CC BY
19
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Наблюдаемые двумерные туннельные бифуркации во внешнем
электрическом поле
В. Ч. Жуковский1,0, Ю.И. Дахновский2, О. Н. Горшков3, В. Д. Кревчик4, М. Б. Семенов4-6, Ю. Г. Смирнов4, Е. В. Чупрунов3, В. А. Рудин4, Н. Ю. Скибицкая4, П. В. Кревчик4, Д. О. Филатов3, Д. А. Антонов3, М. А. Лапшина3, К. Ямамото5,
М. Е. Шенина3
1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
2 University of Wyoming, Laramie, Wyoming, USA. 3Научно-исследовательский физико-технический институт ННГУ имени H.H. Лобачевского. Россия, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23/3. 4 Пензенский государственный университет. Россия, 440026, г. Пенза, ул. Красная, д. 40.
5Research Institute of International Medical Center of Japan. Tokyo, Japan.
E-mail: azhukovsk@phys.msu.ru, bphysics@pnzgu.ru
Статья поступила 15.04.2009, подписана в печать 04.05.2009.
Исследуется проблема управляемости двумерного диссипативного туннелирования в системе туннельно-связанных квантовых точек (квантовой молекуле), взаимодействующих квантовых молекул или системе «игла кантилевера атомно-силовой микроскоп/сканирующий туннельный микроскоп (АСМ/СТМ) — квантовая точка», моделируемых 20-осцилляторным потенциалом, взаимодействующим с термостатом, во внешнем электрическом поле. Полученные результаты качественно соответствуют отдельным экспериментальным вольт-амперным характеристикам для системы «платинированная игла кантилевера АСМ/СТМ — квантовая точка из золота», полученным в НИФТИ при ННГУ имени Н. И. Лобачевского. Экспериментально наблюдаемыми и устойчивыми оказываются предсказанные ранее 20-туннельные бифуркации с диссипацией для случая параллельно туннелирующих взаимодействующих частиц.
Ключевые слова: диссипативное туннелирование, двумерные бифуркации, квантовые точки.
УДК: 535.361. PACS: 73.40.Gk, 82.20.Xr, 03.65.Хр, 31.15.Gy.
Впервые существование 20-туннельных бифуркаций было предсказано в работе [1] для систем взаимодействующих контактов Джозефсона. Был предсказан эффект излома на температурной или токовой зависимости вероятности распада в окрестности точки бифуркации. Однако, как предполагалось, соответствующая температурная область могла оказаться узкой для детального экспериментального изучения. Соответствующая особенность вероятнее всего замывалась флукту-ациями. Несколько позднее в работе [2] неустойчивый эффект 20-туннельных бифуркаций изучался для антипараллельного переноса в системах типа порфиринов (или на примере димеров 7-азаиндола). В работе [3] исследована тонкая структура 20-туннельных бифуркаций с диссипацией при параллельном и антипараллельном переносе частиц. Было показано, что в случае параллельного переноса туннелирующих частиц в асимметричном осцилляторном потенциале в точке бифуркации может наблюдаться устойчивый излом на зависимости вероятности туннелирования от температуры, а также режим квантовых биений в окрестности точки бифуркации. В работе [4] исследовались конкурирующие туннельные траектории в 20-потенциале с варьируемой топологией как модель для квантовых бифуркаций. В последние годы процессы туннелирова-
ния вызывают особый интерес исследователей структур с квантовыми точками и квантовыми молекулами, что во многом связано с возможностями современных на-нотехнологий [5-15].
