CC BY
7SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 2 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
ВЛИЯНИЕ ИСТОЧНИКА ТЕПЛА НА ПЛОТНОСТЬ ОКРУЖАЮЩЕЙ
СРЕДЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССАХ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ В
ДВУХМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ
Ж. М. Таштемиров, А. Т. Хайдаров
Национальный университет Узбекистана (Ташкент, Узбекистан)
АННОТАЦИЯ
Данная статья посвящена исследованию влияния источника тепла на плотность окружающей среды при нелинейных процессах тепловыделения в многомерных областях. Для решения линейного уравнения тепловыделения в процессе работы строилось само подобное решение в соответствии с характеристиками плотности окружающей среды и источника тепла, наблюдались реакционно-диффузионные процессы, доказывались теоремы. В результате этой работы были получены следующие результаты: фронтальная оценка для двумерного линейного уравнения тепловыделения, наблюдался процесс локализации, конечная скорость вычислялась приближенно, наблюдались новые эффекты, строился алгоритм по полученному само подобному решению, создавался программный код на языке программирования и моделировался процесс. Все результаты были сопоставлены.
Ключевые слова: Многомерные области, линейное тепловыделение, параболическое уравнение, асимптотика, конечная скорость, аппроксимация, само подобие, реакция-диффузия, система, численное решение.
Введение
В настоящее время одним из наиболее частых процессов закалки является процесс тепловыделения, когда основное явление в этом процессе зависит от того, в какой области распределяется тепло. Философия жизни показывает, что распространение тепла в природе может быть либо в многомерной области, либо в одномерной области. Конечно, в этом процессе мы должны составить эволюционное уравнение процесса с учетом плотности среды, положительного или отрицательного источника тепла, теплоемкости, зависимости среды от коэффициента теплопередачи. Как известно, процессы тепловыделения в многомерных областях находятся в нелинейном состоянии. В таком процессе основное внимание уделяется теплоемкости. Для процесса рассеивания тепла без каких-либо царапин должна быть задана начальная температура (условие Коши). Для нелинейного рассеивания тепла многие ученые на протяжении многих лет изучали квазилинейные диффузионные модели, свойство пространственной
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 2 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
локализации и эффект рассеивания тепла с ограниченной скоростью. Он также был использован в нелинейных процессах, встречающихся в многомерных областях изучаемых математических моделей, и обнаружил новые эффекты, не характерные для линейных уравнений. Научные исследования, посвященные нелинейным система для случаев изменяющейся плотности, проводимости среды, проводимости конвективной миграции, приводящей к параболическим уравнениям с искажениями, стали рассматриваться как основные проблемы современности.
Рассмотрим уравнения распространения тепла в многомерной нелинейной среде в области Q = {(t, х): t е R+, х е R}:
Au = -а(*| К + V(V2(x|)wm-1 |v"T~2 Vu2 ] + vVu + eyu р = 0 (1)
с начальным условием
u(0, x)= u (х)> 0. (2)
Здесь u(x, t) -температура среды, v(t)е c(q) -скорость среды, px(X)=|x|~n,p2(X)=|Xq - плотность среды, которая является непрерывной функцией, yup- представляет собой положительную (^ = +1) или отрицательную (^ = -1) мощность источника теплоты, р - параметр.
(1) уравнение представляет собой ряд физических процессов: процесс реакции диффузии в нелинейной среде, процесс тепловыделения в нелинейной среде, фильтрацию жидкости и газа в нелинейной среде, они представляют собой существование закона политропии и других нелинейных перемещений[1, 2, 6].
(1) проблема Коши и краевые задачи для уравнения наблюдались многими авторами в одномерных и многомерных случаях [1-5].
(1) в процессах, представленных уравнением, возникает явление конечного распределения температуры [4]. При наличии коэффициента поглощения может возникнуть явление "заднего" фронта, то есть левый фронт может через некоторое время остановиться и двигаться вдоль среды [1-3].
Метод решения
Запишем уравнение для случая N=2 следующим образом:
Ы- = vf|x\qum 1 IVwfl^2 Vu[ ) + v{t)Vu + nu2
dt
X n ^ = v(|x\qum 1 |Vu^P-2 Vu'2 ] + v(t)Vu2 + y2up2 в системе уравнений (3) выполняем следующую подстановку
(3)
<
SCIENTIFIC PROGRESS
VOLUME 4 I ISSUE 2 I 2023 ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
x = r =
( N Л>2
V ¿=1 у
N - размер пространства. Эта замена называется радиально-симметричной заменой [1].
