Влияние матрицы из метаматериала на устойчивость 2D-туннельных бифуркаций в квантовых молекулах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.2: 541.117

В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, Ю. Г. Смирнов, Р. В. Зайцев, В. А. Рудин, П. В. Кревчик, М. А. Манухина, С. Е. Козенко

ВЛИЯНИЕ МАТРИЦЫ ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛА НА УСТОЙЧИВОСТЬ 2В-ТУННЕЛБНЫХ БИФУРКАЦИЙ В КВАНТОВЫХ МОЛЕКУЛАХ

Аннотация. В одноинстантонном приближении проведено теоретическое исследование влияния электрического поля на процесс 2.0-туннелирования в квантовой молекуле, находящейся в матрице из метаматериала (с эффективно отрицательной диэлектрической проницаемостью) при конечной температуре. Показано, что устойчивый режим 2^-бифуркаций в такой матрице может иметь место в существенно более узком диапазоне параметров по сравнению с обычными диэлектрическими матрицами.

Ключевые слова: туннельные бифуркации, метаматериал.

Abstract. The authors have carried out theoretical investigation of electric field influence on 2D-tunneling in a quantum molecule (or parallel interacting quantum molecules) in a heat - bath of the metamaterial matrix (with efficiently negative permittivity) under finite temperature. It is shown that the stable 2D-bifurcations in such matrix are realized in narrower region of parameters in comparison with the case of usual dielectric matrixes.

Key words: tunnel bifurcations, metamaterials.

Введение

В настоящее время большой интерес вызывает новый класс материалов, так называемых метаматериалов [1], обладающих уникальными свойствами в определенном частотном диапазоне. Метаматериалы - это искусственные композитные среды, состоящие из диэлектрических или проводящих элементов, образующих регулярную структуру, характеризующуюся отрицательной эффективной диэлектрической и магнитной проницаемостями (е и ц) и соответственно отрицательным коэффициентом преломления. На их основе возможна разработка ряда уникальных устройств [1], таких как плоские электромагнитные линзы, не имеющие дифракционного предела (суперлинзы), маскирующие оболочки и т.д., что вызывает повышенный интерес к их практической реализации. Помимо этого, вызывает интерес проблема управляемости наноструктур, находящихся в матрицах из метаматериалов. В настоящей работе исследуется проблема управляемости 2,0-туннельных бифуркаций в системах с квантовыми молекулами в диэлектрической матрице из метаматериала в условиях внешнего электрического поля при конечной температуре. Использование науки о квантовом туннелировании с диссипацией для изучения взаимодействия квантовых молекул (КМ) с контактной средой оказывается продуктивным, поскольку, несмотря на использование инстантон-ных подходов, появляется возможность получить основные результаты в аналитической форме с учетом влияния среды на процесс туннельного переноса, что в других часто используемых подходах не представляется возможным [2]. В системе совмещенного АСМ/СТМ с металлической квантовой точкой (КТ) удалось экспериментально пронаблюдать на туннельной ВАХ теоретически

предсказанный ранее режим 2,0-бифуркаций для КТ из коллоидного золота в матрице из обычного диэлектрика [2]. Важным вопросом при этом является выявление экспериментально реализуемого диапазона значений относительной диэлектрической проницаемости матрицы среды, допускающего режим

2.0-бифуркаций, включая область отрицательных значений, что и соответствует матрицам из метаматериалов.

Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании диапазона управляющих параметров (напряженности электрического поля, температуры и величины относительной диэлектрической проницаемости для матрицы из метаматериала), при которых реализуется режим устойчивых

2.0-бифуркаций в системе с КМ, а также в системе «игла кантилевера совмещенного АСМ/СТМ - КТ или КМ». Особое внимание уделено проблеме управляемости двумерным диссипативным туннелированием в системе взаимодействующих КМ, моделируемых 2.0-осцилляторным потенциалом в среде с отрицательной диэлектрической проницаемостью во внешнем электрическом поле.

