Оптимальное управление инвестициями в окрестности точки Курно Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИЙ

DOI10.26425/1816-4277-2018-8-99-105

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИЯМИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ КУРНО

Аннотация. Рассмотрены три варианта динамической модели дуополии, в которых одна из точек покоя является точкой Курно. Изучается движение в окрестности этих точек и оптимальное управление инвестициями в линейном приближении. Получены уравнения динамики в линейном приближении для равновесного, развивающегося и кризисного рынков. Предложена квазиоптимальная стратегия максимизации по Парето векторного критерия прибыли, использующая, наряду с линеаризацией дифференциальных уравнений динамки в окрестности точки покоя, линейную свертку критериев.

Ключевые слова: дуополия, динамическая модель, линеаризация, инвестиция, оптимальное управление.

OPTIMAL CONTROL OF INVESTMENTS AROUND COURNOT POINT

Abstract. hree variants of the dynamic model of a duopoly are considered. Here s one of the stationary points is the Cournot point. We study the movement around these points and the optimal investment control in a linear approximation. The equations of dynamics of variables for equilibrium, developing and crisis markets in a linear approximation are obtained. A quasioptimal Pareto maximization strategy for the vector profit criterion, using a linear convolution of the criteria along with the linearization of the differential dynamics equations in the vicinity of the stationary points, is proposed.

Keywords: duopoly, dynamic model, linear approximation, investment, optimal control.

Динамические модели дуополии, учитывающие фондовооруженность труда, инвестиционные и амортизационные процессы отражают существенные характеристики дуопольного рынка и служат основой для постановки оптимизационных задач, позволяющих по-новому подойти к рассмотрению взаимоотношений труда и капитала [1; 2; 3; 4; 5].

Мы рассматриваем случай равновесия, при котором проекция точки покоя на координатную плоскость выпуска конкурирующих фирм является точкой Курно. В окрестности точки покоя возможны неравновесные состояния. В модели неравновесной динамики кроме варианта развивающегося рынка, рассмотренного в [2], также представлен вариант кризисного рынка, в котором предложение превышает спрос, что учитывается при помощи дополнительных параметров модели [1]. Обозначения переменных и связи между ними в основном соответствуют принятым в [1; 2] обозначениям и уравнениям.

В модели равновесной динамики У=У(У) , i = 1; 2 - выпуск фирм в момент времени У, У е [0; 7]; С (У)=т.У2+п.У+с.— функция полных издержек, т.> 0; п.> 0; с.> 0 - параметры; К.=К.(У) - затраты капитала; Ь.=Ь.(У) - затраты труда; У. =А. КаЬ , 0 < а. < 1; - производственная функция; А - положительный параметр; а. -коэффициент эластичности выпуска по капиталу; р = а -Ь (У1 + У2) - равновесная цена, а > 0, Ь > 0 - параметры равновесной цены; п. (Ур У2) = (а—Ь (У1 + У2)) У. — С. (У.) - равновесная прибыль каждой фирмы; I = si п.(Ур У2) - капитальные вложения; Si = (1 - ,?))к.(Ур У2), 0 < < 1 - материальное стимулирование труда; свободные параметры (управления); т . — коэффициент стимулирования труда, выбирается в зависимости от цели управления; Х0. - коэффициент, отражающий уменьшение производительности труда при увеличении числа занятых; точка над переменной величиной - символ

© Аганин Ю.И., 2018

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №1606-00280).

УДК330.4(075) JEL C61

Аганин Юрий Иванович

канд. физ-мат. наук, ФГБОУ ВО «Государственный университет управления», г. Москва e-mail: [email protected]

Aganin Yuri

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, State University of Management, Moscow e-mail: [email protected]

производной по времени; Ь1 = Ь - уравнение динамики использования трудовых ресурсов, где Х =т (1-.у )л (УрX; К =1 -\и К - уравнение динамики капитала, где ц. коэффициент выбытия капитала; х =К /Ь -фондовооруженность труда, х =8 пА х^1У-{\и+Х^ х - уравнение динамики фондовооруженности.

