CC BY
20
лиза и прогнозирования, а также обеспечивает и более широкие возможности для выбора наиболее эффективных аналитических методов и моделей.
Библиографический список
1. Косарев А.Е. Современное развитие методологии национальных счетов - обновление СНС -93 // Вопросы статистики. - 2007. - № 8.
2. Основы национального счетоводства (международный стандарт) / Под ред. Ю.Н. Иванова. -М.: ИНФРА-М, 2005.
3. Руководство Осло. Рекомендации по сбору и анализу данных по инновациям: 3 изд., ОЭСР. -М., 2006.
4. Система национальных счетов 2008. ООН. - Нью-Йорк, 2009.
5. European Commission (1995), European System of accounts. - ESA, 1995 Luxembourg.
6. United Nations, European Commission, International Monetary Fund, OECD and World Bank (1993), System of National Accounts 1993, New York.
Ю.И. Аганин
ВЛИЯНИЕ ФОНДОВООРУЖЕННОСТИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДУОПОЛИИ1
Ключевые слова: спрос, цена, кредит, фондовооруженность, устойчивость движения.
В работах [1; 3-8] построены динамические модели дуополии, в которых отражено действие инвестиционных, амортизационных и кредитных механизмов. Ниже изучается устойчивость точек покоя динамической модели дуополии, являющейся модификацией модели, построенной в работе [2]. Точка покоя рассматривается как предельное равновесное состояние динамической системы, фазовые переменные которой характеризуют выпуск продукции двух конкурирующих фирм, цену, объем кредита, фондовооруженность каждой фирмы. Введем номер i фирмы: i = 1; 2, обозначим объемы производства в момент времени tk :
x1(tk) = x1k, x2(tk) = x2k, k = 0;1;2;3;... Будем считать что tk+1 -tk = 1; k = 0;1;2;3;... Предполагается выполнение следующих гипотез:
1) Потребитель заказывает продукцию фирм в количестве Dk = D (tk ) единиц.
2) Для совершенствования организации производства, увеличения производительности труда используется кредит z (tk ) ■ xi (tk ) = zkxik , который представлен в виде суммы двух слагаемых:
zkxik = G izkxik + (1 - G i ) zkxik ,
где 0 < ci < 1; ci - доля кредита, направляемая на капитальные вложения; 1 - ог - доля кредита, используемая на повышение квалификации работников и совершенствование управления.
© Аганин Ю.И., 2013
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-06-00389).
3) Функция полных издержек С, ) = С1к каждой фирмы задается равенством
С» = + пх* + с + дел, (1)
с положительными коэффициентами (параметрами) т-1, п,, с,, х , где хгкх1к - выплаты по кредитам, х > 1; (х -1) 100% - процентная ставка.
4) Динамика использования кредита задается разностным уравнением
-^ = е^(А -й), (2)
где й - уровень спроса, при котором принимается решение об увеличении или уменьшении кредитования; е й - максимальный темп уменьшения кредитования при уменьшении спроса. Начальные условия для уравнения (2): г^0) = г0 ^ 0.
5) Объем производимой продукции описывается производственной функцией Кобба-Дугласа:
% = АК1'4а' , I = 1; 2, к = 0; 1; 2; 3... ,0 < а, < 1, (3)
где К1к = К, (?к ) - основные производственные фонды (капитал); Цк = Ц (^ ) - затраты труда; А, - технологический коэффициент; а, - эластичность выпуска по капиталу.
6) Спрос Бк зависит от цены р(гк) = рк; Ок = (а - рк)/Ь , где а и Ь - заданные положительные числа.
7) Динамика изменения цены описывается разностным уравнением
Рк +1 - Рк = в(а - Рк - Ь(Х1к + Х2к )), (4)
где РЬ коэффициент адаптации (реакции) цены. Если спрос меньше предложения: < х1к + х2к, то спрос на товар каждой фирмы, равный количеству товара, продаваемого фирмой, предполагается пропорциональным доли товара на рынке: ^1к = (а - рк)х1к/Ь(х1к + х2к); Э2к = (а - рк)х2к/Ь(х1к + х2к), где Ак, В2к - объемы продаж первой и второй фирм соответственно, Бк = Б1к + Б2к. Начальные условия для уравнения (4): р(Ь) = р0.
8) Прибыль каждой фирмы выражается равенствами:
Пк = рк • т!п{х,к; 0,к}- Сш. (5)
Прибыль используется для инвестиций в производство 1кк = я, п1к + о,гкх1к и для потребления Нк = (1 - я,)п1к; 0 < я , < 1. Обозначим х - о, /s1 = у ,.
