Влияние изменения концентрации водорода во времени на НДС сферической оболочки из титанового сплава Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭКСПЕРТ: 2020 No 4 (7) EXPERT:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА \ ' THEORY AND PRACTICE

УДК 539.3:620.193:669 DOI 10.24411/2686-7818-2020-10039

ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ ВОДОРОДА ВО ВРЕМЕНИ НА НДС СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ИЗ ТИТАНОВОГО СПЛАВА*

© 2020А.А. Трещев, В.О. Кузнецова**

В данной статье построена математическая модель, описывающая влияние изменения концентрации водородосодержащей среды на напряжённо-деформированное состояние тонкой пологой сферической оболочки из титанового сплава, нагруженной равномерно-распределённой нагрузкой. Использовалась нелинейная модель, представленная в нормированных пространствах напряжений. Прогибы оболочки приняты большими, закрепление - жёсткое. Разработан алгоритм решения проблемы наводороживания оболочек из титанового сплава. Практическое решение производилось двухшаговым методом последовательных возмущений параметров с использованием пакетов прикладных программ MatLab и Maple. Для решения системы разрешающих дифференциальных уравнений применён метод конечных разностей. Произведено сравнение полученных результатов с результатами классической теории и теории И.Г. Овчинникова.

Ключевые слова: пологая оболочка, титановый сплав, конечные разности, нелинейное деформирование, изотропный материал, большие прогибы.

Сплавы титана имеют широкое примене- лочки толщиной h, воспринимающей попе-ние в изготовлении конструкций разных от- речную осесимметричную равномерно-рас-раслей промышленности: авиационной, ра- пределенную нагрузку q под действием во-кетной, химической, а также в строительной дородной среды концентрацией Л. Средняя индустрии. Это исходит из большого набора поверхность оболочки - это часть сферы, ха-ценных ^шст^ к ним относят: высокую к°р- рактеризуемая радиусом R (м). По контуру розионную стойкость сплавов, их малый оболочка имеет жесткую заделку. удельный вес, большую прочность и жаро- Примем кинетический потенциал дефор-прочность и достаточную пластичность при маций в виде: низких температурах [1]. Титановые сплавы в 2 процессе наводороживания получают свой - W _ (Ае(л) + Ве(л)х)а + (Се(л) + ства разносопротивляемости, меняющиеся во + j (Л)% + Е (1)rjCos3j)z2 + времени, что приводит к охрупчиванию и раннему разрушению конструкций [2]. + [(Ap( Л) + Bp( + (Cp( Л) +

Чтобы решить задачу, обладающую 2 n

тройной нелинейностью, принимаем двух- + Ep(^rCos3j)z ] , (1)

шаговый метод последовательных возмуще- где Ae(Л), Be(Л), Ce(Л), De(Л), Ee(Л), ний параметров В.В. Петрова, линеаризующий исходные уравнения с высокой точнос-

Ap(Л), Bp(Л), Ср(Л), Dp(Л), Ер(Л)-тью. Рассмотрим упругое равновесие обо- физические функции потенциала квази* Работа представлена в качестве доклада на XI Академических чтениях РААСН - Международной научно-технической конференции «Долговечность, прочность и механика разрушения строительных материалов и конструкций», посвященной памяти первого Председателя Научного совета РААСН «Механика разрушения бетона, железобетона и других строительных материалов» Почетного члена РААСН, д.т.н., профессора Зайцева Юрия Владимировича (Саранск, ФГБОУ ВО "Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва", 2020 год).

** Трещев Александр Анатольевич (taa58@yandex.ru) - член-корреспондент РААСН, доктор технических наук, профессор; Кузнецова Виолетта Олеговна (kuznecova_violetta@mail.ru) - аспирант; оба - Тульский государственный университет (РФ, г. Тула).

линеинои и нелинейной частей, которые зависят от концентрации водорода. Для сплава ВТ1-0 Функции механических характеристик материала принимают вид:

12 .

