Влияние микроструктуры турбулентности на диффузию тяжелых инерционных частиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика к Математическое

моделирование

Сетевое научное издание

Ссылка на статью: // Математика и Математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 02. С. 50-68.

Б01: 10.7463/шаШш.0415.0776054

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

11.03.2015 26.03.2015

УДК 532.529

Влияние микроструктуры турбулентности на диффузию тяжелых инерционных частиц

профессор Деревич И. В.1*, Фокина А. Ю

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

1

Изучается влияние микроструктуры турбулентности на интенсивность хаотического движения твердых частиц в газе. Рассмотрен случай однородной изотропной турбулентности. Получена система замкнутых функциональных уравнений, связывающих спектр корреляции Лагранжа частиц и спектр Эйлера несущей фазы. Для замыкания системы функциональных уравнений на уровне четвертых моментов привлекается гипотеза квазинормальности и аппроксимация поля скорости несущей среды случайным процессом Гаусса. Предложен приближенный способ решения полученной системы функциональных уравнений для спектров. Рассмотрена аппроксимация Кармана спектра турбулентности. Поведен анализ влияния инерции и скорости осаждения частиц на коэффициент турбулентной диффузии и энергию хаотического движения дисперсной примеси.

Ключевые слова: турбулентность, дисперсный поток, турбулентный спектр, инерция частиц, корреляция Лагранжа, корреляция Эйлера, спектр Кармана

Введение

Дисперсные турбулентные потоки используются во многих технических приложениях и широко встречаются в природных явлениях [1, 2]. Новое направление использования дисперсных систем в случайных гидродинамических полях - это пылевая плазма [3]. Дисперсные турбулентные потоки интенсивно изучаются современными экспериментальными методами и методами прямого численного моделирования (см., например, [4-15]).

Теоретические методы исследования дисперсных турбулентных потоков можно разделить на два принципиально различных подхода, использующие переменные Лагранжа и Эйлера. Огромный объем информации, получаемый в методе Лагранжа при интегрировании коллектива случайных траекторий частиц, затруднительно использовать в инженерных приложениях. Поэтому в настоящее время основной подход, позволяющий

моделировать сложные гидродинамические течения дисперсных турбулентных потоков, использует подход Эйлера [1, 2].

В описании Эйлера дисперсной фазы необходимо знание интенсивности хаотического движения и коэффициента турбулентной диффузии примеси. В широко используемых в литературе аппроксимациях турбулентная энергия и коэффициент турбулентной диффузии частиц моделируются на основе полуэмпирических соотношений [1-10]. В этом случае пренебрегается внутренней микроструктурой турбулентных вихрей. В турбулентности различают две принципиально различных корреляции. Корреляция Лагранжа, когда на траектории выделенной жидкой частицы находится корреляция скорости. В случае подходе Эйлера в двух различных точках потока вычисляются корреляции скорости произвольных жидких частиц, проходящих через эти выделенные точки пространства. Турбулентность имеет сложную иерархическую пространственно-временную структуру.

Учет пространственно-временной микроструктуры случайного поля среды и различия в корреляциях Лагранжа и Эйлера имеет принципиальное научное и практическое значение [11]. В настоящей работе привлекается метод исследования, основанный на спектральном представлении пространственно-временной микроструктуры турбулентного поля. Концентрация дисперсной примеси мала, обратного влияния на параметры турбулентности несущей среды нет. Столкновениями частиц друг с другом пренебрегается.

В рамках спектрального подхода получена замкнутая система функциональных уравнений, связывающих корреляцию Лагранжа инерционной тяжелой частицы и корреляцию Эйлера скорости несущей среды. Проведен анализ влияния инерции и скорости относительного движения частиц на параметры турбулентности дисперсной фазы. Показано, что в отсутствии массовых сил коэффициент стационарной турбулентной диффузии инерционных частиц выше, чем пассивной примеси. Этот неожиданный эффект объясняется пространственной микроструктурой случайного поля скорости среды и различием в интегральных масштабах Лагранжа и Эйлера.

1. Уравнения динамики частицы. Корреляция Лагранжа

Рассматривается примесь твердых сферических частиц, плотность которых существенно превышает плотность несущей фазы. Уравнения движения частицы в фиксированной системе координат имеют вид

(1)

Здесь У*(^), Х*(^) - скорость и координата частицы, тр - время динамической

релаксации, g - вектор ускорения массовых сил, и* (х, X) - скорость несущей среды.

