CC BY
15МИКРО- И НАНОСИСТЕМНАЯ ТЕХНИКА MICRO- AND NANOSYSTEM TECHNOLOGY
Научная статья
УДК 621.372.21:53.043
doi:10.24151/1561-5405-2022-27-4-506-516
Влияние квантово-размерных эффектов на волновые характеристики наномасштабных линий передачи и резонаторов
Р. А. Браже
Ульяновский государственный технический университет, г. Ульяновск, Россия
brazhe@ulstu.ru
Аннотация. Переход к более высоким (терагерцовым) частотам используемых электромагнитных волн позволяет повысить плотность передаваемой информации и скорость ее обработки, миниатюризировать соответствующие элементы и устройства и снизить их энергопотребление. Вместе с тем переход к наномасштабным размерам соответствующих линий передачи приводит к появлению квантово-размерных эффектов, обусловленных близостью их размеров к длине волны де Бройля в данных условиях. В работе проведена теоретическая оценка степени влияния квантовых эффектов на волновые характеристики различных наномасштабных линий передачи, выполненных на графене и углеродных нанотрубках: щелевой линии, несимметричной полосковой и двухпроводной линий. Получены рабочие формулы, позволяющие рассчитать результирующие значения волнового сопротивления, погонной индуктивности и погонной емкости таких линий передачи, а также добротности резонаторов, выполненных на их основе. Показано, что подобные наномасштабные линии передачи и резонаторы могут быть использованы на частотах, достигающих десятков терагерц.
Ключевые слова: наномасштабные линии передачи, резонаторы, терагерцовый диапазон, графен, углеродные нанотрубки, квантово-размерные эффекты, кванты погонных значений сопротивления, индуктивности и емкости, добротность резонатора
Для цитирования: Браже Р. А. Влияние квантово-размерных эффектов на волновые характеристики наномасштабных линий передачи и резонаторов // Изв. вузов. Электроника. 2022. Т. 27. № 4. С. 506-516. ао1:10.24151/1561-5405-2022-27-4-506-516
© Р. А. Браже, 2022
Original article
The influence of quantum-dimensional effects
on the wave characteristics of nanoscale transmission lines and resonators
R. A. Brazhe
Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russia brazhe@ulstu.ru
Abstract. The transition to higher (terahertz) frequencies of the electromagnetic waves used makes it possible to increase the density of transmitted information and the speed of its processing, to miniaturize the corresponding elements and devices and reduce their energy consumption. At the same time, the transition to nanoscale sizes of the corresponding transmission lines leads to the appearance of a number of quantum-dimensional effects due to the proximity of their sizes to the de Broglie wavelength under these conditions. In this work, a theoretical assessment is made of the degree of influence of quantum effects on the wave characteristics of various nanoscale transmission lines made on graphene and carbon nanotubes: a slot line, an asymmetric strip line, a two-wire line. Working formulas have been obtained that allow calculating the resulting values of wave resistance, inductance per unit length and capacitance per unit length of such transmission lines, as well as the Q-factor of resonators made on their basis. It was demonstrated that such nanoscale transmission lines and resonators can be used at frequencies reaching tens of terahertz.
Keywords: nanoscale transmission lines, resonators, terahertz range, graphene, carbon nanotubes, quantum-dimensional effects, quanta of resistance, inductance and capacitance per unit length, Q-factor of the resonator
For citation: Brazhe R. A. The influence of quantum-dimensional effects on the wave characteristics of nanoscale transmission lines and resonators. Proc. Univ. Electronics, 2022, vol. 27, no. 4, pp. 506-516. doi:10.24151/1561-5405-2022-27-4-506-516
Введение. Повышение плотности передаваемой информации и увеличение скорости ее обработки вызывают необходимость перехода к высоким частотам используемых электромагнитных волн в инфокоммуникационных и электронных устройствах, а также в системах беспроводной связи для наносетевых комплексов, включающих в себя наномеханизмы и нанороботы. Освоение терагерцового диапазона частот идет быстрыми темпами [1-4], и отмечается тенденция все большего приближения к оптическому диапазону.