В модели неравновесной динамки Ув=(а-р)/Ь - спрос; ¥,. = ¥/ + ¥ - предложение; Ув / ¥,. =0. - соотношение спроса и предложения; р = |3 (а-р -Ъ (У1 + У2)) - уравнение динамики неравновесной цены, где |3, а, Ь -положительные параметры, |3 Ъ - коэффициент адаптации цены; кгДГ^ ¥у р) - неравновесная прибыль как непрерывная функция выпуска У2) и неравновесной цены: л,, ¥у р) = pY.il - 9 (1 - О)) - тУ^-пУ -с. где 0=0, если П >1; 0=1; , если П <1 ; Ь =Х Ь - уравнение неравновесной динамики использования трудовых ресурсов, где ^^^.(х, Уг Уур) = (х.(1 -5.)Уу р)-\У1Ах°*). Переменная 0 - управляющий параметр; £1= 1 - уравнение поверхности переключения управления 0.

В модели неравновесной динамики с кредитованием л/,.(Г) = |ф, (9,т)Л _ сумма кредита, Ф = Ф (0, /) = г (/) 7(0(1-0 (1-й (0)) - интенсивность использования кредита; С =т У^+п У.+ с. + у.Ф. - функция полных издержек; где у,.>1; (у.— 1) • 100% - банковский процент; л21.(71; У2,г.,р) = пи{Ух, Уур)-у. Ф. - прибыль;

3121.(Г1; У2, 2ср) +\(Ф( - капитальные вложения при наличии кредитования; Л'2(=( 1 -\|)(л:2(()''|. Ууг.,р) + Ф.) -материальное стимулирование труда с использованием кредита; /, =\ 1, - уравнение динамики затрат труда в условиях кредитования, где \2=\21{хрУх, Уу2рр)=г1(\-я^п^У^У^^+Ф^-^У/А^р^ (с<-Ь (У^ + У^+Ф^ Ф^-р) - уравнение динамики цены; ¿. = в.(г.7.П -у. Ф ) -уравнение динамики использования кредита, где 8>0 - параметр, коэффициент адаптации.

Линеаризация уравнений модели равновесной динамики дуополии в окрестности точки Кур но.

Движение в модели равновесной динамики дуополии описывается четырьмя дифференциальными уравнениями [2]:

¥, = а, 1,А,*Г1 -Ы, + / = 1, 2.

Пусть система (1.1) имеет точку покоя М*{х*',х*', У*; IV) , при заданных величинах 5. = 5.*, 0<5.*< 1 , например, 5 .*= а. В этом случае фазовые переменные и параметры модели удовлетворяют условиям

<т;(1-а;)т= (2)

0; / = 1,2.

Чтобы найти координаты точки М*сначала вычисляем положительные равновесные по Курно значения выпуска (Г *; Y ). решив линейную систему алгебраических уравнений:

571!/дГ1 =0; Г2(Ь + щ )У1 + ЪУ2 = а -

дк2/дУ2=0 ^ | ¿7j + 2(Ъ + т2 )У2=а- w2; (3)

2(а-п1)(Ъ + т2)-Ъ(а-п2) ^ Q = 2(а-n2)(b + т^) -b(ci-ц) ^ Q 3 Ъ2 + 4b(m] +тп) + 4т} т~, ' 2 3/r + 4b(m] + тп) + 4т]т^

Положительность значений (У*; У") обеспечивается выполнением неравенств а -п > 0; а - я, > 0: 2(а-п]) {Ь + т^)>Ь{а-п^\, 2(а-+ т])>Ь(а-п]), выражающих условие существования точки Курно. В частности, если п =п^=п >0, а >п. эти неравенства выполняются при положительных значениях остальных параметров. Последовательно вычисляем значения

^ -<>*:>•) 0: х* =

ж.

4<4<x/V

l/(a,-D

X, =

KV

<4(l-a,X

(4)

Постановка задачи. Для системы (1) заданы начальные условия х.(0)>0; 7 (0)>0 и граничные значения х* >0, 7.*>0, л\" = о... / =1, 2. Требуется выбрать в линейном приближении ограниченные управления .у .С*^: 7; У'-,). 0<5.< 1, из условия максимума интегрального критерия

71 =-

1 Т

У +У 1\ ^12 0

(5)

Обозначим малые отклонения фазовых координат и управляющих параметров хг, х2, Уг 7;, от их равновесных значений хД, х2*, У*, У2, 8*, 52* х.=х -х.*; у = У-У*; 5. = 5'.-а., 7 = 1,2. Тогда л.(71; 72) = 71.(71*+;Р1, 7Д+.У-0-функция величин х., у.. Учтем, что _ ^ дд,- • Линеаризуем систему (1.2) в окрестности

точкиМ*=(х1*;х2*; 7;; Г2*): ' ' 51;

= 0. ^ 57.

