CC BY
11МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТРОНИКИ ELECTRONICS MATERIALS
УДК 538.913:621.38-022.532 DOI: 10.24151/1561-5405-2020-25-1-7-18
Метод определения упругих характеристик графена и других 2D-наноаллотропов
Р.А. Браже, Д.А. Долгов
Ульяновский государственный технический университет, г. Ульяновск, Россия
brazhe@ulstu. ru
Для расчета и конструирования устройств наноэлектроники и нанофото-ники, в которых используются графены и графеноподобные 2Б-нано-аллотропы углерода, кремния и бинарных соединений типа АШВУ, большое значение имеет знание упругих характеристик и зависящих от них пьезоэлектрических, фотоупругих и других свойств 2Б-материалов. В работе предложен простой и удобный для инженерных расчетов метод определения изотермических значений силовых констант, упругих жесткостей, модуля Юнга и коэффициента Пуассона для 2D-наноаллотропов элементов IV группы таблицы Менделеева и бинарных соединений типа Метод основан на модифицированном С.Ю. Давыдовым способе связывающих орбиталей Харрисона и модели Р. Китинга описания упругих свойств таких материалов. Показано, что метод позволяет проводить оценочные расчеты упругих свойств для известных синтезированных 2D кристаллических структур, а также для структур, «сконструированных» теоретически. Установлено, что наряду с графеном перспективными для наноэлектроники материалами могут стать монослойный гексагональный нитрид бора и другие бинарные соединения типа АШВУ в виде 2Б-наноаллотропов различной симметрии, которые, кроме того, являются пьезоэлектриками. Это расширяет спектр возможных практических применений исследованных 2D-материалов (C, Si, BN, AlN, GaN, AlP, GaP) как с графеноподобной, так и с более сложной структурой. Результаты работы могут быть использованы при разработке акустоэлектронных линий задержки терагерцевого диапазона частот, пьезоэлектрических преобразователей для возбуждения и приема упругих волн в наномасштабных 2Б-звукопроводах, а также пьезоэлектрических датчиков.
Ключевые слова: силовые константы; упругие жесткости; модуль Юнга; коэффициент Пуассона; 2D-наноаллотропы; графен; силицен; монослойный нитрид бора; соединения AinBV; методы расчета; наноакустоэлектроника
© Р.А. Браже, Д.А. Долгов, 2020
Для цитирования: Браже Р.А., Долгов Д.А. Метод определения упругих характеристик графена и других 2D-наноаллотропов // Изв. вузов. Электроника. 2020. Т. 25. № 1. С. 7-18. DOI: 10.24151/1561-5405-2020-25-1-7-18
Method of Finding Elastic Characteristics of Graphene and Other 2D Nanoallotropes
R.A. Brazhe, D.A. Dolgov
Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russia brazhe@ulstu.ru
Abstract: For calculation and constructing the devices of nanoelectronics and nanophotonics, in which graphenes and graphenes-like 2D nanoallotropes of carbon, silicon and binary compounds of AnIBV type are used, the knowledge of elastic characteristics and depending on them piezoelectric, photo-elastic and other properties of 2D materials is significant. The method for determining isothermal values of the force constants, elastic rigidities, Young's modulus and Poisson's ratio for 2D nanoallotropes of the elements of IV group of the periodic table and binary compounds of AIIIBV type, simple and convenient for engineering calculations, has been offered. The method is based on the modified by S.Yu. Davydov method, connecting the Harrison orbitals and R.Keating models the descriptions of elastic properties of such materials. It has been shown that the method allows to provide the estimated calculations for the elastic properties both, the well-known synthesized 2D crystal structures, as well as for the theoretically constructed structures. It has been shown that along with graphene, the monolayer hexagonal boron nitride and other binary compounds of AIIIBV type in a form of 2D nanoallotropes of different symmetry, which, besides, are piezoelectric, can become very promising. It expands the range of possible practical applications of the studied materials (C, Si, BN, GaN, AlN, GaP) both with the graphene-like and more complex structure. The results of the work can be used when developing acoustoelectronic delay lines of terahertz frequency range, piezoelectric transduces for elastic waves excitation and receiving in the nanoscale 2D acoustic lines and piezoelectric sensors.