9) Динамика затрат труда задается разностными уравнениями
Цк+1 - Цк = КЦк, к = 0;1;2;3..., (6)
где X 1к - темп роста рабочей силы Х1к > 0.
10) Темп роста рабочей силы - линейная функция от величины кредита, направляемого на улучшение условий труда, повышение квалификации работников, внедрение современных информационных технологий управления производством, оптимизацию социального пакета:
К = \(0) + Р, (1 - а) ^, (7)
где X(0) - темп роста потребности в рабочей силе при отсутствии кредитования, рi - коэффициент пропорциональности.
11) Динамика основных производственных фондов К задается разностным уравнением
К1к+1 - Ка = 1а -щКа, к = 0; 1; 2; 3;..., (8)
с начальными условиями К1 (г0) = К10. В уравнении (8) Щ- — коэффициент амортизации.
12) Динамика фондовооруженности у к = у- (?к) = Кк/Цк описывается разностным уравнением, аналогичным макроэкономическому уравнению Солоу [3; 9; 10]: У к+1 - У к = Вука' - Xку к с начальным условием у -(?0) = у0. Параметр а; - эластичность производственной функции хк = АК к щ ; 0 < а 1 < 1, В- - положительный параметр.
13) Динамика выпуска продукции фирм описывается разностными уравнениями
Хк+1 - х1к = Щ АКка'-1 Ц^' (Кк+1 - Кк) + (1 - а,) АКка' ЦГ' (Цк+1 - Цк) , которые преобразуются к виду:
х1к+1 - х1к = а, АУка'-1 (I к - щ 'К'к) + (1 - а,) АУ ка (Х(0) + Р, (1 - а ,)^)Цк. (9)
14) В модели не предусматривается использование запасов в случае, когда спрос превышает предложение, и складирование излишков продукции при наличии избыточного предложения, например, в случае производства тепла и электроэнергии или продукции нефтегазового комплекса. Поскольку производство и потребление указанных и ряда других продуктов - непрерывный процесс, можно отвлечься от реально существующего разрыва между началом кредитования и возмещением кредита, между поставками продукции на рынок и получением прибыли, и использовать непрерывные аналоги приведенных выше разностных уравнений - дифференциальные уравнения.
Исследование устойчивости движения сводится к анализу системы шести дифференциальных уравнений первого порядка, содержащих переменную в, которая принимает значения 0 или 1 в зависимости от соотношения спроса и предложения: т.е. величин Б = (а - р)/ Ь
и х + х2; 0 = 0, если Б > х1 + х2; 0 = 1, если Б < х1 + х2. Аналогичный подход к исследованию устойчивости, но без учета влияния фондовооруженности на динамику рынка, излагался автором в [1; 2].
= аМу^ЧрхI(1-9(1р л))-щх,2 -п,х,-с -у^.)+((1-а,)(1(0) + р.(I-о,)г-аЛ)х,,
Ь(х1 + х2)
х- = Вуа -(Х(0) + р(1-о,)гу, , = 1;2, (10)
г = «(£-£ - й),
Ь
р = Р(а - Ь(х1 + х2) - р).
Начальные условия для системы (10) х, (0) = х,0, у{ (0) = ую, р(0) = р0, г(0) = г0. Если спрос равен суммарному выпуску, то выполняется равенство (а - р)/Ь = х1 + х2, и значения функций в правой части системы (10) одинаковы для 9 =0 и 9=1. Выберем
а1 = а2 = 0,5; ^ = я2 = 0,5; А1 = Л2 = 2; В1 = В2 = 1 а = 170; Ь = 0,2; у1 = у2 = 0,15 ;
Л,2 — и, О] — — и, -л ^ ^ — ^ — и,
т = 8; т2 = 10; п1 = 1,4;п2 = 2; о1 = о2 = 0,5; Х(0) = 0,02; Х(20) = 0,025; (11) С = 1440; с2 = 1131; р1 = 0,2; р2 = 0,1; ^ = 0,2;= 0,15; й = 135 ; е = 0,1; в = 1.
Для указанных значений параметров система (10) запишется так:
х = 0,5у1-0'5 (рх1 (1 + 9170 - р - 0,2(х1 + ^) -1,4х2 - 8х1 -1140 - 0,15гх1) + (0,05г - 0,09)х1 ,
0,2( х1 + х2)
х2 = 0,5у2-0,5 (рх2(1 + 9170 ~ р - 0,2(х1 + хг)) - 2х22 -10х2 -1131 - 0,15гх2) + (0,025г - 0,0625)х2 ,
0,2( х1 + х2)
у = у^5 -(0,02 + 0,1г)
у2 = у20,5 - (0,025 + 0,05 г) у2,
г = 0,5г (143 - р),
р = 170 - 0,2(х1 + х2) - р.