На частотах порядка 100 ТГц длина электромагнитных волн в воздухе равна 3 мкм. Поэтому на таких частотах в качестве материала для линий передачи предлагается использовать графеновые наноленты и углеродные нанотрубки соответствующей хираль-ности, имеющие отличные электропроводящие свойства. Отметим, что в данных нанопроводниках одноатомной толщины невозможно ввести понятие скин-слоя и электроны в них под действием электрического поля электромагнитной волны участвуют только в одномерном движении. Фактически в такой линии передачи имеет место рас-
пространение связанных электромагнитных колебаний и одномерных колебаний плотности свободного электронного газа - плазмон-поляритонной волны. Ее длина примерно на два порядка меньше, чем длина электромагнитной волны такой же частоты [5]. Это означает, что ожидаемая длина плазмон-поляритонной волны в рассматриваемой линии передачи на частоте 100 ГГц будет порядка нескольких десятков нанометров. Такого же порядка должны быть и поперечные размеры линии.
Поскольку электроны в нанопроводнике находятся в потенциальной яме, ширина которой равна ширине наноленты или длине окружности поперечного сечения нанот-рубки, то их энергия может принимать лишь дискретный набор значений. Наименьшее значение этой энергии отвечает ситуации, когда на ширине наноленты укладывается одна полуволна де Бройля для электрона, а на длине окружности нанотрубки одна его дебройлевская длина волны. Чтобы электрон оказался в таком состоянии, над ним нужно совершить некоторую работу, осуществляемую за счет энергии флуктуаций плотности электронного газа. Это эквивалентно наличию некоторого сопротивления потоку электронов (кванта сопротивления), которое имеет место даже в отсутствие их столкновений с кристаллической решеткой.
Электроны в металле находятся в зоне проводимости, состоящей из множества подуровней энергии, количество которых определяется скоростью Ферми электрона и размерами проводника. При протекании через линию передачи электрического тока электроны должны увеличивать свою энергию, переходя с одного подуровня на другой. Эти переходы происходят с задержкой по времени, что эквивалентно наличию некоторой индуктивности немагнитной природы, которая обусловливает инерционные свойства электронов. Такая индуктивность называется кинетической, и она также имеет квантовую природу.
Для перехода электрона с одного энергетического подуровня на другой ему необходимо сообщить энергию, не меньшую, чем энергия Ферми (средняя энергия, приходящаяся на один носитель заряда). При этом подуровни энергии играют роль пластин некоторого квантового конденсатора, в результате появляется еще и квантовая емкость линии передачи.
Цель настоящей работы - исследование влияния квантово-размерных эффектов на волновые характеристики наномасштабных линий передачи, выполненных из графено-вых нанолент и углеродных нанотрубок, на частотах, приближающихся к оптическому диапазону.
Кванты погонных волновых характеристик наномасштабных линий передачи.
Основы квантового транспорта электронов в наноструктурах изложены в работах [6, 7], согласно которым удельная проводимость о20 каждого канала транспортирования электронов в двумерном электронном газе равна:
е2
^20 =~Т , (1)
h
где e - элементарный заряд; h - постоянная Планка.
Определяемая формулой (1) удельная проводимость о20 обратна по смыслу сопротивлению фон Клитцинга R = h / е2 « 25812,8 Ом, известному из работ по квантовому эффекту Холла [8]. Из квантовых представлений следует, что на ширине наноленты должно укладываться целое число электронных полуволн де Бройля:
Ж = М(Ер )ХВ /2 = М(Ер )к / кр,
где М(Е ) = Жкр / тс - число каналов электропроводности, обусловленное электронами, находящимися в различных стационарных состояниях; Ер и кр - соответственно энергия и волновое число Ферми. Это число нужно умножить на спиновое ^ и долинное ^ вырождения энергетических состояний (для графена и углеродной нанотрубки ^ = = 2). Тогда удельная 2Б-электропроводность наноленты будет а2 = М(Е )Е^е2 / к, а ее удельное 2Б-сопротивление равно:
Р 2 = Л / ((М (ЕР ) Е^е2). (2)
Так как кр =^1теЕр / к (те - масса электрона, Й = /г/ (2л)- приведенная постоянная Планка), то, используя (2), погонное сопротивление наноленты можно найти в виде
^о =р2 =-. (3)
В случае нанотрубки Ж = кй ^ - диаметр нанотрубки) на длине окружности ее поперечного сечения должно укладываться целое число электронных волн де Бройля. Поэтому для углеродной нанотрубки
*20= р2 =-(4)
Представление о квантовой погонной индуктивности, не связанной с магнитным полем, а обусловленной пространственным квантованием энергии носителей заряда в разрешенной зоне проводника, введено в работе [5]. Квант погонной кинетической индуктивности линии передачи находится по формуле
¿0= :тт—. (5)
2е ур
Принимая во внимание, что скорость Ферми электрона в графене \Р « 8 • 105 м/с, получаем для графена значение =16 нГн/мкм.