Многие из отмеченных систем рассматриваются с позиций инстантонного подхода. Вычисление константы туннелирования, основанное на инстантонном приближении, делает все перечисленные явления в некотором смысле «подобными». В химических реакциях константа скорости предполагает экспоненциальную эволюцию для вероятности переноса, тогда как в электронных приборах константа скорости определяет туннельный ток. В работе [9] было показано, что проводимость гранулированных металлических пленок связана с процессами туннелирования между соседними гранулами, а также что взаимодействие с термостатом, обеспечивающее реальный переход в состояния, локализованные в «соседнем» кластере, достаточно мало. Таким образом, характеристики туннельного тока в изучаемых системах можно рассматривать в пределе сравнительно «слабой» диссипации, но достаточной для обеспечения «распадности» двухъямного осцилляторного потенциала, используемого в предлагаемой модели. Кроме того, существенный вклад в туннельный ток может дать вероятность туннелирования, оцененная с точностью
ПЗ
1.8нм е
SiO,
А1
Аи
1.5 нм е~
А2
n++-Si +
/, нА 4
3
2
1
-6
V
-4 -2 0 -1
8 [/,В
Рас. /. Схема экспериментальной установки с использованием совмещенного АСМ/ СТМ и отдельные полученные туннельные ВАХ. а — Схема туннелирования электронов через нанокомпозитную структуру 81/8Ю2/5102:НК-Аи/8Ю2; А1 — тун-нельно-прозрачный барьер зонд-кластер, А2 — барьер кластер-подложка, б — ВАХ, измеренная на структуре 81(100)/8Ю2 (1.5 нм)/8Ю2 :НК-Аи(1.б нм)/8Ю2 (1.8 нм) в местах расположения нано-кластеров Аи в 8Ю2
до предэкспоненциального фактора в работе [15]. На рис. 1 представлена экспериментальная схема исследований и одна из типичных вольт-амперных характеристик (ВАХ), полученных экспериментальной группой (О. Н. Горшков, Д. О. Филатов и др.) в НИФТИ при ННГУ имени Н.И. Лобачевского.
Одной из характерных особенностей ВАХ, приведенной на рис. 1, является резкий излом, наблюдаемый при положительных напряжениях, который, предположительно, обусловлен сменой режима туннелирования по параллельным каналам в асимметричном 2В-по-тенциале или наличием точки бифуркации, описанной в [3]. Вблизи этой точки на ВАХ наблюдается небольшая переходная область с отдельной особенностью, которая, вероятно, может отвечать режиму квантовых биений, также предсказанных в [3]. И наконец, в области отрицательных напряжений мы наблюдаем характерный единичный пик, который, как описано ранее в работе [15], связан с особенностью предэкспоненциального фактора в момент, когда с изменением внешнего электрического поля, влияющего на величину параметра асимметрии потенциала, модельный потенциал становится симметричным. Эта совокупность изученных теоретически и экспериментально эффектов позволяет делать вывод о возможности эксперименталь-
ного наблюдения устойчивых 20-туннельных бифуркаций с диссипацией, что и является основным результатом настоящей работы. Теоретическая возможность использовать науку о диссипативном туннелировании для систем с атомно-силовым микроскопом/сканирующим туннельным микроскопом (АСМ/СТМ) была ранее продемонстрирована в работе [11]. В работе [15] приводится сравнение теоретической зависимости для вероятности диссипативного туннелирования с экспериментальной ВАХ в структуре с КТ из коллоидного золота для совмещенного АСМ/СТМ [12].
При изучении туннельного тока с иглы кантилевера совмещенного АСМ/ СТМ в ближайший нанокластер золота (квантовую точку) вполне вероятной может быть ситуация, когда из-за неоднородностей на поверхности иглы реализуются параллельные близко расположенные каналы туннельного тока. Если размер неоднородности оказывается меньше размера нанокластера (квантовой точки), то при отрицательном приложенном напряжении меняется асимметрия потенциала вдоль координаты переноса, как это изображено на рис. 2. С учетом взаимодействия туннелирующих по параллельным каналам частиц перестройка потенциала становится существенно двумерной (рис. 3).
