CC BY
78
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.915
Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов, К. Х. Фатхутдинова
ЗОННАЯ СТРУКТУРА УГЛЕРОДНЫХ И КРЕМНИЕВЫХ 2Б-СУПРАКРИСТАЛЛОВ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Уникальные свойства графена, в частности, его исключительно высокие электропроводность и теплопроводность, привели ряд исследователей к выводу о наступлении эры углеродной электроники, приходящей на смену классической кремниевой электронике. Целью настоящей работы является сравнение электронных свойств различных 5/>2-наноаллотропов углерода и кремния для подтверждения или опровержения такого вывода.
Материалы и методы. В работе исследованы супракристаллические sp2-наноаллотропы углерода и кремния следующих типов: (X)44, (X)63(42) и (X)664. Расчеты выполенены как в приближении сильной связи (ТВ-метод), так и на основе формализма теории функционала плотности (DFT -метод) с использованием программного пакета VASP.
Результаты. Показано, что как для углерода, так и для кремния, структуры (X)44 и (X)63(12) являются полуметаллами, а (X)664 - узкозонным полупроводником.
Выводы. Углеродные sp2-наноаллотропы представляются более перспективными для использования в наноэлектронике, чем аналогичные кремниевые наноаллотропы.
Ключевые слова: углерод, кремний, sp2-наноаллотропы, численные расчеты, ТВ-метод, DFT-метод, зонная структура.
R. A. Brazhe, R. M. Meftakhutdinov, K. Kh. Fatkhutdinova
BAND STRUCTURES OF CARBON AND SILICON 2D SUPRACRYSTALS
Abstract.
Background. Unique properties of graphene, in particular its exceptionally high electrical and thermal conductivity, lead some researchers to the conclusion that the carbon electronics is taking the place of the classical silicon electronics. The purpose of this paper is to compare electronic properties of different carbon and silicon sp2-nanoallotropes whether to confirm or refute this conclusion.
Materials and methods. Supracrystalline carbon and silicon sp2-nanoallotropes of the types (X)44, (X)63(12) and (X)664 are studied in the work. The calculations were carried out both by tight-binding approximation (the TB method) and by the density functional theory formalism (the DFT method) using the VASP package.
Results. It is shown that for both carbon and silicon the (X)44 and (X)63(12) structures are semimetals, and the (X)664 structure is a narrow-band semiconductor.
Conclusions. The carbon sp2-nanoallotropes really seem to be more promising materials for nanoelectronics than the analogous silicon nanoallotropes. Similar two-dimensional carbon and silicon nanoallotropes can be useful for nanoelectronics, nanophotonics, and nanooptoelectronics.
Key words: carbon, silicon, nanostructures, sp2-nanoallotropes, numerical calculations, TB method, DFT method, band structure.
1 Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства образования и науки РФ 2014/232 (проект № 1742).
130
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Физика
Введение
С теоретической точки зрения зонная структура и электронные свойства графеноподобной двумерной углеродной решетки с шестиугольными ячейками привлекали внимание исследователей задолго до получения графена Новоселовым и др. в 2004 [1, 2]. Пионерской работой такого рода можно считать работу Уоллеса [3]. Используя приближение сильной связи и пренебрегая интегралами перекрытия для 2Б-атомных орбиталей, он получил симметричное расположение п и п* электронных связей для подобной структуры со значением интеграла перескока у0 между соседними п орбиталями, равным примерно 0,9 эВ. Позднее Ломер [4], Шарлье и др. [5] оценили величину у0 как равную 3 и 3,2 эВ соответственно. Как было показано Саито и др [6, 7], симметрия п и п* связей нарушается, если рассматривается перекрытие 2р>г-орбиталей. Электронные свойства графеновых и основанных на графене нанотрубок и нанолент были изучены Дюбуа и др. [8] не только в рамках модели сильной связи, но и с использованием теории функционала плотности [9, 10], которая применяется в кодах ABINIT [11] и SIESTA [12].
Предсказание новых устойчивых графеноподобных двумерных структур таких, как пентагептиты [13, 14], хэкелиты [15], графины [16, 17], графдины [18], скварографиты [19] и т.д., состоящих из углеродных и других атомов, обусловило развитие численных методов для вычисления их свойств. В настоящей работе исследуются графеноподобные планарные структуры, называемые супракристаллами [20, 21]. Их упругие и акустические свойства были изучены ранее в работах [22-24].