На существование квантов погонной емкости в передающих линиях впервые указано в [9], в [5] это понятие конкретизировано и получено следующее выражение для такого кванта:
2е2
Со=^. (6)
кУр
Соответственно для графена получаем С0 = 100 аФ/мкм.
Анализируемые линии передачи и расчет их параметров. На рис. 1 представлены основные типы наномасштабных линий передачи: щелевая нанополосковая линия на графене, несимметричная нанополосковая линия на графене и двухпроводная линия на углеродных нанотрубках.
Рис. 1. Наномасштабные линии передачи: а - щелевая нанополосковая линия на графене; б - несимметричная нанополосковая линия на графене; в - двухпроводная линия на углеродных нанотрубках (W - нанополоски 1; D - расстояние между ними в случае (а) или между центрами нанотрубок в случае (в); h - толщина диэлектрической подложки 2 (карбид кремния с диэлектрической проницаемостью er = 9,66); d - диаметр нанотрубки; l - длина линии передачи; 3 - металлический
подслой)
Fig. 1. Nanoscale transmitting lines: a - a slot nanostrip line on graphene; b - an asymmetric nanostrip line on graphene; c - a two-wire line on carbon nanotubes (W is the nanostrips 1; D is the distance between them in the case (a) or between the centers of nanotubes in the case (c); h is the thickness of the dielectric substrate 2 (silicon carbide with dielectric constant er = 9.66); d is the diameter of the nanotube; l is the length of the transmission line; 3 is the metal sublayer)
Выражения для волнового сопротивления Z0, погонной индуктивности Ц и погонной емкости С в случае щелевой линии получены в работе [10] на основе уравнений классической электродинамики СВЧ и имеют следующий вид:
=
S+1
ч 1/2
/ 16h 4D (в -1) ln-+ 2ln-
v г 'я W W
L =
Z0yjSeff
= ■
в +1
C =
cZn
(7)
(8) (9)
где в0 и - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума.
Для несимметричной полосковой линии волновое сопротивление 20 находится в виде [11]
Zo =
60
f
ln
w
v W +
(10)
а L и C рассчитываются по формулам (8) и (9) соответственно.
2
c
Для двухпроводной линии [12]
¿0 =
А =
Ci=-
ln
2 D - d d
(11) (12) (13)
В рассматриваемых случаях в качестве примера выбраны углеродные нанотрубки хиральности (9, 0) диаметром d = 0,704 нм.
Результаты расчетов по формулам (7)-(13) для некоторых оправданных с технологической точки зрения размеров наномасштабных линий передачи приведены в табл. 1.
Таблица 1
Волновые характеристики наномасштабных линий передачи с точки зрения классической электродинамики СВЧ
Table 1
Wave characteristics of the nanoscale transmitting lines from a classical microwave electrodynamics point of view
Щелевая Несимметричная Двухпроводная
Параметр нанополосковая нанополосковая линия на углеродных
линия линия нанотрубках
W, нм 5,0 5,0 —
D, нм 15 — 7,04
h, мкм 1,0 1,0 —
d, нм — — 0,704
Z0, Ом 13,4 192 572
Lb пГн/мкм 0,103 1, 48 1,90
Cj, аФ/мкм 575 40,2 5,80
Наномасштабные линии передач и их волновые характеристики. Выражения (5), (6) для квантов погонной кинетической индуктивности и погонной емкости приведены для одного канала электропроводности. В графеновых лентах и углеродных на-нотрубках их четыре - два долинных и два спиновых. Поскольку они параллельны, то результирующая погонная кинетическая индуктивность каждого проводника линии передачи будет в 4 раза меньше, а результирующая погонная квантовая емкость - в 4 раза больше.
