Научная статья на тему 'ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ МНОГОТОЧЕЧНОГО КРОССОВЕРА ПРИ РЕШЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ'

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ МНОГОТОЧЕЧНОГО КРОССОВЕРА ПРИ РЕШЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
54
11
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МНОГОТОЧЕЧНЫЙ КРОССОВЕР / СМЕШАННЫЙ КРОССОВЕР / ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ / МОДИФИЦИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ ГОЛДБЕРГА / МУТАЦИЯ / МИНИМАКСНАЯ ЗАДАЧА / ТЕОРИЯ РАСПИСАНИЙ / ЛУЧШАЯ ОСОБЬ / ОСОБЬ / ПОКОЛЕНИЕ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кобак Валерий Григорьевич, Поркшеян Виталий Маркосович, Жуковский Александр Георгиевич, Кузин Александр Павлович

Рассматривается проблема решения неоднородной минимаксной задачи, характерной для теории расписаний. Данная задача является NP-полной и для нее не существует точного алгоритма решения, имеющего полиномиальное время для задач большой размерности. Поэтому используются быстрые алгоритмы, которые в самом общем случае получают приближенные значения. В качестве возможного метода решения данной задачи рассматривается генетическая модель, представляющая собой модифицированную модель Голдберга. Модифицированная модель Голдберга рассматривается со смешанным кроссовером и наиболее перспективной мутацией. Так как аналитически произвести расчеты крайне затруднительно и на практике зачастую невозможно, то в данной работе был проведен вычислительный эксперимент для матриц большой размерности (больше 1000 элементов распределения). Результаты проведенного эксперимента описываются в таблицах, в которых наглядно показано сравнение эффективности работы модифицированной модели Голдберга при использовании смешанного кроссовера. Сравнение проводится на основе оценки точности полученных результатов, для матриц большой размерности, при базовых параметрах генетического алгоритма. Показывается, что применение смешанного кроссовера приводит к результатам, более приближенным к оптимальному значению, несмотря на ухудшение временных характеристик поиска решения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кобак Валерий Григорьевич, Поркшеян Виталий Маркосович, Жуковский Александр Георгиевич, Кузин Александр Павлович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

INVESTIGATION OF THE APPLICATION OF A MULTIPOINT CROSSOVER IN SOLVING AN INHOMOGENEOUS MINIMAX PROBLEM OF LARGE DIMENSION

The article deals with the problem of solving the inhomogeneous minimax problem, which is characteristic of the scheduling theory. This problem is NP-complete and there is no exact solution algorithm for it that has polynomial time for problems of large dimension. Therefore, fast algorithms are used, which in the most general case obtain approximate values. A genetic model, which is a modified Goldberg model, is considered as a possible method for solving this problem. The modified Godberg model is considered with a mixed crossover and the most promising mutation. Since it is extremely difficult to carry out calculations analytically and in practice it is often impossible, in this work a computational experiment was carried out for matrices of large dimensions (more than 1000 elements of the distribution). The results of the experiment are described in tables, which clearly show a comparison of the performance of the modified Goldberg model when using a mixed crossover. The comparison is carried out on the basis of assessing the accuracy of the results obtained, for matrices of large dimensions, with the basic parameters of the genetic algorithm. The article shows that the use of a mixed crossover leads to results that are closer to the optimal value, despite the deterioration of the time characteristics of the solution search.

Текст научной работы на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ МНОГОТОЧЕЧНОГО КРОССОВЕРА ПРИ РЕШЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ»

ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 2

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL

УДК 519.87:004 DOI: 10.17213/1560-3644-2021-2-5-9

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ МНОГОТОЧЕЧНОГО КРОССОВЕРА ПРИ РЕШЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ

БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ

© 2021 г. В.Г. Кобак, В.М. Поркшеян, А.Г. Жуковский, А.П. Кузин

Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия

INVESTIGATION OF THE APPLICATION OF A MULTIPOINT CROSSOVER IN SOLVING AN INHOMOGENEOUS MINIMAX PROBLEM OF LARGE DIMENSION

V.G. Kobak, V.M. Porksheyan, A.G. Zhukovskiy, A.P. Kuzin

Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia

Кобак Валерий Григорьевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: valera33305@mail.ru

Поркшеян Виталий Маркосович - канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра «Математика», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону. E-mail: spu-46@donstu.ru.