Конечно, самая полная информация о физических свойствах графеноподобных двумерных структур может быть получена на основе численных расчетов с использованием методов теории функционала плотности (density functional theory, DFT). Однако, как было показано в недавних работах [25, 26], приближение сильной связи (tight binding, TB) может быть очень эффективным теоретическим подходом для изучения электронных и транспортных свойств двумерных углеродных наноаллотропов. Также были предложены комбинированные DF-TB модели для подобных вычислений [27].
В данной работе мы изучили электронные свойства углеродных и кремниевых 2D-супракристаллов с использованием TB-модели и DFT-методов.
1. Исследуемые структуры
На рис. 1 показаны три типа исследуемых 2D-супракристаллов, обладающих .^-гибридизацией: (X)44 - содержащая 4 атома в элементарной ячейке (показана пунктирной линией), (X)63(J2) - содержащая 6 атомов в элементарной ячейке, (X)664 - с 12 атомами. В привиденных обозначениях X показывает вид химического элемента, а индексы - поворотную симметрию. Векторы а1 и а2 - векторы трансляции. В табл. 1 эти векторы, а также их длины выражены через межатомное расстояние l. Следует отметить, что у структуры (X)44 межатомное расстояние внутри квадрата и расстояние между ближайшими атомами соседних квадратов различное, причем первое больше, чем второе.
Базисные векторы обратной решетки Ьь b2 связаны с аь а2 следующими соотношениями:
Physics and mathematics sciences. Physics
131
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
агЬ j = 2л5у, i, j = 1, 2,
результаты их расчетов приведены в табл. 1.
Таблица 1
Базисные векторы прямой и обратной решеток
(X)44 (X)63(12) (X)664
ai = (2I1 + /2, 0) a2 = ( (11 +12 ) f 2л/5 + 3 л/3 + 2 V a, = , / 2 2 V J a2 =(, V3 + 2)/ II II 2S+1, -^+3) •, J16+^r)1 V J
a = |a1 = |a2 = (2/1 +12) a = H = |a^ = (3 + 2) ) a = |a1 = h| = ^16 + 2 V ! / J
b1 =(0, 1)^ a b2 =(1, 0 )— a h=Й2з- •! a b2=( 1 jb) a b1- •)? b2=(l 7;) a
Векторы обратной решетки позволяют построить соответствующую первую зону Бриллюэна (рис. 2). Структуры (X)63(12) и (X)664, как и графен, обладают поворотной осью 6-го порядка, поэтому их первая зона Бриллюэна имеет вид правильного шестиугольника, как показано на рис. 2,a. Пунктиром показана альтернативная зона. Как и в случае графена, зона Бриллюэна содержит три точки высокой симметрии: две эквивалентные в вершинах шестиугольника - K и K', и одну на середине стороны - M. Структура (X)44 обладает поворотной осью симметрии 4-го порядка, ее первая зона Бриллюэна имеет вид квадрата с двумя S точками на серединах сторон и одной M точкой в его угле.
2. Методы вычисления
Зонная структура кристаллических материалов исследуется с использованием как DFT-методов, так и в приближении сильной связи. Вычисления из
132
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Физика
первых принципов были выполнены с использованием пакета VASP [28]. Для обменных корелляционных потенциалов были приспособлены приближения локальной плотности в форме Пердью - Зангера (LDA) и обобщенного градиента (GGA), разработанное Пердью и Вангом. Энергия обрезалась на значении 240 эВ. Сетка 9x9x1 £-точек формировалась по схеме Монхорста - Пака. Для вычисления использовалась изолированная плоская структура. Во избежание взаимодействия между слоями расстояние между ними устанавливалось равным 30 А.
Рис. 2. Первая зона Бриллюэна: а - для структур (X)63(12) и (X)664; б - для структуры (X)44
В рамках приближения сильной связи из четырех валентных электронов рассматривался только 2pz-электрон, с которым связана электропроводность структуры. Остальные электроны образуют ковалентные связи с соседними атомами в плоскости структуры и не дают вклада в проводимость.
Елоховская функция 2р2-электрона, сконструированная на основе атомных волновых функций, имеет вид
П
¥ = Z (r -Ri)
i=1
где 9i - базисная волновая функция, относящаяся к атому i внутри элементарной ячейки и имеющему радиус-вектор R,; п - количество атомов в ячейке. Матричные элементы гамильтониана
J ьн <р у т
ik (
ближайшие
соседи
Vppn ^' Схр
записывались в приближении взаимодействия лишь между ближайшими соседями. Перекрытие волновых функций при построении гамильтониана не учитывалось.