Кк( 1) = еок + е\к •1 + е2к1;

1

УРк(1) = Рок + Р\к ■ (Р2к) ;

(2)

ле( 1) = Уе1( 1); Ве( 1) = Ге3(1); Се( 1) = Уе2( 1); Яе( 1) = Уе4( 1); Ее( 1) = Уе5( 1); Вр(1) = УрЪ(к);

Ср(1) = Ур2( 1); Вр( 1) = Ур4( 1);

Ер( 1) = Ур5( 1), (3)

где е^, Рк - коэффициенты полиномов / = 0..3; к = 1..3.

Для сферической оболочки справедливо постоянство главных радиусов кривизны её срединной поверхности в пределах плана:

Я1 = Я2 =

ности; и, и - радиальные перемещения и прогибы; к - главная кривизна; г - радиальная координата; б) компоненты изгибной деформации (кривизны):

Хг = игг; хр

(5)

в) компоненты тензора деформаций через параметры деформации ег,ер и кривизны хг, Хр средней поверхности:

ег =£г + zxг; ер=ер + Х (6)

где 7 - вертикальная координата, отсчитываемая от срединной поверхности оболочки, направленная к центру кривизны. Подставляя зависимости (4)-(5) в (6), получим выражения для компонентов тензора деформаций через перемещения и прогибы:

ег = и,г- ки + 0,5(и,г) -?мгг;

и 1 и,г ер = — ки - z-

г г

(7)

Зависимости деформаций от напряжений получены с помощью применения формул Кастильяно к потенциалу Иг:

дЖ1 д°к

; Ун =

= дЖ1 .

У" дт..' О, 3, к = 1, 2, 3) (8)

Рис. 1. Схема задачи

Тогда главные кривизны оболочки принимают значение к1 = к2 = к = 1 /Я . Далее рассматриваются пологие оболочки, в которых можно пренебречь разницей между длиной дуги срединной поверхности и ее проекцией на плоскость [4]. При этом используются следующие зависимости:

а) компоненты деформации в срединной поверхности:

~ и ,

ег = и,г - ки + 0,5( и,г) ; £р=~Г ки, (4)

еу = 2Се( 1)оу/3 + 2(Ле( 1) -

- Се( 1))о8у/3 + Ту( 1), (9)

где Т3(1) - нелинейная составляющая уравнений состояния.

При этом Ту( 1) рассматривается как сумма двух слагаемых:

Ту( 1) = Те(1) + Т р (X), (10)

где ег, ер - радиальные и окружные относительные деформации в средней поверх-

где Ту( 1) - параметры, учитывающие чувствительность механических свойств материала к виду напряженного состояния на квазилинейном этапе деформирования , а Ту (1) - параметры учета явления разносопротивляемости материала и не-

г

е

к

линеиности экспериментальных диаграмм деформирования. Связь между деформациями и напряжениями представим в виде:

\er I rJS

\e„

= [ [A] =

A11A12 A21A22.

(11)

j) î j Обращая соотношения (11), получаем зависимость напряжений от деформаций:

Sr

s

= [B]i

e

[B]

B11B12 ,B21B22.

(12)

i-1

где [В] = [А]-

Здесь А , А . б . б ... - компоненты сим" 11' 12 11' 12

метричной матрицы [А] и [В] - функции, включающие константы потенциала Ш .

Усилия и моменты найдём через напряжения традиционным способом:

к/2 к/2 Ыг = \Grdz; \Gjdz;

-к/2 -к/2

к/2 к/2 Мг = Му= ¡а^Ж (13)

-к/2 -к/2

Связь моментов и усилий с компонентами деформаций оболочки приведём к виду:

Мг = Кп( Л)ег + Ки( Л)£(р +

+А/ Л)хг+А2( 1)Х(

М(= К2/ Л)ег + К22( Л)8(р +

+ Б21(1)Хг + ^22(Л)Х(, (14)

N = Сп( 1)ег + Си( Л)8( +

+ Кп( Л) с + Кп( Л)Х(;

Ы(= С2/Л)ег + С22 (Л)е( +

+ К2\( Л)хг + К 22 ( Л)Х(. С учётом влияния степени наводорожи-вания материалов при концентрации Л материальные функции принимают вид:

h/2

Kj(l) = J Bj(1)zdz;

-h/2

к/2

Ц/Л) = ¡ В г3(Л^ 1dz, - к/2

где В. - функции, определяемые из экспериментов на деформирование образцов материала при разных уровнях концентрации водорода Л.

