CC BY
0
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
УПРАВЛЕНИЕ, КОМПЬЮТЕРНЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ НАУКИ MANAGEMENT, COMPUTER AND INFORMATION SCIENCES
Научная статья УДК 681.3+681.5
http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2024-2-5-10
Влияние миграций при решении неоднородной минимаксной задачи островной моделью
В.Г. Кобак, В.А. Белодедов
Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия
Аннотация. Представлен способ решения неоднородной минимаксной задачи в области теории оптимизации. Эта задача, известная своей сложностью, особенно в больших размерностях, требует эффективных методов приближенного решения. Изучена эффективность островной модели как метода приближенного решения неоднородной минимаксной задачи оптимизации. Проанализированы различные виды миграций и количество островов для определения оптимальных условий применения алгоритма. Для достижения цели использована островная модель, проведен численный эксперимент с применением компьютерных ресурсов. Рассмотрено влияние различных видов миграций и количество островов на эффективность алгоритма. Основные результаты эксперимента указывают на зависимость эффективности островной модели от конкретной ситуации. Обнаружено, что эффективность различных видов миграций варьируется в зависимости от контекста и количества островов. Исследование представляет собой важный вклад в область теории оптимизации, показывая, что эффективность метода островной модели неоднородной минимаксной задачи сильно зависит от выбора конкретных параметров, таких как виды миграций и количество островов. Полученные результаты могут быть полезны для разработки более эффективных методов оптимизации в будущем.
Ключевые слова: неоднородная минимаксная задача, NP-полные задачи, генетические алгоритмы, островная модель, теория расписаний, минимаксный критерий, влияние миграций
Для цитирования: Кобак В.Г., Белодедов В.А. Влияние миграций при решении неоднородной минимаксной задачи островной моделью // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2024. № 2. С. 5-10. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2024-2-5-10
Original article
The influence of migrations when solving an inhomogeneous minimax problem with an island model
V.G. Kobak, V.A. Belodedov
Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Abstract. The article presents a method for solving a non-homogeneous minimax problem in the field of optimization theory. This problem, known for its complexity, especially in high dimensions, requires efficient methods for approximate solution. The purpose of the study was to study the effectiveness of the island model as a method for approximate solution of a non-homogeneous minimax optimization problem. In particular, different types of migrations and the number of islands were analyzed to determine the optimal conditions for using the algorithm. To achieve the goal, an island model was used, and a numerical experiment was carried out using computer resources. The study analyzed the impact of different types of migrations and the number of islands on the efficiency of the algorithm. The main results of the experiment indicate that the effectiveness of the island model depends on the specific situation. The effectiveness of different types of migrations is found to vary depending on the context and the number of islands. The study represents an important contribution to the field of optimization theory by showing that the performance of the island model method for a heterogeneous minimax problem is highly dependent on the choice of specific parameters such as migration types and the number of islands. The results obtained may be useful for developing more efficient optimization methods in the future.
© Кобак В.Г., Белодедов В.А., 2024
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
Keywords: inhomogeneous minimax problem, NP-complete problems, genetic algorithms, island model, scheduling theory, minimax criterion, influence of migrations
For citation: Kobak V.G., Belodedov V.A. The influence of migrations when solving an inhomogeneous minimax problem with an island model. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2024;(2):5-10. (In Russ.). http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2024-2-5-10
Для решения сложных NP^-полных задач в теории расписаний точные методы оказываются эффективными только при небольших размерностях задач [1]. Для более крупных задач применяются приближенные алгоритмы, которые базируются на определенных эвристических подходах [2-5]. Один из таких алгоритмов - островная модель генетических алгоритмов, направленный на решение неоднородной минимаксной задачи [6].
В контексте теории расписаний однородная минимаксная задача формулируется следующим образом. Имеется система обслуживания, включающая N независимых устройств P = {pi, p2,..., pn}. На обработку поступает конечный поток задач T = {ti, t2,..., tm}; x(ti pj), который представляет собой время обработки задачи ti устройством pj, определяемое матрицей Tx. Устройства обычно различны, задача ti может быть выполнена любым из устройств, и каждое устройство pj может обрабатывать только одну задачу одновременно. Задача заключается в определении оптимального распределения задач по устройствам без перерывов, чтобы общее время выполнения всех задач было минимальным. Критерием минимизации времени выполнения задач является минимаксный критерий, определяемый следующим образом:
f = max fj ^ min,
l<j<n '
где fj = ^ T(tipj) - время завершения ра-
x{tjPj )eT
боты процессора [7].