Keywords: force constants; elastic rigidities' Young'modulus; Poisson's ratio; 2D nanoallotropes; silicone; monolayer boron nitride; compounds of AInBV type; calculations methods; nanoacoustoelectronics
For citation: Brazhe R.A., Dolgov D.A. Method of finding elastic characteristics of graphene and other 2D nanoallotropes. Proc. Univ. Electronics, 2020, vol. 25, no. 1, pp. 7-18. DOI: 10.24151/1561-5405-2020-25-1-7-18
Введение. Графены и графеноподобные 2D-наноаллотропы углерода, кремния и бинарных соединений типа AIIIBV получают все большее распространение в нано-электронике и нанофотонике [1, 2], а также в наноэлектромеханических устройствах [3] и нанодатчиках [4, 5]. Для расчета и конструирования таких устройств большое значение имеет знание их упругих характеристик и зависящих от них пьезоэлектрических, фотоупругих и других свойств 2D-материалов [6, 7]. Однако результаты, полученные разными методами определения упругих характеристик этих материалов,
особенно не синтезированных, а «сконструированных» теоретиками, недостаточно достоверны.
Применяемые методы можно условно разделить на три группы: методы перво-принципные, или ab initio; полуэмпирические методы; методы, основанные на эмпирических потенциалах взаимодействия. К методам ab initio относятся метод Хартри - Фока и различные его обобщения [8, 9], а также теория функционала плотности (Density Functional Theory, DFT) [10]. Недостаток метода Хартри - Фока заключается в том, что он не учитывает корреляционной энергии для электронов. И даже его обобщенный вариант - метод Хартри - Фока - Боголюбова [11], в котором учитываются волновые функции пар частиц, - не решает этой проблемы полностью. Метод DFT обычно применяется в рамках формализма Кона - Шэма [12], позволяющего свести задачу описания взаимодействующих электронов, находящихся во внешнем поле атомных ядер, к движению свободных электронов в некотором эффективном потенциале. Недостатками методов ab initio являются большие затраты машинного времени и невозможность оценки погрешности расчета без экспериментальных данных.
К полуэмпирическим методам относится приближение сильной связи, или линейная комбинация атомных орбиталей. Суть метода применительно к расчету наноструктур [13] состоит в том, что решается уравнение Шрёдингера с гамильтонианом, построенным в базисе s-p-орбиталей внешних электронных подоболочек. При этом энергия электронных взаимодействий между атомами (энергия отталкивания) представляется в виде суммы парных потенциалов, которые определяются либо путем подгонки к экспериментальным данным, либо к результатам, полученным на основе DFT-расчетов. Полуэмпирические методы позволяют сократить время расчетов, но характеризуются невысокой точностью.
В методе эмпирических потенциалов [14] полная энергия системы, состоящей из большего числа атомов, представляется в виде суммы орбитального, парного и многочастичного потенциалов. В качестве парного потенциала обычно выбирают потенциал Лен-нарда-Джонса [15] или потенциал Морзе [16], вид которых определяется из соображений требуемого характера физических закономерностей с учетом простоты математических расчетов. Метод так же не претендует на точность количественных результатов.
Для описания независимых компонент тензора упругих жесткостей 2D-нано-структур необходимо знать силовые константы центрального и нецентрального взаимодействий атомов. Отметим, что любой из рассмотренных численных методов позволяет их найти, но для оценки прогнозируемых упругих свойств новых «сконструированных» структур точность полученных результатов будет невелика, так как нет экспериментальных данных, на которые можно опереться при задании потенциалов взаимодействия. Пошагово установить, где и в каком месте расчетов появляются и накапливаются ошибки, нельзя, так как все эти методы реализуются в программных пакетах (ABINIT, VASP, Accelrys Material Studio и др.) и для пользователя представляют собой «черный ящик». Кроме того, для инженерных расчетов устройств, основанных на упругих, пьезоэлектрических, фотоупругих свойствах наноаллотропов, важно знать, для каких условий (изотермических или адиабатических) эти свойства измерены или рассчитаны. В перечисленных методах этот вопрос вообще не рассматривается.
Цель настоящей работы - разработка простой и понятной методики численного расчета упругих характеристик графеноподобных 2D-наноаллотропов с точностью, приемлемой для решения практических задач в области конструирования элементов и устройств наномасштабных размеров. При этом важно четко оговорить, для каких условий (изотермических или адиабатических) данная методика будет приемлемой.
Исследуемые структуры. Теоретически предсказанные [17, 18] структуры исследуемых 2D-наноаллотропов элементов IV группы таблицы Менделеева (С, Si) и бинарных соединений типа АПГБ'У (В^ АШ, GaN, А1Р, GaP и др.) показаны на рис.1 и 2. Часть из них синтезирована (графен, силицен [19], 2D гексагональный нитрид бора [20]), а большую часть имеет смысл попытаться синтезировать, если их прогнозируемые физические свойства будут существенно превосходить аналогичные свойства уже полученных материалов. Устойчивость таких структур для случая гексагональных решеток вида (А)6, (АВ)6 обоснована в работе [21]. Некоторую уверенность в том, что и более сложные структуры, изображенные на рис.1 и 2, будут устойчивы, дает работа [22]. В ней показано, что по крайней мере кремниевые и бор-азотные структуры такого типа должны быть стабильными, хотя их энергетическая устойчивость несколько хуже, чем у соответствующих углеродных структур. В работах [18, 22] наряду с 2D sp2-наноаллотропами, содержащими три ковалентные связи между атомами, исследовались также 2D sp -наноаллотропы с четырьмя межатомными связями. Однако, как показано в [23], их упругие характеристики более чем на порядок хуже упругих характеристик 2D sp2-наноаллотропов, составленных из тех же атомов. Поэтому в настоящей работе такие структуры не рассматриваются.
