CC BY
22
АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УПРАВЛЕНИЯ
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ МОНОПОЛИИ1
Аннотация. Рассмотрены задачи максимизации прибыли в трех динамических моделях монополии Сначала строится модель, которая характеризует выпуск продукции, фондовооруженность труда при равновесии спроса и предложения. Затем модель усложняется: движение товара на рынке происходит при неравновесной цене, и, наконец, ставится задача оптимального использования кредита.
Ключевые слова: монополия, спрос, цена, кредит, фондовооруженность, рабочая сила, оптимальное управление.
OPTIMAL CONTROL IN A DYNAMIC MODELS OF MONOPOLY
Annotation. The article studies profit maximization in three dynamic models of monopoly. The first one describes the dynamics of production and capital-labor ratio with equilibrium price, the second - the same amounts with non-equilibrium price and finally the third one analyzes the external financing of capital expenditures and working capital.
Keywords: monopoly, demand, price, external financing, capital-labor ratio, labor, optimal control.
Рассматриваются модели монополии, в которых выпуск задан производственной функцией Кобба-Дугласа [4; 6; 12; 13; 14]. Прибыль распределяется в каждый момент времени между трудом и капиталом в пропорции, величина которой - свободный параметр (управление). Динамика фондовооруженности описывается дифференциальным уравнением, аналогичным уравнению Солоу [13; 14]. В уравнении динамики затрат труда учитываются уменьшение производительности труда при увеличении числа занятых и стимулирование труда, приводящее к увеличению человеческого капитала [13]. Поставлена задача максимизации прибыли. Используется методика, предложенная В.В. Лебедевым [7; 8; 9].
1. Оптимальное управление в равновесной модели монополии. Предполагается:
1) Потребитель заказывает в момент времени t календарного периода 0 < t < T продукцию фирмы в количестве Y = Y (t) единиц, а производственные мощности фирмы обеспечивают выполнение заказа в каждый момент времени.
2) Функция полных издержек C фирмы задается равенством C = mY2 + nY + c с положительными коэффициентами (параметрами) m, n, c .
3) Объем производимой продукции описывается производственной функцией Кобба - Дугласа Y = AKаL а, 0 < а < 1, где K = K(t) - затраты капитала; L = L(t) - затраты труда; A - положительный параметр; а- эластичность выпуска по капиталу. Обозначим x = K/L фондовооруженность труда. Тогда L = Y/Axa и Y = Axa-1 K .
4) Функция прибыли фирмы выражается равенством: n(Y) = pY — C, где равновесная цена р определяется равенством p = a — bY с положительными параметрами a, b . Следовательно, n(Y) = —(b + m)Y2 + (a — n)Y — c .
© Аганин Ю.И., 2016
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №1606-00280).
УДК 330.4 (075) Ю.И. Аганин
Yuri Aganin
5) Прибыль используется для капитальных вложений (инвестиций) в производство I(У) = sп(Y) и для стимулирования труда 5(У) = (1 - 5)п(У); 0 < 5 < 1, где 5 — свободный параметр (управление).
6) Динамика затрат труда задается дифференциальным уравнением Ь = (т(1 — 5)п(У) — Ь)Ь, где точка над символом переменой означает производную по времени;
> 0 - параметр , отражающий уменьшение производительности труда при увеличении числа занятых , т>0 -коэффициент стимулирования труда. Обозначим Х1(х, У, 5) = т(1 — 5)п(У) — Х0 У / Аха .
7) Динамика основных производственных фондов (капитала К) задается дифференциальным уравнением к=I—к где ц — коэффициент амортизации.
8) Динамика фондовооруженности х = К/Ь описывается уравнением [3; 8]
х = К/Ь — КЬ/Ь2 ^ х = 5П(У)Ах°/У — (ц + ^(х,У,5))х . (1.1)
9) Динамика выпуска продукции фирмы описывается уравнением, которое следует из предположений 2) - 7). Подставляя в равенство У = АаКаЛ1}~аК + А(1 — а)КаПаЬ выражения х = К/Ь; К = I — цК; Ь = х,У,5)Ь ; АКа1]-а = У;АхаЬ = У;Аха-1К = У , получим
У = оАхаЛл(У) + ((1 — а)(Хх (х, У, 5) — ац) У. (1.2)
10) Ограниченное кусочно-непрерывное управление 5 = 5 (х, У), выбирается из условия максимума интегральной прибыли п 1 :
Т
п1 =| п(У (t))dt . (1.3)
0
Управление динамикой выпуска сводится к решению задачи оптимального управления в нелинейной системе
х = хУ— (5п(У)Аха-1 — (ц + ^(х, У, 5)) У),
• / 1 , ч \ (1.4)
У = а (5п(У) Ах*'1 — (ц + \(х, У, 5)) У) + ^ (х, У, 5)У
с критерием (1.3). Система решается при положительных начальных условиях х(0) = х0, У (0) = У0. Граничное значение управления 5(Т) = а. Граничные значения фондовооруженности х(Т) = х1, выпуска У (Т ) = могут быть выбраны как координаты устойчивой точки покоя (положения равновесия) системы (1.4): эти величины удовлетворяют условиям: Х1( х1, У15а) = 0, х1 = аА,0/цт(1 — а). В частности, если выбраны значения параметров
А = 1; т = 0,5; п = 10; с = 5000; а = 210; Ь = 0,5;ц = 0,1;а = 0,6;Х0 = 10;т = 0,96225-10—4, (1.5) то координаты устойчивой точки покоя х1 = 1,5588 -106; У1 = 100. Граничное значение функции прибыли п(100) = птах = 5000 . Выпуск У1 (Т) = 100 обеспечивает максимум плотности потока прибыли в точке покоя.
