CC BY
65
УДК 539.2:541.117
В. Ч. Жуковский, О. Н. Горшков, В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, Ю. Г. Смирнов, Е. В. Чупрунов,
В. А. Рудин, Н. Ю. Скибицкая, П. В. Кревчик, Д. О. Филатов, Д. А. Антонов, М. А. Лапшина, М. Е. Шенина, К. Ямамото
ОСОБЕННОСТИ ДВУМЕРНЫХ ТУННЕЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ В УСЛОВИЯХ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ1
Аннотация. Исследуется проблема управляемости двумерного диссипативного туннелирования в системе «игла кантилевера АСМ/СТМ - квантовая точка», моделируемой 2Б-осцилляторным потенциалом, взаимодействующим с термостатом, во внешнем электрическом поле. Методом инстантонов рассчитана вероятность 2Б-туннельного переноса и исследована ее зависимость от величины внешнего электрического поля. Полученные зависимости качественно соответствуют отдельным экспериментальным ВАХ для системы «платинированная игла кантилевера АСМ/СТМ - квантовая точка из золота», полученным в НИФТИ при ННГУ им. Н. И. Лобачевского. Экспериментально наблюдаемыми и устойчивыми оказываются предсказанные ранее 2Б-туннельные бифуркации с диссипацией для случая параллельно туннелирующих взаимодействующих частиц.
Ключевые слова: диссипативное туннелирование, двумерные бифуркации, квантовые точки.
Abstract. Controllability problem for two-dimensional dissipative tunneling in system of «the AFM/STM cantilever tip - quantum dot», simulated by 2D oscillator potential in a heat bath and external electric field, has been investigated. The 2D tunnel transfer probability dependence on external electric field has been calculated in frames of instanton approximation. Obtained results are qualitatively corresponded to separate experimental VACs for system «platinized cantilever tip -golden quantum dot», which have been obtained in N. Novgorod State University. Earlier predicted 2D tunnel bifurcations with dissipation for case of parallel tunneling interacting particles are found as experimentally observed and stable ones.
Keywords: dissipative tunneling, 2d-bifurcations, quantum dots.
Настоящая работа посвящена теоретическому исследованию влияния внешнего электрического поля на наблюдаемые характеристики 2D^^OTm-тивного туннелирования для металлических квантовых точек (КТ) в системе совмещенного АСМ/СТМ. Актуальность данного исследования обусловлена тем, что проведенные теоретические расчеты предлагают практически значимые механизмы управления для экспериментально реализуемых структур с туннельно связанными квантовыми точками (КТ) и квантовыми молекулами (КМ) в системе совмещенного АСМ/СТМ, что является существенным для целей современной наноэлектроники с управляемыми характеристиками. Этим обусловлена и практическая значимость выполненного исследования.
Впервые существование 2D-туннельных бифуркаций было предсказано в работе Ю. Н. Овчинникова и Б. И. Ивлева [1] для систем взаимодействую-
1 Данная работа выполнена при частичной поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647, а также в рамках тематического плана проведения фундаментальных научных исследований по заданию Рособразования, № 1.15.09.
щих контактов Джозефсона. Был предсказан эффект излома на температурной или токовой зависимости вероятности распада в окрестности точки бифуркации. Однако, как предполагалось, соответствующая температурная область могла оказаться узкой для детального экспериментального изучения. Соответствующая особенность вероятнее всего замывалась флуктуациями. Несколько позднее в работе Ю. И. Дахновского и М. Б. Семенова [2] неустойчивый эффект 2Б-туннельных бифуркаций изучался для антипараллель-ного переноса в системах типа порфиринов (или на примере димеров 7-азаиндола). В работе коллектива авторов [3] исследована тонкая структура 2Б-туннельных бифуркаций с диссипацией при параллельном и антипарал-лельном переносе частиц. Было показано, что в случае параллельного переноса туннелирующих частиц в асимметричном осцилляторном потенциале в точке бифуркации может наблюдаться устойчивый излом на зависимости вероятности туннелирования от температуры, а также режим квантовых биений в окрестности точки бифуркации. В. А. Бендерский, Е. И. Кац и соавторы [4] исследовали конкурирующие туннельные траектории в 2Б-потенциале с варьируемой топологией как модель для квантовых бифуркаций. В последние годы процессы туннелирования вызывают особый интерес исследователей структур с квантовыми точками и квантовыми молекулами, что во многом связано с возможностями современных нанотехнологий [5-15].
