CC BY
34
3. Трещев А. А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряжённого состояния. Определяющие соотношения: монография. М.; Тула: РААСН; Изд-во ТулГУ, 2008. 264 с.
4. Чигинский Д.С. Вывод уравнений состояния для нелинейных материалов, находящихся в условиях термомеханического нагружения // 5-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики: материалы конференции. Т. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 128-133.
A.A. Treshchev, V.G. Telichko, D.S. Chiginskiy
THE ANALYSIS OF DEFINING RELATIONSHIP FOR NONLINEAR ISOTROPIC DIFFERENTL Y RESISTANT MA TERIALS IN THERMOELASTICITY PROBLEMS
The using possibility of normalized spaces of pressure for construction of the equation of a condition of the isotropic essentially nonlinear differently resistant materials which are in conditions thermomechanical of loading is considered.
Key words: thermoelasticity, differently resistibility, the nonlinear materials, differently resistant materials, plates, a thermomechanical bend.
УДК 539.3
A.A. Трещёв, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,
(4872) 35-54-58, taa58@yandex.ru,
A.B. Корнеев, асп., (4872) 23-13-47, Komeev ml@inbox.ru,
(Россия, Тула, ТулГУ)
МОДЕЛЬ ИЗГИБА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ, ДЕФОРМИРУЮЩЕЙСЯ В УСЛОВИЯХ ВОЗДЕЙСТВИЯ ВОДОРОДОСОДЕРЖАЩЕЙ СРЕДЫ
Предложена математическая модель влияния процесса наводороживания на деформаг^ионные характеристики титановых сплавов, используемых для элементов современных конструкций.
Ключевые слова: наведенная разносопротивляемостъ, конечные прогибы, упругий потенциал, объемный изопараметрический конечный элемент.
Водород благодаря своей подвижности активно взаимодействует с титаном и его сплавами [1, 2]. Установлено, что поглощение водорода титаном на границе контакта с агрессивной средой происходит до наступления равновесной концентрации по всей толщине. Экспериментально установлено, что направленная диффузия атомарного водорода в зонах растягивающих напряжений приводит к возникновению наведенной разно-сопротивляемости изначально нечувствительного к виду напряженного состояния материала [3].
В работе приводится вариант математической модели влияния на-водороживания на напряженно-деформированное состояние (НДС) тонкой гибкой пластины на базе известных экспериментальных сведений [2]. Воздействие газонасыщения моделируется как наведенная чувствительность механических характеристик в областях действия растягивающих напряжений к степени наводороживания материала.
Рассмотрено упругое равновесие прямоугольной пластины размерами в плане axb и толщиной h под действием поперечной равномерно-распределенной нагрузки интенсивностью q и водородосодержащей среды с концентрацией X. Положение пластины определено в ортогональной системе координат (k = 1, 2, 3), ось хт, ориентирована перпендикулярно плоскости пластины в недеформированном состоянии. Деформированное состояние определено компонентами перемещений точек пластины щ, U2, иЪ ~ w• Реализуется геометрически нелинейная задача изгиба тонкой пластины при величинах максимальных прогибов порядка толщины этой пластины.
В основу математической модели влияния водорода на механические характеристики материала положены определяющие соотношения, принятые в работе [4], согласно которым напряженное состояние изотропного разносопротивляющегося деформируемого тела определяется в пространстве, связанном с октаэдрической площадкой.
Вектор полного напряжения на октаэдрической площадке *Sq полностью задается модулем, углом ориентации с нормалью к октаэдрической площадке \(/ и фазой напряжений ф:
^^(о2+т2)1/2; cosvj/ = £ = oASq ; sin\|/ = ц = t/Sq ; cos3(p= V2det(^y)/i3, где о = ОуЬу /3 - октаэдрическое нормальное напряжение;
1/7
т = (S ijSjj /3) - октаэдрическое касательное напряжение; Sy = о/у - 8/у о
(i, j -1, 2, 3) - девиатор тензора напряжений.