А/ I

i, = (4 (*;г-4(а, -1)<7/ -Л^ЖГ'а,1„,)х, +а0,(ДГ1(х;)1-а' -ЦЛ^Т1)^ --(а,4(х)а' -т;(Г)(1-а,.)х;)^, + (4(х)^(Г)-1 + т»Й;

й = (Д. (Х,*)"' а,(а, -l)7i* -4-l0,(t)2(x;)-a' (*>,+(*;)->,X, - (а,ц, -

-(т;(1-а,)2(Г)2 +А^{хУЛХ)Ьу, +(а,4 +(«, -DtT*)«)"-1^,, / =1; 2; у

(6)

Ограниченные кусочно-непрерывные управления 5 = Л' ^х^ х у_,) выбираем из условия максимума интегрального критерия прибыли (1.5), записанного в переменных у у^. Задачу (6) решаем при начальных условиях х.(0) =х.(0) -х.*, У((0) = 7(0)- 7* и граничных условиях х.(Г) =у(Т) = 0.

Линеаризация уравнений развивающегося дуопольного рынка. Движение в модели неравновесной динамики дуополии описывается пятью дифференциальными уравнениями [2], четыре из которых могут быть записаны в форме (1), а пятоер = |3(а-р -6(7+7,,)) - уравнение динамики неравновесной цены:

= (s,Ki,A,x,ai~1 - + ) ^ )' Yt = a, (s^A^-1 ~ (ц, + А,) Yt) ■+ ; / = 1, 2 p = P(a-p-b(Y1+Y2)).

(7)

Существенное отличие системы (7) от (1) в том, что выражение прибыли зависит от соотношения спроса и предложения. Поэтому уравнения линейного приближения записываем в двух вариантах, которые условно назовем: вариант развивающегося рынка, для которого спрос не меньше предложения, £2 > 1, и вариант кризисного рынка, £2 < 1. Пусть М+*(хД*; хД*; 7Д*; 7Д*; р+*) - точка покоя системы (7), где р+* = а -b{Yl+*+Yn+*). Для этой точки выполняется условие равновесия £2=1. Обозначим М+ - часть окрестности точки М+*, в которой £2 <1. Выражение прибыли в М+: л;Д=р7.-да.7.2-п.У.-с., /' = 1,2; 7г + (7+*;р+*) = лД*. Зададим значения в^вД 0<81*< 1, например, я*= а. В этом случае фазовые переменные и параметры модели неравновесной динамики удовлетворяют условиям (2), в которых вместо выражения равновесной прибыли щ надо записать к . Координаты (7Д*, 72+*)точки Курно развивающегося дуопольного рынка найдем, решив линейную систему алгебраических уравнений

дк^/д^ =0; сЦ/д72=0; О { p = a-b(Yl+Y2y,

p-2m1Y1 = 0;

p — lm^Yr, —n, = 0; p=a-b(Yl+Y2).

(8)

2am2-n,(b+ 2тЛ + пЪ „ 2am,-nJb+ 2m,)+n,b „ . л

7+ =-=-^-^—i— >0; Y2 =---—--—— > 0 при выполнении неравенств a -n >0;

4 т^пг + 2b (ml + m2)

4 т^пг +2b(ml + m2)

а -77о>0; 2тДа-п )>Ь{п -п^)', 2т1{а-п^)>Ь{п^-п1). Если точка Курно существует при выполнении

одного неравенства 2т2(а-пг)>Ь(пг-п2). Найдем

%,=%,{}, -р ); X,. =

N 1/(0,-1)

; т, =

КУГ

. дк:

др

= г

(9)

Введем малые отклонения

У,=У,-УГ^ = х, -ХГ',Р = Р- = - а, >

(10)

где (хрх2; У2,р)еМ\

Линеаризуем систему (2.1) в частиМ+ окрестности точки М '(х] ': х, ": 7+*; 7": р ')\

+(а,д. - тг (1 - а,)г ю1-0- х*+г р+(4+<т+ «*) ■ Xх,+т

(П)

^ = Л + V,) - р^.