Многие из отмеченных систем рассматриваются с позиций инстантон-ного подхода. Вычисление константы туннелирования, основанное на ин-стантонном приближении, делает все перечисленные явления в некотором смысле «подобными». В химических реакциях константа скорости предполагает экспоненциальную эволюцию для вероятности переноса, тогда как в электронных приборах константа скорости определяет туннельный ток. В работе Ю. Н. Овчинникова [9] было показано, что проводимость гранулированных металлических пленок связана с процессами туннелирования между соседними гранулами, а также, что взаимодействие с термостатом, обеспечивающее реальный переход в состояния, локализованные в «соседнем» кластере, достаточно мало. Таким образом, характеристики туннельного тока в изучаемых системах можно рассматривать в пределе сравнительно «слабой» диссипации, но достаточной для обеспечения «распадности» двухъямного осцилляторного потенциала, используемого в предлагаемой модели. Кроме того, существенный вклад в туннельный ток может внести вероятность туннелирования, оцененная с точностью до предэкспоненциального фактора в работе [15]. На рис. 1 представлена экспериментальная схема исследований и одна из вольт-ампер-ных характеристик, полученная экспериментальной группой (О. Н. Горшков, Д. О. Филатов и др.) в НИФТИ при ННГУ им. Н. И. Лобачевского.
Одной из характерных особенностей ВАХ, приведенной на рис. 1, является резкий излом, наблюдаемый при положительных напряжениях, который, как мы предполагаем, обусловлен сменой режима туннелирования по параллельным каналам в асимметричном 2Б-потенциале или наличием точки бифуркации, описанной в [3]. Вблизи этой точки на ВАХ наблюдается небольшая переходная область с отдельной особенностью, которая, вероятно, может отвечать режиму квантовых биений, также предсказанных нами в [3]. И, наконец, в области отрицательных напряжений мы наблюдаем характерный единичный пик, который, как описано ранее [15], связан с особенностью пре-дэкспоненциального фактора в момент, когда с изменением внешнего элек-
трического поля, влияющего на величину параметра асимметрии потенциала, модельный потенциал становится симметричным.
Рис. 1 Схема экспериментальной установки с использованием совмещенного АСМ/СТМ и отдельные полученные туннельные ВАХ: а - схема туннелирования электронов через нанокомпозитную структуру 8і/8і02/8і02: НК-Аи/8і02:
А1 - туннельно-прозрачный барьер зонд-кластер, А2 - барьер кластер-подложка; б - одна из вольт-амперных характеристик, измеренных на структуре 8і(100)/8і02(1,5 нм)/8і02: НК-Аи(1,6 нм)/8і02(1,8 нм), в местах расположения нанокластеров Аи в 8і02
Эта совокупность изученных теоретически и экспериментально эффектов позволяет делать вывод о возможности экспериментального наблюдения устойчивых 2Б-туннельных бифуркаций с диссипацией, что и является основным результатом данной работы. Теоретическая возможность использовать науку о диссипативном туннелировании для систем с АСМ/СТМ была ранее продемонстрирована в работе [11]. В работе [15] приводится сравнение теоретической зависимости для вероятности диссипативного туннелирования с экспериментальной ВАХ в структуре с КТ из коллоидного золота для совмещенного АСМ/СТМ [12].
При изучении туннельного тока с иглы кантилевера совмещенного АСМ/СТМ в ближайший нанокластер золота (квантовую точку) вполне вероятной может быть ситуация, когда из-за неоднородностей на поверхности иглы реализуются параллельные близко расположенные каналы туннельного тока. Если размер неоднородности оказывается меньше размера нанокластера (квантовой точки), то при отрицательном приложенном напряжении меняется асимметрия потенциала вдоль координаты переноса, как это изображено на рис. 2. С учетом взаимодействия туннелирующих по параллельным каналам частиц перестройка потенциала становится существенно двумерной (рис. 3).