Скорость несущей фазы в фиксированной системе координат состоит из постоянной составляющей (и) и флуктуаций и (х, X)

и*(х,I) = (и + и(х,I) , (и(х,X)) = 0.

Угловыми скобками обозначается результат осреднения по ансамблю реализаций турбулентного поля. Из уравнений (1) видно, что установившаяся скорость частиц равна

(У*) = (и + ХР§. В системе координат, движущейся с постоянной скоростью потока (и), уравнения для скорости частиц V(X) и их координаты Х(Х) имеют вид

^ =1 [и(X(X),X)-V(X)] , (V(Х)) = 0 , ^ = V(X) + W , (2)

где W = т § - относительная скорость частиц в результате действия массовой силы.

Флуктуации скорости среды моделируются статистически стационарным и статистически однородным в пространстве случайным полем. Корреляция флуктуаций скорости в переменных Эйлера имеет вид

Ц (х',У)Ц (х", У)) = ^ (и2)(X - х", - 5") .

Здесь х, 5) - автокорреляционная функция, удовлетворяющая условию

нормировки (0,0) = 1.

Для достаточно большого времени наблюдения ХП т влияние начальных условий

исчезает. В этом приближении записываем из уравнения (2) выражение для флуктуации скорости частицы

1 X — V (X) = — | е Тр и (X (5), 5) ^ .

т р 0

Корреляция Лагранжа скорости частицы в изотропном приближении имеет вид

(и2\ X' - — X" -X!-?!

Ь(X')V,(ОН^2)Ф^'-X") = 81]^|*'е Тр |Тр *') . (3)

3 3

Здесь ¡V= (и2) = - средние дисперсии флуктуаций

г=1 г=1

скорости частиц и несущей среды, ) - автокорреляционная функция флуктуаций

скорости частицы, ¥^(5'-5г>. (X(в'),в')и (X(в"),в")^ - корреляция скорости несущей фазы на траектории частицы, автокорреляционные функции удовлетворяют условиям нормировки ^^ (0) = 1, Ф^ (0) = 1.

2. Спектральное представление

Вводим спектральное разложение корреляции Лагранжа и корреляции флуктуаций скорости сплошной среды на траектории частицы

1 ад 1 ад

Ф^(0 = ^ | е-, = | ^^(ш)ёш . (4)

—ад —ад

Спектры разложений ф^ ^(ш), ^(ш) определяются как

ад ад

ф[р) (ш) = \ ) (X)ё , ^) (ш) = \ е™1"^> (X)&

—ад —ад

и удовлетворяют условиям нормировки

-| ад -| ад

^ |ф(р)(ш)ёш = 1 , -1 ёш = 1 .

Подстановка спектрального разложения (4) в формулу (3) приводит к выражению спектра Лагранжа частицы через спектр корреляции флуктуации скорости среды вдоль траектории частицы

(И) ф'"(ш) = ( иг) -^^Цт . (5)

1 + (ш1, )

Выражение для дисперсии флуктуаций скорости частицы вытекает из формул (3) при совпадении времен X' = X"

/ 2\ / 2\ 1 ад „,

1 + (штр )

Дисперсия случайного смещения частицы А2р (t) равна

XX XX

8. Ар (X)=| ^ ' | ^ " (V £ ' ) V. (£ " ))=8.(у2) | ^ 'I а^ф(р) ($ ' -Ч " ) .

0 0 0 0

Коэффициент турбулентной диффузии примеси рассчитывается как производная от дисперсии смещения [16]

D( р j=--2 dt

=<*J> ■

0

Интегральный временной масштаб корреляции Лагранжа частицы Г(р) равен

œ œ 1 ^ 1 ^ -у

rtp)=joLp)(t) dt =J J eifflt dt = 1 |ф<р)(ш)8(ш) d«= 1 Ф(р)(0) . (6)

Для достаточно больших времен наблюдения t □ коэффициент диффузии

достигает своего стационарного значения

D(рЦv2)Г[р) . (7)

Интегральный временной масштаб флуктуаций скорости среды вдоль траектории частицы Tр) выражается через спектр

œ 1 œ -,

T(=J^Lp)(t ) dt = 1 J^p)(t) dt = 1 #(0) ■ (8)

0 -œ

Вытекает выражение для коэффициента турбулентной диффузии частиц через интегральный временной масштаб флуктуаций скорости среды на траектории частицы

D( р ]=[ и2) T( р ) . (9)

Из формул (7) и (9) видно, что выполняется равенство (v2^Г^р) = ^иTр).