Кроме того, исследуемые структуры предполагаются бесконечно протяженными, т.е. их линейные размеры по порядку величины превышают длину волны де Бройля для электрона, которая при комнатной температуре составляет около 60 нм. В противном случае начинают проявляться квантово-размерные эффекты, оказывающие существенное влияние на механические свойства наномасштабных структур. Для многих практических применений подобное ограничение не является критическим.
Рис.1. Атомные модели исследуемых 2D-наноаллотропов элементов IV группы таблицы Менделеева: а - (А)6; б - (А)63(12); в - (А)664; г - (А)44. Выделены элементарные ячейки и приведены оси кристаллофизической системы
координат
Fig.1. Atomic models of the investigated 2D nanoallotropes of the elements of IV group of the periodic table: a - (А)6; b - (А)63(12); c - (А)664; d - (А)44. The unit cell is allocated and the coordinates axes are shown
Рис.2. Атомные модели исследуемых бинарных соединений типа AniBV; а - (АВ)6; б - (АВ)63(12); в - (АВ)664; г - (АВ)44. Атомы типа А и атомы типа В
показаны разным цветом Fig.2. Atomic models of the investigated binary compounds of АПВ type: a - (АВ)6; b - (АВ)63(12); c - (АВ)664; d - (АВ)44. The atoms of A and B types are indicated by the points of different color
Электронная конфигурация атомов в структурах, изображенных на рис.1, имеет тип
2 2 2 1 2 3
A: ns np , а в структурах, изображенных на рис.2, имеет вид A: ns np и B: ns np , где n - главное квантовое число валентной подоболочки. Соответственно, в 2D-нано-аллотропах элементов IV группы таблицы Менделеева в плоскости (xi, x2) возникает ^-гибридизация атомных орбиталей и образуются три ковалентные а-связи, а четвертый валентный электрон находится при каждом атоме в р2-орбитали, перпендикулярной к плоскости структуры (в результате образуются оборванные л-связи). В 2D-нано-аллотропах соединений AIIIBV также образуются три связи в плоскости (xi, x2) , а «лишние» два р-электрона каждого атома типа B делают эти связи частично ионными. В результате происходит разделение свободных и занятых энергетических состояний валентных электронов, что приводит к появлению широкой запрещенной зоны. Если 2Б-наноаллотропы (см. рис.1) являются полуметаллами или узкозонными полупроводниками, то их бинарные аналоги (см. рис.2) должны быть диэлектриками или широкозонными полупроводниками. Первые принадлежат к центросимметричным классам точечной симметрии 6/mmm ((A)6, (A)63(i2), (A)664) или 4/mmm ((A)44), у вторых класс симметрии понижается до 3/mmm или m соответственно. Таким образом, эти 2D-нано-аллотропы являются нецентросимметричными и должны иметь пьезоэлектрические свойства, что расширяет область их практического применения.
Расчет силовых констант. Вычисления констант центрального к0 и нецентрального k взаимодействий атомов проведены на основе метода связывающих орбиталей Харрисона [24], модифицированного Давыдовым [25] на случай 2D-структур графено-подобного типа. Для этих констант в работе [25] получены следующие выражения:
k0 = 4 У2 a
1--
3
10 г У
V У2 у
k Л k
k1 - ^ k0 ,
(1)
(2)
где V - энергия металлизации, выражаемая через энергии 5- и р-состояний; У2 - кова-лентная энергия, определяемая соотношением
к2
У2 -Л2
ma
(3)
а - расстояние между ближайшими соседними атомами; X = 0,66 - коэффициент, выражаемый через матричные элементы оператора ковалентной энергии между соответствующими атомными волновыми функциями 5- и р-состояний; = -3,26 для
2 „
5р -орбиталей; И - приведенная постоянная Планка; т0 - масса свободного электрона.
