Дифракция света на ультразвуке вблизи оптической оси гиротропного кристалла Текст научной статьи по специальности «Физика»

-►

ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА

УДК535.36:534.29

Ю.М. Мокрушин

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА УЛЬТРАЗВУКЕ ВБЛИЗИ ОПТИЧЕСКОЙ ОСИ ГИРОТРОПНОГО КРИСТАЛЛА

Задача о дифракции света на ультразвуке рассматривалась многими авторами. В настоящее время существует два наиболее общих подхода к решению этой задачи, позволяющиех в принципе получить решение с наперед заданной степенью точности. Первый подход основан на решении системы связанных дифференциально-разно-стныхуравнений, описывающих взаимодействие между различными дифракционными порядками. Этот метод нашел наиболее завершенное выражение в работах [ 1—7]. Другой подход основан на решении интегрального уравнения для поля, полученного с помощью введения эквивалентных токов и разложения искомого поля по плоским волнам [8—11]. Это решение имеет вид аналитического выражения в виде сравнительно быстро сходящихся рядов. Практический интерес, который вызывает кристалл диоксида теллура Те02, требует рассмотрения вопроса о дифракции света на ультразвуке в анизотропной среде, обладающей гиротропными свойствами. В данной статье приведено обобщенное решение дифракционной задачи в случае анизотропной среды, обладающей гиротропией, на основе метода, предложенного в работах [8—11]. В конечном итоге полученное решение позволит получить выражение для дифрагированного поля после акустооптического модулятора (АОМ), выполненного из Те02 (техническое название парателлурит).

Постановка задачи

и вывод интегрального уравнения для поля

Рассмотрим однородную бесконечную анизотропную немагнитную и непроводящую среду, обладающую слабой пространственной дисперсией. Материальное уравнение для такой среды имеет вид [ 12]:

Б = (е° + /?к)Е; + (1)

где Б — вектор смещения; Е — вектор электри-

л

ческогополя; е0 — тензор диэлектрической про-

л

ницаемости среды; у — тензортретьего ранга, антисимметричный по первым двум индексам, характеризующий гиротропию среды; к — волновой вектор электромагнитного поля.

Определим в данной среде систему координат Х| = X, х2 = У, х3 = Д связанную с кристалло-

физической системой х|\ х2\ матрицей преобразования х-. В общем случае в плоскости X 07 этой среды, которую будем называть плоскостью рассеяния, в направлении т, составляющем угол 9 с осью Д могут распространяться две эллиптически поляризованные плоские световые волны [13]:

где к^г =— па (соБб-хБтб), ^ = 1, 2; г — ра-уо

диус-вектор, У0 — длина волны света в вакууме; ю —частота световой волны; \}к —вектор

амплитуды световой волны; па — показатели преломления среды для двух эллиптически поляризованных волн, распространяющихся в направлении т.

Будем рассматривать в такой среде объем V, ограниченный плоскими поверхностями ^ (г = - ¿/2) и ^ (2 = У2), имеющими бесконечные размеры по Хи У(рис. 1).

где

Ал¡р - '¡Жр^/р--

' - 2

дм° ди

о Л

V

д

/

Р'Лр компоненты тензоров фотоупругос-

Л л

ти р и деформации ' в выбранной системе координат.

Пренебрегая акустической нелинейностью взаимодействия, при условиях 1 и

Уу1« 1, для возмущенного тензора диэлектри-

л

ческой проницаемости среды е' можно записать:

Л Л Л Л Л Л А л л

е' = е-е-Аи-е5е-е -А^-е , (7)

где е = е +/ук, е — невозмущенный тензор диэлектрической проницаемости среды в отсутствие гиротропии.

Запишем уравнения Максвелла для электромагнитного поля в анизотропной немагнитной и непроводящей среде, обладающей гиротропи-

л

ей, в присутствии возмущения Аи при следующих допущениях: ^ <<ю , %А"П£у<< 1, Ущ« 1. Тогда имеем следующие уравнения:

Рис. 1. Геометрия взаимодействия света со звуком

В этой среде при | г | < Ь/2 в направлении г' распространяется ультразвуковая волна

и(г,/) = Л (г '-^)иУ(чг -ш\ (3)

где и (г, г) — вектор смещения; А[г' -уг) — амплитудное распределение, движущееся в кристалле со скоростью V, закон изменения которого определяется внешним управлением; и0 — вектор поляризации, характеризующий направление локальных смещений частиц среды; q — волновой вектор упругой волны; Х = 2п/ — круговая частота.