Вероятность Ю-туннелирования в условиях внешнего электрического поля в матрице из метаматериала

Расматривается одновременный туннельный перенос двух частиц, которые слабо взаимодействуют друг с другом. Если взаимодействие отсутствует, любая из частиц движется независимо в своем собственном двухъ-ямном потенциале. Мы изучим влияние взаимодействия частиц на смену режима туннелирования с синхронного на асинхронный (эффект 2,0-бифуркации ([2-9])) как функцию связи со средой - термостатом во внешнем электрическом поле.

Выберем энергии потенциала каждой частицы и (я) и и (2) в следующем виде:

ю (Яо + а) , ,

и(Я2) = 1 2 0(-Я2) +

-д, + ю~(1 - Ь >

-д, + Ю(2 - Ь )

0(яг);

0(Я2), (1)

где 0 - единичная функция Хевисайда; Яг, Я2 - координаты частиц; Д1 -параметр асимметрии потенциала в двухъямном потенциале. При введении взаимодействия между частицами в диполь-дипольном приближении выбираем У|п1- в форме гармонического потенциала «притяжения»:

Ъ = -^£.. (2)

Функция потенциальной энергии взаимодействия может быть пред-

( - Я2г )2

ставлена в виде ряда по степеням параметра--------г----, где и дт V - ко-

ординаты туннелирования; Я - расстояние между «каналами» туннелирования (рис. 1). Для кулоновского отталкивания частиц в среде (£д - диэлектрическая постоянная, е - относительная диэлектрическая проницаемость) получим

\2

У,ер = -о и

ЄЄо

и02 +{Ч1г - Ч2г)

1/2 еео^о 2 єє0И

и

. (3)

следовательно,

а = -

єє0 и

(4)

где е < 0 для метаматериалов.

2

е

Рис. 1. Схема 2.0-параллельного туннельного переноса: Я0 (вдоль оси Ях) - дистанция между туннелирующими частицами; Я1у и Я2у - координаты туннелирования

Отрицательная гармоническая потенциальная энергия (второе слагаемое в разложении) появляется, следовательно, как эффективное притягивающее взаимодействие, хотя потенциал остается все время отталкивающим. Этот отрицательный вклад уменьшает отталкивающий потенциал от его мак, \ е2

симального значения в Яо . Постоянная составляющая и [Яо I =------------- может

ее0 Я0

быть включена в определение потенциальных энергий отдельных частиц и [1) и и [ ^2). Влияние электрического поля можно учесть через перенор-

\е\ Е ~ \е\ Е

мировку параметров а = а = ао + —^, Ь = Ь = Ьо--------^.

ю2 ю0

Для 2,0-параллельного переноса с учетом взаимодействия частиц и перенормировки параметров потенциала во внешнем электрическом поле мы получим перенормированный потенциал в виде

ир {«Ъ «2 ) =

2ир {«Ъ «2)

ю

= («1 + а) 0(-Чі)+ -(Ъ2 - а2) + (і - Ъ) 0(1) +

&

+ ( + а2 )0(-«2 )+ -(Ъ2 -а2) + («2 -Ъ)2 0(«2 )-_2"(«1 - «2 )2 . (5)

Мы предполагаем, что две частицы независимо взаимодействуют с гармоническим термостатом. Такое взаимодействие рассматривается в билинейном приближении. Динамика среды описывается осцилляторным гамильтонианом (при этом используется система единиц, в которой Й = 1, кд = 1 и массы осцилляторов равны 1):

(6)

Каждая из туннелирующих частиц (электронов или эффективных зарядов) взаимодействует с осцилляторным термостатом следующим образом:

урЦрн(«і.а)=«іЕсе,, уР-рн(к,о,)=Ч2Ет■

(7)

Как и в работе [3], мы интересуемся вероятностью переноса в единицу времени или, строго говоря, только ее экспоненциальной частью, которая может быть записана в форме Лангера:

Г = 2Т

1т 2 Яе 2

(8)

Для вычисления Г удобно представить статистическую сумму X в форме интеграла по траекториям [1-9]:

2 = ПI°«1°«2В°і ехР [-£{«Ъ«2,°і}] .