Энергию металлизации V можно найти через энергии 5- и р-состояний [25] либо, как предложено в работе [23], из выражения для энергии связи на один атом [22]:
n
E — ^ У
1+Н
3
V V2 у
(4)
где п2 - число ближайших соседей (в рассматриваемом случае п2 = 3). Из (4) имеем
V-,
3
10п
>2 (3|Ebl -П2 \У2\)
1/2
Слишком пологий (по квадратичной гиперболе) спад V (формула (3)) с возрастанием межатомного расстояния а приводит к тому, что в динамическом режиме (в адиабатических условиях), когда могут иметь место ангармонические эффекты, формулы (1), (2) дают заниженные значения силовых констант. Для учета этого обстоятельства в
работах [21, 26] введено дополнительное и быстро спадающее с а (по закону а-2) слагаемое. Однако при расчете ангармонических характеристик (параметра Грюнайзена, коэффициента теплового расширения, упругих постоянных третьего порядка и др.) указанная поправка приводит к сильно завышенным результатам [24].
В большинстве важных с практической точки зрения случаев можно использовать статические или квазигармонические значения силовых констант и упругих характеристик 2D-материалов, соответствующие изотермическим условиям. Поэтому далее будем пользоваться выражениями (1)-(4). Предлагаемая методика в ее настоящем виде непригодна для расчета упругих характеристик рассматриваемых материалов в адиабатических условиях. Ее модификация для таких условий требует дополнительных экспериментальных и теоретических исследований по характеру зависимости ковалентной энергии от межатомного расстояния.
Учет степени ковалентности и степени ионности а-связей для бинарных соединений проведен в работе [27], где также оценен вклад л-связей в полярность а-связей и значения силовых констант. С физической точки зрения они вызывают «измятость»
(rumpling, buckling) 2Б-структуры в третьем измерении. В данной работе рассчитаны приведенные к графену значения силовых констант K0 = k0 (AB)/k0 (Gr) и
K = k(AB)/k(Gr) для рассматриваемых графеноподобных бинарных 2D-структур. Это позволяет вычислить константы k{) и k для соответствующих неуглеродных 2Б-наноаллотропов.
Расчет упругих характеристик. Независимые компоненты матриц упругих жест-костей рассматриваемых 2D-наноаллотропов можно выразить через найденные значения констант k и k, руководствуясь схемой, предложенной в работе [26], основанной на модели Китинга [28]. Для 2D-наноструктур классов симметрии 6/mmm и 3/mmm эти компоненты находятся по формулам [26]:
1 ( аВ ^
-1 4а + Р +18-^ , (5)
Тэ ^ 4а + р/ W
=
а для наноструктур классов 4/mmm и m - по формулам [23]:
_4(2o + 3p) г = 4 (2а-р) ^ = 2а + В
(i +V2") (1 +>/2") (1+л/2")
Здесь вместо к0 и к приняты обозначения а и Р из работы [28], имеющие тот же физический смысл.
Для инженерных расчетов вместо упругих жесткостей часто бывает удобнее пользоваться значениями модуля Юнга У и коэффициента Пуассона а. Они выражаются через Су по следующим формулам [29]:
- для 2D-наноаллотропов классов симметрии 6/ттт, 3/ттт и кристаллографического направления <10> классов симметрии 4/ттт и т:
у = с12с11, а = ^; (7)
Си Си
- для 2D-нaноaллотропов классов симметрии 4/ттт и т в направлении <11>:
г_ 2 (С11 + С12 ) С33 с=2 (С11 + С12 С33 ^
2 (с11 + С12 ) + С33 2 (с11 + С12 ) + С33
Результаты и их обсуждение. Рассчитанные по формулам (1), (2) с учетом К0 и К значения констант центрального к0 и нецентрального к взаимодействий атомов для исследуемых 2D-нaноaллотропов приведены в табл.1. Там же указаны вычисленные по формулам (5), (6) независимые компоненты тензора упругих жесткостей для этих материалов в матричном представлении. Все приведенные числовые значения соответствуют изотермическим условиям. В табл.2 приведены изотермические значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона для данных материалов, вычисленные по формулам (7), (8). Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что данные по модулю Юнга, приведенные в табл.2, для графена (С)6 и монослойного нитрида бора (БК)б попадают в интервалы значений, рассчитанных разными методами в работах [30, 31].