Модуль вектора *Sq является нормой принятого пространства, а гармонические функции и Г| - нормированными нормальными и касательными напряжениями на октаэдрической площадке. Условие нормировки имеет вид
^2 +Г|2 =1.
Для построения разрешающих уравнений изгиба прямоугольной пластины при конечных прогибах с учетом принятых гипотез рассматривался потенциал деформаций W [4], включающий параметры жесткости напряженного состояния , Г| и фазовый инвариант созЗф. Механические характеристики заданы десятью константами материала. Потенциал деформаций имеет вид
W = (7do2 + Ye2x2 + Ye£a2 + Ye£ x2 + 7e5r|T2cos3(p) -+(Yp io2 + Yp2 t2 + Yp3&2 + Yp/fci2 + 7/?5^t2cos39)'
(1)
где 7gi,7e2,7g3,7g4,7g5 и Yp\,Yp2,Yp^,Yp^,Yp^ - константы квазилинейной
и нелинейной частей потенциала соответственно, вычисляемые в результате обработки стандартных опытов; п - показатель степени, определяющий нелинейность материала.
Зависимости между компонентами тензоров напряжений и деформаций определены согласно формулам Кастильяно и имеют дилатацион-ный характер:
ekk — ЭW/Э&кк , —Jij — dWj, (i ф j) . (2)
Построение определяющих соотношений, учитывающих влияние водородосодержащей среды на механические характеристики титановых сплавов и использование их при расчете пластин, ранее было рассмотрено в ряде работ Овчинникова И.Г. и его учеников [5-6]. Однако, как показано в монографии Трещёва A.A. [4], потенциальные соотношения вида (1) изначально обладают более совершенным аппаратом учета влияния вида напряженного состояния на механические характеристики материалов в самом широком спектре их изменения по сравнению с другими моделями. Предложенная модель наведенной разносопротивляемости титановых сплавов, находящихся под воздействием водородосодержащей среды, более предпочтительна в случае расчета конструкций, работающих при сложных напряженных состояниях, каковыми являются пластины спецсо-оружений.
В работе [7] получены функциональные зависимости констант Уе(р) = ^е(р) (Я) потенциала W и показателя степени нелинейности материала п = п(Х) от уровня наводороживания X для титановых сплавов ВТ1-
0 и ТС5 с учетом неизменности свойств материалов в сжатой зоне. Здесь X (0...0,05 %) - равновесная концентрация водородосодержащей среды в теле материала. Для определения констант использовалась методика, описанная в работе [4], согласно которой четыре эталонные диаграммы деформирования [2], построенные в условиях простого нагружения, для каждого материала обрабатывались по методу наименьших квадратов. При вычислении констант потенциала Ye и Yp для фиксированного уровня наводороживания X (0; 0,01; 0,03 и 0,05 %) определялся оптимальный показатель степени нелинейности материала п с учетом минимума погрешности аппроксимации. В процессе вычисления исключались значения констант, приводящие к численным неопределенностям, возникающим при возведении в дробную степень отрицательных значений функций. Параллельно с вычислением констант производилась проверка устойчивости потенциала в малом [8] согласно постулату Друккера
^°у^у (Э ^/'Э°/тЭоу ^$°/т$°у > 0.
Точность описания напряженно-деформированного состояния титановых сплавов ВТ 1-0 и ТС5 при растяжении и различном содержании водорода иллюстрирует рисунок, где разносимвольными точками обозначены экспериментальные данные [2], а сплошными линиями - нелинейные аппроксимации, полученные на основе соотношений (1). Диаграммы деформирования представлены в осях универсальных инвариантов - интенсивностей напряжений ог- и деформаций ег-, они показывают снижение сопротивления деформированию с повышением содержания водорода. При этом погрешность теоретически рассчитанных диаграмм деформирования титановых сплавов по сравнению с экспериментальными диаграммами на разных уровнях насыщения водородом не превышает 0,5 %.
