CC BY
14
Раздел II. ЭКОНОМИКА: ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ
УДК 330.4 (075)
Ю.И. Аганин ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОНКУРЕНЦИИ
ТЕХНОЛОГИЙ ПРОИЗВОДСТВА ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМЫХ ТОВАРОВ1
Аннотация. В статье исследована устойчивость движения в окрестности точек покоя трех динамических моделей дуополии. Рассмотрена динамика выпуска товаров в зависимости от значений технологических параметров, цены, величины кредита, исследовано движение в окрестности точек покоя, характеризующееся начальным малым спросом на новую продукцию и переходом к активному потреблению этой продукции Исследована зависимость устойчивости равновесия в конкуренции от величины постоянных издержек фирм в связи с изменением технологических параметров.
Ключевые слова: спрос, цена, кредит, технологические параметры, устойчивость движения.
Yuri Aganin DINAMIC MODELS OF COMPETITION TECHNOLOGIES
SUBSTITUTE GOODS
Abstract. The article studies the stability of motion neighborhood of the points of rest three dynamic duopoly models. The dynamics of the release of goods depending on the values of the process parameters, price, size of the loan is considered, studied the motion neighborhood of the points of rest characterized by initial low demand for new products and the transition to the active consumption of these products The dependence of the stability of equilibrium in the competition on the value of the fixed costs of firms in connection to change process parameters is studied.
Keywords: demand, price, credit, technological parameters, stability of motion.
Производство взаимозаменяемых товаров при равновесной цене. Конкуренция технологий возникает, когда на рынке предлагаются взаимозаменяемые товары, произведенные по различным технологиям. Сначала проведем исследование сосуществования и конкуренции технологий для случая равенства спроса и предложения продукции на дуопольном рынке [1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8] при единой равновесной цене на эту продукцию. Для простоты считаем, что каждая технология используется только одной фирмой. Исследование устойчивости движения в зависимости от значений параметров модели, отражающих особенности технологии производства товаров, отвечает на ряд вопросов, связанных с выживаемостью и сменой технологий в условиях конкуренции. Существование устойчивых точек покоя с положительными координатами указывает на возможность долговременного использования двух конкурирующих технологий. Если в состоянии устойчивого равновесия выпуск одной из фирм - малая величина по сравнению с выпуском другой фирмы, то рынок становится монопольным, и в окрестности соответствующей точки покоя доминирует одна технология. Если равновесие неустойчиво, то доминирование может иметь временный характер. Сравнивая эффективность технологий, необходимо указывать область начальных условий, в которой реализуется это сравнение. Выявление таких областей, по-видимому, невозможно без вычислительных экспери-
© Аганин Ю.И., 2014
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-06-00389).
ментов, особенно в случае моделей высокой размерности. Поэтому в рамках аналитического исследования мы ограничимся изучением устойчивости движения в малой окрестности точек покоя. Обозначим ^ ) - объемы производства продукции в момент времени ? двух конкурирующих фирм, использующих различные технологии. Для обозначения производных по времени будем использовать точку над переменной величиной. При построении модели следуем методике, изложенной в работах В.В. Лебедева [4; 5; 6; 7].
1. Предполагается, что потребитель заказывает продукцию фирм в количестве
В = хЛг) + х2(г)
1 2 единиц.
2. Объем производимой продукции пропорционален основным производственным фондам
К\, К2 соответственно: Х о,Кг, , = 1,2, где 0' коэффициент фондоотдачи г-й технологии.
3. Произведенный товар поступает на рынок; совокупное предложение товара составляет Q = х1(г) + х2(г)
4. Спрос на товар - В - линейно зависит от цены товара Р : В(р) = (а р) / Ь, где а и Ь - заданные положительные числа.
5. В каждый момент времени товар в количестве Q продается по цене, которая устанавливается на уровне, обеспечивающем равенство спроса и предложения: Р = а ЬQ .
< гъ л, Сг (х,) = т.х,2 + п.х, + с, ,
6. Функции полных издержек фирм задаются равенствами г 1 11 11 1 с положительными параметрами т', п и С;г = 1>2. При построении функций С1 (х,) предполагается
линейный рост трудоемкости при увеличении объема производства [4; 5].
7. Прибыль от использования каждой технологии выражается равенствами:
П = Рх - Сг(х ), г = 1,2.
н
8. Отчисления ' в фонд инновационного развития пропорциональны выпуску: = хг.
Объем инвестиций определяется равенством г г г .
9. Динамика основных производственных фондов задается дифференциальными уравнениями Кг = - ргКг, г = 1,2; ? > 0, с начальными условиями К(0) К0. Здесь рг - коэффициент амортизации.