Таблица 1
Силовые константы и упругие жесткости графенов, силиценов и бинарных соединений типа AIIIBV в изотермических условиях
Table 1
Force constants and elastic rigidities of graphenes, silicenes and binary compounds
of AIIIBV
type in the isothermal conditions
2D- k0, Н/м k1, Н/м c11, Н/м c12, Н/м c33, Н/м
наноаллотроп
Графены и силицены
(С)б 177 38,9 5,33 331 -
(С)б3(12) 25,1 5,80 75,7 47,1 -
(С)664 120 27,6 361 226 -
(С)44 177 40,8 328 215 68
(Si)6 40,7 1,95 100 90,2 -
(Si)63(12) 5,77 0,29 14,3 12,8 -
(Si)664 2,76 1,38 10,4 3,99 -
(Si)44 40,7 2,04 60,3 54,6 14,4
Бинарные соединения типа AIHBV
(BN)6 142 25,3 405 280 -
(BN)63(12) 20,1 3,77 58,0 39,3 -
(BN)664 96,0 17,9 277 188 -
(BN)44 142 26,5 250 177 53,4
(AlN)6 70,8 27,2 172 158 -
(AlN)63(12) 10,0 0,41 24,4 22,3 -
(AlNW 48,0 1,93 117 107 -
(AlN)44 70,8 2,86 103 95,1 24,9
(AlP)6 42,5 0,39 99,2 97,2 -
(AlP)63(12) 6,02 0,06 14,1 13,8 -
(AlP)664 28,8 0,28 67,2 65,7 -
(AlP)44 42,5 0,41 59,4 58,2 14,7
(GaN)6 67,3 1,95 162 152 -
(GaN)63(12) 9,54 0,29 23,0 21,5 -
(GaN)664 45,6 1,38 110 103 -
(GaN)44 67,3 2,04 96,9 91,3 23,5
(GaP)6 44,3 0,39 104 102 -
(GaP)63(12) 6,28 0,03 14,7 14,4 -
(GaP)664 30,0 0,28 70,1 68,6 -
(GaP)44 44,3 0,41 61,8 60,7 15,3
Из полученных результатов видно, что из всех рассмотренных 2D-наноаллотропов наиболее высокие упругие свойства имеет классический графен (С)6. Для него значения независимых компонент двумерных упругих жесткостей соответственно равны: Си = 533 Н/м; с12 = 331 Н/м, а для двумерного модуля Юнга и коэффициента Пуассона У = 327 Н/м и а = 0,62. К классическому графену (С)6 по упругости близок такой же по симметрии 2D-наноаллотроп нитрида бора (В^6 (или Л-BN в других обозначениях), для которого с11 = 405 Н/м, с12 = 280 Н/м, У = 211 Н/м, а = 0,69. Модуль Юнга 2Б-наноаллотропа нитрида алюминия (АШ)6 в 12,2 раза меньше, чем у классического графена, и в 7,8 раза меньше, чем у нитрида бора. Упругие свойства всех прочих 2Б-наноаллотропов гораздо хуже. С физической точки зрения это объясняется тем, что у графена (С)6 самое маленькое межатомное расстояние а = 1,42 А и, следовательно, самая большая ковалентная энергия У2 (см. выражение (3)), а значит, самые большие
Таблица 2
Значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона для графенов, силиценов и бинарных соединений типа AIIIBV в изотермических условиях
Table 2
Values of Young's modulus and Poisson's ratio for graphenes, silicenes and binary compounds of AIIIBV type in the isothermal conditions
2Б-наноаллотроп Y, Н/м с Гп>, Н/м с <п>
Графены и силицены
(С)б (С)б3(12) (С)664 (С)44 327 46,4 220 187 0,62 0,62 0,63 0,63 63,0 0,88
(Si)6 18,6 0,90 -
(Si)63(12) 2,84 0,90 - -
(Si)664 8,9 0,88 - -
(Si)44 48,4 0,91 13,6 0,88
Бинарные соединения типа AIIIBV
(BN)6 211 0,69 - -
(BN)63(12) 31,3 0,68 - -
(BN)664 149 0,68 - -
(BN)44 124 0,71 50,3 0,88
(AlN)6 26,9 0,92 - -
(AlN)63(i2) 4,02 0,91 - -
(AlNW 19,1 0,91 - -
(AlN)44 15,2 0,92 21,4 0,95
(AlP)6 3,96 0,98 - -
(AlP)63(12) 0,59 0,98 - -
(AlP)664 2,97 0,98 - -
(AlP)44 2,38 0,98 13,8 0,98
(GaN)6 19,4 0,94 - -
(GaN)63(i2) 2,90 0,93 - -
(GaN)664 13,5 0,94 - -
(GaN)44 10,9 0,94 22,1 0,53
(GaP)6 (GaP)63(i2) (GaP)664 (GaP)44 3.96 0,59 2.97 2,18 0,98 0,98 0,98 0,98 141,5 0,90
силовые константы. Для сравнения: у силицена а = 2,23 А [21], и по своим упругим свойствам он значительно уступает не только одинаковому с ним по симметрии графену (С)6, но и многим другим 2Б-наноаллотропам.
Отметим также, что коэффициенты Пуассона для всех 2D-наноаллотропов с одинаковым химическим составом независимо от их симметрии практически идентичны. Они определяют степень упругой анизотропии, которая у графенов всех типов самая высокая ввиду больших значений силовых констант (см. формулы (5), (6)). Кроме того, модуль Юнга и коэффициенты Пуассона 2D-наноаллотропов фосфида алюминия и фосфида галлия практически идентичны, хотя их силовые константы и упругие жесткости несколько различаются. Это объясняется не абсолютными значениями с11 и с12 в формулах (5), а их сочетанием.