2. Оптимальное управление в неравновесной модели монополии. Рассмотрим модель, которая учитывает возможные отклонения предложения от спроса. Сохраняем все допущения предыдущей модели, кроме первого и четвертого. Предполагается, что в каждый момент времени товар в количестве У продается по цене р ^) , динамика изменения которой описывается дифференциальным уравнениемр = в(а — р — ЬУ), где вЬ - коэффициент адаптации цены, и р(0) = р0 . Это
уравнение дополняет систему (1.4), описывающую предыдущий вариант модели, в которой не рассматривались отклонения цены от ее равновесного значения. Функцию прибыли удобно записать, используя величину 9, которая принимает значения 0 или 1 в зависимости от соотношения спроса (а - р)/Ь > 0 и предложения У > 0: 9=0, если (а - р)/Ь > У; 9 = 1, если (а - р)/Ь < У. Прибыль -непрерывная функция аргументов У, р:
п(У,р) = рУ (1 - 9(1 - Р)) - тУ2 - пУ - с ( 2.1)
ЬУ
Выражение функции прибыли в новой модели подставим в уравнения диамики капитала К = sк(У, р) - цК и затрат труда Ь = (т(1 - 5 )п (У, р ) - У ¡А ха) УIАха . Обозначим
Х2(х,У,р, 5) = т (1 - 5)п(У, р) - Х0У/Аха В полученной системе
X = хУ- (от(У,р)Аха-1 -(ц + Х2(х,У,р,5))У)
< У = а(от(У,р)АхаЛ-(ц + Х2(х,У,р,5))У) + Х2(х,У,р,5)У (2.2)
р = Р(а - ЬУ - р)
ограниченное кусочно-непрерывное управлние 5 (х, У, р) выбирается из условия максимума интегральной прибыли п 2 :
п2 =| п(У (г), р(г))dt. (2.3)
Задача оптимального управления решается с положительными начальными условиями х(0) = х0, у(0) = у0,р(0) = р0. Граничные значения: фондовооруженности х(Т) = х1 ;выпуска У (Т) = У1 ; цены р(Т) = а - ЬУ1 = р1 могут быть выбраны как координаты устойчивой точки покоя системы (2.2). Эти величины удовлетворяют условиям: 5(Т) = а; Х2(х1, У1, р1,а) = 0, х1 =(аА,0/цт(1 - а). Отметим, что пары (х1; для систем (2.2) и (1.4) одинаковые. В частости, если выбраны значения параметров (1.5), то граничное значение выпуска У1(Т) = 100 обеспечивает условный максимум плотности потока прибыли при условии р = а - ЬУ.
3. Оптимальное использование кредита в неравновесной модели монополии. Рассмотрим динамическую модель монополии, в которой развитие производства связано с необходимостью
Т
привлечения кредита X (Т) = | z(т) У (т)с1т, где сумма кредита равна X (Т), интенсивность использова-
0
ния кредита равна z(t)У(г) . Сохраняем все предположения предыдущей модели, дополнив новыми допущениями, отражающими использование и погашение кредита. В новой модели функция полных издержек задана выражением С = тУ2 + пУ + с + у гУ , где параметр у учитывает погашение кредита у X (Т ); у > 1; (у -1) -100% - банковский процент. Финансовый поток zУ = szУ + (1 - 5)zУ распределяется между капиталом szУ и трудом (1-5)гУ в той же пропорции, как и прибыль. Предполагается, что рост рабочей силы зависит не только от величины выпуска, но и от доли кредита, используемой для стимулирования труда. Использование кредита учитывается в уравнении динамики затрат труда Ь = Х3(х,У ,р, г, 5) - Ь , где
Х3(х,У,р, г, 5) = т (1 — 5)(п(У, р, г) + zY) — У/Аха . Соответственно изменяются: функция прибыли п(У,р,г) = п(У,р) — угУ; инвестиции I = 5п(У, р, г) + . Уравнение динамики цены р = в(а — (Ь — г)У — р) учитывает распределение кредита )У^) : цена растет при увеличении использования кредита, обусловленного увеличением спроса. Интенсивность ) использования кредита задается дифференциальным уравнением г = ег (d — у У) , где 8 > 0 - константа, d - прогнозируемая средняя величина спроса [1; 2]. В задаче оптимального управления системой
х = хУ—1 ((5п(У, р, г) + огУ) Аха-1 — ( ц + Х3 (х, У, р, г, 5)) У )
( У = а ((5п(У, р, г) + огУ)Аха-1 — (ц + х, У, р, г, 5)) У ) + (х, У, р, г, 5)У (31)
г = ег (d — уУ) р = в (а — (Ь — г)У — р)
кусочно-непрерывное управление 5 ( х, У, р, г) выбирается из условия максимума интегральной прибыли
Т
п3 = |п(У(0, р(г), г(*))Л . (3.2)
0