Интегралы перескока Vppn обычно определяются либо путем подгонки к экспериментальным данным, либо к результатам, полученными DFT-мето-
Physics and mathematics sciences. Physics
133
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
дами. Мы предлагаем рассчитывать эти интегралы по формуле, предложенной Гудвином [29]:
V = V0 f—
РРП РРПI i
exp
f
n
V -
f l ^c
V rc
+
f \nc
П
V rc У
J/
Здесь l - расстояние между атомами в исследуемой структуре. Значения параметров VPpK, r0, rc, n и nc (табл. 2) были взяты из работы [29] для углерода и из [30] для кремния. Результаты расчета интегралов перескока приведены в табл. 2.
Таблица 2
Интегралы перескока
(C)44 (C)63(12) (C)664 (Si)44 (Si)63(12) (Si)664
Vppn, эВ -1,829 -0,196
r0, A 1,54 2,35
Гс, A 2,87 2,77
n 2,00 4,04
Пс 6,85 29,48
l, A 1,48 1,38 1,71 1,56 1,77 1,86 2,18 2,27
Vppn, эВ -1,997 -2,311 -1,440 -1,777 -0,635 -0,520 -0,273 -0,230
Энергетические характеристики электронов были получены при численном решении задачи на собственные значения гамильтониана.
3. Результаты и их обсуждение
На рис. 3 показаны результаты расчетов зонных структур для углеродных и кремниевых 5р2-супракристаллических наноаллотропов. Уровень Ферми соответствует 0 эВ. Видно, что результаты, полученные DFT-методами (пунктирная линия) качественно схожи с результатами, полученными с использованием метода сильной связи (сплошная линия). Результаты, полученные нами для (C)63(i2), (C)44 и (C)664, качественно схожи и с результатами, полученными для них же, но методом TB-DF [27]. В табл. 3 приведено сравнение результатов.
Полученные результаты показывают, что (C)44 и (C)63(12) обладают нулевой запрещенной зоной и принадлежат к полуметаллам, а (C)664 является узкозонным полупроводником, причем ширина запрещенной зоны, полученная нами, составляет 0,33 эВ (ТВ-метод) и 0,34 эВ (DFT-метод), что сильно отличается от результата работы [27], в которой приводится значение 1,14 эВ. Как нам представляется, результат 0,33 эВ ближе к истинному, так как Pz-электрон слабо связан с атомом и для его перевода в зону проводимости не требуется много энергии.
134
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Физика
5
в
. X\ 7—?
- /7 - / / / - / . /
5
в
_ , 7
- у
\ /
- V
м
м
я)
б)
..
- — — —-'■
2 -
> 1 'I'.
.5. -1
-2 -
TTT 1 К \\\ 4 L
Рис. 3. Зонная структура: a - для (C)44; б - для (C)63(12); в - для (C)664; г - для (Si)44; д - для (Si)63(12); е - для (Si)664. Пунктирной линией показаны результаты расчета DFT-методами, сплошной - методом сильной связи
Структуры (Si)44 и (Si)63(12) обнаруживают металлические свойства, так как ширина запрещенной зоны для них, рассчитанная как ТВ-методом, так и
Physics and mathematics sciences. Physics
135
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
DFT-методом, равна нулю, а (Si)664 является узкозонным полупроводником с шириной запрещенной зоны, равной 0,06 эВ (ТВ-метод) и 0,19 эВ (DFT-метод).
Таблица 3
Сравнение результатов расчета ширины запрещенной зоны с данными работы [27]
Структура (C)44 (C)63(12) (C)664
Наст. работа TB-DF [27] Наст. работа TB-DF [27] Наст. работа TB-DF [27]
ТВ DFT ТВ DFT ТВ DFT
Ширина запрещенной зоны, эВ 0 0 0 0 0 0 0,33 0,34 1,14
Проведенные расчеты показывают, что электронные свойства силице-ноподобных супракристаллов в целом такие же, как и у графеноподобных супракристаллов соответствующего типа. Правда, кремниевая структура (Si)664 характеризуется существенно меньшей шириной запрещенной зоны по сравнению с аналогичной углеродной структурой (C)664. Это означает, что углеродные 5р2-наноаллотропы имеют преимущества по сравнению с их кремниевыми аналогами при их использовании в наноэлектронике: полуметаллы имеют большие значения электро- и теплопроводности, а полупроводники - большую ширину запрещенной зоны.