На рис. 2 показаны эквивалентные схемы наномасштабных линий передач. Во всех трех случаях ^ << , тогда погонная индуктивность этих линий практически определяется кинетической индуктивностью. Полная погонная емкость для щелевой нанополосковой линии и двухпроводной линии на углеродной нанотрубке находится по формуле
2С С £ _ 2С0С1
ш ~ С + 2С0'
Рис. 2. Эквивалентные схемы наномасштабных линий передачи: а - для щелевой и двухпроводной линий; б - для несимметричной полосковой линии Fig. 2. Equivalent schemes of the considered nanoscale transmission lines: a - for slot and two-wire lines; b - for an asymmetric strip line
для несимметричной полосковой линии - по формуле
4CC
C =
Ctot
C + 4C0
Окончательные выражения для волновых сопротивлений передающих линий имеют следующий вид:
- для щелевой и двухпроводной линий
Z =
L
2C
для несимметричной полосковой линии
Z 0 =
L
14C
Результаты соответствующих расчетов приведены в табл. 2.
Волновые характеристики наномасштабных линий передачи с учетом квантово-размерных эффектов
Wave characteristics of the nanoscale transmitting lines with account of quantum-dimensional effects
Таблица 2
Table 2
Параметр Щелевая Несимметричная Двухпроводная
нанополосковая линия нанополосковая линия линия на углеродных нанотрубках
Ctot, аФ/мкм 148 36,5 5,64
Z0, кОм 7,35 10,5 37,7
vSPP, 105 м/с 9,19 26,2 47,1
Aspp, нм 9,19 26,2 47,1
v = 100 ТГц
P, 1012 c-1 14,6 14,6 74,4
AJXSPP, нм 6,85 6,85 1,34
v = 100 ТГц
В реальности по наномасштабной линии передачи распространяется плазмон-поляритонная волна, скорость которой согласно рассмотренным двум случаям определяется выражением
1
vSPP
V( V2)/ Q
или
VSPP
V(Lc/4)/ Cioi "
Длина этой волны может быть вычислена как Х5РР = у5РР / V, где V - частота волны. Результаты расчета Х5РР для частоты V = 100 ТГц также отражены в табл. 2. Сравнение значений 20 из табл. 1 и 2 показывает, что существование квантов волновых параметров в наномасштабных линиях передачи приводит к увеличению волнового сопротивления линии на два порядка величины.
Обусловленный наличием квантового сопротивления линии передачи коэффициент затухания в ней плазмон-поляритонной волны как в случае двух нанопроводников (см. рис. 2, а), так и в случае одного нанопроводника (см. рис. 2, б) может быть найден
в виде Р = 2^ / Ь0. Тогда из формул (3)-(5) с учетом того, что ^2теЕР = теУр, выражения для коэффициента затухания в соответствующих линиях передачи принимают вид
Р = —■• (14)
Р = ---(15)
те ( ^ )
Путь, пройденный плазмон-поляритонной волной в линии передачи за время релаксации колебаний т = 1/ Р, - «длина релаксации» Л = у5РР т, а ее значение, приведенное к длине данной волны, равно отношению частоты колебаний к коэффициенту затухания:
Л V
A, SPP Р
(16)
Результаты вычислений по формулам (14)-(16) приведены в табл. 2. Из них следует, что на частотах порядка 100 ТГц амплитуда плазмон-поляритонной волны в исследуемых наномасштабных линиях передачи даже в режиме баллистического транспорта электронов убывает в е = 2,72 раза на расстояниях порядка единиц длин волн. Наибольшее квантовое затухание имеют двухпроводные линии передачи на углеродных нанотрубках.
Резонаторы на наномасштабных линиях передачи и их характеристики. Рассмотренные наномасштабные линии передачи могут быть использованы для создания резонаторов, если выбирать их длину таким образом, чтобы в отрезке линии устанавливалась стоячая плазмон-поляритонная волна. Наименьшее сопротивление постоянному току и, как следствие, наибольшую добротность будут иметь четвертьволновые резонаторы, у которых один конец линии передачи закорочен, а другой разомкнут. При этом
1
на закороченном конце линии будет пучность тока и узел напряжения, а на разомкнутом конце - узел тока и пучность напряжения. Для четвертьволнового резонатора длина каждого нанопроводника l = Xspp /4, а добротность
Q = ^, (17)
R2
где R = R0nl; n - число нанопроводников в линии передачи. Параметр R0 рассчитывается по формуле (3) или (4), а значения Z0 и R берутся из табл. 2 и 3.