Задача оптимального управления в линеаризованной модели развивающегося дуопольного рынка. Ограниченные кусочно-непрерывные управления я. в системе (11) выбираем из условия максимума интегрального критерия прибыли, записанного в переменных у р :

71, =-

1 у, + У

1 ](хгп11+г:\2)л.

(12)

Задачу оптимального управления решаем при начальных условиях х .(0)=х.(0)-х.+*; _у.(0) = 7(0)-7+*; р (0)=р(0)-р+* и граничных условиях х/7)=Д(7) = Д(7) = 0. / = 1:2.

Линеаризация уравнений кризисного дуопольного рынка. Обозначим М ~ - часть фазового пространства, системы (7), кризисная область, в которой спрос не превосходит предложение, О. < 1. Выражение прибыли в этой области: к~=У.р{а-р)1Ь{У1 + У^)-тУ^-пУ-ср i =1, 2. Пусть М 'х] ";х, ": 7~*; 7 р ' - точка покоя системы (7), гдер~*=а Ь(У] "+ 7 "). Обозначим лг(71 *; 72 *; р ") = л. Зададим значения \(=\(". О <.у."< 1. например, 5.*=а. Координаты (71 *,70 *) точки Курно кризисного рынка найдем, решив систему

ск"/^ =0; 5тг2/572=0 р = а-Ь(¥1 +72)

^(а - р)¥2/Ь(У1 + 72 )2 - 2/??^ - щ = 0 р{а-р)¥х1Ь{¥1 +72)2 -2й?272 -и2 =0: р = а-Ь(¥г+¥2)

(13)

Вычисления упрощаются, если т^т^т. Тогда 7Х *=7 *+7, * = (а-п1~п^)/(Ь + 2т)>0', 7 * = («7Х *-пУ-*-Ь(У-у-)/(а + 2тУ&*~67/).

Координаты 71 *>0,7о ">0, если а >п} + п.,. так как для положительных значений параметров системы р~*=а-ЬУ8~*>п.<=>2та + Ь{п1+п^)>2тп1+Ьп1. В общем случае для каждого набора параметров имеем не более двух положительных значений равновесного предложения У~* и соответствующих положительных значений 7г*= 7. (а- п-ЬУу ')/(а + 2т У,.ЬУ\."'. Чтобы составить уравнения линейного приближения в окрестности точки покоя М~*, сохраним обозначения малых приращений фазовых переменных (10), заменим символ «+» на «-» и вычислим аналогично (9):

чл-г*4а,у

т.- =

д%,■

<4(1-а,)(хГ)а' др

Y:\a-2p~*) д%: а - р~* ' 37

м

Уу'ь.

а-р~* '

(14)

=((«, - цтгтчсу.-ТЧХ-Т-1 - мдгчхгг')«,*, - (МАТЧ*,-* у-а- -яЛ(х;ЖТ1)У,-

-(аЛ(х;У■ -Т7Х*(1 -о.1))(р-"у1-{а-2р-")Ъ-'р){¥-у + щ\А1«)щ + т7*х7*)СГГЧ; (15)

Я = ((ДГ^^СхГГ'-1 -аД.(хГ)а'-2<)а,(1-а,)х, -((1-а,)Ч,(4ГЧхГ)-а' +Ц,а,)Г'Я "

¿ = / = 1,2.

Задача оптимального управления в линеаризованной модели кризисного дуопольного рынка. Ограниченные кусочно-непрерывные управления V в системе (15) выбираем из условия максимума интегрального критерия прибыли, записанного в переменных уг р.

1 г .

7 +7

(16)

Задачу (15), (16) решаем при начальных условиях х .(0) =х.(0) =хг"; _у.(0) = 7.(0)-7."*,' р(0)=р(0)-р * и граничных условиях х (7') = у (7')=/)(/) = 0. 7 =1,2.

Линеаризация уравнений неравновесной динамики развивающегося дуопольного рынка при наличии кредитования.