Рис. 2. Учет влияния электрического поля на асимметричный двухъямный осцилляторный потенциал. При некотором значении приложенного отрицательного напряжения потенциал становится симметричным (Ь), что может дать в предэкспоненциальном факторе вероятности переноса наблюдаемый единичный пик
Учет влияния электрического поля (при отрицательном напряжении) на асимметричный двухъямный осцилляторный потенциал дает
U)Z
U(q) = -£(q+ao)2e(-q) +
и
9(q)+\e\Eq, (1)
2
где параметр А/ = ~~ ао) определяет исходную
асимметрию потенциала в отсутствие поля и, как из-
5.0 -5.0
-5.0 -5.0
Рис. 3. Изменение асимметрии поверхности потенциальной энергии для параллельного переноса частиц во внешнем электрическом поле (при отрицательном приложенном напряжении). При некотором значении приложенного напряжения потенциал становится симметричным (Ь)
вестно, приводит к изменению величины асимметрии, пропорциональной величине поля
ш2
Аи = и2(Ь)^и1(а) + ^-(а20^Ь1) = \е\Е(а0 + Ь0)~Е, (2)
|а|2£2
Н
где Огф) = -Ь0\е\Е - Щ-, Ша) = а0\е\Е
2ш0
При некотором значении внешнего поля первоначально асимметричный потенциал с более глубокой правой ямой может стать симметричным ас = Ъс\
и1{а) = и2{Ъ)-
-а0\е\Е ■
е\2Е2
ч
= Ые\Е ■
12Е2
Шо
н
(Ь'^а2);
отсюда
Е\е\(а0 + Ь0) = ^(Ь0-а0)(ао+Ьо) и Ес = (Ь0-а0)щ.
(3)
Таким образом, влияние электрического поля можно учесть через перенормировку параметров а = а = ао + Жг ь = ь =
—, и — Ь = Ьо — Ц-. Смена знака напряжения приводит к тому, что исходная асимметрия потенциала (правая яма глубже левой) будет только усиливаться, состояние симметричного потенциала при таком знаке напряжения не достигается. Для 20-потен-циала мы получим картину, напоминающую рис. За, где минимум В справа будет более глубоким, а минимум А более мелким. Если исходная асимметрия потенциала (как предполагается) была недостаточной для достижения точки бифуркации туннельных траекторий, то с ростом поля ее можно достичь.
Для 20-параллельного переноса с учетом взаимодействия частиц и перенормировки параметров потенциала во внешнем электрическом поле получим перенормированный потенциал в виде
Щч 1.92) =
= {ц1+а)2в{^ц1) +
+ [_(62 _ д2) + _ Ь)2]в{41) + (д2 + а)2в(^2) +
+ [~(Ь2 - а2) + (д2 - Ь)2]в(д2) - - д2)2. (4)
Предположим, что две частицы независимо взаимодействуют с гармоническим термостатом. Такое взаимодействие рассматривается в билинейном приближении. Динамика среды описывается осцилляторным гамильтонианом (при этом мы используем систему единиц с Н = I, кв = 1 и массами осцилляторов, равными единице)
ЯрЬ=^]Г(Р2+а;2<3?). (5)
I
Каждая из туннелирующих частиц (электронов или эффективных зарядов) взаимодействует с осцилляторным термостатом следующим образом:
, (30 = Ч1 £ Ш, (30 = Ч2 £
I I
Как и в работе [3], мы интересуемся вероятностью переноса в единицу времени или, строго говоря, только ее экспоненциальной частью, которая может быть записана в форме Лангера
Для вычисления Г удобно представить статистическую сумму 2 в форме интеграла по траекториям [1-8]
2 = П
Од1Од2Од1ехр{^8{д1,д2,д1}]. (8)
Здесь 5 обозначает подбарьерное действие для всей системы. Мнимая часть 1тZ появляется благодаря распадности энергетических уровней в исходной яме потенциальной энергии. Справедливость этого приближения требует, чтобы диссипация была бы достаточно сильной, так что реализуется только некогерентный распад [3].