Эта волна вызывает деформацию, которая в свою очередь приводит к изменению компонент тензора диэлектрической непроницаемости среды на величину

(4)

(5)

(6)

го1е =—Н;

с

л л л л

шл„ т о Л 0г го1Н =--е-Е +—е -Ац -е Е.

с с

(8)

Введем в рассмотрение эквивалентные токи:

4я .

Лэкв —

С

А Л А /

иа о 4 о г —е -А^-е -Е, \г <—;

с ' 1 2

0,

и> -

I I 2

(9)

и сведем решение уравнений Максвелла к решению интегрального уравнения вида

Е = Е; + 0Оэкв) = Е; + 0

0 Л 0г

—Г -Ди-е -Е

с

V J

(Ю)

где Е,- — падающая световая волна, / = 1,2; О — некоторый интегральный оператор.

Вывод интегрального уравнения для дифрагированного поля основан на применении леммы Лоренца к объемам Ух и У2 (см. рис. 1). Для гиротропной среды эту лемму можно записать в следующей форме:

( (Е ,хН*2 +Е 2хН ,^5' =

= -—^е^Е;)^, (И)

с V

где V— объем, занятый эквивалентными токами; поверхность, ограничивающая этот

объем; п — внешняя нормаль к поверхности Е, 2, Н, 2 — поля, удовлетворяющие уравнениям

Максвелла со сторонними токами ; (*) — знак комплексного сопряжения.

Для нахождения интегрального оператора 0 воспользуемся, аналогично работам [8,9], методикой решения задачи о возбуждении волновода слоем эквивалентных токов [14]. Найдем поле в некотором сечении 5= 50 при ж = г0 объема У занятого источниками поля . Выделим два сечения вблизи ж = г0: г0 -9 и г0 + 9, где Аг — малая величина, и удалим из этого слоя источники поля. Весь объем ^при этом разбился на два объема: Ух и У2, ограниченных плоскостями

7 = и = ), 5 (г = )

и

нечность, положим, что поля на 5'бок = 0. Согласно лемме Лоренца (11), примененной к полям в каждом из этих объемов в отсутствие источников поля, имеем:

К *Ч );

тогда с учетом того, что к = к*, получим соотношение

"(и + к, п )-

с

4я

с

Цт ("<

(15)

где

-/„ ) = —Нт {е^'^Лс (16)

2п

-хо

дельта-функция, У0 — размер области, занятой источниками поля по оси у.

Суммарное поле Е в сечении = ) равно сумме полей:

Е^^Е'^^Е", (17)

где Е;. — поле падающей световой волны; Е', Е" — поля, рассеянные источниками вперед в объеме У] и назад в объеме У, соответственно;

т

где Е = 5, + 52 + 25 — суммарная боковая поверхность.

Поскольку интегралы по поверхностям ^ и ^ есть величины фиксированные, а выбор £ по оси I произволен, то

= У (*) = ./ (О)е'^ ^) (13)

не зависит от 2. Отсюда следует, что ка =1а. Будем также полагать, что ка = =0 (плоскость

рассеяния соответствует плоскости ЖД. Использования уравнения Максвелла для полей типа (2) позволяет записать:

Е"' = —-^^экв-я0— поле, компенсирующее

возможные разрывы продольных составляющих

электрического поля, вызванные введением се-=

Для нахождения полей Е' и Е" применим лемму Лоренца в форме (11) кполям Еи Ни где

с \

г

Е,= I

й=\

кл <0 V г

К, >0

, (18)

излучаемым источниками в объемах У{ и У2 и являющихся суперпозицией плоских волн. Первый интеграл в выражении (18) соответствует волнам, распространяющимся справа налево,

а второй — слева направо через поверхность 50.

*

*

Е^ =И*к удовлетворяющие урав-

нению Максвелла без сторонних токов. Учиты-

вая, что плоские волны расходятся от области, занятой источниками поля, получим выражения

для коэффициентов разложения Ск , входящих

в (18). С учетом выражения (15) имеем:

С

Сь —-

О'Ч/ V, 1

кй> 0;

(19)

к^< 0,

где

к, =§"Л2К|2К-п)-

-(т^и,-(VI-п)^т^ )-(и^-п)

(20)

Е = Е; + Х |

с1=\ к, >0

Е2

^ у

2 • и

№ <• и 1т ■е

I

<12 >0 ^

-и и

1ип Г Г

V- _* »

Л л л Л

е0р'е0Е

\

\

/

х и\ е ш'^ёхёг

(22)

(т^ — единичный вектор волновой нормали: Ч

При рассмотрении дифракции света на звуке источники поля сами вызываются падающей световой волной (см. формулу (9)), поэтому основной вклад в поле рассеяния вносит волна, рассеянная вперед; а вклад поля, рассеянного назад, пренебрежимо мал вследствие соответствующей фазировки эквивалентных токов, и им можно пренебречь. В дальнейшем также будем пренебрегать полем Е'" по сравнению с Е'. Таким образом, искомое поле в некотором сечении 5 (г = г()) описывается интегральным уравнением

Конкретный вид интегрального уравнения (22) зависит от выбора геометрии акустоопти-ческого взаимодействия, т. е. от матрицы преобразования а,у, от типов взаимодействующих световой и звуковой волн.