Список литературы
1. Electric field effect in atomically thin carbon films / K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, T. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov // Science. - 2004. - Vol. 306. - P. 666-669.
2. Novoselov, K. S. Two-dimensional atomic crystals / K. S. Novoselov, D. Jiang,
F. Schedin, T. J. Booth, V. V. Khotkevich, S. V. Morozov, A. K. Geim // PNAS. -2005. - Vol. 102. - P. 10451-10453.
3. Wallace, P. R. The band theory of graphite / P. R. Wallace // Phys. Rev. - 1947. -Vol. 71. - P. 622-634.
4. Lomer, W. M. The valence bands in two-dimensional graphite / W. M. Lomer // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1955. - Vol. 227. - P. 330-349.
5. Charlier, J.-C. Tight-binding model for the electronic properties of simple hexagonal graphite / J.-C. Charlier, J.-P. Michenaud, X. Gonze, J.-P. Vigreron // Phys. Rev.
B. - 1991. - Vol. 44. - P. 13237-13249.
6. Saito, R. Physical properties of carbon nanotubes / R. Saito, G. Dresselhause, M. S. Dresselhause. - London, Imperial, 1998.
7. Saito, R. Optical properties and Raman spectroscopy of carbon nanotubes / R. Saito, H. Kataura // Carbon Nanotubes - Topics Appl. Phys. - 2001.- Vol. 80. - P. 213-247.
8. Dubois, S. M.-M. Electronic properties and quantum transport in graphene-based nanostructures / S. M.-M. Dabois, Z. Zanolli, X. Declerk, J.-C. Charlier // Eur. Phys. J. B. - 2009. - Vol. 72. - P. 1-24.
9. Hohenberg, P. Inhomogeneous electron gas / P. Hohenberg, W. Kohn // Phys. Rev. -1964. - Vol. 136. - P. B864-B871.
10. Kohn, W. Self-consistent equations including exchange and correlation effects / W. Kohn, L. J. Sham // Phys. Rev. - 1965. - Vol. 140. - P. A1133-A1138.
136
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Физика
11. First-principles computation of material properties: the ABINIT software project /
X. Gonze, J.-M. Beuken, R. Caracas, F. Deutraux, M. Fuchs, G.-M. Rignanese, L. Sin-dic, M. Verstraete, G. Zerah, F. Jollet, M. Torrent, A. Roy, M. Mikami, Ph. Ghosez, J.-Y. Raty, D. C. Allan // Comp. Mat. Sci. - 2002. - Vol. 25. - P. 478-492.
12. The Siesta method for ab initio order-N materials simulation / J. M. Soler, E. Artacho, J. Gale, D. A. Garcia, J. Junguera, O. Ordejon, D. Sanchez-Portal // J. Phys.: Condens. Matter. - 2002. - Vol. 14. - P. 2745-2779.
13. Crespi, V. H. Prediction of a pure-carbon planar covalent metal / V. H. Crespi,
L. X. Benedict, M. L. Cohen, S. G. Louie // Phys. Rev. B. - 1996. - Vol. 53. -P. R13303-R13305.
14. Deza, M. Pentaheptite modifications of the graphite sheet / M. Deza, P. W. Fowler,
M. Shtorgin, K. Vietze // J. Chem. Inf. Comput. Sci. - 2000. - Vol. 40. - P. 1325-1332.
15. Terrones, H. New metallic allotropes of planar and tubular carbon / H. Terrones,
M. Terrones, E. Hernandes, N. Grobert, J.-C. Charller, P. M. Ajayan // Phys. Rev. Lett. -2000. - Vol. 84. - P. 1716-1719.
16. Baughman, R. H. Structure-property predictions for new planar forms of carbon: layered phases containing sp2 and sp atoms / R. H. Baughman, H. Eckhardt, M. Kertesz // J. Chem. Phys. - 1987. - Vol. 87. - P. 6687-6700.
17. Narita, N. Optimized geometries and electronic structures of graphyne and its family /
N. Narita, S. Nagai, S. Suzuki, K. Nakao // Phys. Rev. B. - 1998. - Vol. 58. -P.11009-11014.
18. Haley, M. M. Carbon networks based on dehydrobenzoannulenes: synthesis of graphdiyne substructures / M. M. Haley, S. C. Brand, J. J. Pak // Angew. Chem. Int. Ed. Engl. - 1997. - Vol. 36. - P. 836-838.