Таблица 3
Характеристики четвертьволновых резонаторов на наномасштабных линиях передачи (v = 100 ТГц)
Table 3
Characteristics of the quarter-wave resonators based on nanoscale transmitting lines (v = 100 THz)
Параметр Щелевая нанополосковая линия Несимметричная нанополосковая линия Двухпроводная линия на углеродных нанотрубках
R2, кОм 0,46 0,24 2,4
Q 16 44 16
e 0,20 0,07 0,20
Зная добротность резонатора, можно найти логарифмический декремент затухания в нем плазмон-поляритонных колебаний:
0 = -. (18)
б
Результаты вычислений по формулам (17), (18) представлены в табл. 3. Хотя размерное квантование и приводит к увеличению волнового сопротивления наномасштабных линий передачи примерно на два порядка, тем не менее одновременное резкое увеличение квантового сопротивления линии постоянному току вызывает на частотах около 100 ТГц значительное затухание плазмон-поляритонных волн. В результате добротность резонаторов на отрезках рассматриваемых линий оказывается очень маленькой - не превышает нескольких десятков. Более того, приведенные значения добротности таких резонаторов являются завышенными, так как не учитывают диэлектрических потерь и потерь на излучение.
Заключение. Полученные в работе результаты показывают, что на частотах порядка 100 ТГц квантово-размерные эффекты оказывают определяющее влияние на волновые характеристики наномасштабных линий передачи, выполненных из графена и углеродных нанотрубок. Даже в режиме баллистического транспорта при длине проводников линии до 1 мкм амплитуда плазмон-поляритонных волн в них затухает в е = 2,72 раза на расстоянии всего в несколько длин волн. Резонаторы, выполненные на отрезках таких линий, имеют добротность, не превышающую несколько десятков единиц.
Таким образом, использование рассмотренных электропроводящих линий передачи в оптическом диапазоне частот неперспективно, но на частотах до нескольких десятков терагерц они могут найти применение.
Литература
1. Joshi N., Pathak N. P. Tunable wavelength demultiplexer using modified graphene plasmonic split ring resonators for terahertz communication // Photonics and Nanostructures - Fundamentals and Applications. 2018. Vol. 28. P. 1-5. doi: https://doi.org/10.1016/j.photonics.2017.10.004
2. Su W., Geng Z. Terahertz all-optical logic gates based on a graphene nanoribbon rectangular ring resonator // IEEE Photonics Journal. 2018. Vol. 10. Iss. 6. Art. No. 5900608. doi: https://doi.org/ 10.1109/JPH0T.2018.2874507
3. Terahertz band: The last piece of RF spectrum puzzle for communication systems / H. Elayan, O. Amin,
B. Shihada et al. // IEEE Open Journal of the Communications Society. 2020. Vol. 1. P. 1-32. doi: https://doi.org/10.1109/0JC0MS.2019.2953633
4. Sun J., Hu F. Three-dimensional printing technologies for terahertz applications: A review // Int. J. RF Microw. Comput.-Aided Eng. 2020. Vol. 30. Iss. 1. Art. ID: e21983. https://doi.org/10.1002/mmce.21983
5. Burke P. J. An RF circuit model for carbon nanotubes // IEEE Transactions on Nanotechnology. 2003. Vol. 2. Iss. 1. P. 55-58. doi: https://doi.org/10.1109/TNAN0.2003.808503
6. Landauer R. Spatial variations of currents and fields due to localized scatterers in metallic conduction // IBM Journal of Research and Development. 1957. Vol. 1. Iss. 3. P. 223-231. doi: https://doi.org/10.1147/ rd.13.0223
7. Landauer R. Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices // The Philosophical Magazine: A Journal of Theoretical Experimental and Applied Physics. 1970. Vol. 21. Iss. 172. P. 863-867. doi: https://doi.org/10.1080/14786437008238472
8. Фон Клитцинг К. Квантовый эффект Холла / пер. С. М. Апенко // УФН. 1986. Т. 150. № 9.
C. 107-126. doi: https://doi.org/10.3367/UFNr.0150.198609c.0107
9. Luryi S. Quantum capacitance devices // Appl. Phys. Lett. 1988. Vol. 52. Iss. 6. P. 501-503. doi: https://doi.org/10.1063/L99649
10. Вендик О. Г., Данилов И. С., Зубко С. П. Моделирование волновых параметров узкой щелевой линии передачи на основе сверхпроводящей пленки // ЖТФ. 1997. Т. 67. № 9. С. 94-97.