Решение интегрального уравнения

Будем искать решение интегрального уравнения (22) методом последовательных приближений:

Е= ¿Е^ .

п=0

(23)

Полагаем, что в плоскости рассеяния падающая волна имеет вид

Е(°)=Е,. = и,е<к«>Г~йГ) =

—и)} (г со бЭц -жт0() )-юГ

,¿0 = ^2. (24)

Эту волну примем за нулевое приближение. Для /7-го приближения после соответствующих преобразований [15] можно найти:

I ЬэквЕ^/*^ (21)

V 2

где интегрирование осуществляется по всем проекциям ка волновых векторов к^, для которых

кл >0.

X

Подставляя формулу (9) в уравнение (21) и используя выражение (2), получим окончательный вид интегрального уравнения для дифрагированного поля:

е(и }=

;'( Ъ г-ю„г)

и-1

X I ч.е-

Ч,- кА т=0

хе

^>'Р(Ак^ )х

г'м+\ ¡Ьл №т+] ^п V?'

Г 4 / ж

X I е 2У

(25)

Здесь введены следующие обозначения:

ХН _ гк1т+]>Рур'рг]К1тик1ты/-, (26)

Чн-1

и^ , и^ — комплексные амплитуды электрического поля для волн с волновыми векторами к^ ^к^ ; етп — компоненты тензора диэлектрической проницаемости;

/■( А к,

т+1 _ „ ,

^ +Чх I =

"Ш+1

= ,Ит I АК)

(27)

— мгновенный Фурье-спектр ультразвукового возмущения А(г'т);

М-1 =^(пГ{ -япе^-л^-япе,,,); (28)

элементы которой характеризуют свой тип аку-стооптической дифракции на частоте юя, определяемой соотношением

где

к =

ю =ю+кЛ, (31)

±1, ±3,..., ±(2/и + 1) при п = 2т + \\ О, ±2,..., ±2т при п = 2т;

=

Из выражения (25) следует, что наибольший вклад в дифрагированное поле вносят спектральные составляющие ультразвукового возмущения, для которых выполняются условия синхронизма:

1М-1 ТЯх =0; |МГ' Тг = 0.

(32)

С учетом условий (32), решению (23), (25) может быть поставлена в соответствие некото-

^Г' «г1 -с080-. -«ив»); <29)

и-1

рая диаграмма рассеяния, причем "П р^Т

\ "'»■.....

т=0

ределяет ветвь этой диаграммы, вносящей свой вклад в рассматриваемый дифракционный порядок. Оценка членов ряда (25) для каждой из ветвей диаграммы рассеяния показывает, что

V0

Хц

-у«

Х21

Х[2 у(т)

Х22

(30)

оп-

(?х„ — проекции волнового вектора упругой волны на оси ХиД ¿т — некоторая текущая координата, удовлетворяющая условию -\<г'т<\.

Выбор знака (плюс) или (минус) в выражениях (25) и (27) на определенном этапе процесса рассеяния связан с выполнением закона сохранения импульса для падающей и дифрагированной световых волн. Этот выбор обусловлен тем, что реальные смещения в локальных областях кристалла описываются действительной частью выражения (3).

Исходя из сути данного метода, дифракцию света мы можем представить как результат последовательных актов рассеяния в различные дифракционные порядки, происходящие в соответствии с типами световой и звуковой волн. Суммирование в выражении (25) производится по всем возможным типам световых мод с индексами с11Г возникающих на каждом этапе рассеяния.

Для каждого т величина ^ представляет собой матрицу относительных коэффициентов рассеяния

Е«

<М,

(хи

где Мт, рт — некоторые постоянные величины.

Это обеспечивает сходимость ряда (23). Таким образом, поле в к-ом дифракционном порядке можно представить как сумму полей, учитывающих вклады от каждого следующего порядка взаимодействия, причем как амплитуда, так и поляризация этих добавок будут определяться коэффициентами ^ , зависящими

от выбора геометрии рассеяния и типа акустической волны.