Как следует из данных прямого численного моделирования турбулентности, для крупномасштабных энергоемких флуктуаций автокорреляционная функция флуктуаций скорости среды вдоль траектории частицы близка к экспоненциальной зависимости [5-8]

^р)( t ) = exp

' t ^

тЧ p V TL у

(10)

Для этой аппроксимации спектр флуктуаций скорости среды вдоль траектории частицы равен

(р)и\-_2Тк

^(ш) =

( р)

1+

(шТ< р))2

Выражение для спектра корреляции Лагранжа при экспоненциальной аппроксимации следует из формулы (5)

у2) ф[р](ш) = ( и 2)- ^

+ (штр )2 1 + (шТ(р))

Отсюда находим выражение для отношения дисперсий флуктуаций скорости частиц и несущей фазы

И =, = 1

^ р

(и Г 'Р~ 1 + (х Л Р))'

а также корреляцию Лагранжа частиц

г

е""^—(т. /Тр]\ е тр

■(т /Т(р))

Ф(Р)(г) =_\ р! 1 )__(11)

ф (г) 1—(тр)) . (11)

Интегральный временной масштаб корреляции Лагранжа равен (6) Г^ ' = т

, + Т *). В

зависимости от величины времени динамической релаксации частицы можно разбить на два класса: малоинерционные х □ Т^ и инерционные хр □ Т^.

Для частиц с малой инерцией дисперсии флуктуаций скорости частиц и несущей среды близки (у2^ и2^ . Интегральный временной масштаб корреляции Лагранжа

стремится к интегральному временному масштабу вдоль траектории частицы Г^Р^ « ТР^. Корреляция Лагранжа (11) соответствует частицам пассивной примеси (10).

Для инерционных частиц интенсивность флуктуаций скорости примеси снижается

(у2^ « (иТрР\тр , временной интегральный масштаб корреляции Лагранжа стремится к времени динамической релаксации Г^р) « т , а корреляция Лагранжа (22) затухает как

ф(р)(г )* ехр (—^ т р ).

В традиционном подходе интегральный временной масштаб флуктуаций скорости несущей среды на траектории частицы аппроксимируется интегральным временным масштабом Лагранжа пассивной примеси Т^ = Т°Ь [1, 2, 9, 10, 14]. В этом случае без учета

осредненного скольжения из формулы (9) следует, что коэффициент турбулентной диффузии частиц не зависит от их инерции и равен коэффициенту турбулентной

диффузии пассивной примеси Е1-р) = Е° и2^ТГ . Этот неожиданный результат в

литературе называют теоремой Чена [14, 15]. В традиционном теоретическом описании не учитывается внутренняя пространственная структура энергоемких турбулентных вихрей. В то же время, данные прямого численного моделирования случайного движения частиц свидетельствуют, что без учета осредненного скольжения коэффициент турбулентной диффузии инерционных частиц становится выше, чем пассивной примеси (см, например, [4-8, 11]).

3. Корреляция скорости несущей среды вдоль траектории частицы

Корреляция флуктуаций скорости вдоль траектории частицы записывается как

Ч[р)(*'-0 = | ёуСр (у, 5'-(у, 5'-5") . (12)

Здесь функция плотности вероятности перехода частицы на расстояние у за время

5 ' - 5 " Ср (у, 5 ' - 5 ") = (8(У -[X (5 ')- X (5 ")])) .

При записи выражения (12) привлекается гипотеза о слабой коррелированности траектории инерционной частицы (переменные Лагранжа) и флуктуации скорости среды (переменные Эйлера). В литературе, посвященной турбулентности, эта гипотеза была высказана Коррсином [17]. В формуле (12) переходим к спектральному представлению ^я(к, 5 ) корреляции Эйлера

(у, ^)! | (к, ^) ёк , щ (к, «)=Г еЧку^я (у, 5) ёу . (13)

( 2л)

Для спектра ^я(к, 5) выполняется условие нормировки —|^(к ,0) ёк = 1.

В результате подстановки разложения (13) в выражение (12) с учетом уравнения движения (1) получаем формулу для корреляции скорости несущей среды на траектории частицы

^Р)( в' — = Ь я (к, в' — в") ехр [—1к • W (в' — У)]^ ехр |—1к•{у ^ ёк .