Внутренние усилия и моменты оболочки при условии zk << 1 подчиняются уравнениям равновесия:

Мг, гг-М(, гIг + 2МГ, гIг + + k(Ыг + Ы()+ Ы^, гг = -д;

Мг,г+(МГ - Nг - kМг,г+

+ (Мг -М(Уг]= 0. (15)

Используя условия равновесия (15), а также выражения для усилий и моментов (14), получим систему двух нелинейных диф -ференциальных уравнений относительно функций и и м>, связанных с уровнем наво-дороживания Л. Для линеаризации этих уравнений используем двухшаговый метод последовательных возмущений параметров [5 - 6]:

der

8e„

II r e ôsr + der S ôsj дЛ

. dej ds<p ôsj + dej dsr ôsr + de<P дЛ

ôl;(16)

ôsr = ôu, r - kôw + w,r <ôw,r ;

ô ôu ô s Ôw,r , ,

ôej=--kôw ; ôcj =--(17)

r ^ r

h/2

Cjj( Л) = J B ij( 1)dz; h/2

Зависимости приращений деформаций в точке через приращения деформаций срединной поверхности 5sr и Ô£j и кривизн срединной поверхности Sxr и dXj представляются следующим образом:

© INO "Institution of Forensic Construction and Technological Expertise", 2020

Ser = Ssr + zSXr; 5е^ = Ssp + z8X(p. (18)

Используя выражения (16) - (18), получим соотношения, связывающие приращения деформаций и перемещений:

Ser = Su, r - kSw + w, r Sw, r - zSw, rr;

Su Sw, r

Sev= — - kSw - z--. (19)

r r

Используя уравнения (14) и зависимости (19), получим зависимости приращений усилий и моментов от приращений перемещений:

SNr = C11( 1)(u,r-kSw + w,r Sw,r -zSw, rr) -

Su

- K11(l)Sw, rr +C12(Л)(-— kSw -

r

Sw, r Sw, r

- z—) - Ki2( l)—;

rr

SNp = C12( 1)(u,r -kSw + w,r Sw, r -zSw, rr) -

Sji

- Ki2( 1)Sw,rr +C22( 1)(--kSw -

r

Sw, r Sw, r

- z-~) - K22(l)-1;

rr

SMr = K11(1)(u,r -kSw+w,r Sw,r -zSw, rr) - (20)

Sw, r SU

- Du( Л)^- + Ku( 1)(S -rr

kSw) - D12(l)

Sw,

8Mp = K12( 1)(u,r -kSw + w,r Sw, r -zSw, rr) -

Sij

- Du( 1)Sw,rr + K22( 1)(--

kSw) - D22(l)

Sw,

r

Уравнения равновесия сферической оболочки в приращениях имеют вид:

8Мг, гг- 8Мр, г/г + 28ЫГ, г/г + к(8Ыг + + 8Ыр ) + 8Ыгм>, гг + Мг8и, гг = -8ц;

8ЫГГ + (8ЫГ -8Ыр ) / г -

- к[8Мг, г +(8Мг -8Мр) /г] = 0. (21)

Систему разрешающих дифференциальных уравнений в приращениях (21) дополним граничными условиями: ввиду осесим-метричности задачи, в центре оболочки радиальные перемещения, поворот нормали к срединной поверхности и их приращения

равны нулю (и,г = 0,и = 0,8и, г = 0, 8и = 0,).