Интеграл (8) может быть взят по фононным координатам [3]; в результате
№
йт
\ч2 + \ч1 + У(Чи 42) +
(9)
0/2
йт'0{т^т')Ыт) + Ч2{т)] х Ыт') + д2(т')]
-,¿3/2
где
(10)
Р = Ь/{квТ) — обратная температура (ниже мы предполагаем, что Ь = 1 и кв= 1), уп = 2тт//3 — мацуба-ровская частота,
с,2
. шу
(П)
Траектория, которая минимизирует евклидово действие Б, может быть найдена из уравнений движения. Моменты времен т\ и т2, в которые частицы проходят вершины барьера, определяются из следующих уравнений:
(т0 = 0, 42{т2) = 0. (12)
В случае параллельно туннелирующих частиц (потенциальная энергия (4)) результирующее евклидово действие задается следующим образом:
5 = 2а(а + Ь){п + т2)ш2 - Iш2(а + Ь)2{п + т2)2 -
0
ш4(а + Ь)2(т 1 - т2)2 2 ш4(а + Ь)2
Е
(ш2 - 2а) 0 ¡3
(эт2 юпт\ + эт2 юпт2) , (эт о„п - эт о„т2)2
(13)
п=1
а2(а2 + и? + £п) ю2(ю2 + ш2 ^2а)
где определяется соотношением (11).
Ниже мы используем следующие обозначения:
е = е*ш = (п — т2)ш, т = 2т*ш = (п + т2)ш,
¡3* = /3ш/ 2, а* = 2а/ш2, Ь* = Ь/а
и предполагаем, что Ь > а. В отсутствие взаимодействия с осцилляторами среды-термостата, т. е. при £„ = 0, действие (13) как функция параметров гит принимает вид
S =
{а + Ь)2ш Г 4ат
1 +
1
(т - |г|)а*
2 \a + b a + b\ \ - а*) 1 ^ а*
+ coth/3* - sinh-1 /3* Jcosh(/3* - т) cosh г + cosh(/3* - т) -
- cosh(/3* - |г|)] - (1 - агТШ coth +
+ sinh^1 (¡3yITa*) {cosh [(/?* - т)уГГ^Щ x
x Jcosh (eVT - - l] + cosh [(/3* - |c|)л/Ь^а*] |
(14)
Как только траектория найдена, уравнения (12) могут быть представлены в следующей форме:
sinh e[cosh т coth(3* - sinh т - coth/3*] +
+ —-— sinh (ey/T^a*) x 1 - a* V /
x [cosh (ту/1 - a*) coth (j3*y/ 1 - a*) -
- sinh (tVI ^a*) + coth (/?Vl - a*)] = 0,
1
1 + b* 1 - a' + sinh r coth ¡3* - cosh r +
■ + cosh e[sinhr coth¡3* - coshr — 1] +
1
■ cosh
(Wl — a*^
1 — a*
x [sinh (ту/ 1 — a*^ coth (j3*y/l - a*) -- cosh (ту/1 - a*) + 1 j -1 |sinh (ту/ 1 - a*) coth (j3*y/1 - a*)
1 — a
I, hA
2 -
1л
cosh (ту/1 — a*^] = 0. (15)
Как было проанализировано в работе [3], решение этой системы и позволяет выявить бифуркацию 20-туннель-ных траекторий, т. е. при определенном значении температуры ¡3*, либо параметра асимметрии потенциала, связанного с величиной приложенного электрического поля Ь* = Ь/а, либо коэффициента взаимодействия а* = 2а/иР- (где а = ^^ зависит, в частности, от относительной диэлектрической проницаемости среды-термостата; проблема изучения 20-бифуркаций с диссипацией при изменении параметра г может представлять отдельный интерес). Численный анализ системы (15) позволяет также выявить тонкую структуру перехода в окрестности точки бифуркации, а именно режим квантовых биений для параллельного переноса тунне-лирующих частиц. В итоге вероятность 20-туннелиро-вания с экспоненциальной точностью определяется как Г = ехр(—5), где 5 задается выражением (14) с учетом решения системы (15). Поскольку нас интересует качественное сравнение с имеющимися туннельными ВАХ для системы «игла кантилевера — нанокластер из золота», мы интересуемся зависимостью Г от параметра асимметрии Ь* = Ь/а. Результат сравнения этой теоретической кривой с экспериментальной ВАХ приведен ниже на рис. 4. Но необходимо учесть, что в целом мы рассматриваем две области изменения электрического поля: при положительном напряжении с реализацией режима 20-бифуркации и при отрицательном напряжении с достижением симметричного потенциала, что в случае синхронного туннельного переноса по параллельным координатам дает в удвоенном предэкспонен-циальном факторе особенность типа единичного пика в этом случае.