Сомножитель в угловых скобках это - характеристический функционал случайных флуктуаций скорости частицы и учитывает смещение частицы внутри энергоемкого вихря. Флуктуации скорости несущей среды удовлетворительно описываются случайным полем Гаусса [8-10]. Случайная скорость частиц также процесс Гаусса, характеристический функционал имеет вид (см., например, [18])

|ехр|—1к • {уф^ = ехр|—^|у. у (^))| = ехр|— к-А( (в' — в")| .

С учетом спектрального разложения Корреляции Лагранжа частиц (4) записываем формулу для корреляции скорости несущей среды вдоль траектории частицы

(в ) 1У я (к, в ) ехр (—1к • Ws — -^ ад фР Рш) ^^^^ ёш

(2л) 2л ш

ёк . (14)

Видно, что флуктуации скорости среды вдоль траектории частицы зависят от корреляции Эйлера, осредненного скольжения и случайного смещения частицы внутри энергоемкого вихря. Осредненная скорость и блуждания частицы приводят к ослаблению корреляции скорости среды вдоль ее траектории. Из формулы (14) следует, что для корректного описания осредненного скольжения и случайного смещения частиц необходим учет внутренней пространственной микроструктуры флуктуаций скорости

среды. Для однородного поля флуктуаций скорости среды уя(к,в) = (2л)3 5(к)НЯ(в)

корреляция вдоль траектории частицы не зависит ни от осредненного скольжения, ни от инерции частиц. В этом приближении справедлива теорема Чена.

Уравнения (5) и (14) образуют замкнутую систему функциональных уравнений для расчета спектров Лагранжа частицы и флуктуаций скорости среды вдоль ее траектории. Метод приближенного решения системы функциональных уравнений заключается в следующем. Для заданного спектра Эйлера рассчитывается спектр корреляции скорости среды вдоль траектории частицы (14). По формуле (8) находится интегральный временной

масштаб флуктуаций скорости среды на траектории частицы Т р) . Корреляция флуктуаций скорости среды вдоль траектории частицы аппроксимируется в виде экспоненциальной зависимости (10). Далее по спектральным разложениям определяются все параметры хаотического движения частиц.

В экспоненте формулы (14) дисперсию случайного смещения частицы внутри энергоемкого вихря аппроксимируем в баллистическом приближении

.2/4 V/ Г (р\{ \1 -^ (ш5 К / 2\ 2 А2 (5) = — |фА (ш)-V2)s2 .

к * ш * '

—Г

В этом случае корреляция флуктуаций скорости несущей среды на траектории частицы принимает вид

^^ ) = (2^ ^ (к' 5 ) ехр {—1к ■ Ws — 1} ак . (15)

4. Аппроксимация Кармана спектра Эйлера

Трехмерный спектр развитой турбулентности в области энергоемких вихрей и инерционного переноса энергии моделируется формулой Кармана (см., например, [19])

/. \ 2к2 0 /, ч „ /, ч С„ к4

1 + (к/кЕ )2

„ 2ш2

е к

Шк

Здесь Се - нормировочная константа спектра; кЕ - масштаб в пространстве волновых чисел, который будет определен в дальнейшем; частота шк соответствует модели инерционного переноса энергии по спектру шк = 0в1зк; Q - константа порядка единицы.

Значение масштаба волновых чисел к определяется из условия совпадения асимптотики спектра Кармана для больших волновых чисел к □ кЕ и спектра Колмогорова для области инерционного переноса энергии по спектру кя = (^К/Ся)32 (г/Е32) (8 - турбулентная диссипация; Е = (3/2и- турбулентная энергия; СК «1.67 - константа Колмогорова). Временной интегральный масштаб спектра равен ТЕ = аЕЕ18 . Константы , СЕ, Q рассчитываются на основе аппроксимации Кармана.

С учетом формулы (15) и аппроксимации Кармана записывается выражение для флуктуаций скорости несущей среды на траектории частицы

^) = }-^Ь-ехрI—1к■ Ws — ^ ]ёк , Ок =Ш^ 1 + к2(V2)/Ш2 .

4 к к 5

[1 + (к/кЕ )2

5 2О

2 J

2

Ш

В соответствии с основной идеей моделирования по корреляции флуктуаций

скорости несущей среды на траектории частицы определяется ее спектр у1^ (ю).

Временной макромасштаб флуктуаций скорости среды на траектории частицы оценивается как

V1+х Е/

Здесь у = - параметр, описывающий эффект пересечения траекторий в

результате осредненного скольжения частицы, у* = ау/+ %2Е/ - модернизированный параметр скольжения, параметр %Е «1 вычисляется по заданному спектру, а значение параметра а задается порядка единицы.