(9)

Здесь £ обозначает подбарьерное действие для всей системы. Мнимая часть 1т 2 появляется благодаря распадности энергетических уровней в исходной яме потенциальной энергии. Справедливость этого приближения требует, чтобы диссипация была бы достаточно сильной, так что реализуется только некогерентный распад [3].

Интеграл (9) может быть взят по фононным координатам [3], в результате

р/2

£{«Ь«2}= I Лт

-Р/2 р/2

+ I Лт,^(т-т')[«1 (т) + «2(т)]X[«1 (т') + «2(т')] -р/2

где

D(т) = |1 I D(vn )exP(i vnт)

(11)

Р = Й / (к^Т) - обратная температура (ниже мы предполагаем, что Й = 1 и кв = 1); уп = 2пп / Р является мацубаровской частотой;

D (vn ) = “I

C2

с

-I -L- .

, Ю, + vn i Ю,

(12)

Траектория, которая минимизирует евклидово действие £, может быть найдена из уравнений движения. Моменты времен Т1 и Т2, в которые частицы проходят вершины барьера, определяются из следующих уравнений:

«1 (т1 ) = Q «2 (т2 ) = Q.

(ІЗ)

В случае параллельно туннелирующих частиц результирующее евклидово действие задается следующим образом:

2 1 m2f„ I г. \2 т IT \2 Ю (a + b) (т1 -т2 )

S = 2a(a + b)(тІ +т2 )ю —ю (a + b) ( + т2) - . .

' Л1 2 P ' М1 2 (ю2 - 2a)p

2ю4 (a + Ь )2

P

I

n=1

(sin vnт1 + sin vnт2 ) (sin vnТі - sin vnT2 )2

vn (n +ю2 +^n

v2n (( +ю2 -2a)

(14)

где определяется соотношением (12).

Ниже мы используем следующие обозначения:

є = є Ю

= (і - То )ю, т = 2т*ю = (ті + Tl ) ю, p* =Pю/2, a* = 2a/ю2, b* =b /

и предполагаем, что Ъ > а . В отсутствие взаимодействия с осцилляторами среды - термостата, т.е. при Ъ>п = 0, действие (14) как функция параметров є и х принимает вид

(

a + b a + b

1 + -

1

+HdK+coth p*_

- sinh-1 P*

xі cosh

-p-a*) (P*-t)

v 1 -a ) 1 -a

cosh(* -cjcoshє + cosh(* -т)-cosh(* -|є||

-З/2

-cothI Ul-a* 1 + sinh 1

Pi

1 -a I x

1 -a

cosh I є41 -a" I -1

+ cosh

(p*-N)

1 -a*

. (15)

1З1

В случае взаимодействия с выделенной локальной модой одноинстан-тонное действие запишется в виде

= / , \/3 ) 2 4®2 (0 + 41 )2 (Т0)2

25 = [1 + 40 )40 - 4 )ю Т0 Р----------

ю

2

(0 + 41)

2У

(2 - *2)

е“’ У- ж

еЬ

|-2Т0

- еЬ

+ еЬ

//

4*2

сЛ [2^ I-

1

еЬ

- 2т0 ]>/Х2

- еЬ

+ еЬ

- 2т0 1л/Х2

(16)

где

*1,2 = 2

2 Л

2 2 ^ ш + ш^ н-------------—

шЬ

_ 1 т 2

2 2 С

ш н ш^ н------------2

ш£

- 4ш2ш^2;

У = ,

2 2 С

ш н ш^ н-----------г

шL

2 Л

- 4ш2ш^2 ,

или, в боровских единицах:

5 = 1 Ц-а2, е52112

2 Й

/2 * *2 *

^ Т0 -Т0 еТ 2/1

т *

2у

( Г* Л

еЬ

( Г*\

*

2ет

V У

2еЬ

Г1 2 *

-- 2т0

V ет

Л *

- еЬ

2еТ

I * 2 *

(0 - Х1

сШ

( г=~\ V х2

л *

V 2єТ )