Анизотропная дифракция света в кристалле Те02 при постоянной амплитуде ультразвукового возмущения

Выберем систему координат X, У, Zpaccмaт-риваемой задачи таким образом, что она связана с кристаллофизической системой координат кристалла матрицей преобразования:

а9 =

cosw sinw 0

-cosa-sinw cosa-cosw ^na sina-cosw cosa

, (33)

где ф =45°, а — малыйугол, характеризующий отклонение волнового вектора световой волны от

плоскости (110 ) кристалла. При такой ориентации плоскости рассеяния (рис. 2) ось Xсоответствует направлению [110] кристалла, а ось Z а

Будем считать, что вдоль направления [110 кристалла распространяется ультразвуковая волна с волновым вектором q, вектор поляризации которой направлен по оси [110]; этот случай соответствует распространению медленной сдвиговой волны в кристалле диоксида теллура. Выбор данной геометрии рассеяния связан с реальной задачей эффективной широкополосной дифракции света на звуке в акустооптическом модуляторе вблизи оптической оси этого кристалла.

Ограничиваясь случаем постоянной амплитуды ультразвукового возмущения А(х) = А0, из выражения (27) найдем:

fx) = F (к£

fx)=

z,[no]

Рис. 2. Геометрия широкополосной дифракции света на медленной сдвиговой волне в кристалле Те02

= 2 п Л05

2п

if

\S

-"Г1 -si nem+1 +

+ п:

d

(34)

где 5(x) -дельта-функцияДирака (16), ¿=1,2.

За положительное значение углов Qm будем принимать углы, отсчитываемые от оси Zno часовой стрелке в плоскостиM)Z(cm. рис. 2). В реальном устройстве всегда присутствует неболь] шая составляющая qz = ^sinp, связанная с угловой расходимостью упругой волны, которая будет определять ширину полосы акустоопти-ческого взаимодействия и присутствие которой будет учитываться в дальнейших вычислениях.

Решая систему материальных уравнений (1) с учетом малости углов Qm и a , мы можем получить выражения для показателей преломления двух эллиптически поляризованных волн, распространяющихся вдоль направления m вблизи оптической оси гиротропного кристалла:

4?) =

1,2

= Я„

1 + Ja 2 + с2 ( + а2) + с(

Э2т + а2

, (35)

где п0, пе — показатели преломления для обыкновенной и необыкновенной световых волн;

а =

сзз по

с =

(nl-ni)

4 п,

(36)

(С33 — составляющая псевдотензора гирации в направлении [001] кристалла Те02).

Так как | С| = 10"4 + 10 "5, то пр и не

учитываем изменения при малых поворотах направления распространения световой волны относительно оптической оси кристалла.

Из уравнений (1) с учетом матрицы преобразования (33) найдем выражения для проекций векторов электрического поля на оси выбранной системы координат X, У, 2. Для комплексных амплитуд электрического поля световых волн,

соответствующих показателям преломления имеем:

У,1

hLq +

2 т xj ^ 'е

г 2 ^

V л2 У

V е У

aU\

У,1

(37)

где х°, у0, г° — орты системы координат X, У, ^ При й— 1 быстрая световая волна с показателем преломления выражается как

т(

х^(1 + р2т) + (1-р2т)со82фт, (38)

i/H = D

y\

arctg

tgw„

J X

+ (39)

при й = 2 медленная световая волна с показателем преломления я2 следует выражению

£Г"' =

х2

arctg

2

+ (40)

(2)

£/(т) _ ^ [arctg(pAwm)).

>'2

/¿>/2

+ (41)

где — амплитуды векторов электричес-

кой индукции для быстрой и медленной световых волн в отсутствие гиротропии;

Р« =

i+z>2(e2m+h)2 2 -ь((+а

эллиптичности световых волн;

(«2 )

Ь =

- (42)

(43)

Фт =

(44)

при а = 0, ^ = 0;

-— при а = 0, Qm <0; я

— при а = 0, 9т>0;

arctg— при а^О. а

На рис. 3 представлен график зависимости р (9, а) для световых волн, распространяющихся вдоль направления m вблизи оптической оси [001] кристалла Те02. Зависимость построена при следующих условиях: У0 = 510,6 нм; п0 = 2,314; пе = 2,476; Gn = 3,745-10"5. Видно, что при углах 9, а >6° эллиптичностью световых волн практически можно пренебречь.