Подставив в уравнения равновесия (21) выражения приращений усилий и моментов (20), получим систему линеаризованных разрешающих дифференциальных уравнений относительно приращений прогибов и радиальных перемещений:

8и

—[К11( 1)(и,г -к8 + и,г 8и,г ^8и,гг) -

г

- Оц( +ки( 1)(8 -

г г

- к8и) - Би(Л)8^] -

г

- 8и,г [К12( 1)(и,г -к8и + и,г 8и,г ^8и,гг) -

8и

- Оп( 1)8и,гг + К22( 1)(--

г

- к8и) - В22( 1)и] +

Su

+ 2—[K11( 1)(u,r -kSw + w,r Sw,r -r

-zSw^) - Dn( 1)w + r

+ Ku( 1)(S - kSw) - Dn(l)^] + r r

+ k(C11( 1)(u,r-kSw + w,r Sw,r-zSw,rr) ■

r

r

r

r

ôu

■K11( Я )ôw,rr +C12( Я)(--kôw ■

r

- z dWr) - Ku( +

rr

+ C12( 1)(u,r-kôw + w,r Sw,r-zSw, rr ) -

- Kn( 1)ôw,rr+C22(1)(d - kôw - zdWr)-

r r

- K22( 1)w) + w,rr[Cu( 1)(u,r -

-kôw + w,r ôw,r -zôw,rr ) -

ôu

- K12 ( 1)ôw,rr +C22 (Я)(--kÔw -

r

dw,r

- z - K22(l)^) -rr

ôu

- k[—[Kn(Я)(u,r-kôw + w,r ôw,r-r

ôw

.-zôw,rr) - D11(Я)-r- +

-kôw + w,r ôw,r -zôw,rr ) ■

- K11(Я)ôw,rr +C12(Я)(— - kôw -ôw,r

yôu r

,ôw,r

■-) - Ku(Я)^] + rr

ôw,rr [Cn( 1)(u,r -kôw + w,r ôw, -zôw,rr ) - Kn(Я)ôw,rr+

ôu

ôw,

+ C12(Я)(-— kôw - z-

- K12(Я)—^] = -ôq; (22)

ôu

—[C11(Я)(u,r-kôw + w,r ôw,r-zôw,rr ) r

ôfj

- K11(À)ôw,rr + C12(Я)(— - kôw -

r

ôw,r 1 v / 1 \ôw,r 7 ,

- z-r) - K12(Я)-r] +

rr

Kn(Я)(- kôw) - Di2(Я)ôwr- + rr

+ (K11( Я)(u,r -kôw + w,r ôw,r - zôw,rr ) -

-Dn(Я+ Kn(Я)(ô -

rr

- kôw) - D12 (Я)

ôw,r

- K12 ( Я )( u,r -kôw + w,r ôw,r -

ôu

-zôw,rr ) - D12(Я)ôw,rr + K22 (Я)(--

- к8и) - Б22( 1)8г)] = о. (23) г

В процессе химической адсорбции молекулы водорода распадаются на атомы, диффундирующие вглубь материала [7-9]. I ёТ а Т пои I Т а еа J пропорциональна пространственному градиенту концентрации X, уравнение диффузии принимает вид:

J = -DgгadЛ = -В 8, (24) 8 '

+ (Си( 1)(и,г-к8 + и,г 8и,г-z8w,rr) - „ ,, ,,

1 11 г г г гг 7 где В - коэффициент диффузии, 7 - коорди-

ôu

- Kn(Я)ôw,rr + C12(Я)(--kôw -

r

- zôwr) - Ki2(Я)ôwwr - Ci2(Я)(Ы,Г-r r

ната в направлении диффузии. Для одномерной задачи уравнение (24) переходит в первый закон Фика:

J = - В 81, ^

r

r

z

r

r

r

r

r

Для титановых сплавов коэффициент диффузии не зависит от концентрации, поэтому из первого закона Фика [10-11] следует второй закон в виде:

дЛ(z,t) Tлд2Л(z,t)

А-Ц-А (25)

дt

дz

2

где t - текущее время.

