Влияние Луны и Солнца на напряженность гравитационного поля у поверхности неупругой Земли Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

уДк 5315 Н. В. ОСТРОВСКИЙ

Вятский государственный университет, г. Киров

ВЛИЯНИЕ ЛУНЫ И СОЛНЦА НА НАПРЯЖЁННОСТЬ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ У ПОВЕРХНОСТИ НЕУПРУГОЙ ЗЕМЛИ

Даны описание классической теории влияния небесных тел на напряженность гравитационного поля Земли и обзор результатов экспериментальных исследований в данной области. Проведены вычисления гравитационных эффектов за счёт Луны и Солнца с использованием обобщённого уравнения гравитационного взаимодействия. Показано, что эти вычисления дают лучшую сходимость с экспериментальными данными.

Введение

Величина и направление силы тяжести в любой точки поверхности Земли непостоянны — они непрерывно меняются вследствие изменения взаимного расположения пробной точки, Луны и Солнца. Наиболее известным следствием этого являются морские приливы.

В соответствии с законами механики результирующая сила, воздействующая на какое-либо тело, равна векторной сумме всех приложенных сил. Следовательно, для того, чтобы найти зависимость силы притяжения к центру Земли (напряженности гравитационного поля) в определённой точке, необходимо определить величины и направления всех сил,

воздействующих на неё. К таким силам следует отнести: 1) силу тяготения к центру Земли, 2) центробежную силу, 3) силу упругости, 4) силу тяготения к Луне и 5) силу тяготения к Солнцу. Для данной точки на земной поверхности первые две силы постоянны. Сила упругости численно равна силе притяжения, т.е. сумме всех сил тяготения и центробежной силы. Величина сил тяготения к Луне и Солнцу будет определяться, как уже было отмечено выше, взаимным расположением пробной точки и небесных тел.

1. Классическая теория приливных эффектов

Сила тяготения между двумя телами в классической механике описывается уравнением Ньютона:

о

Земля

Рис. 1. Схема для описания гравитационного эффекта небесных тел

Рс = С-М-т/г-, (1)

где С — универсальная гравитационная постоянная, Мит — массы взаимодействующих тел, г — расстояние между телами.

Данное уравнение можно переписать в несколько ином виде:

Рс= т-дга<Ш6., (2)

где иа = СМ/т — гравитационный потенциал; дгасШ^ = д — напряжённость гравитационного поля.

Эффект силы притяжения небесного тела в данной точке (точкаРнарис. 1) определяется разностью между этой силой и силой притяжения к центру Земли [1, с. 175-176] и может быть разделён на вертикальную:

ду= Стт(совв'/г'2 — соэЭ/г2) (3)

и горизонтальную:

д(1= Ст7.(5т8'/г'2 — бшО/г*) (4)

компоненты.

Расстояние от пробной точки до небесного тела г' может быть вычислено как разность между векторами Лиг

г' = (Л'2-2ДГСО50 + г1)1'2. (5)

Выразив г' через г и /? и 0' через 0 и учитывая, что /?<</, получим приближённо:

д„=3-СтгЯ (со5*0 - \/3)/г> (6)

д„=(3/2)СттЙ5т(2-0)/г1 (7)

Величину гравитационной постоянной можно выразить через напряжённость гравитационного поля Земли:

дЕ = СтЕ/К7. (8)

Тогда:

д^З-д^т/т^^-^е - 1/3)/г' (9)

д„= (3/2)-дс-(т/тЕ)^5т(Щ/г] (10)

Из уравнения (9) следует, что максимальное значение (по модулю) ду может принимать при значениях 0 равных Оии. Расчёты показывают [1, с. 177], что максимальная величина ^должна составлять: для Луны 0,109 мГал и для Солнца - 0,041 мГал (1 Гал = 1 см/с2, де = 979,7 Гал [2, с. 21]).

Несколько иной подход содержится в монографии [3] (см. рисунок 2). В данной модели предполагается, что Земля и Солнце обращаются вокруг общего центра масс. Важной особенностью этой модели

Рис. 2. Приливной эффект для обращения Луны и Земли вокруг общего центра масс

является то, что в отличие от рассмотренной ранее она даёт физическое объяснение возникновению второго приливного горба — когда Луна (Солнце) находится в оппозиции к пробной точке (точка F). Причину этого видят в центробежной силе, которая должна возникнуть за счет движения вокруг оси 030(, проходящей через центр масс.