Производим перемножение тензоров в выражении (26) с учетом матрицы преобразования (33) и типа ультразвуковой волны, а, также, учитывая выражения для комплексных амплитуд электрического поля (38)—(41), находим коэффициенты рассеяния Кп, К2,, характеризующие анизотропную дифракцию света с изменением показателя преломления и поляризации. С учетом выбранной геометрии рассеяния последующие выражения получены в приближении

1С,

33

| << 0т, а <<1. Таким образом,

Х)2 V°m+1'

ч nlUPu-fa „ ■'т ' ~ i

4М1 + Pi+.)

Mu:u2i +щи. ) = ъМК+х.0J. (45)

где

Р =

^nlUp {{-р{2) В

2УП

В

(46)

— индекс модуляции ('0 — нормированная деформация среды; в дальнейшем будем считать, если не оговорено особо, что

Угол фт характеризует наклон к оси X большой оси эллипса, по которому движутся концы векторов индукции эллиптически поляризованной быстрой световой волны, распространяющейся вдоль направления т; этот угол определяется следующим соотношением:

Далее,

V20+PL)

-/arctg

х е

(Pm+I +Рц

'+pm+]pii

-tg(9m+^+])

J X

Р

Рис. 3. Зависимость эллиптичности световой волны от направления распространения света вблизи оптической оси кристалла Те02

<{(р«+1 +Р« ) +(1 + Рт+1Рт)2

В этом случае можно написать:

Л Л ч 1/ 2 (т+1) 2п (т+1) ¿г, п X

+ (1-Р2и+.)(1- Р^)со82(Фи| + Фт+1)} . (47) ^

В этом выражении и далее отсчет углов в круглых скобках производится справа налево. Таким образом, в выражении (47) угол 9т соответствует световой волне до рассеяния, а 0т+1 — после рассеяния.

Для обратного рассеяния имеем:

Будем полагать, что звуковая волна возбуждается пьезопреобразователем шириной Ь с равномерными амплитудными и фазовыми распределениями по апертуре поля, возбуждающего звук; тогда выполнение законов сохранения энергии и импульса при дифракции света на звуке возможно в пределах углового спектра излучателя упругих волн, который определяется выражением

У( Р) =

Ф, р

2у

(49)

где р — угол отклонения волнового вектора упругой волны от направления X.

2п

уо

■ П (т+1) „

— ЯП^СОв 0т+1 +

Выражение (34) преобразуется к виду ^Г1 +1Х) = Ш 0Г (Рт+1>т)х

X 5

2я

Уо

Уо/

СОвР

т+1,/я

(т+1) . „ (т) . „

(50)

(51)

Углы 0т, 9т+1 определяются из условий сохранения импульса для падающей и дифрагированной световых волн при анизотропной дифракции света на звуке:

М) 0 И 0 • В *Кп (0,,0оУ[ ' ( >]5 к" Ч?) х

V (52) _

я(/и)чт 0 -я(т+1 ^п 0 - ^сояВ -'Н^М -^'-^Ь,, -.н

(56)

где я^, я^!+1 ^ определяются из выражения (35), =—Хои^ (0, )г (р10 )12(0,,0О )х

¿=1,2. 2

При анизотропной дифракции в кристалле /У^Дае,^,)^,

Те02 в дальнейшем будем учитывать только хе^к|Г_'ш|е у '' ° "¿г', акты рассеяния с функциями (а>0т+1>0т) и

Ц2[{а^т+[ ^т)' ПРИ которых осуществляются где -1<г,™<1; переходы с одной поверхности показателей преломления на другую. к, • г = к0 • г + Ак^г + Ак1хх;

Производя разложение функций цп, -> *

(0) (1) к;-г = к0-г + М1г2 +—хсовр5

п\ ',п\' в ряд в окрестности точки а = 0, найдем у

для малых углов а 0 выражения = к0-г + М1 г + ^^-х; (57)

v

Л|2 (а, 0т+1'0т т+1'0т)1а=0 + 2я (0) / \

к0 • г = — п\ ' (сое% - ^П0О ) 5

[у(0т+,)+у(0т)] |а=0а2;

уо

Л21 К 0т+1, 0т)|а2О - 5 ^ ^ + ^ [1 + *°0 ^

-я с [у (0 ,) + у (0 )]| а2, (53) Зададим начальные условия дифракционной

а=0 задачи таким образом, чтобы для выбранной несущей частоты ультразвука f = /', 0О =0^ 0 =0™,

2 / 2 4 \

у(0) = ¿0 (1 + Ь 0 ^ . (54) где 0^ 0™ определяются из уравнений (52) при

Выберем в качестве падающей медленную а = 0, р1;0 = 0. При этом должно выполняться со-

световую волну с показателем преломления отношение цп (0,0 ,, 0 0) = 0.