Жуковский Александр Георгиевич - д-р полит. наук, профессор, канд. техн. наук, доцент, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: zhykovskij@mail.ru

Кузин Александр Павлович - ст. преподаватель, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону. E-mail: alexpavkuzin@gmail.com

Kobak Valeriy G. - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department «The Software of Computer Facilities and Automated Systems», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: valera33305@mail.ru

Porksheyan Vitaliy M. - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor Department «Mathematics», Don State Technical University, Rostov-on-Don. E-mail: spu-46@donstu.ru

Zhukovskiy Alexander G. - Doctor of Political Sciences, Candidate of Technical Science, Associate Professor, Department «The Software of Computer Facilities and Automated Systems», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: zhykovskij@mail.ru

Kuzin Alexander P. - Senior Lecturer, Department «The Software of Computer Facilities and Automated Systems», Don State Technical University, Rostov-on-Don. E-mail: alexpavkuzin@gmail.com

Рассматривается проблема решения неоднородной минимаксной задачи, характерной для теории расписаний. Данная задача является ЫР-полной и для нее не существует точного алгоритма решения, имеющего полиномиальное время для задач большой размерности. Поэтому используются быстрые алгоритмы, которые в самом общем случае получают приближенные значения. В качестве возможного метода решения данной задачи рассматривается генетическая модель, представляющая собой модифицированную модель Голдберга. Модифицированная модель Голдберга рассматривается со смешанным кроссовером и наиболее перспективной мутацией. Так как аналитически произвести расчеты крайне затруднительно и на практике зачастую невозможно, то в данной работе был проведен вычислительный эксперимент для матриц большой размерности (больше 1000 элементов распределения). Результаты проведенного эксперимента описываются в таблицах, в которых наглядно показано сравнение эффективности работы модифицированной модели Голдберга при использовании смешанного кроссовера. Сравнение проводится на основе оценки точности полученных результатов, для матриц большой размерности, при базовых параметрах генетического алгоритма. Показывается, что применение смешанного кроссовера приводит к результатам, более приближенным к оптимальному значению, несмотря на ухудшение временных характеристик поиска решения.

Ключевые слова: многоточечный кроссовер; смешанный кроссовер; генетический алгоритм; модифицированная модель Голдберга; мутация; минимаксная задача; теория расписаний; лучшая особь; особь; поколение.

ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 2

The article deals with the problem of solving the inhomogeneous minimax problem, which is characteristic of the scheduling theory. This problem is NP-complete and there is no exact solution algorithm for it that has polynomial time for problems of large dimension. Therefore, fast algorithms are used, which in the most general case obtain approximate values. A genetic model, which is a modified Goldberg model, is considered as a possible method for solving this problem. The modified Godberg model is considered with a mixed crossover and the most promising mutation. Since it is extremely difficult to carry out calculations analytically and in practice it is often impossible, in this work a computational experiment was carried out for matrices of large dimensions (more than 1000 elements of the distribution). The results of the experiment are described in tables, which clearly show a comparison of the performance of the modified Goldberg model when using a mixed crossover. The comparison is carried out on the basis of assessing the accuracy of the results obtained, for matrices of large dimensions, with the basic parameters of the genetic algorithm. The article shows that the use of a mixed crossover leads to results that are closer to the optimal value, despite the deterioration of the time characteristics of the solution search.

Keywords: multipoint crossover; mixed crossover; genetic algorithm; modified Goldberg model; mutation; minimax problem; scheduling theory; best individual; individual; generation.

Введение

В настоящее время актуальным направлением научных исследований является разработка методов получения субоптимальных приближенных решений для ИР--полных задач теории расписаний. В рамках теории расписаний рассматриваются решения множества задач. ИР-полные задачи отличаются от других задач тем, что для них практически невозможно найти решение за полиноминально быстрое время. Для получения субоптимальных решений используются различные алгоритмы, в том числе и генетические. Практическая актуальность решения таких задач определяется возможностью экономии машинного времени. В данной статье будет использоваться модифицированная модель Голдберга.

В данной работе рассматривается одна из дискретных задач теории расписания, связанная с минимаксным критерием. В терминах теории расписания формулировка следующая.

Имеется система обслуживания, состоящая из п параллельных приборов. На обслуживание поступило множество требований, мощностью т. Возможности системы определяются матрицей II ^ II (1 = 1,..., т, ] = 1,..., п), где ^ - длительность /-го требования ]-м приборам, оценённая аналитически или экспериментально. Каналы обслуживания в общем случае не идентичны, но каждое требование может быть обслужено любым каналом (в противном случае полагаем соответствующее ^ = да). В каждый момент времени отдельный канал обслуживает не более одного требования [1, 2]. Обслуживание требования, находящегося на некотором канале, не прерывается для передачи на другой канал. Необходимо распределить требования таким образом, чтобы обеспечить минимальное время их обслуживания или обеспечить максимальную равномерность загрузки каналов обслуживания.