10. В начальный момент времени прибыль от реализации выпуска каждой фирмы - положительная величина.
В построенной модели не учитывается использование запасов в случае, когда спрос превышает предложение, и складирование излишков продукции при наличии избыточного предложения, например, в случае производства тепла и электроэнергии. Предполагается, что производственные мощности фирм в состоянии обеспечить рынок товарами при любом спросе. Поэтому исследование динамики конкуренции двух различных технологий сводится к анализу системы двух нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с четырьмя свободными параметрами о1; о2; р2, отражающими использование этих технологий.
Г х = о1х1(а - п - \ - (Ь + т)х - Ьх2 - р1/о1) - о1с1 ,
[х2 = о2х2(а - п2 - к2 - (Ь + т)х2 - Ьх - р2/о2) - о2с2 •
(1.1)
Начальные условия системы: х'(0) х'0' где Х'0 0' 0. Для анализа свойств модели ограничимся случаем, в котором одинаковы параметры издержек с , т; конкурирующих фирм:
с — с — с' т = т = т 12,1 2 , но технологические параметры фирм предполагаются различными:
01 ^ 02' и ^ и2. Это отличает рассматриваемый вариант модели от варианта, изученного В.В. Лебедевым и К.В. Лебедевым [5], в котором различными были только постоянные издержки, а технологические параметры фирм совпадали. Обозначим х x' Х2 у , введем обобщенные технологи-
а - и - и,/о; - Н = а- , [ = 1'2 т «/11ч
ческие параметры 1 ¡-и 1 1 л > . Тогда система уравнений (1.1) примет следую-
щий вид:
[ Х = о1х(а1 - (Ь + т)х - Ьу - с / х),
1у = °2 у(а2- (Ь+т) у - Ьх - с / уХ (12)
где х(0) Хo' у (0) у0. Рассмотрим область на фазовой плоскости, которой в силу допущения о положительности прибыли должны принадлежать начальные точки (х°' фазовых траекторий.
Обозначим (а - и1 - (Ь + т)х - с / х)/ Ь = 8(х); (а - и2 - (Ь + т)у - с / у)/ Ь = Н(у). Линии нулевой
прибыли - гиперболы у = 8(х) и х = Н(у) - ограничивают область экономически эффективных состояний динамической системы (1.2). Динамическая система (1.2) имеет равновесные решения, которым соответствуют точки пересечений главных изоклин на фазовой плоскости. Выпишем уравнения главных изоклин системы (1.2), которые получим, приравняв правые части уравнений системы (1.2) к нулю:
у = (а1 - (Ь + т)х - с / х)/ Ь ' х > 0' у > 0 (1 3)
и
х = (а2 - (Ь + т) у - с / у)/ Ь ' х > 0' у > 0 (14)
Обсудим вопрос о влиянии обобщенных технологических параметров а1 и а 2 на фазовый портрет системы (1.2). Сначала рассмотрим расположение точек покоя на фазовой плоскости в случае а а2 а в зависимости от значений обобщенного технологического параметра а. Из системы уравнений (1.3),(1.4) следует, что тху(х у) = с(х у), и система распадается на две, в которых уравнение (1.4) заменяется либо уравнением х у =0, либо уравнением тху =с . В случае х у = 0 решение существует, если а > 4с(т + 2Ь). в случае тху = с решение существует, если а т > 4с(т + Ь) . Возможны три случая существования точек покоя: 1) четыре различные точки: две -М1 , М3 на прямой у = х , и две -М2 , М4 на гиперболе тху = с , если > 4с(т + Ь)' 2)
две различные точки покоя на прямой у = х , если 4ст(т + 2Ь) < а т < 4с(т + Ь) , 3) единствен-
а2 = 4с( т + 2Ь) т-.
ная точка покоя, если 4 у ' . Вопросы устойчивости движения в окрестности точек по-
коя изучались многими учеными [2' 3' 4' 5].