зЬ

V 2єТ)

2сЬ

1 л *

— - 2х0

єТ

\ *

- сЬ

2є*

/)

(17)

где

* / * 2 , * 2 , * / * 2 х1,2 = (0 +єі + У0/єі

У =

) )(2 + є( + у$/є!2 )2 -4є^2є!2 /2; ^(є;2 + є( +у5/є!2)2 -4є02є^2 ;

х0 = ЛГСЗЬ

**

ЗЬ-Й-

1 + Ъ* 2єТ

є0+1 (2єТ);

еТ = кТ1Еа, е! = Йшь/Еа, р = Й/ еТЕа;

С/* = с/0 /Еа , 6* = Ь/а , /1 = а* + Ь, /2 = 3а* - Ь;

а* = 40 /а^ , Ь = 41/% , У0 = й4сVЕ^1 .

С экспоненциальной точностью вероятность туннелирования Г0 оценивается как Г0~ехр (-5). Предэкспоненциальный множитель В определяется вкладом траекторий, близко расположенных от инстантона. Для его вычисления действие раскладывалось до квадратичного члена по отклонениям 4 - 4в и проводилось интегрирование в функциональном пространстве. Выражение для предэкспоненты с учетом влияния локальной моды среды запишется в виде

в = 2ю2(а+Ъ)2 х

(2яР)12

(18)

х-

А

2У1

ЛРсЬ

-1

Б

2у 2

-1

сЬ\у1ъ |р-2х'

Б

+--

сЬ\л/ї2 \ Р-2Х

1 Р

ch

л/y! I 2 - 2tq

Л (

yi sh л/yTp

D

н--

2

1 Р

ch

Vy2 I Р-2то

y2 2у/у2 s^Jy2p

Р

chI ЛI p-2t'

sh У^р

2

Yl

D н— 2

Р

chI л/у2 I P-2T

2Vy2 s^Vy2p

2

_1

Y2

где

(Ю2 -Y1) Ml * -|[(Ml * +1 + C* -V(mL * +1 + C*) - 4mL

Yl - Y2

D =

(ml -Y2) Yl - Y2

2^(^l * +1 + C*) - 4ml *

Ml * -2|^(ml * +1 + C*) + у/(o^l * +1 + C*) - 4ml 2yj(mL * +1 + C*) - 4fflL *

T* =-

1 arcsh 1-b* Рю sh— +Р1

2ю 1 + b * 2 _ 4

Как только траектория найдена, уравнения (13) могут быть представлены в следующей форме:

sinh е

cosh т coth P* - sinh t - coth P*

1

+ —-— sinh | ел/I -a* I x

1 -a*

x

3--

cosh 4

| tV1 -a* j coth | Р*л/ 1 -a* j - sinh | W1 -a* j + coth | P* VI

= 0;

*17*1 *

1 + b 1 -a

■ + cosh е

+ coth|P V1 -a' sinh т coth P* - cosh т -1 + sinh т coth P* - cosh т +

1

+-* cosh | е\/ 1-a'

1 -a*

д/1-a* j sinh ITyj 1-a* |coth IP*-^/

sinh | T\j 1-a* I coth | P*\/1-a* I-cosh f тд/I-a* I + 1

1 ^

1 -a

sinh | W1 -a* jj coth | P*V 1 -a* jj - cosh | W1 - a* jj

= 0. (19)

Как было показано нами в работе [2], решение этой системы позволяет выявить бифуркацию 2,0-туннельных траекторий, т.е. при определенном значении температуры Р* либо параметра асимметрии потенциала, связанного

с величиной приложенного электрического поля Ь* = Ь / а , либо коэффици-

е2

ента взаимодействия а* = 2а / ш2 (где а =-— зависит, в частности, от

3

+

относительной диэлектрической проницаемости среды - термостата, для метаматериалов е < 0 ). Численный анализ системы (19) позволяет также выявить тонкую структуру перехода в окрестности точки бифуркации, а именно режим квантовых биений для параллельного переноса туннелирующих частиц. В итоге вероятность 2,0-туннелирования с экспоненциальной точностью определяется как Г = ехр (-5), где 5 задается выражением (15) с учетом решения системы (19).