Методы

Для решения поставленной задачи используются различные алгоритмы, позволяющие получить точное или приближенное решение. В данной работе в качестве базового алгоритма для решения неоднородной минимаксной задачи возьмем модифицированную модель Голдберга, являющуюся одним из видов моделей генетических алгоритмов (ГА). Модифицированная модель Голдберга использует турнирный отбор особей в новое поколение, который позволяет улучшить результаты работы алгоритма с различными модификациями мутации при одноточечном кроссовере. В работе [3] была исследована модель Голдберга для малого количества заданий, где наиболее перспективным было использование двухточечного кроссовера [4]. В данной работе будет использоваться смешанный многоточечный кроссовер, изображенный на рис. 1.

Потомки

Родители

A

в ЕЕ

C1

вМ' I

1 2 3 4

|ф с | d | е 6 вМ i

0 0

а | Ь 3|4|5 d 71 8 9

C3

C4

0 0 0 ~ Обмен с 3 у вероятностью 1 0,5 V

M1, M2, M3, M4

Рис. 1. Смешанный многоточечный кроссовер / Fig. 1. Mixed multipoint crossover

Схема многоточечного кроссовера работает следующим образом:

- выбираются две случайные различные родительские особи A и B;

ISSN 1560-3644 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2021. № 2

ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 2

- выполняется проверка вероятности применения кроссовера, если она успешна, то кроссовер применяется;

- для кроссовера с количеством точек, равным L, генерируется L различных случайных чисел в диапазоне от 0 до количества задач, которые сортируются в порядке возрастания;

- родители разбиваются на L+1 частей согласно позициям, сгенерированным на предыдущем шаге;

- родители обмениваются между собой частями с нечетными номерами, тем самым получаются два потомка С1 и С2;

- далее выполняется проверка вероятности применения мутации, если она успешна, то к потомкам С1 и С2 применяется мутация и получаются особи М1, М2;

Если мутация применялась, идет сравнение фитнес функций для особей А, М1, М2. Если мутация не применялась, сравниваются фитнес функции для особей А, С1, С2. Особь с минимальным значением фитнес функции переходит в новое поколение.

Схема смешанного многоточечного кроссовера работает следующим образом:

- выбираются две случайные различные родительские особи А и В;

- выполняется проверка вероятности применения кроссовера, если она успешна, то кроссовер применяется;

- для кроссовера с количеством точек, равным L, генерируется L различных случайных чисел в диапазоне от 0 до количества задач, которые сортируются в порядке возрастания;

- родители разбиваются на L+1 частей согласно позициям, сгенерированным на предыдущем шаге;

- родители обмениваются между собой частями с нечетными номерами, тем самым получаются два потомка С1 и С2;

- еще два потомка С3 и С4 получаются при помощи обмена частями родителей А и В с вероятностью, заданной 0,5;

- далее выполняется проверка вероятности применения мутации, если она успешна, то применяется мутация к потомкам С1, С2, С3, С4, и получаются особи М1, М2, М3, М4.

Если мутация применялась, идет сравнение фитнес функций для особей А, М1, М2, М3, М4. Если мутация не применялась, сравниваются фитнес функции для особей А, С1, С2, С3, С4.

Особь с минимальным значением фитнес функции переходит в новое поколение.

Модифицированную модель Голдберга с новым кроссовером можно описать в виде последовательности следующих шагов.

Шаг 1. Формируется начальное поколение, состоящее из заданного числа особей.

Шаг 2. Турнирный отбор особей и применение ГА операторов смешанного кроссовера и мутации с заданной вероятностью для создания нового поколения.

Шаг 3. Проверка условия конца работы алгоритма, которая обычно заключается в неизменности лучшего решения в течение заданного числа поколений. Если проверка прошла неуспешно, то переход на шаг 2.

Шаг 4. Лучшая особь выбирается как найденное решение [5 - 8].

Лучшая особь выбирается и ставится в следующее поколение. Процесс повторяется до тех пор, пока лучшая особь в поколении не повторится заданное разработчиком количество раз.

Результаты исследования

В связи с тем что аналитически решить эту задачу крайне проблематично, если вообще возможно, в рамках исследования алгоритмов были поставлены вычислительные эксперименты, позволяющие собрать статистику решений алгоритмами [9, 10].

