Влияние нелинейности акустооптического взаимодействия в модуляторе из парателлурита на формирование изображения гармонических сигналов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Физическая оптика

УДК 535.36: 534.29

Ю.М. Мокрушин

влияние нелинеиности акустооптического

взаимодействия в модуляторе из парателлурита

на формирование изображения гармонических сигналов

В работах [1, 2] было получено общее решение интегрального уравнения для поля в (+1)-м дифракционном порядке на выходной апертуре акустооптического модулятора (АОМ), а также выражение для средней по времени интенсивности света в сигнале изображения при его модуляции по гармоническому закону в приближении малой эффективности дифракции. Особенностью работы АОМ при формировании телевизионного изображения в системе с импульсным лазером является существенная нелинейность его амплитудной передаточной характеристики, приводящая к уменьшению рабочего динамического диапазона системы и искажению светового сигнала при больших эффективностях дифракции.

Цель настоящей работы — теоретическое исследование нелинейных искажений, возникающих в световом сигнале изображения строки в зависимости от амплитуды ультразвукового сигнала и параметров акустооптического взаимодействия.

Приближение третьего порядка взаимодействия

Для оценки влияния нелинейности процесса дифракции света на ультразвуке на формирование сигнала изображения строки при нахождении дифрагированного поля учтем третий порядок взаимодействия. Полагаем, что амплитуда входного ультразвукового сигнала изменяется по гармоническому закону:

А (г) = А

1 + т0ео81 2п /0 —

(1)

где А0, т0, /0 — амплитуда, глубина и частота модуляции; v — вектор скорости; г — направление распространения ультразвукового возмущения в среде. С учетом амплитуды (1) воспользуемся выражением из работы [1, формула (66)] для поля на выходной апертуре акустооптического модулятора. Как было показано в работе [2], в приближении первого порядка взаимодействия, контраст практически не зависит от углов а. Будем считать фокусное расстояние входной цилиндрической линзы достаточно большим. В этом случае зависимостью амплитуд и фаз спектральных составляющих дифрагированного поля от угла а можно пренебречь. Аналогично подходу, использованному в работе [2], для каждой декартовой составляющей поля найдем мгновенное распределение интенсивности света в плоскости экрана по координате х1. Суммируем вклады от всех составляющих поля, а также производим усреднение по времени (см. выражения (35), (36) из работы [2]); таким образом найдем среднее по времени распределение интенсивности света в строке на экране:

= Го х0

Со + 2

(пп/оТо

X

п=1

X

2п п/о х

V V у

л {

+ Сп1^П

2пп/о х

V V у

2

где

Со = Е Е А + 4);

к=1 I=-3

(3)

2 3 3

сл = Е Е Е (А1кАтк+в1квтк) х

к=11=-3 т=-3 (4)

х 8(/ - т - п);

К12(0т+1> 0т ) -

>/2(1+рт+1)'

-игС£

х е

(Рт+1 + рт ) 1+Ри + 1Рт

Х[(Рт+1 + Рт )2 + (1 + Рт+1 Рт )2 +

2 2 п1/2

+(1 -Рт+1)(1 -Рт )С082(ф

2 3 3

Сп2 = Е Е Е (4к^тк - %4ик ) Х

к=11=-3 т=-3

х 8(/ - т - п);

Ац = 0089(9; )Щ (0;) -р(0/) 8тф(0; )Н1 (0;); Вп = оо8ф(0; )Н1 (0;) + р(0;) 8тф(0; )Щ (0;); А; 2 = 81пф(0; )Щ (0;) + р(0;) оо8ф(0; (0;); В12 = япфф, )Н1 (0;) - р(0;) оо8ф(0; )Щ (0;);

8(к) — дельта-функция, Б = Яе(£I), Н = 1ш(£1)

Л = Х12(901),900)){ Б(0,0,0) +

ТИ

+ -0- [Б(0,0, ±1) + Б(0, ±1, ±1) + Б(0, ± 1,0)]} ;

5 ±1 = ^ {*12(е±), 900)) т(р±>0)х

х (±1, ±1, ±1) + 5 (±1, ±1,0) + 5 (±1,0,0) + + [5 (±1,0, ±1) + 5 (±1,0,+1) + +5 (±1, ±2, ±1)]]};

2 2

£ ±2 = X0 т0- [£ (±2, ±2, ±1) + £ (±2, ±1, ±1) + +£ (±2, ±1,0)];