Рис. 2 Учет влияния электрического поля на асимметричный двухъямный осцилляторный потенциал. При некотором значении приложенного отрицательного напряжения потенциал становится симметричным (б), что может дать в предэкспоненциальном факторе вероятности переноса наблюдаемый единичный пик
Учет влияния электрического поля (при отрицательном напряжении) на асимметричный двухъямный осцилляторный потенциал дает
0 (ч) = ~0(У + ао)2 е(-?) +
^0(ч — ьо)2 —АІ
Є(д) + \e\Eq , (1)
где параметр А/ ( - а° | определяет исходную асимметрию потенциа-
ла в отсутствие поля, как известно, приводит к изменению величины асимметрии, пропорциональной величине поля;
2
Аи = О2(Ь) -Оі(а) + -2-|а0 - Ь0 ) = \е\ЕК + Ь0) ~ Е
(2)
2 2 2 2 2 - ~ II \е\ Е - . . \е\ Е Шп / 2 2
где и1(Ь) = —0 \е\Е ~ 2 , и2(а) = а0 \е\Е-^^----------------— (а0 - Ь0
2шо 2ш2 2 V
При некотором значении внешнего поля первоначально асимметрич-
У- У- V-/ К.У
ный потенциал с более глубокой правой ямой может стать симметричным
ас = Ьс :
Оі(а) = О 2(Ь); —ао |е|Е -
I 1^2 е Е
2ш,
2 = Ь0 \е\Е —
I 1^2 е Е
2
ш0 /7 2 2Л
2 —;т(йо — ао)= (3)
2»2 2
16
11
6
15,0
5,0
26
21
16
11
6
1
5,0
-5,0 -5,0
б)
Рис. 3 Изменение асимметрии поверхности потенциальной энергии для параллельного переноса частиц во внешнем электрическом поле (при отрицательном приложенном напряжении). При некотором значении приложенного напряжения потенциал становится симметричным (б)
Из формулы (3)
2 ю2
Е\е\( + Ь0 )=-^0(ЬО “а0)(а0 + Ь0) и Ес = (Ь0 -'
Таким образом, влияние электрического поля можно учесть через пере-
|е|Е ~ |е| Е
нормировку параметров а = а = а0 + —^, Ь = Ь = »0--------^. Смена знака на-
ю2 ю2
пряжения приводит к тому, что исходная асимметрия потенциала (правая яма глубже левой) будет только усиливаться, состояние симметричного потенциала при таком знаке напряжения не достигается. Для 2Б-потенциала мы получим картину, напоминающую рис. 3,а, где минимум В справа будет более глубоким, а минимум А более мелким. Если исходная асимметрия потенциала (как предполагается) была недостаточной для достижения точки бифуркации туннельных траекторий, то с ростом поля мы можем ее достичь.
Для 2Б-параллельного переноса с учетом взаимодействия частиц и перенормировки параметров потенциала во внешнем электрическом поле мы получим перенормированный потенциал в виде
2и р (рл, а2 ) 2 Г о о 2
ир ( Р2 )=--------2-----= ( + а ) 9(_Р1 )+ _(Ь _ а ) + ( _ Ь ) 2 ) +
ш 1 J
&
+ ( + а2 )0(_р2 )+ -(Ь 2 - а2) + (р2 - Ь )2 0(р2 )__^ (1 - р2 )2 . (4)
При введении взаимодействия между частицами в диполь-дипольном приближении выбираем Уп в форме гармонического потенциала «притяжения»:
У а( -р2у)2 (5)
Уы = 2 . (5)
Такая потенциальная энергия может описывать, например, следующую физическую ситуацию (с «обычным» кулоновским отталкиванием): две взаимодействующие одноименно заряженные частицы расположены на достаточно большом расстоянии Л0 друг от друга вдоль оси х, и также предполагается ^0 >> й , где й - дистанция параллельного переноса взаимодействующих частиц вдоль оси у в одном направлении (рис. 4).
В этом случае функция потенциальной энергии взаимодействия может
быть представлена в виде ряда по степеням параметра (у - а2у) у))2 , где Р1у и Р2 у - координаты туннелирования (рис. 4). Для кулоновского отталкивания частиц в среде (£0 - диэлектрическая постоянная, е - относительная диэлектрическая проницаемость) получим
У = е2 = е2 е2 1 е2 (1у- р2у)
ТгеР е_ Ы г „ .-11/2 е_ 2 'е_ ■ г> 2 . (6)
£0 \К\ ее0 ГЯ02 + (а у - а2 у )211/2 £0К° 2 £0^ *0
^0 + (р1 у - а2у )
Следовательно,
(7)
<71,2 у
9
Яо/2
До/2
О
О
Рис. 4 Введение координаты туннелирования: Я) (вдоль оси дх) - дистанция между туннелирующими частицами; и - координаты туннелирования
Отрицательная гармоническая потенциальная энергия (второе слагаемое в разложении) появляется, следовательно, как эффективное притягивающее взаимодействие, хотя потенциал остается все время отталкивающим. Этот отрицательный вклад уменьшает отталкивающий потенциал от его мак, \ е2
симального значения в Щ. Постоянная составляющая и (Щ 1 =----------- может
ее0 Щ
быть включена в определение потенциальных энергий отдельных частиц.