Для проведения вычислительного эксперимента было написано программное средство на современном языке программирования C# в среде разработки Microsoft Visual Studio 2017.

В ходе проведения вычислительного эксперимента проведен ряд расчетов. В рамках исследования оценивались такие параметры, как время поиска решения, среднее и минимальное значения, полученные в ходе эксперимента. Каждый эксперимент повторялся 100 раз, при 100 % вероятности кроссовера и мутации.

Результаты эксперимента для примера с заданным количеством устройств обработки, равным трем, и количеством задач больше 1000, приведены в табл. 1.

Из табл. 1 непосредственно видно, что увеличение точек кроссовера влияет на точность решения, причем промежуток между 15 и 25 точками наиболее подходит для дальнейшего изучения.

ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.

Таблица 1 / Table 1

Результаты эксперимента для примера с тремя устройствами и большим количеством задач / Results of the experiment for an example with 3 devices and a large number of tasks

Стоит отметить, что с увеличением количества точек увеличивается время выполнения. Проведем еще один эксперимент, с теми же данными, где более подробно исследуется интервал между 15 и 25 точками. Результаты приведены в уточняющей табл. 2.

TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 2

Таблица 2 / Table 2

Результаты (уточненные) для примера с тремя устройствами и большим количеством задач / Results (refined) for an example with 3 devices and a large number of tasks

Кол-во точек кроссовера Показатель Размер задачи

3*999 3*1999 3*2999

2 мин 9170 18377 27552

сред 9204,2 18431,4 27687,7

время 224708 759028 1578357

15 мин 9100 18232 27265

сред 9101,8 18235,2 27274,6

время 768733 2541054 4894216

17 мин 9100 18230 27265

сред 9105,5 18233,4 27270,5

время 714243 2775420 5160331

19 мин 9100 18228 27259

сред 9108,4 18239 27266,5

время 712621 2668349 5310603

21 мин 9101 18229 27263

сред 9115,7 18232,6 27267,3

время 599577 2895759 5263087

23 мин 9100 18227 27258

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

сред 9109,4 18234 27263,4

время 663560 2998235 5759434

25 мин 9104 18228 27257

сред 9113,1 18243,7 27262,2

время 570015 2815395 5821810

Из данных табл. 2 следует, что наиболее перспективным вариантом является использование 19-точечного кроссовера по критерию «точность и быстродействие».

Заключение

1. Использование многоточечного кроссовера дает лучшие результаты в подавляющем количестве экспериментов, по сравнению с двухточечным.

2. Использование многоточечного кроссовера, а именно 19 точек, дает лучшие результаты в большинстве экспериментов, по сравнению с остальными многоточечными.

Кол-во точек кроссовера Показатель Размер задачи

3*999 3*1999 3*2999 3*3999

2 мин 9116 18307 27514 36648

сред 9139,5 18388,9 27601,2 36787,2

время 248209 773624 1919533 3292542

10 мин 9049 18199 27292 36399

сред 9051,2 18206,6 27300,1 36418,4

время 563318 1996333 4355446 7693728

15 мин 9043 18189 27267 36377

сред 9045 18194,2 27275,8 36384

время 718080 2526958 5326383 9647504

25 мин 9045 18189 27261 36365

сред 9053,5 18217,8 27265,4 36381,2

время 632278 2551857 6203999 10612579

30 мин 9045 18223 27264 36363

сред 9054,1 18244,8 27305,7 36373,4

время 614974 1827319 5325791 11181808

35 мин 9046 18218 27259 36364

сред 9059,1 18245,2 27294,6 36405,5

время 491271 1691012 5540717 10420952

40 мин 9046 18233 27261 36402

сред 9054,7 18249,2 27310,8 36467,7

время 541685 1475321 5159367 7946631

45 мин 9049 18221 27263 36363

сред 9057,1 18244,7 27349,1 36484,6

время 494770 1483168 3853376 7875646

50 мин 9048 18215 27312 36398

сред 9062,7 18237,5 27338,3 36500,2

время 415670 1473326 3904970 7117834

ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 2

Литература

1. Алексеев О.Т. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука, 1987. 250 с.

2. Кобак В.Г., Жуковский А.Г., Кузин А.П. Исследование применения одноточечного кроссовера при решении неоднородной минимаксной задачи // Электронный научный журн. «Инженерный вестник Дона». 2018. № 1.