Тогда в приближении первого порядка взаи-

Этот случай соответствует широкополосной аку- модействия поле в (+1)_м дИфракциоНном по-

стооптической дифракции в кристалле парател- рядке ш границе ультразвукового столба следу_

лурита. Под медленной световой волной пони- ет выражению мается волна, имеющая больший показатель

Е, = и* 2(0о У^. (55) , л

Тогдадля поля в (+1)-м порядке на выходной —п0с[у (0',) + у(00)]а2 (59)

апертуре АОМ при длине взаимодействия света 1Ло ]

со звуком 2 = Ь (граница ультразвукового столба) и в приближении первого порядка взаимо- . / \ = пях _

„ ГДС БИКДХ I — ,

действия можно написать: ях

Е« = — | ^(0,)г(р^о)х к; -г = (к0.г)|

Ак,,> о 1а-° V

где

+^с[1-у(е0)]а2;

У

(60)

о

^г)|а20=УЧ(ео)(*оСо8%-хо8т%) - (61) ло

начальная фаза световой волны на входной апертуре АО М.

Учитывая взаимодействие второго порядка, можно определить поле во втором порядке дифракции Е^, поправку к нулевому по рядку Е^

и т. д. В частности, поле в (+1)-м порядке дифракции в приближении третьего порядка взаимодействия имеет вид:

ЕЙ) 2(е;, еьИ^^х

х{8шсАл(>)(е;Л)_ р Гу2 (р^ )х

1 4 г; /^"(е;,е,,е;)

хк2, (е2,е;) 11 \еу ^¿¿гда +

+кп (е',ет )к21( ет,е') х

где

1 ¿2 г\ ."(е;,б;„0;) х | | | еу

" (03,02,0, ) = лр2)(е3^2 >2 +

(62)

Для нашей геометрии рассеяния это соответствует случаю 0 ¡=0 и

/ = /в = "о+^З _

частота двухфононного взаимодействия. Для практических применений это рассеяние является вредным. Будем в дальнейшем полагать, что выбранная нами частота /

ф , и, более того, что /в' лежит вне полосы рабочих частот АО М. При этом вкладом от второго порядка дифракции в поле для (+1)-го порядка можно пренебречь и учитывать только взаимодействие между (+1)-м и (0)-м порядками дифракции.

Анизотропная дифракция при амплитудной модуляции ультразвукового сигнала

Предположим, что амплитуда ультразвукового возмущения в кристалле изменяется по закону:

1 + Я%С08

2я/0-

При выводе выражения (62) не учитывалась ветвь диаграммы рассеяния, связанная с дифракцией в (—1)-й порядок. Вклад этого рассея-

0

ределяемом условием (52), будет проявляться только при малых длинах взаимодействия на низких частотах ультразвука. Для практически важных применений при расчетах поля вкладом от (— 1 )-го дифракционного порядка можно пренебречь. Для конкретного применения выражения (62) нужно принимать во внимание , что дифракция света во второй порядок, которая учтена в (62), наиболее эффективно будет происходить при условии

и2 ? (е;д)=л(22,) (е2,е;)=л(32 ) (е;,е2) = о.

= 4[1 + А*)]. (64)

где щ, /() — глубина и частота модуляции; V— вектор скорости; г — направление распространения ультразвукового возмущения в среде.

Будем считать, что при небольших значениях р — угла отклонения направления распространения от оси X— скорость ультразвуковой волны меняется незначительно.

Подставляя выражение (64) в формулу (27), с учетом (49) найдем:

Г(^х + дх ) = 2яЛ V (р) X

Щх +

2я/

совр I +

+—5

2

5

А к.

\х +-

X/--/о)

СОвР

<. 08р

(65)

Считая, что для центральной спектральной составляющей амплитудно-модулированного сигнала выполняются условия (52) при а = 0 ,

Р = 0; 0О = 0^, 0, = 0^, а также учитывая только

взаимодействие между (+1 )-м и (0)-м дифракционными порядками, рассчитаем поле в (+1 )-м дифракционном порядке на границе ультразвукового столба. Расчет поля производится согласно диаграмме рассеяния, представленной на рис. 4.