Для безынерционных частиц т = 0 в отсутствии осредненной скорости скольжения у = 0 из формулы (16) следует оценка для интегрального временного масштаба корреляции Лагранжа частиц пассивной примеси

Т

т° — Е

1ь

л/1+хЁ '

Интегральный временной масштаб корреляции Лагранжа пассивной примеси всегда меньше, чем интегральный временной масштаб корреляции Эйлера. Это объясняется разрушением корреляции микрочастицы при ее случайном блуждании внутри энергоемких флуктуаций скорости среды. Определяем параметр инерции частиц -критерий Стокса = тр /7\ . Для инерционных частиц □ 1 без массовых сил у = 0

функция отклика / ^ 1 и интегральный временной масштаб флуктуаций скорости среды на траектории частиц стремится к интегральному временному масштабу корреляции Эйлера Т[р] >Т°Ь.

Отношение коэффициентов турбулентной диффузии инерционной тяжелой примеси и пассивного скаляра имеет вид

■( р) I 1 1 ГШ*Л

Бр)_ I1+хЕ /* 1 _егГ

42

б р+хЕ/Л 2 у*

Для инерционных частиц 1 в отсутствии массовых сил Ж = О коэффициент

стационарной турбулентной диффузии частиц становится выше, чем пассивной примеси + > 1 • Для безынерционных частиц 8^ □ 1 при существенном скоростном скольжении у □ 1 коэффициент турбулентной диффузии частиц снижается

Бр)/БП (1еу)"1.

5. Результаты расчетов

Расчеты проведены для структурного параметра %Е = 1, что соответствует отношению интегральных временных масштабов Лагранжа пассивной примеси и Эйлера Т£°/Тя ~ 0.7 . Это значение близко к данным прямого численного исследования [6].

Рис. 1 иллюстрирует тенденцию роста интегрального временного масштаба Лагранжа с увеличением параметра инерционности частиц. С ростом коэффициента динамической релаксации частиц увеличивается интегральный временной масштаб флуктуаций скорости несущей следы вдоль траектории частицы (см. рис. 2). Для частиц большой инерции этот интегральный временной масштаб стремится к интегральному временному масштабу одноточечной корреляции Эйлера. Для малоинерционных частиц 8^ □ 1 временной интегральный масштаб флуктуаций скорости вдоль траектории

частицы переходит в масштаб Лагранжа пассивной примеси.

Увеличение инерции частиц приводит к снижению дисперсии флуктуаций скорости частиц (рис. 3). В то же время увеличение инерционности примеси приводит к более медленному затуханию корреляции Лагранжа (рис. 4). Из рис. 4 также следует корректность экспоненциальной аппроксимации (10) флуктуаций скорости среды вдоль траектории частицы.

0.0-'-1-1-

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Рис. 1. Зависимость интегрального временного масштаба Лагранжа частиц от параметра инерции: линии - расчет; точки - результаты из работы [6].

ь

1.4

1.3

1.2

1.1

1.0

\ N \ \

\ \ \ 4 □ \

□ \ \ ° \ 4 П \ \ °ч 4

х \ ............Тг.'.1 ш

10"2 10"1 10° 101 ^о /

ТьПр

Рис. 2. Влияние времени релаксации частицы на временной интегральный масштаб корреляции скорости несущей фазы вдоль траектории частицы. Сплошная кривая - расчет, штриховая кривая [7], точки - данные

[10].

Рис. 3. Влияние инерции частиц на интенсивность хаотического движения дисперсной примеси. Линия -

расчет, точки - данные из работы [6].

Рис. 4. Корреляция Лагранжа частиц. Сплошные кривые - расчет по формуле (11), штриховые кривые -

данные из работы [6]: 1 - = 0; 2 - 1; 3 - 2.5.

На рис. 5 показано влияние инерции частиц на коэффициент турбулентной диффузии дисперсной примеси. Видно, что коэффициент турбулентной диффузии инерционных частиц выше, чем пассивной примеси.

С физической точки зрения этот эффект объясняется следующим образом.

Среднеквадратичная скорость частицы равна v = ^(у2) = ^три ■ За счет инерции длина коррелированного движения частицы порядка I « vГ•p . Коэффициент диффузии примеси оценивается как «I V. Для инерционных частиц □ 1, среднеквадратичная

скорость частицы у« иД^Б^", масштаб Лагранжа Г^-1 « Т , масштаб пространственной корреляции 1р « иУ]^ , коэффициент диффузии Пр « ТЕи > П = Т[и .