3. Кобак В.Г., Жуковский А.Г., Кузин А.П. Исследование модификаций турнирного отбора при решении неоднородной минимаксной задачи, модифицированной моделью Голдберга // Электронный научный журн. «Инженерный вестник Дона». 2018. № 2.

4. Кобак В.Г., Жуковский А.Г., Кузин А.П. Применение гибридного алгоритма при решении неоднородной минимаксной задачи с использованием сильных мутаций // Электронный научный журн. «Инженерный вестник Дона». 2018. № 4.

5. Кобак В.Г., Жуковский А.Г., Золотых О.А., Ростов А.Н. Решение однородной минимаксной задачи различными модификациями алгоритма Крона // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2016. № 3. С. 3 - 8. D0I:10.17213/0321-2653-2016-3-3-8

6. Щербинина Н.И., Кобак В.Г., Жуковский А.Г. Исследование поколенческой стратегии при решении однородной и неоднородной минимаксной задачи различными модификациями генетического алгоритма // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2016. № 4. С. 3 - 10. DOI: 10.17213/0321 -2653-2016-4-3-10

7. Кобак В.Г., Жуковский А.Г., Золотых О.А., Ростов А.Н. Различные подходы к решению однородной минимаксной задачи теории расписаний эвристическими алгоритмами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2016. № 1. С. 41 - 46. DOI: 10.17213/0321-2653-2016-1-41-46

8. Коновалов И.С., Кобак В.Г., Фатхи В.А. Применение генетического алгоритма для решения задачи покрытия множеств // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2016. № 3. С. 125 - 132. DOI: 10.12737/20225

9. Кобак В.Г., Титов Д.В, Калюка В.И., Слесарев В.В. Алгоритмическое улучшение генетического алгоритма для нечетного количества однородных устройств // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2011. № 5. С. 159 - 163.

10. Кобак В.Г., Титов Д.В, Калюка В.И., Золотых О.А. Исследование эффективности генетических алгоритмов распределения для однородных систем // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2011. № 3. С. 19 - 22.

References

1. Alekseev O.T. Complex application of discrete optimization methods. Moscow: Nauka, 1987.

2. Kobak V.G., Zhukovskiy A.G., Kuzin A.P. Investigation of the application of a one-point crossover in solving an inhomogeneous minimaxproblem // E-journal «Engineering journal of Don». 2018. No. 1.

3. Kobak V.G., Zhukovskiy A.G., Kuzin A.P. Investigation of modifications of the tournament selection when solving the inhomogeneous minimax problem with the modified Goldberg model // E-journal «Engineering journal of Don». 2018. No. 2.

4. Kobak V.G., Zhukovskiy A.G., Kuzin A.P. Application of a hybrid algorithm for solving an inhomogeneous minimax problem using strong mutations // E-journal «Engineering journal of Don». 2018. No. 4.

5. Kobak V.G., Zhukovskiy A.G., Zolotykh O.A., Rostov A.N. Solving the homogeneous minimax problem with various modifications of the Crohn's algorithm // University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences Series. 2016. No. 3. Рр. 3 - 8. DOI:10.17213/0321-2653-2016-3-3-8

6. Shcherbinina N.I., Kobak V.G., Zhukovskiy A.G. Investigation of the generational strategy in solving a homogeneous and inhomogeneous minimax problem with various modifications of the genetic algorithm // University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences. 2016. No. 4. Рр. 3 - 10. DOI: 10.17213/0321-2653-2016-4-3-10

7. Kobak V.G., Zhukovskiy A.G., Zolotykh O.A., Rostov A.N. Various approaches to solving the homogeneous minimax problem of scheduling theory by heuristic algorithms // University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences. 2016. No. 1. Рр. 41 - 46. DOI: 10.17213/0321-2653-2016-1-41-46

8. Konovalov I.S., Kobak V.G., Fathi V.A. Application of a genetic algorithm for solving the problem of covering sets // Vestnik of Don State Technical University. 2016. No. 3. Рр. 125 - 132. DOI: 10.12737/20225

9. Kobak V.G., Titov D.V., Kalyuka V.I., Slesarev V.V. Algorithmic improvement of the genetic algorithm for an odd number of homogeneous devices // Izvestia SFedU. Engineering Sciences. 2011. No. 5. Рр. 159 - 163.

10. Kobak V.G., Titov D.V., Kalyuka V.I., Zolotykh O.A. Investigation of the efficiency of genetic distribution algorithms for homogeneous systems // University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences. 2011. No. 3. Рр. 19 - 22.

Поступила в редакцию /Received 28 марта 2021 г. /March 28, 2021

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.