Данное представление было введено Ньютоном [4, с. 528] для того, чтобы объяснить нахождение Луны на околоземной орбите. Ведь вычисленная по уравнению Ньютона сила притяжения Луны к Солнцу в два раза превосходит силу притяжения Луны к Земле. Поэтому Луна должна была бы обращаться вокруг Солнца. Рассмотренная ранее модель не позволяет объяснить данный феномен. Однако представление об обращении Луны и Земли вокруг общего центра масс противоречит данным астрометричес-ких наблюдений [5] и не рассматривается в серьёзных обзорах [6].

Но вернёмся к монографии [3]. Создаваемый Луной в точке Р' приливной потенциал равен [3, с. 159]:

UM = СМм(\/г' - 1 /г - RcosQ/i2). (11)

Данное уравнение можно преобразовать, разложив член 1 /г' в ряд по полиномам Лежандра и выразив геоцентрическое зенитное расстояние Луны 0 через склонение Луны 5, её часовой угол t и геоцентрическую широту ф точки Р [3, с. 160]:

cosG = sin<psin8 + cos(p-cos5-cos(í-it) (12)

В результате мы получим следующее выражение [3, с. 160):

t/M = N(r) • (с / г)3 • [3 • (1 / 3 - sin25) • (1 / 3 - sin2<p) -- sin2cp ■ sin25 • cos t + cos2cp • cos25 ■ cos2í] (13)

Аналогичное уравнение может быть выведено и для Солнца.

Чтобы получить составляющие приливного ускорения в точке Р, берут соответствующие производные приливного потенциала, так как вариация д определяется выражением —dU/dr. Первый член в уравнении (13) зависит только от 8 и <р, поэтому он обуславливает долгопериодические приливы. Сомножитель cosí во втором члене указывает на приливы в одни (лунные) сутки, а третий член, содержащий множитель cos2í, создаёт полусуточный прилив [3, с. 161].

К этим рассуждениям нужно сделать одно уточнение. Уравнение (13) — это аппроксимационное уравнение. «Наличие» в уравнении (13) полусуточных приливов является случайным и не содержит теоретического обоснования.

2. Экспериментальное определение приливных эффектов

Попытки экспериментально определить приливные вариации напряжённости гравитационного

поля Земли относятся ещё к XVIII веку, но приборы, обладающие необходимой чувствительностью, появились лишь в конце XIX века. Однако появление высокочувствительных приборов, позволяющих регистрировать изменения как величины ускорения силы тяжести (вертикальная составляющая), так и направления силы тяжести (горизонтальная составляющая), не дали возможность прямого определения приливных эффектов. Дело в том, что абсолютные значения приливных эффектов имеют один порядок с сейсмическими колебаниями и маскируются ими. Поэтому для выделения приливных эффектов из общей величины флуктуации напряжённости гравитационного поля Земли используется гармонический анализ.

Измерения угла отклонения маятника оказались более надёжными по сравнению с измерениями ускорения силы тяжести. Величина угла отклонения Р равна отношению горизонтальной компоненты приливного эффекта к ускорению силы тяжести Земли:

Большой комплекс исследований был проведён российским учёным Иваном Егоровичем Картацци, использовавшим горизонтальный маятник конструкции Ребера-Пашвица [7, с. 132]. При этом было установлено, что наблюдаемые эффекты в среднем составляют от 0,42 до 0,58 от вычисленных теоретически (параметр у) [8, 9]. Аналогичные результаты получили Элерт в Страсбурге, Швейдер в Гейдель-берге, Геккер в Потсдаме [7, с. 133]. Александр Николаевич Орлов провёл обобщение большого массива экспериментальных данных, включая собственные, полученных в различных географических точках, и получил, что наблюдаемый приливной эффект составляет 0,6б±0,02 от теории [10]. З.Н. Аксентьев, обработав все наблюдения на томской станции, нашёл, что приливной эффект составляет 0,52 теоретического [11]. Более поздние измерения дают величину у 0,653 ±0,012 для меридиональной составляющей и0,683±0,007 — для широтной [12, с. 275] (без указания первоисточника).

Эти расхождения между теорией и экспериментом позволили предположить, что их причиной является растяжение земной коры под влиянием Луны и что приливы происходят не только в океане, но и в твёрдой оболочке Земли [8]. Впоследствии эти предположения оформились в теорию упругих деформаций Земли, которая, по мнению [13], полностью согласуется с результатами измерений.

