 71. № 2. P. 273-281.
11. Veksler N.D. Sound wave scattering by circular cylindrical shells // Wave Motion. 1986. V. 8. № 6. P. 525-536.
12. Векслер Н.Д., Корсунский В.М., Рыбак С.А. Рассеяния плоской наклонно падающей волны круговой цилиндрической оболочкой // Акуст. журн. 1990. Т.36. Вып.1. С. 12-16.
13. Ковалев В.А. Асимптотический подход в задачах рассеяния акустических волн упругими оболочками // Вестник Самарского гос. ун-та. 2006. N 9. С. 42-54.
14. Flax L., Green L.H., Werby M., Varadan V.K., Varadan V.V. T-matrix analysis of sound scattering from finite elastic cylindrical shells // J. Acoust. Soc. America. 1982. V. 71. № S1, P. S67.
15. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом эллиптическом цилиндре в вязкой среде // Прикладные задачи механики и газодинамики. Тула: ТулГУ, 1997. С. 167—172.
16. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С. 169-176.
17. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсаль-но-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т.41. Вып.1. С. 134-138.
18. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.
19. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 62-70.
20. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.
21. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
22. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
23. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.
Иванов Валерий Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.
Скобельцын Сергей Алексеевич ([email protected]), к.ф.м.-н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Modeling the influence of inhomogeneous coating on sound transmission through a elastic shell
V. I. Ivanov, S. A. Skobeltsyn
Abstract. The problem of the passage of a sound wave through an elastic shell with inhomogeneous coating. Solution held within hydrodynamics of ideal fluid models and linear elasticity. It is assumed that the parameters of the
inhomogeneous coating shell are changed only according to the distance from its surface. Solution is carried out in the local coordinate system, introduced in the neighborhood of the surface of separation of inhomogeneous and homogeneous coating of the shell. In a homogeneous elastic layer of the analytical solution is found as a superposition of longitudinal and transverse waves. To describe the vibrations in a nonuniform coating to a boundary value problem for a system of ordinary differential equations. Boundary value problem in the general case is solved numerically. The resulting solution is used to analyze the influence of the parameters of the inhomogeneous character of coating on the sound scattering.
Keywords : scattering of sound, harmonic plane wave, elastic shell.
Ivanov Valeriy ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.
Skobeltsyn Sergey ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 03.10.2013