Рис. 5. Влияние инерции частиц на коэффициент турбулентной диффузии частиц. Подписи как на рис. 2.

0(Р)

о 0-1-1-1-'—

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Рис. 6. Влияние осредненного скольжения частиц на коэффициент турбулентной диффузии для спектра Кармана для структурного параметра %Е = 1. Штриховая кривая при = 0 , сплошные кривые: 1 - С = 1

; 2 - 1.3; 3 - 1.7.

Рисунок 6 иллюстрирует влияние инерции и осредненного скоростного скольжения на коэффициент турбулентной диффузии частиц. Видно, что осредненное скольжение существенно понижает значение коэффициента турбулентной диффузии примеси. Это

объясняется уменьшением времени контакта частиц с энергоемкими флуктуациями несущей среды. Для малых значений параметра у из Рис. 6 следует, что коэффициент диффузии инерционной примеси выше, чем пассивной. Этот эффект объясняется различием в интегральных временных масштабах Лагранжа и Эйлера. На рис. 6 показано также влияние относительного скольжения фаз на коэффициент турбулентной диффузии при различных значениях параметра а.

Заключение

Анализ параметров хаотического движения дисперсной примеси в результате вовлечения частиц в турбулентность проведен в рамках двух гипотез. Во-первых, предполагается слабая корреляция нелокальных флуктуаций скорости среды в переменных Эйлера и случайной траектории частицы в переменных Лагранжа. Во-вторых, предполагается, что флуктуации скорости инерционных частиц являются случайным процессом Гаусса.

В рамках этих гипотез построена замкнутая система функциональных уравнений для расчета связи между спектрами корреляций Лагранжа частиц и корреляции Эйлера. Получена замкнутая система алгебраических уравнений для расчета временных интегральных масштабов Лагранжа и корреляции скорости среды на траектории частицы. Представлены формулы для расчета дисперсии флуктуаций скорости частиц и коэффициента турбулентной диффузии дисперсной примеси.

Исследовано влияние инерции частиц, скорости осредненного скольжения и микроструктуры флуктуаций скорости среды на параметры хаотического движения примеси. Показано, что в отсутствии массовых сил коэффициент стационарной диффузии инерционных частиц всегда выше, чем коэффициент диффузии безынерционной примеси.

Работа поддержана грантом РФФИ 14-08-00970.

Список литературы

1. Зайчик Л.И., Алипченков В.М. Статистические модели движения частиц в турбулентной жидкости. М.: Физматлит, 2007. 312 с.

2. Терехов В.И., Пахомов М.А. Тепломассоперенос и гидродинамика в газокапельных потоках. Новосибирск: НГТУ, 2008. 284 с.

3. Фортов В.Е., Храпак А.Г., Храпак С.А., Молотков В.И., Петров О.Ф. Пылевая плазма // Успехи физических наук. 2004. Т. 174, № 5. С. 495-544. DOI: 10.3367/UFNr.0174.200405b.0495

4. Yeh F., Lei U. On the motion of small particles in a homogeneous isotropic turbulent flow // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics. 1991. Vol. 3, iss. 11. P. 2571-2586. DOI: 10.1063/1.858198

5. Reynolds A.M., Cohen J.E. Stochastic simulation of heavy-particle trajectories in turbulent flows // Physics of Fluids. 2002. Vol.14, iss. 11. P. 342-351. DOI: 10.1063/1.1426392

6. Wetchagaruna S., Riley J.J. Dispersion and temperature statistics of inertial particles in isotropic turbulence // Physics of Fluids. 2010. Vol. 22, iss. 6. Art. no. 063301. DOI: 10.1063/1.3392772

7. Deutsch E., Simonin O. Large eddy simulation applied to the modelling of particulate transport coefficients in turbulent two-phase flows // In: Proc. 8th Symp. on Turbulent Shear Flows (Munich. Germany, Sept. 9-11, 1991). Vol. 1. University Park, PA, Pennsylvania State University, 1991. P. 10-1-1 - 10-1-6.