Мы предполагаем, что две частицы независимо взаимодействуют с гармоническим термостатом. Такое взаимодействие рассматривается в билинейном приближении. Динамика среды описывается осцилляторным гамильтонианом (при этом мы используем систему единиц с Й = 1, = 1 и массами
осцилляторов, равными 1):
Каждая из туннелирующих частиц (электронов или эффективных зарядов) взаимодействует с осцилляторным термостатом следующим образом:
Как и в работе [3], мы интересуемся вероятностью переноса в единицу времени или, строго говоря, только ее экспоненциальной частью, которая может быть записана в форме Лангера
(8)
(10)
Для вычисления Г удобно представить статистическую сумму Z в форме интеграла по траекториям [1-8]
(11)
Здесь £ обозначает подбарьерное действие для всей системы. Мнимая часть 1т 2 появляется благодаря распадности энергетических уровней в исходной яме потенциальной энергии. Справедливость этого приближения требует, чтобы диссипация была бы достаточно сильной, так что реализуется только некогерентный распад [3].
Интеграл (11) может быть взят по фононным координатам [3], в результате
Р/2
£ { 42 }= Г йх
-Р/2
-{12 + — {2 + У (q1,{2 ) +
Р/2
где
+ | йх'В(х-т')[{1 (т) + {2(т)]х[{1 (т) + {2(х')]
-Р/2
(12)
(13)
Р = Й /(кцТ) - обратная температура (ниже мы предполагаем, что Й = 1 и кв = 1), Уп = 2кп / Р является мацубаровской частотой, и
С,
Сі
(14)
Траектория, которая минимизирует евклидово действие £, может быть найдена из уравнений движения. Моменты времен Т1 и Т2, в которые частицы проходят вершины барьера, определяются из следующих уравнений:
41 (х1 ) = ° 42(х2) = °.
(15)
В случае параллельно туннелирующих частиц [потенциальная энергия (4)], результирующее евклидово действие задается следующим образом:
£ = 2а(а + Ь)( + т2 )ю2 -1 ю2 (а + Ь)2 ( + т2 )2 _ю (а * Ь) (т1 _т2)—
' Д1 2 Р ' М' 2' (ю2 _2а)р
2ю4 (а + Ь )
£
п=1
(іп Упх1 + ЭШ Упх2 ) (п VпХ1 - 8ІПУпХі )2
V2 ( +ю2 + ^п
) уп(
У2п ( +®2-2а
где ^п определяется соотношением (14). 130
Ниже мы используем следующие обозначения:
є = є*ю = ( -Хі )со, х = 2х*ю = ( + Хі )со, Р* = Рсо/2, а* = 2а/ю2, Ь* =Ь /а,
и предполагаем, что Ь > а . В отсутствие взаимодействия с осцилляторами среды - термостата, т.е. при Ъ>п = 0, действие (16) как функция параметров є и х принимает вид
ч2 Г . /_ |_|\_*
£ =
і * і *
1 -а J 1 -а
+ coth ß* -
- sinh-1 ß*
x<cosh
2 [ a + b a + b
cosh( -xjcoshe + cosh( cosh( -|e|j
-(i -a*j { - coth { p-\/
(-x)Vi
- coth I ßV 1 -а* 1 + sinh 1 f [W1 -а* | x
[-a
cosh I ev 1 -a | -1
+ cosh
(ß*-N^VT
-a
. (17)
Как только траектория найдена, уравнения (15) могут быть представлены в следующей форме:
sinh є
cosh х coth ß* - sinh x - coth ß*
+--1—sinh І eVT- a*
1 -a*
cosh I x Vi-a* |x
xcoth
ß*V 1 -a* J - sinh ^ W1 -a* j + coth ^ ß*V1 - a*
_0;
3 -1
1,7*1 *
1 + b 1 -a
■ + cosh e
sinh x coth ß* - cosh x -1
+ sinh x coth ß* - cosh x +
*
1 -a
cosh I eVT-a
sinh I xV1 - a |coth
ß*V1
-a* I-coshf ^л/T-a* | + 1
1
1 -a
sinh f xV1 - a* J coth ^ ß* V1 -a* | - cosh f W1 - a* J
_ 0. (18)
Как было проанализировано нами в работе [3], решение этой системы и позволяет выявить бифуркацию 2Б-туннельных траекторий, т.е. при определенном значении температуры Р*, либо параметра асимметрии потенциала,
связанного с величиной приложенного электрического поля Ь = Ь / а, либо
„2
зависит, в частно -
коэффициента взаимодействия а* = 2а / ю2 (где а = - Є
3
££° Я°
сти, от относительной диэлектрической проницаемости среды - термостата; проблема изучения 2Б-бифуркаций с диссипацией при изменении параметра є может представлять отдельный интерес). Численный анализ системы (18) позволяет также выявить тонкую структуру перехода в окрестности точки бифур-