2 3

£±3 = Ь ^£(±3,±2,±1); 8 8

К21(0т+1>0т) - К1*2(0т+1>0т); (12)

(5)

£ (р,т, п) = Y(PS)Y(PL2n)Y(Pnl0) X

х*^, втж21(вт, 0(п1))К12(е(п1), С);

(13)

(6)

Го =

сЕ0То а1

16^ п 1п2Х0М[М'2Т

где

п А Ь(рп -ри)

2Аа

Хо =

(14)

(15)

(7)

(8)

(9)

(10)

— индекс модуляции; п =1—6; I, т = —3, —2, ..., +3; — нормированная деформация среды; (Рц—Ри) — фотоупругие постоянные кристалла парателлурита (ТеО2); Ь — ширина пьезопрео-бразователя; Е0 — напряженность электрического поля световой волны в воздухе; т0 — длительность светового импульса; а0 — радиус падающего на линзу светового пучка; ^ — фокусное расстояние входной линзы; рт, рт+1 — эллиптичности падающей и дифрагированной световых волн.

Из выражения (2) видно, что при учете третьего порядка взаимодействия, помимо компонент Сп и С12, определяющих модуляцию с основной частотой/0, в сигнале изображения будут присутствовать составляющие с более высокими гармониками (вплоть до шестой входного сигнала), приводящие к его искажению. Для численной оценки степени искажения введем коэффициент пнел, характеризующий усредненное за период основной частоты среднеквадратичное отклонение интенсивности в сигнале изображения от составляющей с частотой первой гармоники /0:

1

х

1 2

—Ял(*1)-/1(х1) Л=1 ] ^

К1(Х1)| В=1

6 2 / ч

£ е"(*°п) (с£ + Св22 )

п=2

(16)

Т2е "(*°)2С+С2

П /п То V

где Фп = Ж' = Т

Коэффициент Пнел был рассчитан для различных значений %0 , частот70 и длительностей светового импульса т0 . На рис. 1 представлены зависимости Пнел от Хо для различных модулирующих частот 70. Расчеты производились

при т0 = 1, = 510,6 нм, 7= 80 МГц, Ь = 4 мм. Из графиков видно, что нелинейные искажения гармонического сигнала в изображении при увеличении индекса модуляции различны для разных модулирующих частот 70. При увеличении индекса модуляции %0, начиная с некоторого граничного значения, которое увеличивается с увеличением частоты 70, нелинейные искажения в сигнале изображения резко возрастают. На низких частотах модуляции эти искажения особенно велики. Увеличение длительности светового импульса приводит к некоторому снижению уровня нелинейных искажений с одновременным уменьшением контраста в изображении. На рис. 2 показано частотное поведение функций передачи контраста М, N при различных значениях индекса модуляции х0:

Рис. 1. Зависимость коэффициента нелинейных искажений от индекса модуляции для различных частот модуляции70, МГц (т0 = 10 нс): 0,5 (1), 3 (2), 5 (3), 7 (5), 10 (6);

(То = 30 нс): 5 (4), 10 (7) МГц

П

Рис. 2. Частотная зависимость функций передачи контраста при различных значениях индекса модуляции х0: 0,01 (1); 0,2 (2); 0,4 (3); 0,8 (4)

Рис. 3. Зависимость изменения амплитуды и формы гармонического сигнала в изображении на частоте модуляции /0 = 1 МГц при различных значениях индекса модуляции х0: 0,2 (1); 0,3 (2); 0,4 (3); 0,6 (4); 0,8 (5); 1,0 (6)

1 « 1 > » 1

*

* 1

\ ■

\ »

_ »5 ■5

1 1

* »

* 1

1 ■

> •

* *

>

• 2 * -

\

7 \ ¿V-

- « . * ' | | 1

О 5 10 15 /0, МГц

Рис. 4. Зависимость коэффициента нелинейных искажений от частоты при различных значениях индекса модуляции Х0: 0,2 (1); 0,6 (2); 1,0 (3); 1,2 (4); 1,4 (3)

Рис. 5. Зависимости коэффициента нелинейных искажений от частоты при фиксированном значении индекса модуляции Х0 = 1 и разных длинах Ь, мм: 2 (1); 3 (2); 4 (3); 5 (4); 6 (3); 8 (6)

М (/о) =

1шах(/о) 1тш(/0). ^шах (/0 ) + 1ш1п (/0 } ^шах (/0 )

1, о.е.