19. Bucknum, M. J. The squarographites: a lesson in the chemical topology of tessellations in 2- and 3-dimensions / M. J. Bucknum, E. A. Castro // Solid State Sci. - 2008. -Vol. 10. - P. 1245-1251.
20. Браже, Р. А. Математические модели двумерных супракристаллов / Р. А. Бра-же, А. А. Каренин // Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов : тр. 7-й Междунар. конф. (2-5 февраля 2009 г.). - Ульяновск, 2009. - С. 51.
21. Karenin, A. A. Design and computer modeling of the supracrystals / A. A. Karenin // J. Phys.: Conf. Ser. - 2012. - Vol. 345. - Р. 012025.
22. Браже, Р. А. Упругие характеристики углеродных 2D-супракристаллов в сравнении с графеном / Р. А. Браже, А. А. Каренин, А. И. Кочаев, Р. М. Мефтахутди-нов // Физика твердого тела. - 2011. - Т. 53, № 7. - С. 1406-1408.
23. Браже, Р. А. Упругие волны в углеродных 2D-супракристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев, Р. М. Мефтахутдинов // Физика твердого тела. - 2011. - Т. 53, № 8. -
С. 1614-1617.
24. Браже, Р. А. Изгибные волны в графене и в 2D-супракристаллах / Р. А. Браже,
A. И. Кочаев // Физика твердого тела. - 2012. - Т. 54, № 8. - С. 1512-1514.
25. Kim, B. G. Graphyne: hexagonal network of carbon with versatile Dirac cones /
B. G. Kim, H. J. Choi // Phys. Rev. B. - 2012. - Vol. 86. - P. 115435-115439.
26. A simple tight-binding model for typical graphyne structures / Zh. Liu, G. Yu, H. Yao, L. Liu, L. Jiang, Y. Zheng // New J. Phys. - 2012. - Vol. 14. - P. 113007.
27. Enyashin, A. N. Graphene allotropes / A. N. Enyashin, A. L. Ivanovskii // Phys. Status Sol. (b). - 2011 - Vol. 248, № 8. - P. 1879-1883.
28. Kresse, G. Efficient iterative schemes for ab initio total-energy calculations using a plane-wave basis set / G. Kresse, J. Furthmuller // Phys. Rev. B. - 1996. - Vol. 54. -P. 11169-11186.
29. Goodwin, L. J. A new tight binding parametrization for carbon / L. J. Goodwin // J. Phys.: Condens. Matter. - 1991. - Vol. 3. - P. 3869-3878.
Physics and mathematics sciences. Physics
137
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
30. Bond-order potential for silicon / B. A. Gillespie, X. W. Zhou, D. A. Murdik, H. N. G. Wadley, R. Drautz, D. G. Pettifor // Phys. Rev. B. - 2007. - Vol. 75. -P. 155207-155217.
References
1. Novoselov K. S., Geim A. K., Morozov S. V., Jiang D., Zhang T., Dubonos S. V., Grigorieva I. V., Firsov A. A. Science. 2004, vol. 306, pp. 666-669.
2. Novoselov K. S., Jiang D., Schedin F., Booth T. J., Khotkevich V. V., Morozov S. V., Geim A. K. PNAS. 2005, vol. 102, pp. 10451-10453.
3. Wallace P. R. Phys. Rev. 1947, vol. 71, pp. 622-634.
4. Lomer W. M. Proc. R. Soc. Lond. A. 1955, vol. 227, pp. 330-349.
5. Charlier J.-C., Michenaud J.-P., Gonze X., Vigreron J.-P. Phys. Rev. B. 1991, vol. 44, pp. 13237-13249.
6. Saito R., Dresselhause G., Dresselhause M. S. Physical properties of carbon nanotubes. London, Imperial, 1998.
7. Saito R., Kataura H. Carbon Nanotubes - Topics Appl. Phys. 2001, vol. 80, pp. 213247.
8. Dubois S. M.-M., Zanolli Z., Declerk X., Charlier J.-C. Eur. Phys. J. B. 2009, vol. 72, pp. 1-24.
9. Hohenberg P., Kohn W. Phys. Rev. 1964, vol. 136, pp. B864-B871.
10. Kohn W., Sham L. J. Phys. Rev. 1965, vol. 140, pp. A1133-A1138.
11. Gonze X., Beuken J.-M., Caracas R., Deutraux F., Fuchs M., Rignanese G.-M., Sindic L., Verstraete M., Zerah G., Jollet F., Torrent M., Roy A., Mikami M., Ghosez Ph., Raty J.-Y., Allan D. C. Comp. Mat. Sci. 2002, vol. 25, pp. 478-492.