Границы применимости рассматриваемой модели обусловлены приближением разреженного газа пар
Рис. 4. Сравнение теоретической кривой (пунктирная кривая) для 2Б-диссипативного параллельного туннелирования с экспериментальной ВАХ, приведенной на рис. 1 (точечная кривая)
«инстантон-антиинстантон» и обсуждались в работах [2-8]. В рассматриваемой модели может происходить подавление кулоновских эффектов, если стартовая энергия частицы в КТ существенно превышает энергию кулоновского отталкивания: Ц> .
Таким образом, обобщая результаты работ [3] и [15], мы приходим к качественному сравнению теоретических кривых для вероятности диссипативного 20-туннелирования как функции приложенного электрического поля с учетом точки бифуркации (при положительном напряжении) и наличия единичного пика в случае симметричного потенциала (при отрицательном напряжении) с отдельными экспериментальными ВАХ для системы «игла платинированного кантиле-вера — квантовая точка (нанокластер из золота)», полученными группой соавторов из Нижегородского гос. университета имени Н.И. Лобачевского. Эти результаты приведены на рис. 4.
Помимо достаточно хорошего качественного соответствия теоретической и экспериментальной зависимости (за исключением небольших переходных областей) результат этой работы позволяет сделать вывод об экспериментальном обнаружении устойчивой 20-бифурка-ции (смене режима туннелирования с синхронного на асинхронный), предсказанной в работе [3]. Вблизи этой точки (резкий излом на ВАХ) небольшой локальный минимум может быть следствием режима квантовых биений, также описанных в [3], и которые учитывались в процессе численного анализа, представленного на рис. 4.
Работа выполнена при частичной поддержке Мин-обрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» (грант 2.1.1/1647), а также в рамках тематического плана проведения фундаментальных научных исследований по заданию Рособразования (№ 1.15.09).
Список литературы
1. Ивлев Б.И., Овчинников Ю.Н. // ЖЭТФ. 1987. 93. С. 668.
2. Dahnovsky Yu.I., Semenov М.Б. 11 J. Chem. Phys. 1989. 91, N 12. P. 7606.
3. Dahnovsky Yu.I., Ovchinnikov A.A., Krevchik V.D. et al. 11 Phys. Rev. B. 2003. 68. P. 155426.
4. Benderskii V.A., Vetoshkin E.V., Trommsdorff H.P., Kats E.I. 11 Phys. Rev. E. 2003. 67. P. 026102.
5. Krevchik V.D., Semenov M.B., Zhukovsky V.Ch., Ya-mamoto K. et al. Transfer processes in low-dimensional systems (memorial collection of articles, dedicated to prof. A. A. Ovchinnikov and A. I. Larkin's memory). Tokyo: UT Research Institute Press, 2005.
6. Овчинников А.А., Кревчик В.Д., Семенов М.Б. и др. Принципы управляемой модуляции низкоразмерных структур (монография, посвященная памяти члена-корреспондента РАН, зав. отделом Объединенного института химической физики РАН А. А. Овчинникова). М.: УНЦ ДО, 2003. С. 510.
7. Жуковский Б.Ч., Кревчик В.Д., Семенов М.Б. и др. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. № 3. С. 24.
8. Жуковский Б.Ч., Кревчик В.Д, Семенов М.Б. и др. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2007. № 2. С. 10.
9. Овчинников Ю.Н. // ЖЭТФ. 2007. 131, № 2. С. 286.