^ /о) = 1п

1шт(/0)

(17)

(18)

где /тах, /т1п — абсолютные значения максимума и минимума интенсивности в сигнале изображения.

Из графиков видно, что частотно-контрастная характеристика системы при изменении индекса модуляции х0 практически не изменяется, в то время как число возможных градаций яркости на низких частотах ^град = 50Ы(/0) уменьшается. Приведенные на рис. 2 числовые данные позволяют вычислить теоретическое значение числа градаций яркости. При частотах модуляции 0,2-0,5 МГц и х0 = 0,6-0,8 Ыград = 400-500.

На рис. 3 показано изменение амплитуды и формы гармонического сигнала изображения на частоте модуляции /0 = 1 МГц f = 80 МГц, т0 = 10 нс, Ь = 4 мм) при увеличении индекса модуляции. На этих графиках по координате х отложено расстояние в метрах (М1 = 1), а по

координате у — функция I(х) = 11(х)/Го в соответствии с выражением (2).

На рис. 4 представлены графики зависимости пнел от частоты/0, построенные для разных индексов модуляции х0 при фиксированных значениях Ь = 4 мм, т0 = 10 нс, f = 80 МГц. Видно, что с увеличением индекса модуляции нелинейные искажения захватывают все большую область модулирующих частот.

Одним из способов уменьшения этих искажений является увеличение длины акустоопти-ческого взаимодействия Ь. На рис. 5 представлены рассчитанные зависимости п нел от частоты при фиксированном значении индекса модуляции Хо = 1 и разных длинах Ь.

Приведенные графики показывают, что для уменьшения нелинейных искажений необходимо стремиться к увеличению длины акустооп-тического взаимодействия. Длину Ь нужно выбирать максимально возможной для заданной полосы рабочих частот, не ухудшая при этом существенно контраст в изображении.

На рис. 6 представлены расчетные зависимости

Рис. 6. Зависимости эффективности дифракции в изображении Т(%0) при различных значениях Ь, мм: 4 (а), 6 (б), 2 (в);МГц: 0,5 (7), 1 (2), 3 (3),

5 (4), 10 (5), 15 (6), 20 (7). Базовый набор параметров: Х0 = 510,6 нм; f = 80 МГц; т0 = 10 нс. Кривые 8 и 9 соответствуют случаю малой эффективности дифракции при f = 1 и 15 МГц

Г+1

I(Хо)=

/+1 +10. шах шш

от индекса модуляции, которые определяют эффективность дифракции в максимумах сигнала изображения для гармонического сигнала с частотой/0. В этих зависимостях /¿^х, /Щт — средние по времени интенсивности света в максимуме и минимуме сигнала изображения для (+1)-го и 0-го дифракционных порядков, причем величина /1+11ах рассчитывалась в приближении 3-го порядка взаимодействия и соответствует выражению (2), а I— в приближении 4-го порядка взаимодействия. Данные зависимости можно назвать амплитудными передаточными характеристиками системы формирования изображения строки. Расчеты I(хо) производились для = 510,6 нм,/= 80 МГц, т0 = 1, т0 = 10 нс при различных частотах /0 и длинах Ь.

Границы применимости приближения первого порядка взаимодействия. Расчеты показывают, что зависимости I(%0) для выбранной несущей частоты ультразвука / практически не изменяются при изменении частоты модуляции /0 от 0,1 до 1 МГц. Они также слабо зависят от длительности светового импульса при его изменении от 5 до 40 нс. При дальнейшем увеличении частоты модуляции при фиксированных значениях Ь и т0 кривые для разных / начинают существенно отличаться друг от друга. При малых значениях индексов х0 зависимости I (Хо) изменяются по квадратичному закону, что соответствует ранее рассмотренному приближению малой эффективности дифракции. В качестве критерия различия двух графиков при малых индексах модуляции можно выбрать величину отклонения

М =

Ли -1

1 _

= 0,05 (5 %),

при изменении частоты модуляции /0 и длины акустооптического взаимодействия Ь. На основании этих результатов можно сделать вывод о том, что приближение малой эффективности дифракции ограничено сверху уровнем эффективности 0,10—0,17 и индексами модуляции Х0гр от 0,2 для/0 = 1 МГц до 0,35 для/0 = 15 МГц. При дальнейшем увеличении частотного диапазона индекс модуляции, соответствующий приближению малой эффективности дифракции, немного увеличивается.