+
кации, а именно режим квантовых биений для параллельного переноса туннелирующих частиц. В итоге вероятность 2Б-туннелирования с экспоненциальной точностью определяется как Г = exp (-S), где S задается выражением (17)
с учетом решения системы (18). Поскольку нас интересует качественное сравнение с имеющимися туннельными ВАХ для системы «игла кантилевера - нанокластер из золота», мы интересуемся зависимостью Г от параметра асимметрии b* = b / a. Результат сравнения этой теоретической кривой с экспериментальной ВАХ приведен на рис. 5. Но необходимо учесть, что в целом мы рассматриваем две области изменения электрического поля: при положительном напряжении с реализацией режима 2Б-бифуркации; при отрицательном напряжении с достижением симметричного потенциала, что в случае синхронного туннельного переноса по параллельным координатам дает в удвоенном пре-дэкспоненциальном факторе особенность типа единичного пика в этом случае.
Рис. 5 Сравнение теоретической кривой (пунктирная кривая) для 2Б-диссипативного параллельного туннелирования с экспериментальной ВАХ, приведенной на рис. 1 (точечная кривая)
Условия применимости рассматриваемой модели обусловлены приближением разреженного газа пар «инстантон - антиинстантон» и обсуждались в [2-8]. В рассматриваемой модели может происходить подавление ку-лоновских эффектов, если стартовая энергия частицы в КТ существенно пре-
е2
вышает энергию кулоновского отталкивания: ио >>
а0 + Ь0
Таким образом, обобщая результаты работ [3, 15], мы приходим к качественному сравнению теоретических кривых для вероятности диссипативного 2Б-туннелирования как функции приложенного электрического поля с учетом точки бифуркации (при положительном напряжении) и наличия единичного пика в случае симметричного потенциала (при отрицательном напряжении) с отдельными экспериментальными ВАХ для системы «игла платинированного кантилевера - квантовая точка (нанокластер из золота)», по-
лученными группой соавторов из Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского. Эти результаты приведены на рис. 5.
Помимо достаточно хорошего качественного соответствия теоретической и экспериментальной зависимости (за исключением небольших переходных областей), результат этой работы позволяет сделать вывод об экспериментальном обнаружении устойчивой 2Б-бифуркации (смене режима туннелирования с синхронного на асинхронный), предсказанной в работе [3]. Вблизи этой точки (резкий излом на ВАХ) небольшой локальный минимум может быть следствием режима квантовых биений, также описанных в [3], и которые учитывались в процессе численного анализа, представленного на рис. 5.
Список литературы
1. Ивлев Б. И., Овчинников Ю. Н. // ЖЭТФ. - 1987. № 93. - С. 668.
2. Dahnovsky Yu. I., Semenov M. B. // J. Chem. Phys. - 1989. - № 91. - № 12. -P. 7606.
3. Dahnovsky Yu. I., Ovchinnikov A. A., Krevchik V. D. [ et al.] // Phys. Rev. B. - 2003. - № 68. - P. 155426.
4. Benderskii V. A., Vetoshkin E. V., Trommsdorff H. P., Kats E. I. //
Phys. Rev. E. - 2003. - № 67. - P. 026102.
5. Krevchik, V. D. Transfer processes in low - dimensional systems (memorial collection of articles, dedicated to prof. A. A. Ovchinnikov and A. I. Larkin’s memory) / V. D. Krevchik, M. B. Semenov, V. Ch. Zhukovsky, K. Yamamoto [et al.] // UT Research Institute Press. - Tokyo. Japan, 2005. - 690 P. - (Publication of this book was supported by Nobel prize winner - 2003. prof. A. J. Leggett).