б)

Рис. 2. Изменение асимметрии поверхности потенциальной энергии для параллельного переноса частиц во внешнем электрическом поле

Смена знака напряжения приводит к тому, что исходная асимметрия потенциала (правая потенциальная яма глубже левой) только усиливается и симметрия потенциала не достигается. На рис. 2 показано изменение асимметрии поверхности потенциальной энергии для случая параллельного переноса частиц во внешнем электрическом поле при отрицательном приложенном напряжении.

Решение системы уравнений (19) позволяет выявить бифуркацию

2,0-туннельных траекторий при определенных значениях температуры, либо параметра асимметрии потенциала (связанного с величиной внешнего электрического поля), либо коэффициента взаимодействия а , который зависит от величины относительной диэлектрической проницаемости, отрицательной для метаматериалов. Численный анализ системы (19) позволяет также выявить тонкую структуру перехода в окрестности точки бифуркации, т.е. режим квантовых биений для параллельного переноса туннелирующих частиц (при этом кроме тривиального решения (19) появляется еще дополнительное решение). Результат этого численного анализа представлен на рис. 3.

А, 12

а)

б)

Рис. 3. Численное решение системы трансцендентных уравнений (19). Переход от а к г сопровождается ростом величины напряженности электрического поля (или параметра асимметрии осцилляторного потенциала)

и1------------1---------1---------1---------1------------------------------------------------------------------------------------------------------1---------1

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

51, 12

В)

11, 12

г)

Рис. 3. Окончание

Зависимость вероятности туннелирования от величины напряженности электрического поля представлена на рис. 4. На рис. 4,б выделяется область реализации устойчивых 2,0-бифуркаций. На рис. 4,а представлено начало этой области. В окрестности этой точки, как и в окрестности точки завершения устойчивого режима 2,0-бифуркаций (рис. 4,а,б), реализуется механизм квантовых биений, где конкурируют между собой механизмы синхронного и асинхронного переноса туннелирующих частиц. Выявлены области реализации устойчивого эффекта 2,0-бифуркаций и численно проанализированы соответствующие границы существования 2,0-бифуркаций при изменении параметров управления (обратной температуры в; относительной диэлектрической проницаемости среды - термостата в; параметра асимметрии 2,0-потенциала системы взаимодействующих КМ Ь, слабо нелинейно зависящего от величины напряженности внешнего электрического поля). Соответствующая зависимость диапазона напряженности поля, при которой реализуются устойчивые 2,0-бифуркации, в зависимости от величины обратной температуры представлена на рис. 5.

а)

б)

Рис. 4. Зависимость вероятности туннелирования от величины напряженности электрического поля

На рис. 6 представлена «фазовая диаграмма» реализации режима устойчивых 2,0-бифуркаций туннельного тока для КМ в матрице из метаматериала в зависимости от управляющих параметров: обратной температуры, величины напряженности электрического поля (или параметра асимметрии потенциала), а также величины (отрицательной) относительной диэлектрической проницаемости матрицы среды - термостата, в качестве которой используется метаматериал.

Таким образом, в работе исследована зависимость напряженности поля, при которой реализуются устойчивые 2,0-бифуркации, от величины обратной температуры. В отличие от обычных диэлектрических матриц, в случае метаматериала область устойчивых 2,0-бифуркаций значительно сужается, что, вероятно, связано с инверсией знака взаимодействия туннелирующих частиц.

Рис. 5. Зависимость диапазона напряженности поля, при которой реализуются устойчивые 2Б'-бифуркации, в зависимости от величины обратной температуры

Рис. 6. «Фазовая диаграмма» реализации режима устойчивых 2^-бифуркаций туннельного тока для КМ в матрице из метаматериала в зависимости от управляющих параметров: обратной температуры, величины напряженности электрического поля (или параметра асимметрии потенциала), а также величины (отрицательной) относительной диэлектрической проницаемости матрицы среды - термостата

Следует отметить, что полученные в данной работе теоретические результаты не претендуют на количественное сопоставление с экспериментом,

а носят исключительно качественный характер.