Таблица 1

Расчетные значения Хогр и эффективности дифракции I(1) (х0грсоответствующие величине отклонения А/1 = 5 %

/0, МГц Х0гр /(1), о.е.

Ь = 2 мм Ь = 4 мм Ь = 6 мм Ь = 2 мм Ь = 4 мм Ь = 6 мм

1 0,20 0,20 0,20 0,075 0,075 0,075

3 0,20 0,23 0,26 0,075 0,100 0,124

5 0,21 0,27 0,30 0,080 0,130 0,150

10 0,26 0,33 0,35 0,120 0,167 0,166

15 0,30 0,35 0,36 0,140 0,160 0,135

где /01,11 — эффективности дифракции, рассчитанные в приближении первого и третьего порядков взаимодействия. Затем нужно найти х0гр и ^х(Хогр), соответствующие этим условиям.

Результаты такого сравнения приведены в табл. 1 и отражают границы применимости приближения малой эффективности дифракции

Границы применимости приближения третьего порядка взаимодействия. Для того чтобы определить границы применимости указанного приближения при вычислении картины распределения света в изображении, необходимо провести сравнение амплитудных передаточных характеристик системы, полученных с учетом третьего и пятого порядков взаимодействия. В приближении четвертого и пятого порядков взаимодействия расчет поля производится согласно диаграмме рассеяния, представленной на рис. 7.

На рис. 8 в качестве примера представлены результаты расчетов эффективности дифракции в изображении I (Хо), аналогично приведенному на рис. 6, но /1+11ах рассчитывалось для третьего и пятого порядков взаимодействия, а 1шт — для четвертого.

Рис. 7. Диаграмма рассеяния при дифракции света в (+1)-й порядок в приближении 5-го порядка взаимодействия

I, о.е.

0,6

0,4

0,2

0 0,5 1,0 Хо

Рис. 8. Зависимость эффективности дифракции в изображении I(%0) в третьем (кривые 1, 3, 5) и пятом (2, 4, 6) порядках взаимодействия при Ь =4 мм; частота модуляции/0, МГц: 1 (1, 2); 5 (3, 4); 10 (5, 6)

Расчеты I(х0) производились для Х0 =

= 0,5106 мкм, /= 80 МГц, т0 = 1, т0 = 10 нс при различных частотах/0 и длинах Ь мм. Задавая допустимую величину отклонения при больших индексах модуляции А/ = 2 % между кривыми в третьем и пятом порядках взаимодействия, можно определить граничные значения индекса модуляции х 0гр и соответствующую этому индексу величину /3(х0гр), в пределах которых

можно ограничиваться приближением третьего порядка взаимодействия. Результаты вычислений приведены в табл. 2.

На рис. 9 представлены результаты расчетов зависимости эффективности дифракции в максимуме сигнала изображения

I (/с) =

I

+1

I+1 +1 с

Таблица 2

Расчетные значения х0гр и эффективности дифракции I(3) (%0гА соответствующие величине отклонения Д/2 = 2 %

/с, МГц %0гр I(3) , о.е.

Ь = 2 мм Ь = 4 мм Ь = 6 мм Ь = 2 мм Ь = 4 мм Ь = 6 мм

1 0,60 0,64 0,65 0,43 0,46 0,46

3 0,64 0,70 0,75 0,46 0,50 0,54

5 0,65 0,80 0,95 0,47 0,57 0,64

10 0,80 1,05 1,10 0,56 0,68 0,67

15 0,95 1,17 1,15 0,63 0,69 0,62

Примечание. дд = (I(5) -1(3)^I(3), где I(3), I(5)- эффективности дифракции в приближениях третьего и пятого порядков взаимодействия.

Рис. 9. Зависимости эффективности дифракции в изображении I/) в приближении пятого порядка взаимодействия при различных значениях индекса модуляции %0 и при Ь = 2, 4, 6 мм: Хо = 0,2 (кривые 1-3); 0,4 (4-6); 0,6 (7-9); 0,8 (10-12); 1,0 (13-15)

при различных значениях индекса модуляции Х0 и длины акустооптического взаимодействия Ь. Величина /1+11ах рассчитывалась в приближении пятого порядка взаимодействия, а — в приближении четвертого. Графики на рисунках построены для значений х0 от 0,2 до 1,0. Приведенные на этих рисунках зависимости можно рассматривать как амплитудно-частотные характеристики акустооптической системы формирования изображения с импульсным лазером и АОМ из парателлурита.