6. Овчинников, А. А. Принципы управляемой модуляции низкоразмерных структур : монография (посвящается памяти члена-корреспондента РАН, зав. отделом Объединенного института химической физики РАН А. А. Овчинникова) / А. А. Овчинников, В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов [и др.]. - М. : УНЦ ДО, 2003. -
С. 510.
7. Жуковский В. Ч., Кревчик В. Д, Семенов М. Б. [и др.] // Вестник Моск. ун-та. Физ., Астрон. - 2006. - № 3. - С. 24.
8. Жуковский В. Ч., Кревчик В. Д, Семенов М. Б. [и др.] // Вестник Моск. ун-та. Физ., Астрон. - 2007. - № 2. - С. 10.
9. Овчинников Ю. Н. // ЖЭТФ. - 2007. - Т. 131. - № 2. - С. 286.
10. Ullien D., Cohen H., Porath D. // Nanotechnology. - 2007. - V. 18. - № 42. -P. 424015.
11. Louis A. A., J. P. Sethna // Phys. Rev. Lett. - 1995. - V. 74. - № 8. - P. 1363.
12. Yanagi H., Ohno T. // Langmuir. - 1999. - V. 15. - № 14. - P. 4773.
13. Bychkov А. М., Stace Т. М. // Nanotechnology. - 2007. - V. 18. - P. 185403.
14. Антонов Д. А., Вугальтер Г. А., Горшков О. Н. [и др.] // Вестник ННГУ. - 2007. - № 3. - С. 55. - (Физика твердого тела).
15. Жуковский В. Ч., Кревчик В. Д, Семенов М. Б. [и др.] // Вестник Моск. ун-та. Физ., Астрон. - 2009. - № 1.
Жуковский Владимир Чеславович
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Zhukovsky Vladimir Cheslavovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, sub-department of theoretical physics, Moscow State University named after M. V. Lomonosov
E-mail: [email protected]
Горшков Олег Николаевич директор НИФТИ при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского
E-mail: [email protected]
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Семенов Михаил Борисович
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра физики, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Чупрунов Евгений Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, ректор Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского
E-mail: [email protected]
Рудин Вадим Александрович
студент, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Скибицкая Наталья Юрьевна
аспирант, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Gorshkov Oleg Nikolaevich Director of Physics and Engineering Research Institute attached to Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy
Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of physics sub-department, Penza State University
Semenov Mikhail Borisovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, physics sub-deparment,
Penza State University
Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University
Chuprunov Evgeny Vladimirovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, rector of Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy
Rudin Vadim Alexandrovich Student, Penza State University
Skibitskaya Natalya Yuryevna Postgraduate student,
Penza State University
Кревчик Павел Владимирович
студент, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Филатов Дмитрий Олегович кандидат физико-математических наук, доцент, НИФТИ при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского
E-mail: [email protected]
Антонов Дмитрий Александрович
научный сотрудник НИФТИ
при Нижегородском государственном
университете им. Н. И. Лобачевского
Лапшина Мария Александровна аспирант, НИФТИ при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского
Шенина Мария Евгеньевна аспирант, НИФТИ при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского
Кенджи Ямамото профессор, заместитель директора исследовательского института при международном медицинском центре (г. Токио, Япония)
E-mail: [email protected]
Krevchik Pavel Vladimirovich
Student, Penza State University
Filatov Dmitry Olegovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, Physics and Engineering Research Institute attached to Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy
Antonov Dmitry Alexandrovich Research worker, Physics and Engineering Research Institute attached to Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy
Lapshina Mariya Alexandrovna Postgraduate student, Physics and Engineering Research Institute attached to Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy
Shenina Mariya Evgenyevna Postgraduate student, Physics and Engineering Research Institute attached to Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevskiy
Kendji Yamomoto Professor, vice director of research institute of International Medical Centre (Tokyo, Japan)
УДК 539.2:541.117517.9 + 536.212 Жуковский, В. Ч.
Особенности двумерных туннельных бифуркаций в условиях внешнего электрического поля / В. Ч. Жуковский, О. Н. Горшков, В. Д. Кревчик [и др.] // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2009. - № 2 (10). - С. 123-135.