После подстановки вместе система уравнений (3) получим:
du
~dt
= r
..1-N
д_ dr
r
q+N-1 mx -1
du
~dt
= r
1-N
dr
rq+N-1u2m2-1
dr
duk
P -2 Л
dul dr
dr
p -2 Л
du'2 dr
+ r1-Nv(t
dr y
N-1 d^, I a
r fr ) + 7{u2
+ r1 Nv(t )—' dr
rN-1 du2 1 + ^ uf2
y
dr
(4)
Чтобы решить систему уравнений (4), мы сначала ищем решение следующим образом:
/, {г, г) = Vа' • и. {§) ; $ = г • V»; I = 1,2 (5)
u,.
здесь аг - искомое число, wi - неизвестная функция, % - параметр, ¡л = const. Функцию v(t) определяем следующим образом:
г a-1-nu а, ß
W ' = V '
V
-nß+ai -a3-ißi-1
dv = dt
v(t ) = ^0 (T0 +1 )
И
здесьЛ = а -a3_ißi -ß 0; A = )
k
Если
^ = 0 v(t) = c£ : c = const [3-6].
Нетрудно проверить, что следующая функция удовлетворяет уравнению
(t,x)= A(T +1ja--¿N) •( 1
N ( p-2) y '
2 (s+N ) - N (p-2)
(t, x
ß
h (мг + k•(p -2)+2-2
P-2
\mi +k ( p-2)+2-2
2 • k
p-2
p -1
<P
здесь a = const > 0 .
Лемма: Пусть
(ft + l)-(p - q )+(1 - п)-((Д + l)-(m, + к (p - 2)+1 - 2)+(q - p + 1)-(1 -ft -A )+(q - p)-(l -ft • & ))
(ß1 + 1)-(m1 + k (p - 2) + 2 - 2)+(q - p +1>(1 -ß1 • ß2 )
>0, i = 1,2.
тогда Zf < 0 и / < /, / называется sup решение на
f ± 2 >
С ( n\s,
a
y\ J
a
y IJ
- n
r
1
d
- n
r
1
1
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 2 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
Теорема: Пусть,
к(р-1)> т +1, — > ш,у3_,,---—-+ кг < 0, , = 1,2,
Р У, - Ш—3-, и (0,х)> и (х),и2 (0,х)> и2о (х), х е Ям.
тогда решение уравнения (1) обладает свойством пространственной сходимости [1,3].
Результаты численных экспериментов и визуализации
При численном решении задачи уравнение аппроксимируется на сетке с использованием неявной схемы переменных направлений (для многомерного случая) в сочетании с балансовым методом. Итерационные процессы строились на основе метода Пикара, метода Ньютона, а также специального метода.
Результаты вычислительных экспериментов показывают, что для построенной схемы подходят все итерационные методы. Для достижения той же точности метод Ньютона требует меньше итераций, чем метод Пикара. В некоторых случаях количество итераций почти в два раза, а максимальное количество итераций в 3-4 раза меньше, чем в других методах. Поскольку степенная нелинейность присутствует в правой части уравнения (1), естественно, что специальный метод дает лучшие результаты, чем метод Пикара.
В качестве тестового примера мы использовали решения уравнения (1), полученные методами опорных уравнений и нелинейного расщепления [2]. На фиг. 1-4 приведены результаты расчетов для различных значений р, п, т, к, I, л, р параметров и времени.
Ниже приведены результаты вычислительного эксперимента для различных значений параметров, входящих в уравнение в двумерном случае:
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 2 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
Onr.1. p=2.5, n=1, m=1.4, k=1, l=1 Onr.2. p=2.4, n=1, m=1.2, k=1.3, l=1
Фиг.3.p=2.1, n=1.2, m=1, k=1, l=1 Фиг.4.p=2.3, n=1, m=1.2, k=1.3, l=1
Список литературы
1. Ангар Юнгель. Кросс-диффузионные системы с энтропийной структурой. arXiv: 1710.01623v1 [математика. AP] 4 октября 2017 года. Труды EQUADIFF, (2017).
2. Рахмонов З. Р., Урунбаев Ж. Е. Об одной задаче поперечной диффузии с нелокальными граничными условиями / / Сиб.Фед. Унив. - Математика. Физ., 2019.
3. Маматов А. У. Численное моделирование процесса теплопроводности с двойной нелинейностью в двумерном случае при наличии переноса и источника (поглощения). Научный журнал Самаркандского университета, ISSN: 2091-544, № 1, 41-44 (2020)
4. Richard L. Burden and J. Douglas Faires. Numerical Analysis. Ninth Edition, Boston, USA, 2011.
5. Самарский А.А., Гулин А.В.Численные методы. - М.: Наука,1989.