Для решения задач наводороживания применим метод интегрального преобразования Фурье [12]. В качестве решения уравнения (25) для процесса односторонней диффузии примем известные аналитические решения, представленные в работе [13]:

Л(z,t) = Л1 + (Л -Л1 )z/k +

¥

2 2

+ (2/р) X ^ 1п(1-к ■ z/к)ехр(-¥0п / )х (26)

г=1

х[Л со8(г ■р)- Л1 ]/1,

где = Dt /к2 - число Фурье; I - число членов ряда; Л и Л2 - краевые условия для концентрации среды сверху и снизу оболочки; к - толщина оболочки; z - координата точки по толщине оболочки. Краевые условия представлены следующим образом:

а) при воздействии среды со стороны приложения поперечной силовой нагрузки:

Л(-Ь/2,0 = Л¥ =Л; Л(+Ь/2,0 = 0 = Л2, (27) здесь Л¥ - равновесная концентрация водо-

родосодержащей среды.

Начальные условия имеют вид:

Л(z, 0) = 0. (28)

Заменив производные полученными конечными разностями в программном комплексе МАТ1_АВ, приходим к результатам решения задачи в процессе односторонней диффузии

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1

Координата по оси 2, м

Рис. 2. Напряжения у в точке 1/2 диаметра оболочки (по толщине)

Рис. 3. Напряжения у в точке 1/2 диаметра оболочки (по толщине)

Рис. 4. Прогибы в оболочке

Рис. 5. Горизонтальные перемещения вдоль радиуса

со стороны приложения поперечной силовой нагрузки, которые приведены на рис. 2-5.

На рис. 2-5 показаны графики зависимости напряжений уг и уц по толщине оболочки от степени концентрации агрессивной водородо- танной модели с результатами, полученны-

содержащей среды, а также графики прогибов и горизонтальных перемещений оболочки.

Сравнивая в программном комплексе МАТ1_АВ полученные решения по разрабо-

Рис. 6. Напряжения угв точке 1/2 диаметра оболочки (по толщине)

Рис. 7. Напряжения у в точке 1/2 диаметра оболочки (по толщине)

Рис. 8. Прогибы в оболочке

Рис. 9. Горизонтальные перемещения в оболочке

ми в теории И.Г. Овчинникова, делаем вы- Из рис. 6-9 видно, что расхождение зна-вод, что результаты отличаются из-за не учё- чений максимальных прогибов и перемеще-та в теории И.Г. Овчинникова влияния наво- ний с учетом и без учета наводороживания дороживания при сложных видах напряжён- значительное - 16,5 %, напряжений - до 50%, ного состояния.

© АНО "Институт судебной строительно-технической экспертизы", 2020 79

щ

что не допустимо, так как превышает предельное значение погрешности для строительных конструкций, равное 5%.

Многочисленные экспериментальные исследования свидетельствуют о необходимости разработки новых моделей, описывающих напряженно-деформированное состояние тел с учетом наведенной чувствительности свойств материалов к наводорожива-нию [14-16]. Учёт воздействия водородной среды в данной работе построен на основе нелинейных определяющих соотношений, учитывающих наведённую чувствительность к наводороживанию в широком диапазоне изменения видов напряжённого состояния.

Библиографический список

1. Астафьев В.И., Ширяева Л.К. Накопление повреждённости и коррозионное растрескивание металлов под напряжением. - Самара: Изд-во Самарский университет, 1998. - 123 с.

2. Баландин П.П. К вопросу о гипотезах прочности // Вестник инженеров и техников. -1937. - №1. - С. 37-41.

3. Гервиц Г.Я. Влияние газонасыщения на статическую прочность титановых сплавов // ФХММ. - 1981. - №2. - С. 45-48.

4. Кириллова Л.А. Напряженно-деформированное состояние гибкой круглой пластины в водо-родосодержащей среде с учетом наведенной неоднородности. Дисс. к.т.н. - Саратов, 1990. - 163 с.

5. Колачев Б.А. Механические свойства титана и его сплавов / Б.А. Колачев, В.А. Ливанов, Л.А. Буханова. - М.: Металлургия, 1974. - 544 с.

6. Маркин А.А. К обоснованию теории оболочек // Работы по механике деформируемых сред. - Тула: ТПИ. - 1974. - С. 121-129.