Пусть фиксировано значение а 0 точки покоя системы (1.2) при различных значениях параметра а2. Если а2 а 0,48'
п ж а, = 0,48 а,2т > 4с(т + Ь)2 п
Пусть фиксировано значение 1 и выполнено условие 1 . Рассмотрим
с=04- т=0 07" Ь = 0 02
, то имеем четыре различные точки покоя. При увеличении значения параметра 02 две точки покоя сближаются и совпадают, если °2 °2 0,575 . в этом случае гипербола (1.4) и верхняя дуга гиперболы (1.3) касаются в точке М23. При значениях параметра 02 из ин-
/г\ ЛQ. * Ч
тервала ( , ; 02) имеются четыре точки покоя. Приближенно координаты точки М23 можно вы*
числить как координаты вершины гиперболы (1.3): М23 (2,1; 5,1). Как видим, при 02 = 02 имеем на
0 £ (0 48; 0 *)
одну точку равновесия меньше, чем при 02 ( , ;02). При дальнейшем (даже незначительном)
*
увеличении параметра 0 2 по сравнению со значением 0 2 точка М23 исчезает. Теперь гиперболы
*
(1.3) и (1.4) пересекаются лишь в двух точках. Поэтому 0 2 является бифуркационным значением параметра 02, при значении параметра 01 О^8, а точка М23 представляет собой точку бифуркации динамической системы (1.2) при 01 О^8. Рассмотрим значения параметра 02 меньшие, чем
**
0,48. Пусть °2 значение параметра, при котором гипербола (1.4) касается правой дуги гиперболы
** 0 £ (о**"0 48)
(1.3) в точке М34. Если 01 = 0,48, то 02 ~ 0,452. Если 2 2 ; ' , то система (1.2) имеет четыре
** _2 1
точки покоя. При 0 2 = 02 ордината точки М34 приближенно равна ординате у = , вершины гиперболы (1.4), а абсцисса вычисляется как наибольшее решение уравнения (1.3): М34(3,648; 2,1), и
снова имеем три точки покоя. Дальнейшее уменьшение величины 02 вызовет движение вершины гиперболы (1.4) к левой ветви гиперболы (1.3).. Точка М34 исчезает, остаются две точки пересечения.
Значение °2 °2 0,452 является бифуркационным значением параметра0 2 при значении параметра 01 0,48 , а точка М34 представляет собой точку бифуркации динамической системы (1.2). При °2 = °2 ~ 0,404 дуга при вершине гиперболы (1.4) касается левой ветви гиперболы (1.3) в единственной общей точке двух гипербол М12, ордината которой приближенно равна ординате у ~ 2,1 вершины гиперболы (1.4), а абсцисса вычисляется как наименьшее решение уравнения (1.3):
М12 (1,219; 2,1). При 02 < 02 < 02 существуют две точки покоя. При 0 < 02 < 02 система (1.2) точек покоя не имеет. Поэтому °2 = °2 является бифуркационным значением параметра 0 2, при значении параметра 01 0 48 , а точка М12 представляет собой точку бифуркации динамической системы (1.2).
Итак, в зависимости от значений обобщенных технологических параметров 01 и 0 2 главные изоклины динамической системы (1.2) могут иметь не более четырех общих точек или вообще не пересекаться. Этим случаям соответствуют различные фазовые портреты системы, и следовательно,
результат конкурентной борьбы технологий зависит как от значений параметров 01 и 0 2, так и от начального состояния системы (от положения начальной точки фазовой траектории), т.е., в конечном счете, от спроса на продукцию.
Производство взаимозаменяемых товаров при неравновесной цене. Исследуется влияние
технологических параметров - коэффициентов фондоотдачи °1; 0 2 - на устойчивость равновесия в конкуренции. Исследование сосуществования и конкуренции технологий проводим при неравно-
весной цене на продукцию двух фирм. Сохраняем все допущения предыдущей модели, кроме первого, третьего и пятого. Предполагается, что спрос не меньше предложения: в каждый момент времени товар в количестве ^ продается по цене р, которая с течением времени устанавливается на уровне, обеспечивающим равенство спроса и предложения. Динамика изменения цены описывается
дифференциальным уравнением р = а (а р Ъ(х + у)) , где а Ъ коэффициент адаптации (реакции) цены. Это уравнение дополняет предыдущий вариант модели, в котором не рассматривались отклонения цены от ее равновесного значения. Исследование динамики конкуренции двух различных технологий сводится в новом варианте модели к анализу системы трех дифференциальных уравнений
хх = о:х(р + q1 - а - тх - с / х), < у = о2 у( р + q2 - а - ту - с / у), _ р = а (а - р - Ъ(х + у)),
где х(0) Xо, у(0) Уо. р(0) Ро. Рассмотрим область на координатной плоскости (х;у), которой
в силу допущения о положительности прибыли должны принадлежать начальные точки (х0; у0 ) проекций фазовых траекторий системы (2.1). Динамическая система (2.1) имеет равновесные решения, которым соответствуют точки пересечений главных изоклин на координатной плоскости (х;у) системы (1.2). В этом можно убедиться, приравняв правые части уравнений системы (2.1) к нулю и заменив величину р ее равновесным значением. Поэтому для обозначения точек покоя используем
Мг Р.
