CC BY
116
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
УДК 532.5:536.2
О.В. Матвиенко*, В.М. Ушаков**, Е.В. Евтюшкип*
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА ДИСПЕРСНОЙ ФАЗЫ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
•Томский государственный архитектурно-строительный университет ** Томский государственный педагогический университет
Введение
Для описания свойств многофазных потоков в настоящее время используют два метода, основанных на подходе Лагранжа и Эйлера [1].
В рамках подхода Лагранжа выписываются уравнения движения отдельных частиц в форме второго закона Ньютона, в правых частях которых стоят силы, действующие на частицу в потоке. Несмотря на кажущуюся простоту описания движения частиц в рамках подхода Лагранжа, этот метод обладает по крайней мере двумя существенными недостатками. Первый из них связан с вычислительными трудностями, связанными с необходимостью решать огромное число уравнений движения для совокупности частиц. Так, для описания пространственного движения Династии требуется решить 6Ыуравнений. Проблема становится еще более сложной, если возникает необходимость моделирования движения частиц с учетом их взаимодействия. Вторая проблема связана с трудностью учета стохастического характера движения частиц в потоке с турбулентностью. Используемые в настоящее время подходы, основанные на использовании метода Монте-Карло, требуют проведения целой серии расчетов так, чтобы результат их осреднения имел объективный характер.
Эффекты взаимодействия фаз, стохастический характер движения большой совокупности частиц могут быть учтены в рамках подхода Эйлера, в соответствие с которым мног офазная среда рассматривается как совокупность многоскоростных континуумов (несущей среды и различных фракций частиц). Для каждого из этих континуумов записываются уравнения движения в форме Эйлера, а также уравнения сохранения массы каждого из рассматриваемых континуумов.
В случае частиц с малой инерционностью этот подход может быть заменен моделями, основанными на концепции дрейфа дисперсной фазы относительно несущей фракции [2]. При этом скорость ос-редненного за период турбулентной пульсации движения дисперсной фазы определяется в предположении малости инерционных членов, или динами-
ческого баланса сил, действующих на частицы.
Таким образом, нет необходимости решать полные дифференциальные уравнения движения, а достаточно рассмотреть уравнение динамичсскої о баланса сил.
Физическая постановка
В случае гравитационного оседания частиц уравнение динамического баланса сил может быть представлено следующим образом:
|ссс/;,|уг|уг+(р/,-р)і=о. (і)
В уравнении (1)£ - ускорение свободного падения; с1р - диаметр дисперсной фазы; р, р,, - плотность несущей и дисперсной фаз; V, = V - ур - скорость движения дисперсной фазы относительно несущей; V - абсолютная скорость дисперсной фазы; V - скорость несущей фазы; коэффициент сопротивления Са является функцией относительного числа Рейнольдса
И
где |д - динамическая вязкость.
Определение массовой концентрации частиц осуществляется путем решения уравнения сохранения массы каждой фракции частиц и несущей среды.
Уравнение сохранения массы дисперсной среды имеет вид уравнения неразрывности:
дРрМр +(1;у(р м V ) = 0, (2)
С1
где Мр - массовая концентрация.
Главная отличительная особенность турбулентных течений заключается в том, что все характеристики потока пульсируют случайным образом на фоне своих средних значений. Поэтому для математического исследования турбулентного течения целесообразно его мгновенные характеристики представить как сумму осредпенного и пульсационного движения.
Разделяя мгновенную составляющую скорости и концентрации на осредненную и пульсационпую со-
ставляющие, ур = (ур) + , Мр = (Мр) + М'р и ус-
редняя уравнение (2) по Рейнольдсу [3], получим уравнение турбулентной диффузии частиц:
^Ц^) + сЦр ,(м,)(ур)) =
= -сИу(Р„(л/;)(у;)). (3)
Таким образом, возникает задача определения тур-булентного потока частиц -рр (ч'рМр\ .