7. Овчинников И.И., Овчинников И.Г., Чэнь-Тао, Успанов А.М. Анализ экспериментальных данных по кинетике проникания сульфатосодер-жащих сред в железобетонные конструкции и влиянию их на механические характеристики компонентов железобетона. Часть 1. Эксперименты по изучению кинетики проникания // Интернет-журнал «Науковедение». - 2016. - Том 8. - № 1.

8. Овчинников И.Г. Кириллова Л.А., О деформировании гибкой круглой пластины из материала, чувствительного к водородному воздействию / Саратов. политехн. ин-т. - Саратов, 1989. - 15 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 7 февраля 1990, № 698 - В90.

9. Овчинников И.Г. Модифицированная модель деформирования и разрушения материала, подвергающегося облучению // Строительная механика и расчёт сооружений. - 2014. - №1. -С. 29-35.

10. Овчинников И.Г. Анализ экспериментальных данных по влиянию водорода при нормальных температурах на механические свойства металлов и сплавов и построению модели взаимодействия конструктивных элементов с водородом. Ч.1. Проблема воздействия водорода на металлы и пути ее решения. Закономерности проникания водорода в конструктивные элементы / И.Г. Овчинников, А.Б. Рассада. - Саратов: Сарат. политехн. ин-т., 1989. - 28 с.

11. Петров В.В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек / В.В. Петров, В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева. - Саратов: Сарат. госуд. технич. ун - т, 1996. - 311 с.

12. Петров В.В., Кривошеин И.В. Методы рас -чёта конструкций из нелинейно-деформируемого материала. - М.: Изд-во АСВ, 2009. - 208 с.

13. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов с изначальной и наведенной чувствительностью к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения: монография. - М.; Тула; РААСН; ТулГУ, 2016. - 236 с.

14. Корнеев А.В. Учет влияния водородосо-держащей среды на напряженно-деформированное состояние материалов на основе титановых сплавов / А.В. Корнеев, А.А. Трещев // Известия высших учебных заведений. Серия: Строительство. - 2009. - №3-4. - С. 23-29.

15. Корнеев А.В. Модель деформирования титановых сплавов в процессе насыщения водородом / А.В. Корнеев, А.А. Трещев // Известия ОрелГТУ. Строительство. Транспорт. - 2008. -№4/20. - С. 42-45.

16. Сергеева С.Б. Модель влияния газонасыщения на напряженно-деформированное состояние материалов / С.Б. Сергеева, А.В. Сычева, А.А. Трещев // Известия вузов. Строительство. - 1999. - №12. - С. 14-20.

Поступила в редакцию 03.06.2020 г.

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2020. № 4 (7)

INFLUENCE OF CHANGING THE CONCENTRATION OF HYDROGEN DURING TIME ON THE STRUCTURE OF A SPHERICAL SHELL MADE OF TITANIUM ALLOY

© 2020 A.A. Treschev, V.O. Kuznetsova*

In this article, a mathematical model is constructed that describes the effect of changing the concentration of a hydrogen-containing medium on the stress-strain state of a thin flat spherical shell made of titanium alloy loaded with a uniformly distributed load. A nonlinear model presented in normalized stress spaces was used. The deflections of the shell are assumed to be large, and the fixing is rigid. An algorithm for solving the problem of hydrogenation of titanium alloy shells has been developed. The practical solution was made by a two-step method of successive parameter perturbations using MatLab and Maple application software packages. The finite difference method is used to solve the system of resolving differential equations. The obtained results are compared with the results of the classical theory and the theory of I.G. Ovchinnikov.

Keywords: flat shell, titanium alloy, finite differences, nonlinear deformation, isotropic material, large deflections.

Received for publication on 03.06.2020

* Treschev Alexander Anatolyevich - Corresponding Member of the Russian Academy of Architectural and Construction Sciences, Doctor of Sciences, Professor; Kuznetsova Violetta Olegovna - Postgraduate student; both - Tula state University (Tula, Russia).