Список литературы

1. Вендик, И. Б. Изотропный метаматериал на основе сегнетокерамических сферических включений / И. Б. Вендик, О. Г. Вендик, М. А. Одит // ФТТ. - 2009. -Т. 51, № 8. - С. 1499-1503.

2. Transfer processes in low - dimensional systems / под ред. Э. Дж. Леггета,

В. Д. Кревчика, В. Я. Кривнова, М. Б. Семенова, К. Ямамото // UT Research Institute Press. - Tokyo, Japan, 2005. - 690 p.

3. Caldeira, A. O. Influence of dissipation on quantum tunneling in macroscopic systems / A. O. Caldeira, A. J. Leggett // Phys. Rev. Lett. - 1981. - V. 46, № 4. -P. 211-214.

4. Ларкин, А. И. Квантовое туннелирование с диссипацией / А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников // Письма в ЖЭТФ. - 1983. - Т. 37, № 7. - С. 322-325.

5. Ивлев, Б. И. Распад метастабильных состояний при наличии близких подба-рьерных траекторий / Б. И. Ивлев, Ю. Н. Овчинников // ЖЭТФ. - 1987. - Т. 93, № 2 (8). - С. 668-679.

6. Каган, Ю. О туннелировании с «диссипацией» / Ю. Каган, Н. В. Прокофьев // Письма в ЖЭТФ. - 1986. - Т. 43, № 9. - С. 434-437.

7. Benderkii, V. A. Effect of molecular motion on low-temperature and other anomalously fast chemical reactions in the solid phase / V. A. Benderkii, V. I. Goldanskii, A. A. Ovchinnikov // Chem. Phys. Lett. - 1980. - V. 73, № 3. - P. 492-495.

8. Competing tunneling trajectories in a 2D potential with variable topology as a model for quantum bifurcations / V. A. Benderskii, E. V. Vetoshkin, E. I. Kats, H. P. Trommsdorff // Phys. Rev. E. - 2003. - V. 67. - P. 026102.

9. Kiselev, M. N. Resonance Kondo tunneling through a double quantum dot at finite bias / M. N. Kiselev, K. Kikoin, L. W. Molenkamp // Phys. Rev. B. - 2003. - V. 68. -P. 155323.

Кревчик Владимир Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный университет

E-mail: physics@pnzgu.ru

Семенов Михаил Борисович

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра физики, Пензенский государственный университет

E-mail: physics@pnzgu.ru

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of physics, Penza State University

Semenov Mikhail Borisovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of physics, Penza State University

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Зайцев Роман Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра физики,

Пензенский государственный университет

E-mail: physics@pnzgu.ru

Рудин Вадим Александрович аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: physics@pnzgu.ru

Кревчик Павел Владимирович

студент, Пензенский государственный университет

E-mail: physics@pnzgu.ru

Манухина Мария Александровна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: physics@pnzgu.ru

Козенко Сергей Евгеньевич соискатель, кафедра физики, Пензенский государственный университет; начальник планового экономического отдела ОАО «НИИФИ»

E-mail: physics@pnzgu.ru

Zaytsev Roman Vladimirovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of physics,

Penza State University

Rudin Vadim Alexandrovich

Postgraduate student,

Penza State University

Krevchik Pavel Vladimirovich

Student, Penza State University

Manuhina Maria Alexandrovna Postgraduate student,

Penza State University

Kozenko Sergey Evgenyevich Applicant, sub-department of physics, Penza State University; head of economic planning department at “NIIFI” plc.

УДК 539.2: 541.117 Кревчик, В. Д.

Влияние матрицы из метаматериала на устойчивость 2.0-туннельных бифуркаций в квантовых молекулах / В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, Ю. Г. Смирнов, Р. В. Зайцев, В. А. Рудин, П. В. Кревчик, М. А. Манухина,

С. Е. Козенко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 4 (20). - С. 127-141.