Основные предположения
Для определения турбулентного диффузионного потока дисперсной фазы воспользуемся следующими предположениями:
- частицы дисперсной фазы предполагаются сферическими, взаимодействие между час тицами не учитывается;
- период турбулентной пульсации может быть оценен как отношение турбулентной кинетической энергии к к скорости ее диссипации
5/ = к / е; е: (4)
- величина пульсации скорости несущей среды может быть моделирована следующим образом:
V =
V' 0.,А
2
-V
51
<г,
(5)
- в начале пульсации частица движется вместе с основным потоком, так что скорость ее движения относительно потока равна нулю:
< = 0: Ур = у. (6)
В рамках этих предположений уравнение движения одиночной частицы можно представить в следующем виде:
(7)
Для автомодельной (или ньютоновской) области характерно практически неизменное значение коэффициента сопротивления, который полагают равным [4]
С0 = 0.44
Наряду с приведенными выше формулами, описывающими сопротивление в каждой области, известны зависимости, применимые в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Для численного моделирования в настоящей работе использовалась следующая зависимость для коэффициента сопротивления [6]:
С 24 | 3.73 4.83-10
П Ие + ч/Йй; 1 + 3-10 61*е
+ 0.49
Анализ результатов
Рассмотрим сначала турбулентный перенос дисперсной фазы вследствие турбулентных пульсаций, вызывающих движение частиц, описываемое законом сопротивления Стокса:
Г0=3яц^(у-ур). (8)
Интегрирование уравнения движения (7) позволяет оценить изменение массы частиц в элементарном объеме за период пульсации следующим образом:
М'р=-уу-&ай ((МР)), (9)
где ч -фактор, отражающий инерционность частиц:
= 1_2А
У 2а Ь
Г о - - ( г > “
3-схр 1 - ехр ь
-а— </ 43 а 1
_ V р _ _ V У / -
,(Ю)
Зависимость С0 (Ие), как известно, имеет достаточно сложный характер. В области Яе < 1 обтекание происходит в стоксовском режиме и характеризуется зависимостью [4] Сд = 24/Яе.
Когда обтекание сферической частицы характеризуется значениями числа Рейнольдса Ке > 1, следует выделять переходную 1 < Ие < Ю3 и автомодельную области 10' < Яе < 2 • 10\
Для определения сопротивления в переходной области можно использовать формулу Клячко [5]
С0 = 24/Ие + 4/х/Йё.
где а - 18 — 1*е, - безразмерный параметр, обрат-Р, ^.3/2
ный времени релаксации частиц;/, =--------масштаб
р Ты £
турбулентности; Не. --------- -турбулентное число
И
Рейнольдса.
В случае ньютоновского режима обтекания сила сопротивления определяется зависимостью
(11)
Анализ движения частиц в результате действия ньютоновской силы сопротивления позволяет определить инерционность частиц как
(¿А ГО Г <Ог1
-Є- 1п 1 + 2(3 + 2 Р-Г
и; к ^ ,
(12)
4 о
где (3 = ——С,,1 - безразмерный параметр, характе-
Зр„
ризующий путь релаксации.
В переходной области получение аналитического решения невозможно, поэтому для определения фактора инерционности частиц следует воспользоваться численными методами. Необходимо отметить, что при использовании аппроксимаций зависимости С0(Ке), описывающих движение частиц в различных режимах, можно проводить расчеты в широком диапазоне чисел Рейнольдса, а также моделировать смену режима обтекания частицы вследствие ее ускорения или торможения. При этом результаты численного моделирования позволяют получить данные об инерционности частиц в широком диапазоне параметров.
Таким образом, турбулентный диффузионный поток частиц может моделироваться следующим выражением:
-р„ (М'рур) = -рру® Ур)ёгас!(Мр). (13)
С учетом гипотезы Буссинсска [3] последнее выражение в индексном виде может быть представлено как
-р,(а^)=-7-'р
Р/
дЫ, аЫ
+ и.