10. Ullien D., Cohen Н., Porath D. // Nanotechnology. 2007. 18, N 42. P. 424015.
11. Louis A.A., Sethna LP. 11 Phys. Rev. Lett. 1995. 74, N 8. P. 1363.
12. Yanagi H., Ohno T. 11 Langmuir. 1999. 15, N 14. P. 4773.
13. Bychkov A.M., Stace T.M. // Nanotechnology. 2007. 18. P. 185403.
14. Антонов Д.А., Вугалътер Г.А., Горшков O.H. и др. // Вестн. ННГУ. Физ. тверд, тела. 2007. № 3. С. 55.
15. Жуковский Б.Ч., Кревчик В.Д, Семенов М.Б. и др. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2009. № 1. С. 27.
Observed two-dimensional tunnel bifurcations in external electric field
V.Ch. Zhukovsky1,13, Yu.I. Dahnovsky2, O.N. Gorshkov3, V.D. Krevchik4, M.B. Semenov", Yu.G. Smirnov4, E.V. Chuprunov3, V.A. Rudin4, N.Yu. Skibitskaya4, P.V. Krevchik4, D.O. Filatov3, D. A. Antonov3, M. A. Lapshina3, K. Yamamoto , M. E Shenina
1 Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
2 University of Wyoming, Laramie, Wyoming, USA.
3State University of Nignii Novgorod, Research Phys.-Tech. Institute.
4 Penza State University.
5 Research Institute of International Medical Center of Japan, Tokyo, Japan. E-mail: a zhukovsk@phys.msu.ru, bphysics@pnzgu.ru.
Controllability problem for two-dimensional dissipative tunneling in system of the tunnel-coupled quantum dots (quantum molecule), interacting quantum molecules or system "the AFM/STM cantilever tip—quantum dot", simulated by 2D oscillator potential in a heat bath and external electric field, has been investigated. Obtained results are qualitatively correspond to the separate experimental VACs for the system "platinized cantilever tipgolden quantum dot", which have been obtained in Nizhnii Novgorod State University. Earlier predicted 2D tunnel bifurcations with dissipation for the case of parallel tunneling interacting particles are found to be experimentally observed and be stable.
Keywords: dissipative tunneling, 2D bifurcations, quantum dots. PACS: 73.40.Gk, 82.20.Xr, 03.65.Xp, 31.15.Gy. Received 15 April 2009.
English version: Moscow University Physics Bulletin 5(2009).
Сведения об авторах
1. Жуковский Владимир Чеславович — докт. физ.-мат. наук, профессор, зам. зав кафедрой; e-mail: zhukovsk@phys.msu.ru.
2. Дахиовский Юрий Иванович - lull professor, University of Wyoming, Laramie, Wyoming, USA.
3. Горшков Олег Николаевич — директор НИФТИ при Нижегородском гос. университете имени Н. И. Лобачевского.
4. Кревчик Владимир Дмитриевич — докт. физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой физики Пензенского гос. университета.
5. Семенов Михаил Борисович — докт. физ.-мат. наук, профессор Пензенского гос. университета; e-mail: physics@pnzgu.ru.
6. Смирнов Юрий Геннадьевич — докт. физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой математики и математического моделирования Пензенского гос. университета.
7. Чупрунов Евгений Владимирович — докт. физ.-мат. наук, профессор, ректор Нижегородского гос. университета имени Н. И. Лобачевского.
8. Рудин Вадим Александрович — студент Пензенского гос. университета.
9. Скибицкая Наталья Юрьевна — аспирантка Пензенского гос. университета.
10. Кревчик Павел Владимирович — студент Пензенского гос. университета.
11. Филатов Дмитрий Олегович — канд. физ.-мат. наук, доцент, НИФТИ при Нижегородском гос. университете имени Н.И. Лобачевского.
12. Антонов Дмитрий Александрович — научн. сотр. НИФТИ при Нижегородском гос. университете имени Н.И. Лобачевского.
13. Лапшина Мария Александровна — аспирантка НИФТИ при Нижегородском гос. университете имени Н.И. Лобачевского.
14. Ямамото Кендзи — профессор, зам. директора исследовательского института при международном медицинском центре г. Токио, Япония.
15. Шенина Мария Евгеньевна — аспирантка НИФТИ при Нижегородском гос. университете имени Н.И. Лобачевского.