Теоретическая часть.
Генетические алгоритмы
В научной литературе широко распространены различные модели генетических алгоритмов (ГА), каждая из которых представляет собой уникальный подход к решению задач оптимизации. Рассмотрим шесть значимых моделей ГА:
1) модель Холанда была одной из первых в своем роде и основана на принципах естественного отбора и генетики. Она использует бинарные строки для представления индивидов в популяции, а также операторы скрещивания, мутации и отбора на основе «фитнес-функции»;
2) Давид Голдберг продолжил развитие модели Холанда, улучшив операторы скрещивания и мутации. В его модели внедрен принцип «элитизма», который помогает сохранить лучших индивидов в популяции;
3) стандартная модель генетического алгоритма (СЧС) представляет собой базовую структуру алгоритма, включающую операторы скрещивания, мутации и отбор на основе фит-нес-функции. Эта модель является основой для многих других вариаций ГА;
4) Кеннет Уитли внёс свой вклад в модель ГА через разработку различных операторов кроссовера, мутации и механизмов отбора. Его модель предполагает использование разнообразных видов скрещивания и мутации в зависимости от типа оптимизационной задачи;
5) гибридная модель ГА представляет собой комбинацию методов различных моделей ГА. Это может включать в себя сочетание ГА с другими методами оптимизации, такими как локальная оптимизация или эволюционные стратегии;
6) островная модель ГА - это специализированная модель, где популяция делится на несколько «островов» (подпопуляций), каждый из которых эволюционирует независимо. Миграции между островами позволяют избежать локальных оптимумов и стимулируют разнообразие в популяции [7, 8].
Из всех вышеперечисленных моделей наибольший интерес представляет островная модель по ряду причин:
- независимое эволюционирование островов позволяет избежать застревания в локальных оптимумах;
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
- миграции между островами стимулируют разнообразие в популяции, что полезно при решении сложных оптимизационных задач;
- островная модель легко параллелизу-ется, что позволяет ускорить процесс оптимизации, особенно на многопроцессорных или распределенных системах.
В данной статье рассмотрим именно островную модель генетических алгоритмов.
Теоретическая часть. Островная модель
Островная модель генетических алгоритмов для решения неоднородной минимаксной задачи состоит из следующих шагов.
Шаг 1: создать несколько островов с разными подпопуляциями случайно. Определить параметры генетического алгоритма - размер популяции, вероятность кроссовера и мутации, количество поколений и прочее.
Шаг 2: вычислить значение функции для каждого индивида в каждой подпопуляции.
Шаг 3: выбор родителей - с помощью турнирного отбора или рулетки выбрать родительские пары. Скрестить выбранных родителей с вероятностью кроссовера. Мутировать потомство с некоторой вероятностью. Заменить старую популяцию новой популяцией.
Шаг 4: на каждой итерации периодически запускается процесс миграции между островами. Выбираются лучшие индивиды с каждого острова. Индивиды мигрируют между островами, заменяя несколько худших индивидов на каждом острове [9].
Шаг 5: повторять шаги 3 и 4 определенное количество поколений.
Для примера возьмём матрицу, изображенную на рис. 1.
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3 Прибор 4
1 11 22 20 25
2 12 17 20 22
3 24 12 20 19
4 18 19 10 25
5 22 13 17 24
6 18 14 25 14
7 25 23 12 13
8 18 20 20 22
9 13 23 14 13
10 11 21 21 13
Рис. 1. Исходная матрица задач Fig. 1. The initial matrix of tasks
При входных параметрах, изображенных на рис. 2, алгоритм выдаёт ответ 36.
Количество выполнений программы Количество островов Количество итераций перед миграцией Вероятность миграции Способ миграции Выбор особи для миграции Количество особей в поколении Конечное число повторов особи Вероятность кроссовера (в процектад} Вероятность мутации [в процента^}
Рис. 2. Входные параметры алгоритма
Fig. 2. Algorithm input parameters
Теоретическая часть. Виды миграций
Процесс миграции имеет различные вариации, которые отличаются способом выбора островов и особей миграции.