Ярко выраженная нелинейность механических свойств титановых сплавов ВТ 1-0 и ТС5 обуславливает необходимость учета в физических соотношениях как квазилинейной, так и нелинейной частей потенциала деформаций вида (1). В этом случае при выходе на ветви упрочнения погрешность вычислений будет минимальна.
Принимая за основу те или иные определяющие соотношения, не вносим изменений в соотношения статико-геометрической природы.
о,, МПа
ст,, МПа
300
200
100
0
1 2
3
600
400
1 2 j"" 3
^ 4
/
0,2 0,4 Е/. %
О
ІЛ 0,8 £,, %
а б
Диаграммы одноосного растяжения сплавов ВТ1-0 (а) и ТС5 (б) при различном содержании водорода
1 - исходное состояние при насыщенности 0 %;
2 - при насыщенности 0,01 %; 3 - при насыщенности 0,03 %; 4 - при насыщенности 0,05 %
Решая задачу методом конечных элементов (МКЭ), условия равновесия формулируются в форме Лагранжа
Jo •• 8°dV = J f • 8uds + Jp • 8udV, (3)
V S V
558
где о - тензор напряжений; 8е - вариация тензора деформаций, соответствующая возможным перемещениям; / - поверхностная сила, отнесенная к единице площади; р - объемная сила, отнесенная к единице объема;
Ъи - вектор возможных перемещений механической системы; V и Б -объем механической системы и площадь, на которой действуют поверхностные силы соответственно.
После разбиения объема и поверхности прямоугольной пластины на восьмиугольные конечные элементы, и считая распределение перемещений по объему элемента известными, а неизвестными - только численные коэффициенты, равные узловым перемещениям, перепишем уравнение (3) для конечных прогибов и упруго материала в виде системы нелинейных алгебраических уравнений
«М)}=М, (4)
где {и} - вектор узловых перемещений; - вектор обобщенных сил; {^({м})} - нелинейный оператор над вектором перемещений.
Разрешающие соотношения записываются относительно перемещений, так же записываются деформации и напряжения. Это приводит к трудностям при решении задач, если соотношения между напряжениями и деформациями нелинейны. Решение подобных систем возможно итерационными методами [9], в этом случае нелинейная задача сводится к сходящейся последовательности линейных задач.
В исходном случае имеем нелинейные соотношения (2), выражающие деформации через напряжения. Для реализации системы уравнений (4) необходимо обратить их, выразив напряжения через деформации. Это приводит к необходимости решения системы нелинейных уравнений на каждой из итераций. Ниже предлагается подход, позволяющий учесть нелинейность конституционных соотношений и сохранить линейность системы разрешающих уравнений на каждой из итераций.
Представим потенциал Ж (1) в виде суммы
W = ^ ,
где IV'1 содержит слагаемые квазилинейной части потенциала IV (1), приводящие к линейным соотношениям типа (2) между напряжениями и деформациями.
Тогда компоненты тензора деформаций примут вид
еа = сцк/ °к/+
дву
ЭWJ
СЧк/ дву до
(5)
к/
где Сум - материальные параметры линейной податливости, не зависящие от напряжений.
Запишем тензоры деформаций и напряжений в векторной форме:
{е} =
е11 °11
е22 а 22
е33 а33
е12 а12
е23 а 23
е13. °13
Тогда выражение (5) примет вид
й=[с Ы+
джн
Э{о}
(6)
где [с] - квадратная матрица, размерностью 6><6.
Предположим существование матрицы [о] - обратной матрице [с] и умножим на неё левую и правую части выражения (6):
№}=Ы+М
Э{о}
(7)
Выразим из (7) вектор обобщенных напряжений
{а}=№-М
Э{о}
(8)
Зависимость (8) позволяет выразить напряжения через деформации и может быть введена напрямую в соотношения МКЭ (4) в виде
джн
Э{о}
(9)
Считая деформации на каждом итерационном шаге нагружения малыми, можем выразить их внутри элемента через вектор узловых перемещений:
И=[в И, (ю)
где [в ] - матрица производных функций формы.
