Оптимальные условия акустооптического взаимодействия в кристаллах с гиротропией Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.42 • 534.522

ОПТИМАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ АКУСТООИТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КРИСТАЛЛАХ С ГИРОТРОПИЕЙ

О. В. Шакин1, В.Н. Белый2, М. А. Казарян3, Ю.М. Мокрушин1'4, В. И. Сачков5

Рассматриваются условия, акустооптического взаимодействия, в кристаллах, обладающих гиротропией. Произведен расчет оптимальной длины акустооптическо-го взаимодействия и эффективности дифракции в гиро-тропном, направлении. Для, расчета эффективности дифракции использовался, метод связанных волн, который позволяет рассчитать, как взаимодействуют поля, в ги-ротропном, кристалле [1]. Теоретически показ а,но и экспериментально подтверждено, что эффективность дифракции в гиротропном направлении не зависит от состояния, поляризации падающего излучения, когда плоскость поляризации излучения на длине взаимодействия поворачивается на 45 градусов.

Ключевые слова: акустоотттическое взаимодействие, дифракция, гиротропные кристаллы. парателлурит.

1. Анизотропная, дифракция, в оптически-активных кристаллах. Теоретически и экспериментально исследованы особенности дифракции света на упругих волнах в оптически-активных кристаллах.

1 Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, Политехническая ул., 26, Санкт-Петербург, 194021, Россия; e-mail: oshakin@mail.ru.

2 Институт физики им. Б. И. Степанова ПАН Беларуси, Пр. Ф. Скорины, 70, Минск, 220072, Беларусь.

3 Учреждение Российской академии наук Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН, Ленинский пр., 53, Москва, 199991, Россия.

4 Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, Политехническая ул., 29, Санкт-Петербург, 195251, Россия.

5 Сибирский физико-технический институт им. Акад. В. Д. Кузнецова, Томск, Новособорная пл., 1, 634050, Россия.

При решении задачи внутрирезонаторного управления неполяризованньтм излучением лазера с помощью акустооптической ячейки из кристалла партеллурита предполагалось. что свет будет падать на ячейку вдоль оптической оси. Это направление соответствует максимальной эффективности дифракции. Направление вектора поляризации падающего излучения может быть произвольным, поскольку в кристалле вдоль оптически-активного направления могут распространяться только лево- и правополя-ризованньте циркулярные оптические волны.

Теоретическое рассмотрение этого явления показало, что при выполнении определенных условий, а именно при определенной длине акустооптического взаимодействия, эффективность дифракции для неполяризованного падающего излучения не будет зависеть от направления векторов поляризации. Экспериментальные исследования подтвердили правильность предположения о независимости эффективности акустооптической дифракции от векторов поляризации падающего излучения. Эта особенность акустооптического взаимодействия была использована в устройстве для модуляции добротности технологического лазера на алюмоиттриевом гранате, дотированном неодимом, а также в волоконно-оптическом аттенюаторе, к которому предъявлялись жесткие требования независимости интенсивности дифрагированного излучения от его поляризации. Существует ряд работ [2 5], в которых рассматривается возможность использования особенностей акустооптической дифракции вблизи оптической оси кристалла парател-лурита.

2. Расчет оптимальной длины акустооптического вза/ильодействия в кристалле парателлурита. При малых ультразвуковых частотах падающая и дифрагированная световые волны в кристалле парателлурита Те02 распространяются под малыми (порядка нескольких градусов) углами к оптической оси кристалла. В этом случае можно пренебречь оптической анизотропией и аппроксимировать сечение поверхности волновых векторов вблизи оптической оси окружностями радиусов к- = к0 — р и к+ = к0 + р,

где ко = — п0 - волновой вектор обыкновенной волны, ар параметр удельного Ао

вращения плоскости поляризации (рис. 1). Двум поверхностям волновых векторов к± отвечают циркулярно-поляризованньте волны с единичными векторами поляризации и± = (ех ± 1еу), причем ех и еу - это орты вдоль о сей X ||[110] и \7 || [110]. Для определенности считаем, что волна с левой поляризацией и+ является медленной модой и характеризуется показателем преломления п+ = п0 + 7, а волна с правой поляризацией и_ является

быстрой модой с показателем преломления п- = п0 — 7 (кристалл с правым вращением). Здесь 7 - параметр гирации, связанный с удельным вращением

Рис. 1: Геометрия акустооптического взаимодействия в кристалле парателлурита вблизи оптической оси (пояснения в тексте).