3. Расчёт приливных эффектов с помощью обобщенного уравнения гравитационного взаимодействия

Используемые до сих пор расчёты приливных вариаций напряжённости гравитационного поля Земли проводились на основании уравнения Ньютона. В то же время показано, что уравнение Ньютона непригодно для решения задач многих тел [5, 14]. А задача, связанная с приливными эффектами, включает четыре тела: пробную точку, Землю, Луну и Солнце. Для вычисления силы взаимодействия между двумя телами в системе из л тел было предложено обобщённое уравнение гравитационного взаимодействия [15]:

п

Р12= &т,г12 ^л1,т„/г,Д (15)

где: rh — радиус-вектор (-того тела относительно тела 1, которое для системы из двух тел сводится к уравнению Ньютона. Данное уравнение было проверено для систем Солнце-Юпитер-Пасифе [16], Солнце-Юпитер-Синопе [17], Солнце-Земля-Луна [18].

Основным отличием обобщённого уравнения гравитационного взаимодействия от уравнения Ньютона является то, что в нём гравитационный эффект тела обратно пропорционален кубу расстояния, а не квадрату, как в уравнении (1). Направленность и величина результирующей силы определяются векторной суммой составляющих. Если теперь перейти к системе Пробная точка-Земля-Луна-Солнце, то в принятой в первом разделе терминологии первый член суммы при j = 2 будет определять собственно силу тяготения Земли, а последующие члены — приливные вариации Луны и Солнца. При этом вертикальная составляющая будет равна проекции вектора силы тяготения небесного тела на вектор силы тяготения Земли, а горизонтальная составляющая — проекции на нормаль к вектору силы тяготения Земли:

д',= GRmTcoslZOPT)/r,:> (16)

g\ = GRwrsm{ZOPT)/r,:s (17)

Величину угла ОРТ мы найдём из треугольника ОРТ, приняв, что sin(ZOTP) = ZOTP :

ZOPT- ж - 9- R cos 0/г' (18)

4. Сопоставление моделей

Теперь проведём сопоставление результатов расчётов по обеим моделям, ограничившись влиянием Луны. Начнём с вертикальной составляющей, определяющей вариации модуля ускорения силы тяжести. Анализ функции, описываемой уравнением (9), показывает (см. рис. 3), что, имея период 180 град., она принимает максимальные значения (0,110 мГал) для зенитного расстояния Луны 0 = 0 и 0 = 180 град, и минимальное значение (-0,055 мГал) для 0 = 90 град., проходя через ноль при 0»58 и0«124 град. Хотя период данной функции совпадаете периодом морских приливов, данные значения функции не укладываются в рамки теоретических представлений о характере гравитационных взаимодействий. Это, во-первых, относится к нулевым эффектам при 58 и 124 град., где мы должны ожидать некоторых промежуточных значений. Во-вторых, необъяснимы-

Рис. 3. Отклонения ускорения силы тяжести Земли за счёт влияния Луны, рассчитанные по уравнению (9) (л) и по уравнению (16) К.)

45 90 13S 180 225 270 315 Зенитное расстояние Луны, град.

360

Рис. 4. Величины угла отклонения вектора ускорения силы тяжести Земли, рассчитанные по уравнению (10)(уск) и по уравнению (17) (-О

ми являются отрицательные значения вертикальной компоненты в квадратурах (0 = 90 и 0 = 270), где эффект должен быть нулевым.

Функция по уравнению (16), напротив, имеет период 360 град., что вдвое превосходит период морских приливов. Но сам вид функции вполне согласуется с общими представлениями о характере векторных взаимодействий. Хотя обсуждение собственно морских приливов не является предметом данной статьи, необходимо подчеркнуть ещё раз, что образование приливного «горба» в оппозиции к небесному телу не имеет строгого объяснения.

Размах амплитуды колебаний по уравнению (16) равен 0,11 мГал, а по уравнению (9) — 0,16 мГал. Отношение данных величин с точностью до погрешности равно величине у.

В случае горизонтальной составляющей уравнение (10) опять-таки имеет период 180 град. (рис. 4). Причём максимальное отклонение вектора ускорения силы тяжести имеет место при 0 = 45и 135 град., а нулевое — при 0 = 90 град., хотя мы вправе были бы ожидать, что при 0 = 90 град, отклонение должно быть максимальным.

Уравнение (17) имеет период 360 град., и характер функции полностью отвечает теоретическим представлениям. Различие в знаках у угла отклонения при 90 и 270 град, связано с тем, что направления смещения вектора, отсчитываемые в круговых координатах, являются противоположными.

