CC BY
88
СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 2/2019
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 531.51+523.34
Н.В. Островский
канд. техн. наук, ветеран труда г. Кирово-Чепецк, РФ E-mail: [email protected]
О ГЕОМЕТРИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЛУНЫ
Аннотация
В статье представлены расчёты границ гравитационного поля Луны. Расчёты выполнены на основе решения гравитационной задачи трёх тел, ранее использованного для создания ряда динамических моделей. Гравитационное поле Луны представляет собой уширенный эллипсоид вращения, перицентр которого находится в соединении с Землёй. Полученные данные могут быть использованы при проектировании перелётных орбит Земля-Луна.
Ключевые слова
Гравитационная задача четырёх тел, гравитационное поле Луны, полёты к Луне.
В последние годы вновь стала актуальной тема экспедиций к Луне. Очевидно, что успех экспедиции и затраты на её осуществление зависят от точности расчёта перелётной орбиты, что требует знаний о гравитационном поле Луны. С 1958 г. состоялось 78 запусков космических аппаратов (КА) к Луне, значительная часть которых завершилась переходом КА на окололунную орбиту или посадкой на поверхность Луны [1]. Полученные данные слежения за движением КА позволили приступить к разработке моделей гравитационного поля Луны, но за прошедшие 60 лет проблема не нашла своего окончательного решения. Определение границ гравитационного поля Луны имеет ключевое значение при проектировании перелётной орбиты, т.к. на ней происходит смена небесного тела, которое является для КА центральным и, вместе с тем, происходит изменение углового момента (момента количества движения) КА. Важно подчеркнуть, что исключение углового момента из расчётных алгоритмов ведёт к ошибочным результатам [2].
Постановка задачи
Известно, что уравнение, описывающее закон тяготения Ньютона:
F = G-^-r2, где: (1)
Г
F - сила тяготения,
G - универсальная гравитационная постоянная,
m1 и m2 - массы взаимодействующих тел,
r - расстояние между телами,
не пригодно для расчётов гравитационных взаимодействий в системах трёх и более тел.
Для решения данной проблемы ещё Лапласом было введено понятие сферы действия в связи с изучением движения комет при их сближении с планетами. При этом, под сферой действия понимается та область пространства, в которой планета выполняет роль центрального тела, сообщающего комете ускорение силы тяготения. Поверхность, ограничивающая сферу действия, определяют условием [3]:
a a
G,P,1 G ,S ,1
-=-, где: (2)
aG,S aG,P
aG,s - ускорение, которое Солнце сообщает комете в том случае, когда Солнце принимается за центральное тело;
СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 2/2019
аврл - возмущающее ускорение, вызываемое притяжением планеты;
ао,р- ускорение, которое планета сообщает комете в том случае, когда планета принимается за центральное тело;
а^,1 - возмущающее ускорение, вызываемое притяжением Солнца. Радиус сферы действия определяется уравнением:
, 1/5
т2
г 2 ^
А = r /j
Vi + 3cos2 ф
, где: (3)
Г1 - радиус-вектор планеты относительно Солнца
т -масса планеты в единицах масс Солнца;
ф - угол между направлениями из центра планеты на комету и на Солнце.
Для Земли, вычисленный по данному уравнению радиус сферы действия, изменяется в диапазоне от 7,92 до 9,40-108 м в зависимости от расстояния между Землей и Солнцем и выбранного направления. Таким образом, орбита Луна оказывается внутри сферы действия Земли, в то время как она находится вне сферы тяготения Земли, вычисленной по уравнению (1).
Сферу действия Луны можно также рассчитать по уравнению (3), подставив в него массу Луны, выраженную в массах Земли. Вычисленные значения радиуса сферы действия Луны находятся в диапазоне от 5,45 до 6,98 • 107 м в зависимости от направления радиус-вектора пробной точки и радиуса орбиты Луны.
Данный подход, однако, оказался не востребован при освоении космоса в связи с неточностями при расчётах ускорения силы тяготения.
Более точные результаты могут быть получены путём введения в уравнение Ньютона возмущающей функции, учитывающей воздействие внешних тел. Например, для спутника Земли возмущающая функция может иметь вид [4]:
R=GmM
Г.
с \ r
r.
P2 CÖS^M 4
Gms
r
С \
r
r
2
P2 CÖSa„, где: (4)
м V m J S V S J
тм и ms - массы Луны и Солнца, r - радиус-вектор спутника относительно Земли, гм и rs - расстояние от спутника до Луны и Солнца соответственно, P2 - полином Лежандра второй степени,
ам и as - угол между радиус-вектором спутника относительно Земли и радиус-векторами спутника относительно Луны и Солнца соответственно.