Горизонтальные стрелки на диаграмме характеризуют парциальные плоские волны, распространяющиеся под углами б^ для т = 0—3

(нулевого, первого, второго и третьего порядков взаимодействия). Наклонные стрелки обозначают возможные направления рассеяния этих волн, под действием ультразвукового возмущения (63). Из диаграммы следует, что в приближении 3-го порядка взаимодействия для сигнала с тремя спектральными составляющими имеется 27 возможных комбинаций рассеяния, дающих вклад в дифрагированное поле вблизи (+1)-го порядка. Спектр этого поля состоит из 7 составляющих, отличающихся углами дифракции и частотами на величину

АПр = р2п/0,

где р =-3,-2,-1,0,+1,+2,+3.

Расчет дифрагированного поля производится в соответствии с общим решением (25) путем последовательного нахождения углов 0(,т+1 ) и Р^1 ),

удовлетворяющих системе уравнений (52), в которой нужно произвести следующую замену:

э _ 0(т+\)

_ е(т) р

п п(т+1)

.Р т+\,т=Р,д ' А?

—3, —2, —1, 0, +1, +2, +3.

Конечные углы

е(т+>)

,р , полученные на предыдущем этапе, являются исходными при рас-

чете углов в следующем порядке взаимодеиствия. Одновременно с углами из уравнений (52) находятся углы Р^1 ^ и весовые спектральные коэффициенты V Суммируя все пока-

занные на рис. 4 комбинации рассеяния, найдем поле в (+1)-м дифракционном порядке на выходной апертуре АОМ с учетом приближения третьего порядка взаимодействия:

Е(+3,) = - Хое'

М,

М (^-(х-У1 )+2 ¿,,а

а=0 V ^ ' ^

X

(66)

Р=__>

с0(е(03)) = иЛе(03)

хеше

т1

А )+у(»)

Я V

*12(еМ0))х

- ^{5(0, 0,0) +

[5(0, 0, +1) + 5(0,0, -1) + 5(0, +1,+1) + 4 1

+ 5(0, Н0)^0, -1,0) + 5(0, -1,-1)]}]; (67)

хг (рС^шс

(у!)+у(0)

я V

{5(±1, ± 1, ±1) + 5(±1, 0) +

Рис. 4. Диаграмма рассеяния при дифракции света в (+1)-м порядке в приближении 3-го порядка взаимодействия

+^-[¿(±1,0, ± 1) + £(±1, о, +1) +

+ £(±1,±2,±1)]}];

(68)

^±2

2 .„2

е±?) - -и* ($)^

х [>(±2, ± 2, ± 1) + 5(±2, ± 1, ± 1) + 5(±2, ± 1,0)]}]; (69)

.2 ,„3

с±3 (е§)- -и,, (е§)^^(±з,±2,±1), (70)

где введены обозначения

4е(3)е(2)е(1)е^))^12(е(3)е(2))х

хк^^Ы^М (72)

РЙ)(73) •/(У(,3) У(Д у(°, Уф) 2

= П (74)

у(М,/) = (у(2)Ь

- (у(92Ч%+ММ0))4;

(75)

(»)_ Л 0^ Л_6 (0(

П 7 _ У

1+62 (0(пт)

-1/2

; (76)

. _пЬп0с _ЛМ> («* -"I)

—_—:—т~)-• \п'

УМ

Амплитуды и^ (е(й3) | определяются выраже-

к1 { Р

ниями(37)—(41). Из соотношений (66)—(77) видно, что в общем случае амплитуды спектральных составляющих с положительными и отрицатель-

ными индексами р становятся неодинаковыми. Симметрия спектра относительно направления

е = ео ^ = е(03) нарушается, причем форма огибающей спектра зависит от выбора несущей частоты/ и настройки центральной спектральной составляющей спектра на условия брэгговской дифракции. Амплитуды спектральных составляющих с «паразитными» частотами модуляции (р = ±2, ±3) возрастают с увеличением индекса модуляции Хо и сильно зависят от глубины модуляции т0. При малой глубине модуляции вкладом этих составляющих в общее поле можно пренебречь. Тем не менее, в случае визуализации изображений для получения хорошего контраста необходимо работать с величинами Щ5\., поэтому этими составляющими при больших индексах модуляции пренебрегать нельзя.

Основные результаты и выводы

1. В результате решения интегрального уравнения для электромагнитного поля, полученного с помощью введения эквивалентных токов и разложения искомого поля по плоским волнам, найдено общее решение для дифрагированного на ультразвуке светового поля, справедливое для анизотропной диэлектрической среды, обладающей гиротропными свойствами.