С учетом (9) основное уравнение МКЭ (4) примет вид
^г}И[оН4-^г}к]М-^-4"г}И' (ч)
Вариации возможных перемещений |бм^] заведомо ненулевые, поэтому окончательно подставив в уравнение (11) выражение (10), получим
MM = {F}+ ВТ [£)]•
Э W”
Э{о}
Дк ]=[вГ ][dJM, (12)
где [^] - матрица жесткости.
Система уравнений (12) по-прежнему нелинейна, но ее возможно решить методом последовательных нагружений.
Принятые в работе [4] физические соотношения, представленные потенциалом деформаций вида (1), имеют существенно нелинейный вид. Для решения уравнений (12) в рамках МКЭ использован метод последовательных нагружений В.В. Петрова с привлечением итерационной процедуры упругих решений A.A. Ильюшина на каждом шаге нагружения.
Если в уравнениях (12) функцию WH приравнять к нулю, то система окажется линейной и будет описывать работу пластин, выполненных из материала, подчиняющегося закону Гука. Сохранение нелинейной функции WH позволяет более точно учесть эффекты наведенной разносопро-тивляемости. На каждом этапе догружения при помощи этой функции уточняются меняющиеся характеристики напряженно-деформированного состояния пластины.
В настоящей работе предложен способ исследования НДС тонкой гибкой прямоугольной пластины, выполненной из изотропных существенно нелинейных разносопротивляющихся материалов, при величинах максимальных прогибов порядка толщины этой пластины. Разработан пакет прикладных программ, в котором на базе приведенных выше определяющих соотношений и численного МКЭ реализован метод последовательных нагружений В.В. Петрова с дополнительным уточнением результатов расчета на каждом шаге методом упругих решений А.А.Ильюшина. Предлагаемый вычислительный алгоритм обеспечивает стабильную сходимость примененного численного метода.
Список литературы
1. Колачев Б.А., Ливанов В.А., БухановаА.А. Механические свойства титана и его сплавов. М.: Металлургия, 1974. 543 с.
2. ГервицТ.Я. Влияние газонасыщения на статическую прочность титановых сплавов // ФХММ. № 2. 1981. С. 45-48.
3. Астафьев В.И., Ширяева JI.K. Накопление поврежденности и коррозионное растрескивание металлов под напряжением. Самара: Изд-во Самарского университета, 1998. 123 с.
4. Трещев A.A. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения: монография. М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2008. 264 с.
5. Петров В.В., Овчинников И.Г., Иноземцев В.К. Деформирование элементов конструкций из нелинейно-разномодульного неоднородного материала. Саратов: СГУ, 1989. 160 с.
6. Ельчанинов П.Н., Климов М.И. Расчет круглых плит с учетом нелинейной разномодульности материала // Расчет строительных конструкций с учетом физической нелинейности материала на статические и динамические нагрузки. JL: ЛИСИ, 1984. С. 42-47.
7. Трещёв А.А., Корнеев А.В. Учет влияния водородосодержащей среды на напряженно-деформированное состояние материалов на основе титановых сплавов // Известия вузов. Строительство. №3-4 / НГАСУ Новосибирск (Сибстрин), 2009. С. 23-29.
8. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.: ОГИЗ, 1948. 376 с.
9. Петров В.В., Кривошеин И.В. Методы расчета конструкций из нелинейно-деформируемого материала: учеб. пособие. М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2009. 208 с.
A. A. Treschev, А. V. Korneev
MODEL OF THE BEND OF THE RECTANGULAR PLATE DEFORMED IN THE CONDITIONS OF HYDROGEN INFLUENCE OF ENVIRONMENT
The mathematical model of hydrogen process influence on deformation characteristics of titanic alloys usedfor elements of modern design has been introduced.
Key words: the induced differently resistibility, the big bendingflexure, the resiliency potential, the volume isoparametrical finite element.