Аналогичный подход был использован и для описания гравитационного поля Луны. Первая модель Э.Л. Акима, опубликованная в 1966 г. содержала 11 коэффициентов [5], а модель M.P. Ananda, вышедшая в 1977 г., уже включала полиномы 20-го порядка [6]. Всего по состоянию на 1984 г. насчитывалось более 33 различных моделей гравитационного поля Луны [7].
По сути, все эти модели являются однотипными и аппроксимационными. По мере появления новых данных появляются и новые модели. Работа [8] содержит уравнение для вычисления гравитационного потенциала в окрестностях Луны для точки с координатами r, ф и X:
/ \п
Л а п _____
V(r,p,Á) = ~Z - ZPm(sin^)(C„m cosтЛ + snm sinтЛ), где: (5)
V r У
m=9
r n=0
r, ф и X - радиус, широта и долгота, ц - гравитационная постоянная, а - средний радиус небесного тела,
Cnm и snm - полностью нормализованные коэффициенты Стокса, P™ (sin ф) - функция Лежандра степени n и порядка т.
2
Í 7 }
СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 2/2019
Но вопрос о границах гравитационного поля Луны ни в одной из работ не рассматривается. Это связано с тем, что модели создаются на основе наблюдений за движением искусственных спутников Луны, удалённость которых от поверхности Луны не превышает нескольких сот километров.
Поэтому для определения границ гравитационного поля Луны необходимо использовать иной подход.
Обобщённое решение задачи многих тел
В работе [9] было предложено обобщённое решение задачи трёх тел. Если мы имеем три тела с
т2 т3
массами т1, т2 и тз, то тело 1 будет притягиваться телом 2, когда->-. В противном случае на тело
Г3 Г3
'12 '13
1 будет действовать сила со стороны тела 3. Величина силы тяготения при этом описывается уравнением:
F = Gm r
1 J2 и;
m
m3cosa
r3
V 12
r3
'13
, где: а - угол между Г12 и Г13.
(6)
Данный алгоритм был использован для построения моделей орбитального движения Луны и внешних спутников Юпитера, модели захвата Зёмлей внешнего тела, движущегося по гелиоцентрической орбите, расчёта приливных гравитационных эффектов [10-14].
В случае расчёта границ поля тяготения Луны мы имеем систему четырёх тел: Солнце (5), Земля (Е), Луна (М и пробная точка (Р) (см. рис. 1). Для определения направления силы тяготения, воздействующей
на пробную точку, мы должны сравнить три величины: т^'г^ , ЖЕ! Г^Е и тм /ГрМ .
S
\ E
P /
Рисунок 1 - Схема, описывающая взаимное расположение небесных тел и пробной точки
Для расчёта напряжённости гравитационного поля Луны (ускорения силы тяготения) при условии выполнения неравенства:
m m
"lM ^ "lE
3 3
г r
' PE
(7)
PM
должно быть использовано уравнение:
ёы = GrPi
m
r3
V pm
ы mS cosaS mEcosaE
r3
PS
r3
PE
, где:
а5 - угол между грм и гр5, аЕ - угол между грм и гре.
СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 2/2019
Результаты расчётов и их обсуждение
Расчёты показали, что равенство
m
м
r3
PM
m*
r3
PE
определяющее границу гравитационного поля Луны,
достигается при значениях сравниваемых величин от 0,04 до 0,23 кг/м3, в то время как величина тз /Гр,8 в
окрестностях лунной орбиты составляет около 6 10-4 кг/м3. Поэтому положение Земли на орбите не влияет, в первом приближении, на границы гравитационного поля Луны. Вследствие этого на геометрию её гравитационного поля, опить-таки, в первом приближении, не влияет и фаза Луны, а влияет только расстояние между Луной и Землёй.
По форме гравитационное поле Луны напоминает эллипсоид вращения, хотя его сечение не в полной мере отвечает условию эллиптичности кривой. А именно, оно несколько уширено, так что отношение длины радиус-вектора пробной точки при угле 90° относительно радиус-вектора Луна-Земля к вычисленному значению фокального параметра эллипса находится в диапазоне от 1,024 (Луна в перигее) до 1,041 (Луна в апогее).
Размеры гравитационного поля Луны увеличиваются по мере её удаления от Земли. Если в перигее Луны большая полуось эллипсоида равна 8,85 107 м, а малая - 8,60-107 м (эксцентриситет 0,237), то в апогее большая полуось эллипсоида равна 9,90107 м, а малая - 9,63• 107 м (эксцентриситет 0,232). Перицентр эллипсоида находится в соединении с Землёю, а апоцентр - в оппозиции к ней (см. рис. 2).