11. Hammerstadt E. O. Equations for microstrip circuit design // 1975 5th European Microwave Conference. Hamburg: IEEE, 1975. P. 268-272. doi: https://doi.org/10.1109/EUMA.1975.332206
12. Малков Н. А., Пудовкин А. П. Устройства сверхвысоких частот: учеб. пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2008. 92 с.
Статья поступила в редакцию 16.02.2022 г.; одобрена после рецензирования 22.03.2022 г.;
принята к публикации 07.07.2022 г.
Информация об авторе
Браже Рудольф Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики Ульяновского государственного технического университета (Россия, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32), brazhe@ulstu.ru
References
1. Joshi N., Pathak N. P. Tunable wavelength demultiplexer using modified graphene plasmonic split ring resonators for terahertz communication. Photonics and Nanostructures - Fundamentals and Applications, 2018, vol. 28, pp. 1-5. doi: https://doi.org/10.1016/j.photonics.2017.10.004
2. Su W., Geng Z. Terahertz all-optical logic gates based on a graphene nanoribbon rectangular ring resonator. IEEE Photonics Journal, 2018, vol. 10, iss. 6, art. no. 5900608. doi: https://doi.org/10.1109/ JPH0T.2018.2874507
3. Elayan H., Amin O., Shihada B., Shubair R. M., Alouini M.-S. Terahertz band: The last piece of RF spectrum puzzle for communication systems. IEEE Open Journal of the Communications Society, 2020, vol. 1, pp. 1-32. doi: https://doi.org/10.1109/0JC0MS.2019.2953633
4. Sun J., Hu F. Three-dimensional printing technologies for terahertz applications: A review. Int. J. RF Microw. Comput.-AidedEng., 2020, vol. 30, iss. 1, art. ID: e21983. https://doi.org/10.1002/mmce.21983
5. Burke P. J. An RF circuit model for carbon nanotubes. IEEE Transactions on Nanotechnology, 2003, vol. 2, iss. 1, pp. 55-58. doi: https://doi.org/10.1109/TNAN0.2003.808503
6. Landauer R. Spatial variations of currents and fields due to localized scatterers in metallic conduction. IBM Journal of Research and Development, 1957, vol. 1, iss. 3, pp. 223-231. https://doi.org/10.1147/rd.13.0223
7. Landauer R. Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices. Philosophical Magazine: A Journal of Theoretical Experimental and Applied Physics, 1970, vol. 21, iss. 172, pp. 863-867. doi: https://doi.org/10.1080/14786437008238472
8. Von Klitzing K. The quantized Hall effect. Rev. Mod. Phys., 1986, vol. 58, no. 3, pp. 519-531. doi: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.58.519
9. Luryi S. Quantum capacitance devices. Appl. Phys. Lett., 1988, vol. 52, iss. 6, pp. 501-503. doi: https://doi.org/10.1063/L99649
10. Vendik O. G., Danilov I. S., Zubko S. P. Modeling the wave parameters of a narrow slotted transmission line based on a superconducting film. Tech. Phys., 1997, vol. 42, iss. 9, pp. 1068-1070. doi: https://doi.org/10.1134/1.1258767
11. Hammerstadt E. O. Equations for microstrip circuit design. 1975 5th European Microwave Conference. Hamburg, IEEE, 1975, pp. 268-272. doi: https://doi.org/10.1109/EUMA.1975.332206
12. Malkov N. A., Pudovkin A. P. Microwave devices, study guide. Tambov, Tambov State Technical University Publ., 2008. 92 p. (In Russian).
The article was submitted 16.02.2022; approved after reviewing 22.03.2022;
accepted for publication 07.07.2022.
Information about the author
Rudolf A. Brazhe - Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Head of the Physics Department, Ulyanovsk State Technical University (Russia, 432027, Ulyanovsk, Severny Venetz st., 32), brazhe@ulstu.ru
Информация для читателей журнала «Известия высших учебных заведений. Электроника»
С тематическими указателями статей за 1996 - 2021 гг., аннотациями и содержанием последних номеров на русском и английском языках можно ознакомиться на сайте:
http://ivuz-e.ru