(12)
Исследуем устойчивость движения по линейному приближению в окрестности точки покояМ\, координаты которой:
х1 = 80,6; х2 = 54,4; у1 = 692,52; у2 = 865,05; г = 0,18; р = 143 .
Обозначим:
хх1 = х1-80,6; хх2 = х2 -54,4; у1 = у1 -692,52; у2 = у2 -865,05; г = г -0,18; р = р -143. Линейное приближение системы (12) в окрестности точки М\ для случая 9 = 0 запишется так:
'йхх/йг = -1,804х - 0,00472у1 + 3,8г +1,531 р, йх2/йг = -1,497хх2 - 0,00362у2 +1,221 + 0,925р,
йй/йг = -0,019у1 -69,252 ' йу2/ йг = -0,034у2 - 43,253г,
Iйг/ йг = -0,09 р, йр/йг = -0,2х - 0,2х2 - р.
Определитель матрицы системы (13) отрицательный. Движение в той части окрестности точки М\, где 0 = 0, неустойчивое. Линейное приближение для другой части окрестности, где 0 = 1, отличается от системы (13), только двумя первыми уравнениями:
йхх/йг = -3,426х - 0,00472у + 3,8? - 346,282р ; йх2/йг = -2,476х2 - 0,0362у2 +1,22г - 233,719р.
Определитель матрицы этой системы также отрицательный. Движение в окрестности точки М\ неустойчивое. Интерес представляют точки покоя, в которых фазовая координата г = 0. Движение в окрестности этих точек характеризует переход к самофинансированию, если движение устойчивое, либо уход от самофинансирования, привлечение кредита, если движение неустойчивое. Приравниваем нулю правые части уравнений системы (12), получаем при ? = 0 точки покоя системы (12): N^10,735; 8,417; 2500; 1600; 0; 166,1696), N,(83,66; 9,657; 2500; 1600; 0; 151,3366), N,(77,235; 53,898; 2500; 1600; 0; 143,7734),
N^11,812; 60,9544; 2500; 1600; 0; 155,4467). Исследование устойчивости движения в окрестности точек N проводится по следующей схеме.
1. В системе уравнений линейного приближения выделяется устойчивая подсистема относительно переменных уу1; у2; г независимая от остальных переменных, X; х2; р, например для И1, ( ' =1):
' йу1/йг = -0,01уу1 - 250г,
<йу2/йг = -0,0125у2 -80г , (14)
й1/ йг = -11,585г.
Дифференциальные уравнения этих подсистем, записанные для других точек покоя, отличаются от уравнений (14) значением отрицательного коэффициента в третьем уравнении: йг./йг = -4,168г, (' = 2); йг/йг = -0,388г, (' = 3); йг/йг = -6,223г , (' = 4). 2. Исследуется устойчивость линейной системы дифференциальных уравнений относительно переменных X; х2; р в областях, удовлетворяющих условиям 0 = 0 или 0 = 1. Для этого рассматриваются матрицы А(°>; А(>,' = 1; 2; 3; 4, элементы которых находятся на пересечении первой,
второй и шестой строк первого, второго и шестого столбцов матриц линейного приближения, например:
(1,1911
Л™ =
Л
(0)
(-0,8948 -0,2
0
0,107 ^
0 1,4688 0,105
-0, 2 -0, 2
0
-1
0,7723^
-1,8523 0,6737
—
0, 2
1
Л(11) =
( 0,2597 0
0
0,5214
■4,5497^ 4, 459
-0,2 -0,2
-1
Л
(1)
(-1,6616 0 -3,4616 ^ 0 -1,8239 -3,0196
—
0, 2
—
0,2
1
3
3
3. Составляются характеристические уравнения матриц Л!\) ; Л« ,, = 1; 2; 3; 4. Устойчивость движения в окрестности точки покоя N обеспечивается устойчивостью движения в каждой из двух частей окрестности точек покоя, определяемых условиями 9 = 0 и 9 = 1.
Характеристические многочлены матриц Л(0); Л? , = 1; 2; 4 имеют отрицательные коэффициенты при первой степени переменной, поэтому движение в окрестности точек Ы1, Ы2 и Ы4 неустойчивое. Неустойчивость движения в окрестности точек Ы1, Ы2 и Ы4 означает,
что при высоком уровне фондовооруженности система уходит от состояния покоя с малым уровнем выпуска товаров и нулевым кредитованием. Исследована устойчивость движения в окрестности точки покоя Ы3, с наибольшим выпуском. Характеристический многочлен матрицы Л(3С1): Р(Х) = X3 + 2,98Х + 3,2403Х +1,2593 удовлетворяет критерию устойчивости Рауса-Гурвица. Матрица Л(31), определяющая характер движения в окрестности точки Ы3 при 9 = 1, также удовлетворяет критерию устойчивости Рауса-Гурвица. Более того, все корни ее характеристического многочлена Р(Х) = X3 + 4,4855Х2 + 5,2198Х + 0,7644 вещественные и отрицательные. Фазовые координаты (х1; х2; г; р) точек покоя Мх и Ы3 достаточно близки, однако фондовооруженность в устойчивой точке покоя Ы3 более чем в 2,6 раза превосходит фондовооруженность в неустойчивой точке М1.