Рассмотрим три способа выбора особи и острова для миграции в островной модели генетических алгоритмов:
1. Способ «Каждый с каждым»: каждый остров отправляет на каждый другой остров одну из своих особей. Этот метод предполагает полный обмен между всеми островами.
2. Двунаправленный обмен по кольцу: каждый остров обменивается особями с последующим в списке островом. Последний остров в списке обменивается с первым, завершая цикл миграции.
3. Случайный выбор: каждый остров случайным образом выбирает один другой остров для обмена особями.
Для определения особей для миграции существуют два способа:
1. Лучшая особь заменяет случайную особь: на каждом острове выбирается лучшая особь, которая заменяет случайно выбранную особь на другом острове.
2. Лучшая особь заменяет худшую особь: аналогично первому способу, лучшая особь на каждом острове заменяет самую слабую особь на другом острове.
Важно отметить, что использование миграций в островной модели генетических алгоритмов не является обязательным. В этом случае острова развиваются независимо друг от друга, работая параллельно [10].
В работе показано, что использование различных комбинаций миграций и количества островов может приводить как к улучшению результата, так и к его ухудшению. При этом
з ;
30
Случайный обмен
Элитная особь заменяет худш ^
150
150
30
30
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
аналитически невозможно предсказать поведение результата при использовании того или иного способа миграции, тем более при изменении количества островов. Из-за этого был поставлен большой вычислительный эксперимент.
Для проведения вычислительного эксперимента использовался компьютер с операционной системой Windows 10 Pro x64. Аппаратное обеспечение включало шестиядерный процессор AMD Ryzen 5 2600, 16 гигабайт оперативной памяти типа DDR4 и накопитель SSD формата M.2. Экспериментальные вычисления выполнялись с использованием программного обеспече-
ния, разработанного на языке программирования Python с использованием среды разработки
PyCharm.
Результаты экспериментальных исследований
В рамках эксперимента сравнивалась эффективность островной модели в зависимости от количества островов. Обобщённые результаты эксперимента для 2-6 островов 50 различных матриц заданий для 3 приборов и 77 заданий, содержащих значения в диапазоне от 15 до 30, представлены в табл. 1.
Таблица 1 Table 1
Результаты вычислительного эксперимента Results of computational experiment
Результаты Каждый с каждым, лучший со случайным Каждый с каждым, лучший с худшим По кольцу, лучший со случайным По кольцу, лучший с худшим Случайные, лучший со случайным Случайные, лучший с худшим Среднее значение без миграций
2 острова
Хуже 22 18 15 16 31 29 516,02
Так же 12 7 7 8 6 6
Лучше 16 25 28 26 13 15
3 острова
Хуже 14 13 7 16 11 3 516,16
Так же 8 8 4 5 11 10
Лучше 28 29 39 29 28 37
4 острова
Хуже 25 28 13 16 13 8 515,02
Так же 12 9 8 9 6 11
Лучше 13 13 29 25 31 31
5 островов
Хуже 27 28 16 21 10 13 514,5
Так же 13 7 4 12 10 8
Лучше 10 15 30 17 30 29
6 островов
Хуже 49 28 21 18 12 11 514,12
Так же 0 13 10 8 10 9
Лучше 1 9 19 24 28 30
Заключение
В результате эксперимента можно сделать вывод, что увеличение количества островов приводит к улучшению среднего результата расчётов. При этом разные виды миграций показывают себя по-разному при различном количестве островов. Миграция «Каждый с каждым, лучший со случайным» работает хорошо только при трёх островах, в остальных случаях результат у большинства матриц ухудшается; миграции
«Каждый с каждым, лучший с худшим» и «По кольцу, лучший со случайным» ухудшают результат с увеличением количества островов; миграция «По кольцу, лучший со случайным» показала стабильное улучшение результата при работе 2-5 островов; миграции «Случайные, лучший со случайным» и «Случайные, лучший со случайным» показали стабильное улучшение результата при работе с тремя и более островами, при этом вторая в среднем работает лучше.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
Список источников
1. Алексеев О.Т. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука, 1987.