8. Squires K.D., Eaton J.K. Measurements of particle dispersion obtained from direct numerical simulations of isotropic turbulence // Journal of Fluid Mechanics. 1991. Vol. 226. P. 135. DOI: 10.1017/S0022112091002276

9. Minier J.-P., Peirano E. The PDF approach to turbulent polydispersed two-phase flows // Physics Reports. 2001. Vol. 352, iss. 1-3. P. 1-214. DOI: 10.1016/S0370-1573(01)00011-4

10. Wang L.-P., Stock D.E. Dispersion of heavy particles in turbulent motion // Journal of The Atmospheric Sciences. 1993. Vol. 50, no. 13. P. 1897-1913. DOI: 10.1175/1520-0469a993)050<1897:DQHPBT>2.0.TO;2

11. Derevich I.V. Influence of internal turbulent structure on intensity of particle velocity and temperature fluctuations of particles // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2001. Vol. 44, no. 23. P. 4505-4523. DOI: 10.1016/S0017-9310(01)00096-5

12. Yudine M.I. Physical Considerations on Heavy-particle Diffusion // Advances in Geophysics. Vol. 6 / ed. by H.E. Landsberg, J. Van Mieghem. Academic Press, Inc., New York, 1959. P. 185-191.

13. Csanady G.T. Turbulent Diffusion of Heavy Particles in the Atmosphere // Journal of The Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 3. P. 201-208. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0201:TDOHPI>2.0.CO;2

14. Tchen C.M. Mean value and correlation problems connected with the motion of small particles suspended in a turbulent fluid. Ph.D. Thesis. Delft University, The Hague, 1947.

15. Gouesbet G., Berlemont A., Picart A. Dispersion of discrete particles by continuous turbulent motions: extensive discussion of the Tchen's theory, using a two parameter family of Lagrangian correlation functions // Physics of Fluids. 1984. Vol. 27. P. 827-835. DOI: 10.1063/1.864711

16. Taylor G.I. Diffusion by continuous movements // Proceedings of The London Mathematical Society. 1922. Vol. s2-20, no. 1. P. 196-212. DOI: 10.1112/plms/s2-20.1.196

17. Corrsin S., Lumley J. On the equation of motion for a particle in Turbulent Fluid // Flow Turbulence and Combustion. 1956. Vol. 6, no. 2. P.114-116. DOI: 10.1007/BF03185030

18. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках: пер. с англ. М.: Мир. 1986. 527 с.

19. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. В 2 ч. Ч. 2. Механика турбулентности. М.: Наука, 1967. 720 с.

Mathematics and Mathematical Madelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 02, pp. 50-68.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0776054

Mathematics & Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Effect of Turbulence Internal Structure on Diffusion of Heavy Inertial Particles

Received: Revised:

11.03.2015 26.03.2015

I.V. Derevich1*, Fokina A.Iu.J

Dere^'ichlaoriSbmstuju bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: turbulence, dispersed flow, turbulence spectra, particles inertia, Lagrange correlation,

Euler correlation, von Karman turbulence spectrum

Based on the spectral expansion of Euler correlation of the carrier medium the a closed system of functional equations for the Lagrange spectra of heavy inertial particles and the velocity fluctuations of the carrier medium on the particle trajectory have been obtained. To split the fourth moments the approximation of quasinormality and velocity fluctuations of particles is performed by a random Gaussian process. The approximate self-consistent method is proposed for solving the resulting system of functional equations. The influence of the particle inertia, the velocity of the averaged slip and microstructure of velocity fluctuations of the medium on the parameters of the chaotic motion of an impurity has been studied. It is shown that the difference in integral time scales of Eulerian and Lagrangian correlations is associated with the spatial microstructure of velocity fluctuations of the medium. It is established that in the absence of mass forces, the coefficient of the stationary diffusion of inertial particles is always greater than the diffusion coefficient of inertialess impurity. The dependence of the turbulent diffusion coefficient of particles impurity on the structural parameter of turbulence has been illustrated. The spectrum of Euler correlations of medium velocity fluctuations is modeled by Karman distributions. The influence of the particle inertia, the velocity of the averaged slip and microstructure of velocity fluctuations of the medium on the parameters of the chaotic motion of an impurity has been studied. It is shown that the difference in integral time scales of Eulerian and Lagrangian correlations is associated with the spatial microstructure of velocity fluctuations of the medium. It is established that in the absence of mass forces, the coefficient of the stationary diffusion of inertial particles is always larger than the diffusion coefficient of inertialess impurity. The dependence of the turbulent diffusion coefficient of particles impurity on the structural parameter of turbulence has been illustrated.

References

1. Zaichik L.I., Alipchenkov V.M. Statisticheskie modeli dvizheniya chastits v turbulentnoi zhidkosti [Statistical Models of Particles Motion in Turbulent Liquid]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2007. 312 p. (in Russian).