Амплитуда отклонений вектора силы тяжести, рассчитанная по уравнению (10), составляет ±0,017 угловых секунд, а по уравнению (17) - ±0,012. Соотношение амплитуд вновь равно найденной величине у. Таким образом, вычисления приливных на основании уравнения (14) дают лучшую сходимость по сравнению с результатами вычислений по уравнениям (9) и (10).

Заключение

Проведённый ана\из показал, что обобщённое уравнение гравитационного взаимодействия позволяет построить лучшую по сравнению с известными модель приливных гравитационных эффектов.

Полученная модель имеет удовлетворительную сходимость с экспериментальными данными по определению приливных эффектов, что делает излишним гипотезу об упругих деформациях Земли.

Библиографический список

1. Цубои Тсюдзи. Гравитационное поле Земли. М.: «Мир», 1982 г., 288 с.

2. Веселов К.Е., Сагитов М.У. Гравиметрическая разведка. М.: «Недра», 1968 г., 512 с.

3. Герленд Дж, Д. Форма Земли и сила тяжести. М.: «Мир», 1967 г.

4. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. с латинского. М.: «Наука», 1989 г.

5. Николай Островский об обращении Земли и Луны вокруг общего центра инерции. // Интернет-журнал Membrana, 19 декабря 2002 г., URL: http://www.membrana.ru/articles/ readers/2002/12/19/182600.html.

6. Холшевников K.B. Луна — спутник или планета? // Интернет-сайт Astronet, 10 марта 2003 г. URL: http://www.astronet. ru/db/msg/1171221.

7. Медунин А.Е. Развитие гравиметрии в России. М.: «Наука», 1967 г., 223 с.

8. Кортацци И. Наблюдения с помощью горизонтального маятника Ребер-Пашвица на Николаевской обсерватории.// Известия РАО, 1895, вып. IV, с. 24-55. Цитируется по [7).

9. Кортацци И. Наблюдения с помощью горизонтального маятника Ребер-Пашвица на Николаевской обсерватории.// Известия РАО, 1896, вып. V, № 6, с. 24-55. Цитируется по [7].

10. Орлов А.Я. Результаты юрьевских, томских и потсдамских наблюдений над лунно-сйлнечными деформациями Зем-ли.//Труды астрономической обсерватории Новороссийского университета. Одесса: 1915, № 2, с. 259-268. Цитируется по [7].

11. Аксентьев З.М. Окончательные результаты определения волны М2 в колебаниях отвеса в Томске с 1912 по 1920 гг. //Труды Полтавской гравиметрической обсерватории, т. 4. Киев: Изд-во АН УССР, 1951 г. Цитируется по (7|.

12. Юзефович А.П., Огородова Л.В. Гравиметрия /Учебник для вузов, М.: «Недра», 1980, 320 с.

13. Копаев A.B. Лунно-солнечные приливы в астрономии и геодинамике. //Тезисы докладов Всероссийской астрономической конференции ВАК-2004 «Горизонты вселенной», МГУ, ГАИШ, 3-10 июня 2004 г./Труды государственного астрономического института им. П.К. Штернберга, том LXXV, с. 229.

14. Островский Н.В. Обобщённое уравнение гравитационного взаимодействия.//Пленарные:доклады Второй международной конференции «Наука и будущее: идеи, которые изменят мир», Москва, ГГМ РАН им. В.И. Вернадского, 15-19 мая 2005 г. М.: фонд «Наука и будущее», 2005, с. 59-61. (URL: http:// www.scienceandfuture.sgm.ru).

15. Островский H.B. Решение задачи трех тел на примере системы Солнце-Земля-Луна: //Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции «Наука - производство — технологии — экология». Киров: Вятский государственный университет, 2003 г., т. 4, с. 74-75.

16 Островский Н.В. Физическая модель движения спутника Юпитера Пасифе.//ВбСтник Удмуртского университета. Серия «Физика», 2005 г., № 4, С. 41-50.

17. Nikolai V. Ostrovskr. Physical model of the orbital movement of the Jupiter satellite Sinope.//Gamov Memorial International Conference dedicated to 100-thanniversaryofGeorgeGamov «Astrophysics after Gamov — theory and observations». Abstracts. Odessa: «Astroprint», 2004, p. 124-125.

18. Островский Н.В. Модель орбитального движения небесных тел. Система трёх тел.// Актуальные проблемы современной науки. 2005 г., Ns 2, с. В5-87.

ОСТРОВСКИИ Николай Владимирович, кандидат технических наук, преподаватель.

Статья поступила в редакцию 24.10.06 г. © Островский Н.В.