Рассмотрен также случай, когда отношение постоянных издержек фирм существенно отличается от единицы: с1/с2 ~ 3 ; с1 = 3407,33; с2 = 1131, а уровень спроса, при котором принимается решение об увеличении или уменьшении кредитования, имеет значение й = 100. Значения остальных параметров по-прежнему задаются равенствами (11). В этом случае отмечена неустойчивость состояния покоя системы, характеризующегося большим объемом выпуска, малой фондовооруженностью, существенными заимствованиями.
Заключение. Рассмотрена модель дуополии, описывающая динамику выпуска товаров в зависимости от значений технологических параметров, фондовооруженности, цены, величины кредита, предназначенного для оптимизации условий труда и модернизации производства. Исследована устойчивость движения в окрестности точек покоя. Особое внимание уделено точкам покоя с нулевым значением распределенного по времени кредита. Движение в окрестности этих точек характеризует переход к самофинансированию, если движение устойчивое, либо уход от самофинансирования, использование кредита, если движение неустойчивое.
Автор выражает глубокую благодарность заведующему кафедры математики Государственного университета управления профессору Валерию Викторовичу Лебедеву и всем коллегам за конструктивную и доброжелательную критику, немало способствовавшую улучшению содержания работы.
Библиографический список
1. Аганин Ю.И. Устойчивость движения в динамических моделях конкуренции // Вестник Университета (ГУУ). - № 12. - 2010. - C. 302-307.
2. Аганин Ю.И. Кредит и цена в динамической модели дуополии // Восьмые Курдюмовские чтения [Синергетика в естественных науках]: мат. Международной междисциплинарной научной конференции с элементами научной школы для молодежи. 18-22 апреля 2012 г., Тверь. -С. 201-204.
3. Лебедев В.В. Математическое моделирование нестационарных экономических процессов / В.В. Лебедев, К.В. Лебедев. - М.: ООО «Тест», 2011. - 336 с.
4. Лебедев В.В. О влиянии постоянных издержек производства на эволюцию дуопольного рынка // Математическое и компьютерное моделирование социально-экономических процессов; сб. статей под ред. Ю.Н. Гаврильца. - Вып. 3. - М.: ЦЭМИ РАН, 2004. - С. 38-44.
5. Лебедев В.В., Лебедев К.В. Динамическая модель дуополии при постоянных отчислениях в фонд потребления // Вестник Университета (ГУУ). - № 33. - 2009. - С. 394-405.
6. Лебедев В.В., Лебедев К.В. Динамическая модель возникновения монопольного рынка новой продукции и его трансформации в дуопольный // Математическое и компьютерное моделирование социально-экономических процессов; сб. статей под ред. Ю.Н. Гаврильца. - Вып. 5. - М.: ЦЭМИ РАН, 2012. - С.81-92.
7. Лебедев В.В., Грибанова Г.Ю. Динамика дуопольного рынка при использовании предприятием государственных субсидий // Вестник Университета (ГУУ). - № 3 (16). - 2006. - С. 24-29.
8. Лебедев В.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики / В.В. Лебедев, К.В. Лебедев. - М.: НВТ-Дизайн, 2002. - 256 с.
9. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов / В.В. Лебедев. - М.: ИЗОГРАФ, 1997. - 224 с.
10. Alpha C. Chiang. Fundamental methods of mathematical economics. / Alpha C. Chiang 2d ed, McGraw-Hill Book Company, New-York, 1974. -784 p.
В.И. Антипов
ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ
Ключевые слова: модели, аксиоматика, система национального счетоводства, инвестиции, валовое накопление, производственная функция.
Среди множества экономико-математических моделей можно выделить две большие группы. Первую образуют модели, иллюстрирующие суть различных эффектов и механизмов развития экономических процессов. К этим моделям относятся, в частности, модель экономического равновесия Л. Вальраса (1883), модель оптимального роста В.Рамсея (1928),
© Антипов В.И., 2013
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-06-00389, «Исследование динамики и механизмов развития социально-экономических процессов на основе математического моделирования»).