2. Terekhov V.I., Pakhomov M.A. Teplomassoperenos i gidrodinamika v gazokapel'nykh potokakh [Heat and Mass Transfer and Hydrodynamics in Gas-Drop Flows]. Novosibirsk, NSTU Publ., 2008. 284 p. (in Russian).

3. Fortov V.E., Khrapak A.G., Khrapak S.A., Molotkov V.I., Petrov O.F. Dusty plasmas. Uspekhifizicheskikh nauk, 2004, vol. 174, no. 5, pp. 495-544. DOI: 10.3367/UFNr.0174.200405b.0495 (English version of journal: Physics-Uspekhi, 2004, vol. 47, pp. 447-492. DOI: 10.1070/PU2004v047n05ABEH001689 )

4. Yeh F., Lei U. On the motion of small particles in a homogeneous isotropic turbulent flow. Physics of Fluids A: Fluid Dynamics, 1991, vol. 3, iss. 11, pp. 2571-2586. DOI: 10.1063/1.858198

5. Reynolds A.M., Cohen J.E. Stochastic simulation of heavy-particle trajectories in turbulent flows. Physics of Fluids, 2002, vol.14, iss. 11, pp. 342-351. DOI: 10.1063/1.1426392

6. Wetchagaruna S., Riley J.J. Dispersion and temperature statistics of inertial particles in isotropic turbulence. Physics of Fluids, 2010, vol. 22, iss. 6, art. no. 063301. DOI: 10.1063/1.3392772

7. Deutsch E., Simonin O. Large eddy simulation applied to the modelling of particulate transport coefficients in turbulent two-phase flows. In: Proc. 8th Symp. on Turbulent Shear Flows, Munich. Germany, Sept. 9-11, 1991. Vol. 1. University Park, PA, Pennsylvania State University, 1991, pp. 10-1-1 - 10-1-6.

8. Squires K.D., Eaton J.K. Measurements of particle dispersion obtained from direct numerical simulations of isotropic turbulence. Journal of Fluid Mechanics, 1991, vol. 226, pp. 135. DOI: 10.1017/S0022112091002276

9. Minier J.-P., Peirano E. The PDF approach to turbulent polydispersed two-phase flows. Physics Reports, 2001, vol. 352, iss. 1-3, pp. 1-214. DOI: 10.1016/S0370-1573(01)00011-4

10. Wang L.-P., Stock D.E. Dispersion of heavy particles in turbulent motion. Journal of The Atmospheric Sciences, 1993, vol. 50, no. 13, pp. 1897-1913. DOI: 10.1175/1520-Q469(1993)050<1897:DOHPBT>2.Q.CO;2

11. Derevich I.V. Influence of internal turbulent structure on intensity of particle velocity and temperature fluctuations of particles. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2001, vol. 44, no. 23, pp. 4505-4523. DOI: 10.1016/S0017-9310(01)00096-5

12. Yudine M.I. Physical Considerations on Heavy-particle Diffusion. In: Landsberg H.E., Van Mieghem J., eds. Advances in Geophysics. Vol. 6. Mieghem. Academic Press, Inc., New York, 1959, pp. 185-191.

13. Csanady G.T. Turbulent Diffusion of Heavy Particles in the Atmosphere. Journal of The Atmospheric Sciences, 1963, vol. 20, no. 3, pp. 201-208. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0201:TDOHPI>2.0.CO;2

14. Tchen C.M. Mean value and correlation problems connected with the motion of small particles suspended in a turbulent fluid. Ph.D. Thesis. Delft University, The Hague, 1947.

15. Gouesbet G., Berlemont A., Picart A. Dispersion of discrete particles by continuous turbulent motions: extensive discussion of the Tchen's theory, using a two parameter family of Lagrangian correlation functions. Physics of Fluids, 1984, vol. 27, pp. 827-835. DOI: 10.1063/1.864711

16. Taylor G.I. Diffusion by continuous movements. Proceedings of The London Mathematical Society, 1922, vol. s2-20, no. 1, pp. 196-212. DOI: 10.1112/plms/s2-20.1.196

17. Corrsin S., Lumley J. On the equation of motion for a particle in Turbulent Fluid. Flow Turbulence and Combustion, 1956, vol. 6, no. 2, pp.114-116. DOI: 10.1007/BF03185030

18. Gardiner C.W. Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. 2nd ed. Springer-Verlag, 1985. 442 p. (Russ. ed.: Gardiner C.W. Stokhasticheskie metody v estestvennykh naukakh. Moscow, Mir Publ., 1986. 528 p.).