В [1,2] рассматривается динамическая модель развивающегося дуопольного рынка, в которой обе фирмы используют кредит. Кредит распределяется между капиталом и трудом в той же пропорции, как и прибыль. Выражение прибыли учитывает издержки по возврату кредита. Динамику развивающегося и кризисного рынков при наличии кредитования опишем системой семи дифференциальных уравнений

х, = • я2, + ф, )4-х,а'7 - (д, ) ;

7 = а,. • к21 + Ф,)4х,а--1 - (д, + Х21)Г,) + ЪХ; г, =8,(г,70-у,Ф,), ;=1,2; р = Ыа-Ъ(¥1+¥2) + Ф1 + Ф2-р),

(17)

которая отличается от системы (7) увеличением количества уравнений и параметров: дополнительно вводятся величины г.; у; Ф =г¥( 1-0(1-£2)), характеризующие использование и возврат кредита. ОбозначимМ+- часть фазового пространства, системы (17), область развития, в которой спрос не меньше предложения: О. > 1. В этой области 9=0; Ф.+=г.7, выражение прибыли: 7Ц+=рУ-т.72-пУ-с -угУ 7 - 1,2. Пусть М "'(х] "'; х,"': 7, 7,+°; гД0; ¿4°; /;"')- точка покоя системы (17) в областиМ+, где р"'=а Ь(У] ,: )+ 7„ ' '): г1+0=го+0=О. Зададим граничные значения 5.=5.+°, 0<5.+о< 1 например, \( '= а. Обозначим л;о.+(71+0; р "': ^+0=л+о- Координаты (7Д0, К,1'') точки Курно развивающегося дуопольного рынка при наличии кредитования совпадают с решением

(У;'. 74*)системы (8)

найдем дк2.

др

5ф:

поэтому р+в= р+*; х+в= хД; л+°= к+*. Обозначим г = г-г+°; О.+0=(а-р+в)/Ь(У+в+ 74°),

= 7+

= -т,7+

. Линеаризуем систему (17) в части окрестности точки ,

используя обозначения малых отклонений (10):

% = ((а, -¡КЧаГГ'Ю^1 -МДГ'Ю^ )аД +(Х0Д4Г1(.<*)1^ +(а,4 -

+ 4Т*4>Г4 +((1-ад;)4(.4*)^ -«'(а/у, -а, -Т,))г,;

р, = (аХ*4(-4*Г2 -од +(а, -цОсСДГ'Ю^ -щвд +(а;4(4*Г1 -

2,=в,(СГ-у,)ТГ2,; / = 1,2; = -«¿(л + +¥;%)+ру

Задача оптимального управления в линеаризованной модели развивающегося дуопольного рынка при наличии кредитования. Ограниченные кусочно-непрерывные управления £ в системе (18) выбираем из условия максимума интегрального критерия прибыли, записанного в переменных у у^, р:

1

У +7

1 О

(19)

Задачу решаем при начальных условиях х .(0)=х.(0)-х1+*; Д(0) = 7(0)- 7+*; р .(0) = р.(0)-/>.+*; 2 (0) = г(0) и граничных условиях х (/') =_?//) = />,(/') =^(7) = 0. / = 1, 2.

Линеаризация уравнений неравновесной динамики кризисного дуопольного рынка при наличии кредитования.

Обозначим М ~ - область фазового пространства системы (17), в которой предложение не меньше спроса: О. <1. В этой области 9 = 1; Фгг.УО = г У (а-р)/Ь(У + У,); выражение прибыли: п~^.=р(а-р) У1Ь{Ух + У,)-тГ—пУ-с-у2Ур / =1,2. Пусть М^Г®; Х^0; 72"°; г2°; р~°) - точка покоя системы (3.1) в области М~, где р~0=а — 6(7 7у0); 2^в = 2^в = 0. Зададим граничные значения я. = 0< 8Г°<1, например, ¿7°= а.. Обозначим л-¿7/°; 7,-°; гг°)= кгв. Координаты (7^°, 72!°) точки Курно кризисного дуопольного рынка при наличии кредитования совпадают с решением (У 7 ) системы (2.7), поэтому р~е=р~*\ хг0=хг*; яг° = яг*. Обозначим г. = г; (а-р~*)/Ь(У1+ У,"*), найдем

57.

- о Г+Г'^.

5л:.