12. Soler J. M., Artacho E., Gale J., Garcia D. A., Junguera J., Ordejon O., Sanchez-Portal D. J. Phys.: Condens. Matter. 2002, vol. 14, pp. 2745-2779.
13. Crespi V. H., Benedict L. X., Cohen M. L., Louie S. G. Phys. Rev. B. 1996, vol. 53, pp. R13303-R13305.
14. Deza M., Fowler P. W., Shtorgin M., Vietze K. J. Chem. Inf. Comput. Sci. 2000, vol. 40, pp. 1325-1332.
15. Terrones H., Terrones M., Hernandes E., Grobert N., Charller J.-C., Ajayan P. M. Phys. Rev. Lett. 2000, vol. 84, pp. 1716-1719.
16. Baughman R. H., Eckhardt H., Kertesz M. J. Chem. Phys. 1987, vol. 87, pp. 66876700.
17. Narita N., Nagai S., Suzuki S., Nakao K. Phys. Rev. B. 1998, vol. 58, pp. 11009-11014.
18. Haley M. M., Brand S. C., Pak J. J. Angew. Chem. Int. Ed. Engl. 1997, vol. 36, pp. 836-838.
19. Bucknum M. J., Castro E. A. Solid State Sci. 2008, vol. 10, pp. 1245-1251.
20. Brazhe R. A., Karenin A. A. Matematicheskoe modelirovanie fizicheskikh, ekonomich-eskikh, tekhnicheskikh, sotsial’nykh sistem i protsessov: tr. 7-y Mezhdunar. konf. (2-5 fevralya 2009 g.) [Mathematical modeling of physical, economic, technical, social systems and processes: proceedings of 7th International conference (2-5 February 2009)]. Ulyanovsk, 2009, p. 51.
21. Karenin A. A. J. Phys.: Conf Ser. 2012, vol. 345, p. 012025.
22. Brazhe R. A., Karenin A. A., Kochaev A. I., Meftakhutdinov R. M. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2011, vol. 53, no. 7, pp. 1406-1408.
23. Brazhe R. A., Kochaev A. I., Meftakhutdinov R. M. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2011, vol. 53, no. 8, pp. 1614-1617.
24. Brazhe R. A., Kochaev A. I. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2012, vol. 54, no. 8, pp. 1512-1514.
25. Kim B. G., Choi H. J. Phys. Rev. B. 2012, vol. 86, pp. 115435-115439.
138
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Физика
26. Liu Zh., Yu G., Yao H., Liu L., Jiang L., Zheng Y. New J. Phys. 2012, vol. 14, p. 113007.
27. Enyashin A. N., Ivanovskii A. L. Phys. Status Sol. (b). 2011, vol. 248, no. 8, pp. 18791883.
28. Kresse G., Furthmuller J. Phys. Rev. B. 1996, vol. 54, pp. 11169-11186.
29. Goodwin L. J. J. Phys.: Condens. Matter. 1991, vol. 3, pp. 3869-3878.
30. Gillespie B. A., Zhou X. W., Murdik D. A., Wadley H. N. G., Drautz R., Pettifor D. G. Phys. Rev. B. 2007, vol. 75, pp. 155207-155217.
Браже Рудольф Александрович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Ульяновский государственный технический университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32)
E-mail: [email protected]
Мефтахутдинов Руслан Максутович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра физики, Ульяновский государственный технический университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32)
E-mail: [email protected]
Фатхутдинова Камила Хасановна
студентка, Ульяновский государственный технический университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32)
E-mail: [email protected]
Brazhe Rudol'f Aleksandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of physics, Ulyanovsk State Technical University (32 Severny Venetz street, Ulyanovsk, Russia)
Meftakhutdinov Ruslan Maksutovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of physics, Ulyanovsk State Technical University (32 Severny Venetz street, Ulyanovsk, Russia)
Fatkhutdinova Kamila Khasanovna
Student, Ulyanovsk State Technical University (32 Severny Venetz street, Ulyanovsk, Russia)
УДК 538.915 Браже, Р. А.
Зонная структура углеродных и кремниевых 2Б-супракристаллов /
Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов, К. Х. Фатхутдинова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2015. - № 1 (33). - С. 130-139.
Physics and mathematics sciences. Physics
139