Основные результаты и их обсуждение

Анализируя выражения (2) и графики на рис. 1—9 в совокупности с представленными ранее в работах [1, 2] зависимостями, можно сделать вывод о том, что степень искажения гармонического сигнала в изображении, которое формируется в результате дифракции света на звуке в АОМ из кристалла парателлурита, зависит от условий ориентации спектральных составляющих дифрагированного светового поля относительно центра полосы акустооптического взаимодействия. При центральной настройке (брэгговские условия взаимодействия выполнены для центральной спектральной составляющей амплитудно-модулированного сигнала) для малых частот модуляции боковые спектральные составляющие расположены близко к несущей частоте ультразвука. Для них легче выполняются условия для повторной дифракции и, следовательно, для появления боковых спектральных составляющих на кратных частотах модуляции. При этом форма гармонического сигнала изображения искажается, она приближается к прямоугольной. Степень искажения сигнала при фиксированной несущей частоте ультразвука определяется длиной аку-стооптического взаимодействия Ь. При искажении изображения сигнала рост интенсивности в максимуме резко уменьшается, так как энергия светового поля эффективно перекачивается в дифракционные порядки с кратными частотами модуляции. Для более высоких частот /0 спектральные составляющие в дифрагированном световом поле, соответствующие повторной дифракции, имеют существенно меньшую амплитуду, чем на низких, из-за ограничения полосы акустооптического взаимодействия. В них при дифракции перекачивается меньший

процент энергии светового поля. Форма сигнала искажается в меньшей степени, и наблюдается рост интенсивности света в максимуме сигнала изображения при увеличении амплитуды ультразвукового сигнала. При дальнейшем увеличении частоты/ уменьшение 1(/0) связано с конечностью полосы акустооптического взаимодействия, при этом перекачка энергии в эти спектральные составляющие уменьшается, что приводит к уменьшению контраста в изображении и (в конечном итоге) к полной потере информации о модуляции ультразвукового сигнала. В этом случае изображение на экране представляет собой равномерную световую засветку с интенсивностью, соответствующей амплитуде несущей частоты сигнала.

Итак, в настоящей работе рассмотрена дифракция света на ультразвуковой волне при ее амплитудной модуляции одной частотой. При модуляции несущей частоты ультразвука входным сигналом со сложным спектром рассмотрение нелинейных искажений в сигнале изображения при больших амплитудах ультразвука существенно усложняется. Световые поля в результате дифракции на звуке в приближении первого порядка взаимодействия будут содержать составляющие, сдвинутые по частоте в соответствии со спектром модулирующего сигнала. В результате повторной дифракции для каждой частотной составляющей появляются кратные частоты в соответствии с порядком акустооптического взаимодействия, амплитуды которых нелинейно зависят от индекса модуляции. Далее в плоскости изображения все поля складываются и образуют картину распределения интенсивности, в которой за счет перемножения полей возникают дополнительные гармоники для основных частот спектра, а также комбинационные составляющие. Возрастание интенсивности света в комбинационных спектральных составляющих более высокого порядка, чем первый, будет определяться процессами повторной дифракции и происходить одновременно с перекачкой энергии в спектральные составляющие с кратными гармониками модулирующих частот входного сигнала. Поэтому значения х0, полученные в результате расчетов для одной модулирующей частоты и для значения индекса модуляции, начиная с которого нелинейные искажения в сигнале изо-

бражения резко возрастают, будут справедливы и при сигнале со сложным спектром. Для получения небольших искажений в сигнале изображения необходимо, по-видимому, чтобы

индексы модуляции для всех спектральных составляющих входного модулирующего сигнала не превышали допустимую величину х0 для своей частоты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. мокрушин, Ю.м. Дифракция света на звуке вблизи оптической оси гиротропного кристалла [Текст] / Ю.М. Мокрушин // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2011. - № 2(122). - С. 93-105.

2. мокрушин, Ю.м. Формирование изображения строки в акустооптической системе с импульсным источником когерентного света [Текст] / Ю.М. Мокрушин // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2011. - № 3(129). - С. 99-109.