2. Алгоритмы: построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн; под ред. Л.Н. Красножан. М.: Вильямс, 2013. 1328 с.
3. Полиномиальное время // [СГУ] URL http:// rain. ifmo.ru/cat/view.php/theory/algorithm-analysis/np-co mpleteness-2004.
4. Кононов А.В. Актуальные задачи теории расписаний: вычислительная сложность и приближенные алгоритмы: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2014. 196 с.
5. Конвей Р.В., Максвелл В.Л., Миллер Л.В. Теория расписаний. М.: Наука, 1975.
6. Генетические алгоритмы или как учебник по биологии может помочь в функциональной оптимизации / Lazy Smart: [сайт]. URL: http://lazysmart.
ru/iskusstvenny-j-intellekst/geneticheskie-algoritmy-ili-kak-uchebn/
7. Плотников В.Н., Зверев В.Ю. Методы быстрого распределения алгоритмов в вычислительных системах // Техническая кибернетика. 1974. № 3.
8. Эволюционные вычисления: от простых алгоритмов до сложных оптимизаций/ Научные Ста-тьи.Ру. URL: https://nauchniestati.ru/spravka/ evolyu czionnye-vychisleniya/
9. Царегородцева Н.В., Царегородцева Н.В., КобакВ.Г. Исследование неоднородной минимаксной задачи с помощью островной модели / Cyber Leninka: [сайт]. URL: https://cyberleninka.ru/artic le/n/issle-dovanie-neodnorodnoy-minimaksnoy-zadachi-s-pom oschyu-ostrovnoy-modeli/viewer/
10. Параллельные генетические алгоритмы на основе "модели островов"/ Intitut: [сайт]. URL: https:// in-tuit.ru/studies/professional_skill_improve-ments/14221/courses/1284/lecture/24174?page=3/
References
1. Alekseev O.T. Integrated application of discrete optimization methods. Moscow: Nauka; 1987. (In Russ.)
2. Cormen T., Leiserson C., Rivest R., Stein K. Algorithms: construction and analysis; edited by L.N. Krasnozhan. Moscow: Williams; 2013. 1328 p. (In Russ.)
3. Polynomial time. Available at: http://rain.ifmo.ru/cat /view.php/theory/algorithm-analysis/np-completeness-2004.
4. Kononov A.V. Current problems in scheduling theory: computational complexity and approximate algorithms: abstract of thesis. Dr. phys. and math. sci. diss. Novosibirsk; 2014.196 p.
5. Conway R.W., Maxwell W.L., Miller L.W. Scheduling theory. Moscow: Nauka; 1975.
6. Genetic algorithms or how a biology textbook can help in functional optimization. Available at: http://la-zysmart.ru/iskusstvenny-j-intellekst/geneticheskie-algoritmy-ili-kak-uchebn/
7. Plotnikov V.N., Zverev V.Yu. Methods for fast distribution of algorithms in computer systems. Technical Cybernetics. 1974;(3). (In Russ.)
8. Evolutionary calculations: from simple algorithms to complex optimizations. Scientific Articles. Available at: https://nauchniestati.ru/spravka/evolyuczionnaye-vychisleniya/
9. Tsaregorodtseva N.V., Kobak V.G. Study of an inhomogeneous minimax problem using an island model. Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-neodnorodnoy-minimaksnoy-zadachi-s-pomoschyu-ostrovnoy-modeli/viewer/
10. Parallel genetic algorithms based on the "island model". Available at: https://intuit.ru/studies/profes-sional_skill_improvements/14221/courses/1284/lecture/24174?page=3/
Сведения об авторах
Кобак Валерий Григорьевичв - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», valera33305@mail.ru
Белодедов Виктор Александрович - студент, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», viktor.belodedoff@yandex.ru
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
Information about the authors
Valeriy G. Kobak- Dr. Sci. (Eng.), Professor, Department «Software of Computer Facilities and Automated Systems», valera33305@mail.ru
Viktor A. Belodedov - Student, Department «Software of Computer Facilities and Automated Systems», viktor.belodedoff@yandex.ru
Статья поступила в редакцию / the article was submitted 27.03.2024; одобрена после рецензирования / approved after reviewing 09.04.2024; принята к публикации / accepted for publication 10.04.2024.