дх, дх,
!Ю
дх,
(И)
~{м'р У') = -
. а(^) дхI
(15)
ОХ-
дХ;
где й,- коэффициент турбулентной диффузии несущей фазы.
Сравнение (12) с (13) позволяет определить коэффициент турбулентной диффузии дисперсной фазы:
ч».
Р,
(16)
Турбулентный диффузионный поток газовой примеси может быть выражен как
Поскольку коэффициент диффузии Ор1 зависит от поля турбулентности, то он изменяется от точки к точке (в отличие от простейшей гипотезы, использованной в работах [7 - 8]).
Таким образом, уравнение сохранения массы дисперсной среды в случае турбулентного режима течения после осреднения по Рейнольдсу приобретает вид уравнения диффузии и может быть записано в виде
С^^1 + Шу(р,(л//,>(ур)) =
= -<Ну(рд£>,8гас1(М')). О7)
Уравнение (17) описывает конвективный перенос
0,50
0,1 1 10 100 1000 10000 Рис. 1. Фактор инерционности частиц, определенный с использованием формул (10,12): 1-3 - стоксовский режим, 4 - ньютоновский;
1- 11с = 0.1, 2- Ие = 0.5, 3- Ие = 1
1,00
0,75
0,50
0,25
1000
10000
Рис. 2. Фактор инерционности частиц (численный расчет):
1 - <1 /1=10'5, 2 - с1 Л^ЮЛ 3 - <1/1=Ю3. 4 - суШО4,5 - <У1«10\6 - <1/1=1, 7 - <1/1=10
р 1 р 'р 'Р 'р Р Р
частиц осредненным потоком и стохастическое движение частиц вследствие турбулептьгх пульсаций (турбулентную диффузию).
Рассмотрим характеристики турбулентного диффузионного переноса частиц в сдвиговом потоке. Предполагается, что р = 1000 кг/м5, рр =2600 кг/м3, что соотвествует характерстикам воднопссчаной суспензии. Отметим, что знание характеристик движении частиц в подобного рода суспензии позволяет, в частности, существенно оптимизировать процессы сепарации в гидроциклонных устройствах [2].
Анализ формул (10, 12) показывает, что в стоксов-ском режиме коэффициент турбулентной диффузии определяется отношением размера частицы к размеру энергосодержащего вихря , а также интенсивностью пульсаций несущей среды, характеризуемой турбулентным числом Рейнольдса Ке,. В ньютоновском режиме диффузия частиц определяется только их относительными размерами.
Коэффициент турбулентной диффузии частиц для мелких частиц достаточно высок, и частицы переносятся турбулентным потоком так же, как и жидкость (рис. 1). Однако с увеличением размера частиц подвижность частиц резко ослабевает. Таким образом, крупные частицы не могут диффундировать. несмотря на высокий уровень турбулентности.
Как уже отмечалось, аналитическое решение задачи о турбулентной диффузии частиц в переходной области невозможно, поэтому исследование характеристик переноса было выполнено численно с использованием закона сопротивления [6]. Численное моделирование позволило также исследовать переход от одного режима сопротивления к другому. Результаты численных расчетов показывают, что малые турбулентные пульсации приводят в движение лишь мелкие частицы, однако с увеличением Ке, в движение приходят все более крупные частицы (рис. 2).
Подвижность частиц определяйся их размерами. Если размеры частиц превышают размеры энергосодержащих вихрей с1р> Ь, то частицы не переносятся потоком.
Сравнение полученных формул, а также результатов численного моделирования с исследованиями седиментации частиц в жидкости [9] позволяет сделать вывод, что предложенные формулы дают достаточно хорошие результаты в сравнении с экспериментальными данными. Таким образом, предложенный метод достаточно реалистически описывает турбулентный перенос дисперсной примеси в многофазном потоке и может применяться для численного моделирования многофазных потоков.
Работа выполнена при поддержке Минпромнауки РФ (грант Президента РФ № МД-197.2003.08), а также фонда Александра фон Гумбольдта (Германия).