соотношением

т

Р =у 1- (1)

А0

При дифракции света на медленной сдвиговой акустической волне коэффициенты акустооптического взаимодействия отличны от нуля только для анизотропных процессов рассеяния, когда левополярпзованная волна дифрагирует, превращаясь в правопо-ляризованную и-, и наоборот. Поэтому в общем случае наблюдаются два дифракционных максимума. Максимуму слева (если смотреть вдоль направления распространения) соответствует дифракция с превращением волны с правой поляризацией в левополяри-зованную волну (и— — и+), при этом условие брэгговского синхронизма к0- + К = к\+ выполняется для угла падения вв — Двт где вв = агсйт(А0/2Лп0) - угол Брэгга в отсутствие гиротропии, Л - длина акустической волны, а

Двт = 272в - (2)

п0 8т2вв

Максимуму справа соответствует дифракция — и условие фазового согласования выполняется для углов вв± = вв ± Двт.

Реальный световой пучок можно представить в виде спектра плоских пространственных гармоник, каждая из которых, взаимодействуя со звуком, формирует угловой спектр дифрагированного излучения. Плоские световые волны5 которые р&спростр<1н.я~ ются под углом 9в ± Д9т, наиболее интенсивно взаимодействуют со звуком, так как их волновые векторы в точности удовлетворяют условиям фазового синхронизма. Эти ВОЛНЫ формируют дифракционную картину в виде трехпичковой структуры.

Известно, что из-за конечной длины I пьезопреобразователя происходит уширение дифракционного максимума, при этом угловая ширина 69с.5 каждого брэгговского пич-ка на половинном уровне от максимальной интенсивности дается выражением

Ас

59,

С.5

2пс1 вт 29 в

(3)

Очевидно, что два дифракционных пичка сливаются (рис. 1). если угловое расстояние между ними 2Д9т совпадает с угловой шириной отдельного максимума, то есть

2Д9т — 89с.5-

(4)

Из (4) с учетом (2) и (3) получаем

47

Ас

таким образом.

2п

пс вт29в 2пс1 ъ\п29в'

2п п

Ас 71 — 4 •

Поскольку —7 — р, то из (6) окончательно следует искомое условие Ас

р1 — 4 •

(5)

(6)

(7)

Условие (7) можно получить и из других простых соображений. Из-за упругооптическо-го эффекта изменяется показатель преломления пс на величину Дпа, вследствие чего происходит "размазывание" поверхности волновых векторов. Условие Брэгга выполняется одновременно для двух анизотропных процессов, то есть происходит слияние двух

пичков. если

Из (1) и (8) получаем

п+ — п- — Дпа или 27 — Дпа

2п

2р1 — ДФ, где ДФ — —Дпа1.

Ас

(8) (9)

Таким образом, удвоенный поворот плоскости поляризации должен быть равен изменению фазы дифрагированной волны на длине акустооптического взаимодействия I. Условие максимума эффективности брэгговской дифракции требует, с другой стороны, чтобы ДФ = п/2.

Поэтому из (9) получаем

П

р1 = -. (10)

Рис. 2: Геометрия акустооптического взаимодействия в кристалле парателлурита.

3. Гасчет эффективности дифракции в гиротропном кристалле парателлурита при произвольной поляризации падающего излучения. Для расчета эффективности дифракции воспользуемся методом связанных волн для расчета взаимодействующих полей в гиротропном одноосном кристалле [1]. Обозначим через X, У, Z оси кристаллографической системы координат кристалла Те02 с ортам и е^ е^ ег. На рис. 2 показана геометрия акустооптического взаимодействия, где вдоль оси X У [110] распространяется сдвиговая акустическая волна с поляризацией по оси У || [110], а свет распространяется вблизи оптической оси Z ||[001]. Тогда решение волнового уравнения мы будем искать в виде суммы двух связанных волн с медленно меняющимися амплитудами

Е(х, г) = Е0(г) ехр[г(/с0г — ^о¿)] + Е1(г) ехр^^г — и1£)],

(11)

где

Ео(г) = А±(г)еу + Л\\ (г%, Е (г) = Б± (г )еу + Б\\ (г И,

(12)

причем 9 - угол между Ко и фронтом ультразвуковой волны, а влияние гиротропии заключается в изменении векторов поля Ео, Е1 по сравнению со случаем негиротропной среды. В выражении (11) электрический вектор падающей волны представлен в виде разложения на Л± и Л» - компоненты, перпендикулярную и параллельную плоскости дифракции, а электрический вектор дифрагированной волны Е1 - в виде разложения на компоненты Б± и Б». Здесь еу - единичный вектор, ортогональный плоскости дифракции а

¿0

ву Ко

ву Ко

, ¿1

ву К1

ву К1

(13)

единичные векторы поляризации, лежащие в этой плоскости. Подставляя выражение (11) в волновое уравнение, получаем систему четырех уравнений для компонент Л±, Л», Б±и Би, которую удобно представить в матричной форме

¿г

ИХ,

/ А± \ / 0 р 0 гх \

Л , И = —р 0 гх 0

X =

Б± 0 гх 0 р

V Би / V гх 0 —р 0 )

(14)

(15)

где р - удельное вращение кристалла, х = _;-;г~(р11 — р12), в - амплитуда де-

2Аосо$9в

формации в звуковой волне.