м-о

ф

м-о

¿0Г+О

= 7."*0"° • (20)

м-о

Уравнения линейного приближения в части М окрестности точки покоя М 0 можно записать аналогично (18), заменив выражения Ф.: л„.+ на Ф( =г Ш: лО1г(710, У,0; 0;р&) = %-*\

= ((а,. - 1)л:*Д.(уг*у1(х,:* )а<-1 - (Д. у1 (х,:* у а<) а,*, - (Х0,. (Д. у1 (хг* - ц,Д (х,:* )(7,- у1) V, --(а,Д.(х:*Г -{а-2р-*)Ъ-1р){у-*у1 + л:*(Д(х,:*)а' + т:*хГ*ХГ*УЧ -

-((СГа,у, - 1)Д (хг* У + т:*(1 - а,. )у,х:*СГ + х,:*СГ ;

= ((Д у1 Х0,.1Г (*Г )-"■ -1 - а,Д (хг* У-2ж]- ) а,. (1 - а,. )х,. - ((1 - а,.Я0,.(Д.у1 (хГ* у а< +д,а,)у-'у, ~ (21)

-уг'СагДСх:*)"'-1 Ф^-г/Г^"^)^-1 +<(МДО",~1 - (1 - а,.)тТ*).?,. -

-((СГа,у,. -1)4 (хг* У -1 а,. + тГ* (1 - а,. )2у,1Г* + СГ(1 - а,. ))7,"Ч;

р = -Р(Ь( у, + у2) - + + / = 1,2.

Задача оптимального управления в линеаризованной модели кризисного дуопольного рынка при наличии кредитования. Ограниченные кусочно-непрерывные управления £ выбираем из условия максимума интегрального критерия прибыли, записанного в переменных ух, у2, г р 2 у р \

1г.

Л2 = у-. у-.!^ Л21+Г2

У +У

1 0

(22)

Задачу (21),(22) решаем при начальных условиях .(0)=х.(0)=х. *; У1(0) = У(0) = У *; р(0)=р(0)- р~"; 2 (0)=г(0) и граничных условиях х.(Г) =у(Т) = р^Т)=г{Т) = 0, / = 1,2.

Таким образом, нами рассмотрены задачи линеаризации в трех динамических моделях дуополии. Получены уравнения линейного приближения для равновесного, развивающегося и кризисного рынка. Поставлена задача оптимального управления инвестициями в линейном приближении Каждая последующая модель включает основные элементы предыдущей модели. Поэтому квазиоптимальная траектория решения задачи с кредитованием может быть составлена из трех участков: неравновесное движение с кредитованием к области самофинансирования, движение в области самофинансирования при неравновесной цене к области равновесия и движение к точке Курно в области самофинансирования при равновесии спроса и предложения.

Библиографический список.

1. Аганин, Ю. И. Влияние фондовооруженности на устойчивость движения в динамической модели дуополии // Вестник университета. - 2013. - №. 16. - C. 120-126.

2. Аганин, Ю. И. Оптимальное управление инвестициями в динамических моделях дуополии // Вестник университета. ФГБОУ ВПО «Государственный университет управления». - 2017. - № 7-8. - C. 146-152.

3. Лебедев, В. В. Математическое моделирование нестационарных экономических процессов / В. В. Лебедев, К. В. Лебедев. - М.: ООО «Тест», 2011. - 336 с.

4. Alpha, C. Chiang. Fundamental methods of mathematical economics. 2d ed. - McGraw Hill Book Company, New York, 1974. - 784 p.

5. Shone, R. Economic Dynamics. Phase Diagrams and their Economic Applications. 2d ed. Cambridge University Press 2002. - 708 p.

References

1. Aganin Y. I. Vlijanie fondovoorujennosti na ustoichivost dvijeniya v dinamicheskoi modeli duopolii [Kapital-Labor Ratio and Stability of trajectory in a dynamic models of duopoly] // Vestnik Universiteta [Vestnik universiteta], 2013, I. 16, p. 120-126.

2. Aganin Y. I. Optimalnoe upravlenie investiziyami v dinamicheskih modelyah duopolii [Optimal Control of investments in a dynamic models of duopoly]. Vestnik Universiteta [Vestnik universiteta], 2017, I. 7-8, p. 146-152.

3. Lebedev V V., Lebedev K. V Matematicheskoe modelirovanie nestazionarnih ekonomicheskih prozessov [Mathematikal modeling of non-stationary economic process]. М.: ООО «Test», pp. 2011-336.

4. Alpha C. Chiang. Fundamental methods of mathematical economics. 2d ed. McGraw Hill Book Company, New York, 1974. 784 p.

5. Shone R. Economic Dynamics. Phase Diagrams and their Economic Applications. 2d ed. Cambridge University Press 2002. 708 p.