2. На основании общего решения интегрального уравнения предложена методика расчета дифрагированного светового поля для практически важной геометрии рассеяния, соответствующей широкополосной анизотропной дифракции света на медленной сдвиговой упругой волне, распространяющейся в направлении [110] кристалла Те02 вблизи его оптической оси. В качестве примера в приближении до третьего порядка взаимодействия включительно для данной геометрии рассеяния получено выражение для дифрагированного светового поля в (+1)-м порядке на границе ультразвукового столба при постоянной амплитуде ультразвукового возмущения, а также при его амплитудной модуляции по гармоническому закону. В выражениях для дифрагированных полей учтены углы падения световых волн на АОМ в плоскости ортогональной плоскости дифракции.

Представленная методика расчета светового поля на выходной апертуре АОМ путем последовательного нахождения углов дифракции и амплитуд дифрагированных полей для возрас-

тающих порядков взаимодействия позволяет в дальнейшем рассчитать интенсивность ампли-тудно-модулированного света при его дифракции в АОМ из Те02 с учетом гиротропии этого

кристалла, а также решить вопрос о нелинейных искажениях в сигнале изображения для лазерной проекционной системы, в которой используется АОМ из Те02.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Парыгин, В.Н. Взаимодействие электромагнитных волн с распределенной фазовой решеткой. Изотропные среды [Текст] / В.Н. Парыгин, J1.E. Чирков // Радиотехника и электроника,—

1973,- Т. 18,- N° 4,- С. 703 -712.

2. Парыгин, В.Н. Взаимодействие электромагнитных волн с распределенной фазовой решеткой. Анизотропные среды [Текст] / В.Н. Парыгин, J1.E. Чирков // Радиотехника и электроника,—

1974,- Т. 19,- № 6,- С. 1178- 1186.

3. Парыгин, В.Н. Дифракция света на ультразвуке в анизотропной среде [Текст] / В.Н. Парыгин, J1.E. Чирков // Квантовая электроника,—

1975,- Т. 2,- № 2,- С. 318- 326.

4. Мартынов, А.М. Дифракция произвольного цилиндрического светового пучка на широкополосном ультразвуковом сигнале [Текст] / А.М. Мартынов // Радиотехника и электроника,— 1977.— Т. 22,- № 3,- С. 533-540.

5. Сташкевич, A.A. Расчет дифракции света на ультразвуке сложного спектрального состава в аку-стооптическом процессоре [Текст] / A.A. Сташкевич // Оптика и спектроскопия,— 1978,— Т. 45,— N° 5,- С. 967- 973.

6. Балакший, В.И. Физические основы акусто-оптики [Текст] / В.И. Балакший, В.Н. Парыгин, Л.Е. Чирков,— М.: Радио и связь, 1985,— 280 с.

7. Кулак, Г.В. Промежуточный режим дифракции света на ультразвуке в анизотропных гирот-ропных кристаллах [Текст] / Г.В. Кулак // Журнал технической физики,— 1997,— Т. 67,— N° 9,— С. 80-82.

8. Петрунышн, В.Ю. Теория дифракции света на ультразвуке. Изотропные среды [Текст] / В.Ю. Пет-рунькин, И.А. Водоватов // Изв. вузов. Радиофизика,- 1983,- Т. 26,- N° 12,- С. 1570-1578.

9. Петрунькин, В.Ю. К вопросу о дифракции света на ультразвуке [Текст] / В.Ю. Петрунькин, И.А. Водоватов, КВ. Ветров // Сб. тр. «Обработка радиосигналов акустоэлектронными и акустооп-тическими устройствами»,— Л.: Наука, 1983.— С. 51-59.

10. Петрунышн, В.Ю. Дифракция света на ультразвуке в анизотропных средах [Текст] / В.Ю. Петрунькин, И.А. Водоватов, A.A. Липов-ский // Изв. вузов. Радиофизика,— 1983,— Т. 26,— N° 8,- С. 1021-1029.

11. Петрунькин, В.Ю. Многочастотная дифракция света на ультразвуке [Текст] / Петрунькин В.Ю., Водоватов И.А. / Изв. вузов. Радиофизика,— 1984,- Т. 27,- С. 332-340.

12. Агранович, В.М. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов |Текст] / В.М. Агранович, В.Л. Гинзбург,— М.: Наука, 1979,- 432 с.

13. Сиротин, Ю.И. Основы кристаллофизики |Текст| / Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская,— М.: Наука, 1975,- 680 с.

14. Вайнштейн, Л.А. Электромагнитные волны |Текст| / Л.А. Вайнштейн,— М.: Сов. Радио, 1957,- 581 с.

15. Смирнов, В.И. Курс высшей математики |Текст| / В.И. Смирнов,-М.: ТТЛ,- Т. 4,- 1957.— 812 с.