Литература
1. Crowe С. et al. Multiphase Flows with Droplets and Particles. CRC Press., 1998.
2. Дик И.Г. и др. Моделирование гидродинамики и сепарации в гидроциклоне II Теор. основы хим. технол. 2000. Т. 34. № 5.
3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., 1974.
4. Островский Г.М. Прикладная механика неоднородных сред. СПб., 2000.
5. Клячко Л.С. Уравнение движения пылевых частиц в пылеприемных устройствах II Отопление и вентиляция. 1934 № 4.
6. Neeße Th., Schubert H., Modellierung und verfahrenstechnische Dimensionierung der turbulenten Querstromklassierung. T. III Chem. Techn. 1975. Bd. 27. № 9.
7. Neeße Th., Schubert H Modellierung und verfahrenstechnische... T. Ill II Chem. Techn. 1976. Bd. 28. № 5.
8 Schubert H., Neesse Th. A hydrocyclone separation model in consideration of the turbulent multi-phase flow II Proc. Int. Conf on Hydrocyclones. Cambridge, 1980.
9. Ungarish M. Hydrodynamics of suspension. Springer-Verlag Berlin, 1993.
УДК 622.691
В.Л. Архипов*, В.Д. Котов**, A.C. Ткаченко*, U.C. Третьяков*, Г.Р. Шрагер***
ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОЧИХ ПРОЦЕССОВ В АВТОМАТЕ АВАРИЙНОГО ПЕРЕКРЫТИЯ ГАЗОПРОВОДОВ
* Томский государственный педагогический университет ** ООО «Томсктрансгаз»
*"* Томский государственный университет
Трубопроводы широко используются при транспортировке газов во многих типах производств - химических, нефтехимических, энергетических и др.
При аварийном вытекании в атмосферу большого объема газа может возникнуть опасность крупномасштабной катастрофы вследствие взрыва газовоздушной смеси. Утечка токсичных газов может привести к отравлению людей в производственных помещениях и на прилегающей территории. Поэтому актуальной является разрабо тка надежных быстродействующих автономных устройств, запирающих трубопровод при его аварийном разрыве, - автоматов закрытия крана (АЗК). Особенно актуальна эта проблема для магистральных газопроводов (МГ).
В настоящее время отечественной промышленностью и рядом зарубежных фирм освоен промышленный выпуск различных конструкций АЗК для МГ [1,
2]. Опыт эксплуатации данных АЗК, в частности входящих в комплектацию шаровых кранов производства Чехии, в подразделениях ООО «Томсктрансгаз», показал их низкую надежность и сложность в обслуживании и эксплуатации для условий Западной Сибири, особенно в зимний период.
В настоящей работе рассмотрена новая конструкция автономного устройства для отключения участков линейной части МГ при их разрыве - АЗК-Т [3-5].
Для конструирования опытного образца АЗК-Т необходимо знать характер изменения давления в га-
зопроводе р(() при возникновении аварийной ситуации (например разрыве газопровода). Рассмотрим модель одномерного нестационарного течения идеального газа в горизонтальной трубе с учетом трения и теплообмена с окружающей средой. 11ри этом исходная система дифференциальных уравнений имеет вид [5]
Ф+£(Н=0.
dt дх
д(ри) д ( 2\ Ум
dt дхк
д/|
*> \
Р| е + —
1 2,
ё.\
2D
Р и~ рм| е + -+—
Р 2
(1)
(2)
где р, Т, и - плотность, температура и скорость газа; Ф-коэффициент сопротивления; О - диаметр газопровода; е-удельная внутренняя энергия; а-коэффициент теплоотдачи; Тп - начальная температу ра газа, равная температуре окружающей среды.
Замыкает систему уравнений (1) - (3) уравнение состояния
р=рЯТ, (4>
где Я - газовая постоянная.
Для решения системы уравнений использовались следующие граничные условия. При*=0 ставится