Графены и силицены являются полуметаллами или узкозонными полупроводниками, а 2D-наноаллотропы бинарных соединений типа АШВ¥ - широкозонными полупро-
водниками или диэлектриками и в отличие от первых имеют пьезоэлектрические свойства в силу своей нецентросимметричности. Это расширяет спектр их возможных применений в наноэлектронике. При этом знание упругих свойств данных материалов имеет большое значение.
Заключение. С помощью модифицированного метода связывающих орбиталей Харрисона и применения модели Китинга и общих представлений кристаллофизики с приемлемой для оценочных целей точностью найдены изотермические значения упругих жесткостей, модуля Юнга и коэффициентов Пуассона для графена и других 2Б-наноаллотропов. Метод базируется на простых аналитических выражениях и может использоваться в инженерных расчетах.
Результаты работы показывают, что наряду с графеном перспективными для нано-электроники материалами могут стать монослойный гексагональный нитрид бора, а также бинарные соединения типа AIILBV в виде 2D-наноаллотропов различной симметрии, которые, кроме того, являются пьезоэлектриками.
Литература
1. Lemme M.C., Echtemeyer T.J., Baus M., Kurz H. Graphene field-effect device // IEEE Electron Dev. Lett. 2007. Vol. 28. P. 283-284.
2. Graphene and mobile ions: The кеу to all-plastic, solution-processed light-emitting devices / P. Malyba, H.Yamaguchi, G. Eda etal. // Am. Chem. Soc. 2010. Vol. 4. No. 1-2. P. 637-642.
3. Electromechanical resonators from graphene sheets / J.S. Bunch, A.M. Van Der Zande, S.S. Verbridge et al. // Science. 2007. Vol. 315. P. 490-493.
4. Graphene based nanosensor for aqueous phase detection of nitroaromatics / S. Avaz, R.B. Roy, V.R.S.S. Mokkapati et al. // RCS Adv. 2017. Vol. 7. No. 7. P. 25519-25527.
5. Boron nitride monolayer: A strain-turnable nanosensor / M. Neek-Amal, J. Beheshtian, A. Sadeghi et al. // J. Phys. Chem. C. 2013. Vol. 117(25). P. 1361-1367.
6. Браже Р.А., Кочаев А.И., Советкин А.А. Пьезоэффект в графеноподобных 2D-супракристаллах с нарушающей центросимметричность периодической перфорацией // ФТТ. 2013. Т. 55. Вып. 9. С.1809-1812.
7. Браже Р.А., Кочаев А.И., Мефтахутдинов Р.М. Фотоупругие свойства графенов // ФТТ. 2017. Т. 59. Вып. 2. С. 334-337.
8. Hartree D.R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. Part I: Theory and methods // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1928. Vol. 24. P. 89-110.
9. Fock V. Näherungsmethode zur Lösung des quantenmechanischen Mehrkörperproblems // Z. Phys. 1930. Vol. 61. Iss. 1-2. P. 126-148.
10. Jones R.O. The density functional formalism, its applications and prospects // Rev. Mod. Phys. 1989. Vol. 61. No. 3. P. 689-746.
11. Staroverov V.N., Scuseria G.E. Optimization of density matrix functionals by the Hartree-Fock-Bogoliubov method // J. Chem. Phys. 2002. Vol. 117. No. 24. P. 1107-1112.
12. Kohn W. Nobel lecture: Electronic structure of matter - wave function and density functionals // Rev. Mod. Phys. 1999. Vol. 71. P. 1253-1266.
13. Теоретические методы исследования наноструктур / О.Е. Глухова, И.В. Кириллова, И.Н. Салий и др. // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2012. Вып.9 (100). С. 106-117.
14. ФедоровЛ.С., Сорокин П.Б., Аврамов П.В., Овчинников С.Г. // Моделирование свойств, электронной структуры ряда углеродных и неуглеродных нанокластеров и их взаимодействий с легкими элементами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006. -
URL: http:Wwww.kirensky.ru/masterparticles/monogr/Book/About.htm (дата обращения: 20.06.2019).
15. Lennard-Jones J.E. Wavefunction of many-electron atoms // Proc. Roy. Soc. 1924. Vol. A106. P. 463-477.
16. Morse P.M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels // Phys.Rev. 1929. Vol. 34. P. 57-64.
17. Enyashin A.N., Ivanovskii A.L. Graphene allotropes // Phys. Status. Solidi (b). 2011. Iss. 8. P. 1879-1883.
18. Беленков Е.А., Грешняков В.А. Классификация структурных разновидностей углерода // ФТТ. 2013. T. 55. Вып. 8. С. 1640-1650.