Сопоставление с границами «сферы действия» Луны, найденными по уравнению (3), обнаруживает существенные различия. «Сфера действия» Луны также представляет собой эллипсоид, но Луна находится не в фокусе эллипса, а в его центре (см. рис. 3). Большая ось эллипса перпендикулярна радиус-вектору Луны относительно Земли. Размеры «сферы действия» значительно меньше. Соотношение радиусов изменяется от 0,8, когда пробная точка находится в соединении с Землёю, до 0,5, когда пробная точка находится в оппозиции к Земле.
Рисунок 2 - Зависимость радиуса гравитационного поля Луны от расстояния между Луной и Землёй и величины угла ЕМР (радиус в м, одно деление окружности - п/16).
Величина напряжённости гравитационного поля на его границе равна нулю, когда пробная точка находится в соединении с Землёю. Затем она начинает возрастать и достигает максимума при угле поворота
\ ' У
СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 2/2019
относительно радиус-вектора Луна-Земля 135°. Далее следует минимум при угле поворота 180° (см. рис. 4). С увеличением размеров гравитационного поля Луны напряжённость поля на его границе уменьшается. Внутри гравитационной «сферы» напряжённость поля может быть вычислена по уравнению (8).
Рисунок 3 - Границы гравитационного поля и «сферы действия» Луны (Луна в перигее).
Заключение
Проведённые расчёты показали, что гравитационное поле Луны простирается на значительном расстоянии от небесного тела, а его границы постоянно меняются вследствие движения Луны по орбите.
Учёт границ гравитационного поля Луны должен существенно улучшить точность проектирования перелётных орбит Земля-Луна. Теоретически возможно найти некий функционал, описывающий границу гравитационного поля Луны, но более практичным представляется создание программного комплекса, позволяющего на основе эфемерид Земли и Луны вычислять напряжённость гравитационного поля Луны в любой точке и для любого момента времени. Точность вычислений напряжённости гравитационного поля будет определяться точностью используемых эфемерид и гравитационной постоянной Луны.
Рисунок 4 - Зависимости напряжённости гравитационного поля Луны на его границах от угла ЕМР.
-( '» )-
СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 2/2019
Список использованной литературы:
1. Исследования Луны. // Интернет-сайт «Википедия». URL: https://m.wikipedia.org/wiki/Исследования_Луны (26.IX.2018).
2. Островский Н.В. Свойства эллиптических орбит. - М.: «Спутник+», 2018. - 48 с., с. 44.
3. Чеботарёв А.Г. Аналитические и численные методы небесной механики. - М.-Л.: Наука, 1965. - 367 с., с. 309.
4. Аксёнов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. - М.: «Наука», ГРФМЛ, 1977. - 360 с., с. 212.
5. Аким Э.Л. Определение поля тяготения Луны по движению ИСЛ «Луна-10». // Доклады академии наук СССР, 1966, т. 170, с. 799-802.
6. Ananda M.P. Lunar gravity; a mass point model. // Journal Geophysics research, 1977, v. 82, p. 3049-3084.
7. Кислюк В.С. Эллипсоид инерции Луны. // Кинематика и физика небесных тел, 1985, № 1, с. 41-48.
8. Vilana E.C. Study of spacecraft orbits in the Gravity field of the moon. A dissertation submitted to the Department of Aerospace Engineering - Barselona: Universitaat Politecnica de Catalunya, 2012. - 96 p. [электронный ресурс]. URL: https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/15241/Memoria.pdf (17.IX.2018).
9. Островский Н.В. Решение задачи трех тел на примере системы Солнце-Земля-Луна.//Материалы пятой Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания», Нижний Новгород, 18 апреля 2003. - Нижний Новгород: Нижегородский государственный технический университет, 2003, с. 4-5.
10. Nikolai V. Ostrovski. Physical model of the orbital movement of the Jupiter satellite Sinope.//Gamov Memorial International Conference dedicated to 100-th anniversary of George Gamov "Astrophysics after Gamov - theory and observations". Abstracts. Odessa: "Astroprint", 2004, p. 124-125.
11. Островский Н.В. Физическая модель движения спутника Юпитера Пасифе. //Вестник Удмуртского университета. Серия "Физика", 2005, № 4, с. 41-50.
12. Островский Н.В. Влияние Солнца на движение спутника Земли.//Вестник Тюменского государственного университета, 2005, № 4, с. 106-113.
13. Островский Н.В. Влияние Луны и Солнца на напряжённость гравитационного поля у поверхности неупругой Земли.// Омский научный вестник, 2006, № 10 (48), с. 5-8.
14. Ostrovskiy N.V. Modeling of the celestial body transition from heliocentric orbit to planet-centric.//Reports of International astronomical congress "Astrokazan-2011", Kazan, August 22-30. - Kazan: Kazan Federal University, 2011, p. 188-190.
© Островский Н.В., 2019
}