Поскольку амплитуда деформации связана с акустической мощностью Ра соотношением

Ра = 0.5аь3Б21Н, (16)

где ст - плотность кристалла, V - скорость акустической волны, / и Н - длина и высота пьезопреобразователя, то выражение для х удобно представить в виде

X

п

И2 Ра

(17)

Аосов9в V 21Н '

причем И2 = п^р2^Рей = р11 — р12.

Для описания распространения падающей и дифрагированной волн в областях кристалла (—11} 0) и (/,/2), где акустическая волна отсутствует (рис. 3), в (15) достаточно положить х = 0. Тогда из решения (14) следует, что обе волны распространяются независимо друг от друга и испытывают на заданной толщине кристалла поворот плоскости поляризации.

Рис. 3: Схема области акустооптического взаимодействия в кристалле пара-теллурита.

Пусть на передней грани ^ = 0) области акустооптического взаимодействия падающее световое излучение имеет произвольную поляризацию. Обозначим через т эллиптичность волны, а через р - угол между большой осью эллипса поляризации и осью X. Для этого случая электрический вектор Е0 (0) падающей волны может быть записан в виде

¿0 (0) = ёу + АО Е0, (18)

где

А°± = А0 (эт р + 1т сов р), АО = А0 (соэ р + 1т эт р).

(19)

р

то (19) запишется в более простой форме

—» —» I (0) = А0 (эт реу + соэ рЕ).

(20)

Решение матричного уравнения (14) мы будем искать, используя вектор-столбец граничных условий

X0 =

А*\\ 0 0

(21)

который, согласно (20), (21), задает на границе Z = 0 произвольную поляризацию падающего излучения.

Решение уравнений (14). (15) с граничным условием (21) запишется в виде

X = eMz Xo = [(Уи + V12z)eXlz + (У21 + У22 z)eÁ2Z ]X,

(22)

где Угк - компоненты матрицы И, А1 и А2 - кратные корни характеристического урав-(И — А) = 0

Ai,2 = ±Wx2 + Р2-

(23)

Вычисление матриц yik дает / 1 -iz 0

У11 = 1

iz 1 0 s s 0

s

s0

1 -iz 1

iz

У

21

У12 — У2

12 = У 22 =

0,

1 iz 0 -s

-iz 1 -s 0

0 -s 1 iz

s 0 iz 1

где введены обозначения

х

\/х2 + Р2'

r =

л/х2 + Р2

(24)

(25)

С помощью (25) и граничных условий (21) решение (22) для электрического вектора дифрагированного пучка Е 1(г) представим в виде

E1 = B±(z)ey + B^(z)ex,

B±(z) = isAjJ sin(z\/x2 + p2), B\\(z) = isA°± sin(^x2 + Р2)-

(26)

(27)

Подставляя (26) в выражение для эффективности дифракции п = Е1Е'^/Л1Л1, окончательно получаем на выходной грани (Z = I) области акустооптического взаимодействия

П = sin2 (^л/х^+Р^) - (28)

X2 + Р2 v J

Это означает, что эффективность дифракции не зависит от состояния поляризации падающего излучения.

Р

Таким образом, эффективность дифракции при выполнении условия р1 = п/4 не зависит ни от азимута поляризации р, ни от эллиптичности т падающего излучения и дается выражением (28).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифтпиц, Электродинамика сплошных сред (М., Гостехпздат, 1957).

[2] Ф. И. Федоров, Теория, гиротропии (Минск, Наука и техника, 1976).

[3] М. Б. Юттвь С. \¥. ЕагпеП, Сап. ,1. РЬуз. 47, 2719 (1969).

[4] А. М. Петров, Г. А. Смоленский, В. В. Леманов и др.. Оптико-механическая промышленность, Л"2 4, 31 (1979).

[5] Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгпн, Методы модуляции и сканирования, света (М., Наука, 1970).

Поступила в редакцию 24 марта 2010 г. После переработки 7 июля 2011 г.