19. A review on silicene - new candidate for electronics / A. Kara, H. Enriquez, A.P. Seitsonen et al. // Surf. Sei. Rep. 2012. Vol. 67. P. 1-18.
20. Large-area monolayer hexagonal boron nitride on Pt foil / J.-H. Park, J.-C. Park, S.J. Yun et al. // ACS Nano. 2014. Vol. 8. P. 8520-8528.
21. Давыдов С.Ю., Посредник О.В. К теории упругих свойств двумерных гексагональных структур // ФТТ. 2015. Т. 57. Вып. 4. С. 819-824.
22. Браже Р.А., Каренин А.А. Компьютерное моделирование физических свойств супракристаллов // Изв. вузов. Физ.-мат. науки. 2011. № 2(18). С. 105-112.
23. Браже Р.А., Каренин А.А., Кочаев А.И., Мефтахутдинов Р.М. Упругие характеристики углеродных 2Б-супракристаллов в сравнении с графеном // ФТТ. 2011. Т. 53. Вып. 7. С. 1406-1408.
24. Харрисон У. Электронная структура и свойства твердых тел. М.: Мир, 1983. Т. 1. 381 с.
25. Давыдов С.Ю. Об упругих характеристиках графена и силицена // ФТТ. 2010. Т. 52. Вып. 1. С. 172-174.
26. Давыдов С.Ю. О силовых константах графена // ФТТ. 2010. Т. 52. Вып. 9. С. 1815-1818.
27. Давыдов С.Ю. Вклад я-связей в эффективные заряды, энергию когезии и силовые константы графеноподобных соединений // ФТТ. 2016. Т. 58. Вып. 2. С. 392-400.
28. Keating P.N. Effect of invariance requirements on the elastic strain energy of crystals with application to the diamond structure // Phys. Rev. 1986. Vol. 145. P. 637-645.
29. Браже Р.А., Нефедов В.С., Кочаев А.И. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона планарных и нанотубулярных супракристаллических структур // ФТТ. 2012. Т. 54. Вып. 7. С. 1347-1349.
30. Le M.-Q. Prediction on Young's modulus of hexagonal monolayer sheets based on molecular mechanics // Int. J. Mech. and Mat.in Design. 2015. Iss. 1. P. 15-24.
31. Boldrin L., Scarpa F., Chowdhury R., Adhikari S. Effective mechanical properties of hexagonal boron nitride nanosheets // Nanotechnology. 2011. Vol. 22. P. 505702-505709.
Поступила в редакцию 24.06.2019 г.; после доработки 06.08.2019 г.; принята к публикации 19.11.2019 г.
Браже Рудольф Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики Ульяновского государственного технического университета (Россия, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32), brazhe@ulstu.ru
Долгов Дмитрий Андреевич - аспирант кафедры физики Ульяновского государственного технического университета (Россия, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32) deimosrffi@yandex.ru
References
1. Lemme M.C., Echtemeyer T.J., Baus M., Kurz H., Graphene field-effect device. IEEE Electron Dev. Lett, 2007, vol. 28, pp. 283-284.
2. Malyba P., Yamaguchi H., Eda G. et al. Graphene and mobile ions: The ray to all-plastic, solution-processed light-emitting devices. Am. Chem. Soc., 2010, vol. 4, no. 1-2, pp. 637-642.
3. Bunch J.S., Van Der Zande A.M., Verbridge S.S. et al. Electromechanical resonators from graphene sheets. Science, 2007, vol. 315, pp. 490-493.
4. Avaz S., Roy R.B., Mokkapati V.R.S.S. et al. Graphene based nanosensor for aqueous phase detection of nitroaromatics. RCSAdv., 2017, vol. 7, no. 7, pp. 25519-25527.
5. Neek-Amal M., Beheshtian J., Sadeghi A. et al. Boron nitride monolayer: A strain-turnable nanosensor. J.Phys. Chem. C, 2013, vol. 117(25), pp. 1361-1367.
6. Brazhe R.A., Kochaev A.I., Sovetkin A.A. Piezoelectric effect in graphene-like 2D supracrystalls with a periodic perforation breaking the central symmetry. Phys. Solid State, 2013, vol. 55, no. 9, pp. 1925-1928.
7. Brazhe R.A., Kochaev A.I., Meftakhutdinov R.M. Photoelastic properties of graphenes. Phys. Solid State, 2017, vol. 59, no. 2, pp. 334-337
8. Hartree D.R. The wave mechanics of an atom with a non-Сoulomb central field. Part I: Theory and methods. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1928, vol. 24, pp. 89-110.
9. Fock V. Näherungsmethode zur Lösung des quantenmechanischen Mehrkörperproblems. Z. Phys., 1930, vol. 61, iss. 1-2, pp. 126-48.