прежнюю символику: !, указав в наборе координат на третьем месте равновесное значение цены. Выберем
ql = q2 = 0,66; а = 100; Ъ = 0,02; т = 0,07; с = 0,55,
(2.2)
и найдем: М 1(1; 1; 99,96) М2(6,03;1,303; 99,85), М3(5;5;99,8) М4(1,303;6,03; 99,85) Движение в окрестности точки покоя М3 , имеющей максимальное значение суммарного предложения х + у , асимптотически устойчиво при любых положительных значениях параметров °2,а.
^ М,; М2;М4
Движение в окрестности точек покоя 1 2 4 неустойчивое.
Производство взаимозаменяемых товаров при неравновесной цене и кредитовании.
Исследование конкуренции технологий проводим при неравновесной цене на продукцию
х, (г), I = 1;2 , „ г (г) • х. (г)
1 двух фирм с учетом внешних заимствований ! , пропорциональных выпуску.
Сохраняем все предположения предыдущей модели, кроме двух, рассмотрев новый вариант адапта-
/ иг , \\ С, (х) = т.х2 + п.х, + с+
ции цены: р = а р(а - р - Ъ(х1 + х2)), величины полных издержек ! 1 11 11 1 111,
у. гТ-
где '' ' - выплаты по кредитам, у; > 1; (у; -1) • 100 % - банковский процент. Систему уравнений (2.1) дополним дифференциальным уравнением распределения кредита во времени
г (( У1 х1 у 2 х2), в котором темп использования кредита - линейная функция выпуска про-
, d > х(0) + х, (0) о > о пс
дукции; d - прогнозируемая средняя величина спроса, 1 2 ; о > 0 - константа. Обо-
хл _ х, х _ V значим 1 2 .
X = о1х(p + q1 - а - тх - с / х) - у1гх,
У = v,y(p + q2 - а - ту-с / у)-y2zy, (31)
p = a p ■ (a - b( х + у) - p), z = oz(d - угх - у,у).
Рассмотрим движение системы вблизи состояний покоя M; M3 - точек с наименьшим и наибольшим выпуском продукции соответственно - при условии самофинансирования (z = 0) и
значениях параметров (2.2) при 0 =1 в зависимости от значений свободных параметров
©1; о2; d; Yi; у2; a. Равновесие в точке покоя M1 (1; 1; 99,96; 0) неустойчивое при любых положи-
о,; о 2; a с у, + у2 < d ,
тельных значениях параметров 1 2 . Если 11 12 , то при малых отклонениях фазовой точки от положения М1 использование кредита растет с течением времени t по экспоненте с показате-(d - у. - у2) ■ t
лем 11 12 , что приводит к увеличению производства и удовлетворению растущего спроса. Движение в окрестности точки M3 (5; 5; 99,8; 0) асимптотически устойчивое, если
х(0) + у(0) < d < 5у- + 5у2 d > 5у- + 5у2 D „
у 11 '2, и неустойчивое, если 11 '2. Высокий спрос требует привлече-
ния кредита.
Библиографический список
1. Аганин Ю.И. Влияние фондовооруженности на устойчивость движения в динамической модели дуополии // Вестник Университета (Государственный Университет управления). - 2013. - № 16 - С. 120-126.
2. Аганин Ю.И. Устойчивость движения в динамических моделях конкуренции. Вестник Университета. (Государственный Университет управления). - 2010. - № 12 - С. 310-314.
3. Аганин Ю.И. Устойчивость движения в динамической модели конкуренции. Пятые Юбилейные Курдю-мовские чтения: «Синергетика в естественных науках»: Материалы международной междисциплинарной научной конференции (часть 1). 16-18 апреля 2009 г. - Тверь. - С. 181-184.
4. Лебедев В.В. Математическое моделирование нестационарных экономических процессов / В.В. Лебедев [и др.]. - М.: Тест, 2011. - 336 с.
5. Лебедев В.В. Динамическая модель дуополии при постоянных отчислениях в фонд потребления // Вестник Университета (Государственный Университет управления). - 2009. - № 33. - С. 394-405.
6. Лебедев В.В. Динамика дуопольного рынка при использовании предприятием государственных субсидий // Вестник Университета (Государственный Университет управления). - 2006. - № 3(16). - С. 24-29.
7. Лебедев В.В. О влиянии постоянных издержек производства на эволюцию дуопольного рынка // Математическое и компьютерное моделирование социально-экономических процессов. - 2004. - Вып.3. - С. 38 -44.
8. Shone R. Economic Dynamics. Cambridge University Press 2d ed. 2002. p.708.