10. Jones R.O. The density functional formalism, its applications and prospects. Rev. Mod. Phys., 1989, vol. 61, no. 3, pp. 689-746.
11. Staroverov V.N., Scuseria G.E. Optimization of density matrix functionals by the Hartree-Fock-Bogoliubov method. J. Chem. Phys., 2002, vol. 117, no. 24, pp. 1107-1112.
12. Kohn W. Nobel lecture: Electronic structure of matter - wave function and density functional. Rev. Mod. Phys., 1999, vol. 71, pp. 1253-1266.
13. Glukhova O.E., Kirillova I.V., Saliy I.N. et. al. Theoretical methods of nanostructures investigation. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2012, iss. 9(100), pp. 106-117. (in Russian).
14. Fedorov A.S., Sorokin P.B., Avramov P.V., Ovchinnikov S.G. Modeling of the properties, electron structure of series of carbon and not carbon nanoclusters and their interaction with easy elements. Novosibirsk, Siberian Branch of the Russian Academy of Science publishing house, 2006. Available at: http:Wwww.kirensky.ru/masterparticles/monogr/Book/About.htm (accessed: 20.06.2019). (in Russian).
15. Lennard-Jones J.E. Wavefunction of many-electron atoms. Proc. Roy. Soc., 1924, vol. A106, pp. 463-477.
16. Morse P.M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels. Phys.Rev., 1929, vol. 34, pp. 57-64.
17. Enyashin A.N., Ivanovskii, A.L. Graphene allotropes. Phys. Status Solidi (b), 2011, iss. 8, pp. 1879-1883.
18. Belenkov E.A., Grexhnyakov V.A. Classification of structural modifications of carbon. Phys. Solid State, 2013, vol. 55, no. 8, pp. 1754-1764.
19. Kara A., Enriquez H., Seitsonen A.P. et al. A review on silicone - New candidate for electronics. Surf. Sci. Rep., 2012, vol. 67, pp. 1-18.
20. Park J.-H., Park J.-C., Yun S.J. et al. Large-area monolayer hexagonal boron nitride on Pt foil. ACS Nano, 2014, vol. 8, pp. 8520-8528.
21. Davydov S.Yu., Posrednik O.V. On the theory of elastic properties of two-dimensional hexagonal structures. Phys. Solid State, 2015, vol. 57, no. 4, pp. 837-843.
22. Brazhe R.A., Karenin, A.A. Computer simulation of the supracrystals physical properties. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences, 2011, no. 2(18), pp. 105-112. (in Russian).
23. Brazhe R.A., Karenin A.A., Kochaev A.I., Meftakhutdinov R.M. Elastic characteristics of 2D supracrystals as compared to grapheme. Phys. Solid State, 2011, vol. 53, iss. 7, pp. 1481-1483.
24. Harisson W. Electron structure and properties of solids. Part 1. Moscow, Mir Publ., 1983, vol. 1. 381 p. (in Russian).
25. Davydov S.Yu. On the elastic characteristics of graphene and silicone. Phys. Solid State, 2010, vol. 52, no. 1, pp. 184-187.
26. Davydov S.Yu., On the force constants of grapheme. Phys. Solid State, 2010, vol. 52, no. 9, pp. 1947-1951.
27. Davydov S.Yu. Contribution of n-bonds to effective charges, cohesive energy, and force constants of graphene-like compounds. Phys. Solid State, 2016, vol. 58, no. 2, pp. 402-412.
28. Keating P.N., Effect of invariance requirements on the elastic strain energy of crystals with application to the diamond structure. Phys. Rev., 1986, vol. 145, pp. 637-645.
29. Brazhe R.A., Kochaev A.I., Nefedov V.S. Young's modulus and the Poisson's ratio of planar and nanotubular supracrystalline structures. Phys. Solid State, 2012, vol. 54, no. 7, pp. 1430-1432.
30. Le M.-Q., Prediction on Young's modulus of hexagonal monolayer sheets based on molecular mechanics. Int. J. Mech. and Mat. in Design, 2015, no. 1, pp. 15-24.
31. Boldrin L., Scarpa F., Chowdhury R., Adhikari S. Effective mechanical properties of hexagonal boron nitride nanosheets. Nanotechnology, 2011, vol. 22, pp. 505702-505709.
Received 24.06.2019; Revised 06.08.2019; Accepted 19.11.2019. Information about the authors:
Rudolf A. Brazhe - Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Head of the Physics Department, Ulyanovsk State Technical University (Russia, 432027, Ulyanovsk, Severny Venetz st., 32), brazhe@ulstu.ru
Dmitry A. Dolgov - PhD student of the Physics Department, Ulyanovsk State Technical University (Russia, 432027, Ulyanovsk, Severny Venetz st., 32), deimosrffi@yandex.ru