Динамическая система (3.1) отличается от системы (2.1) тем, что вводятся величины г; у, характеризующие распределение и возврат кредита. Задача оптимального управления решается с положительными начальными условиями х(0) = х0, У(0)=У0, р(0) = р0, г(0) = г0 . Граничные значения: фондовооруженности х(Т) = х1, выпуска У (Т) = , цены р (Т) = а — ЬУ1 = р1, г(Т) = 0 могут быть выбраны как координаты точки покоя системы (3.1). Эти величины удовлетворяют условиям: 5 (Т) = а; Х3( х1з , р1з0,а) = 0, х1 = аА,0/цт(1 — а). Отметим, что пары величин х1; У1 для систем (2.1) , (1.4) и (3.1) одинаковые. Если выбраны значения параметров (1.5), то граничное значение выпуска У =100 обеспечивает условный максимум птах = 5000 плотности потока прибыли при
условии г = 0 и р = а — ЬУ в точке покоя М1(х1; У1; р1; г1) системы (3.1), где
х1 = 1,5588 -106; Ух = 100 рх = 160; г1 = 0 . В окрестности точки М1 переход к самофинансированию - устойчивое движение, если прогнозируемая средняя величина спроса меньше скорректированного граничного значения выпуска d < у^.. Распределение г(t) кредита во времени можно рассматривать как управляющий параметр, ограниченый суммарной величиной кредита. В этом случае систему (3.1) записываем без последнего уравнения г = е г (d — у У )и решаем оптимизационную задачу с двумя ограниченными управлениями 5 (х, У, р); г(х, У , р).
В заключение следует отметить, что кроме максимума прибыли возможны другие критерии оптимальности: минимум полных издержек при равновесии спроса и предложения, минимум времени перехода к равновесию спроса и предложения в неравновесной модели, минимум внешних заимствований 2(Т), необходимых для достижения равновесия спроса и предложения при высоком уровне спроса. Могут быть использованы линейные комбинации названных критериев. Представляет интерес многокритериальная задача оптимального управления с указанными критериями.
Рассмотренные выше модели существенно нелинейные. Линеаризация может использоваться для формирования приближенных решений задач оптимального управления нелинейными системами (1.4), (2.2), (3.1). Одна из возможных квазиоптимальных стратегий состоит в минимизации времени достижения максимального значения плотности потока прибыли и стабилизации этого состояния за
счет надлежащего выбора управляющих воздействий. Если в устойчивом равновесном состоянии достигается максимум потока прибыли, то одна часть этого потока нейтрализует выбытие основных фондов, другая - выбытие «человеческого капитала». Относительная величина инвестиционных потоков принимает постоянное значение от момента достижения состояния равновесия до конца календарного периода. В приведенном примере указанное отношение s/(1 - 5) = 1,5. Для значений параметров равновесной модели (1.5) матрица линеаризованной системы имеет отрицательные собственные значения, поэтому квазиоптимальное управление релейное, число переключений не больше двух [5; 6; 10; 11].
Библиографический список.
1. Аганин, Ю. И. Устойчивость движения в динамической модели монополии / Ю. И. Аганин // Девятые Курдюмовские чтения: «Синергетика в общественных и естественных науках» : материалы международной междисциплинарной научной конференции с элементами научной школы для молодежи. 17-21 апреля 2013 г. - Тверь, 2013. - С. 240-243.
2. Аганин, Ю. И. Кредит и цена в динамической модели дуополии / Ю. И. Аганин // Восьмые Курдюмовские чтения: «Синергетика в естественных науках» : материалы международной междисциплинарной научной конференции с элементами научной школы для молодежи. 18-22 апреля 2012 г. - Тверь, 2012. - С. 201204.
3. Аганин, Ю. И. Влияние фондовооруженности на устойчивость движения в динамической модели дуополии / Ю. И. Аганин // Вестник университета. - 2013. - № 16. - С.120-126.
4. Антипов, Д. В. Оптимальное управление инвестициями. / Д. В. Антипов // Моделирование и прогнозирование социально-экономических процессов : сб. статей / Под ред. В. Н. Сидоренко. - М., 2002. - С. 47-61.
5. Атанс, М. Оптимальное управление / М. Атанс, П. Фалб. - М.,1968. - 764 с.
6. Лагоша, Б. А. Оптимальное управление в экономике: теория и приложения : учеб. пособие / Б. А. Лагоша, Т. Г. Апалькова. - М. : Финансы и статистика, 2008. -224 с.
7. Лебедев, В. В. Динамическая модель возникновения монопольного рынка новой продукции и его трансформации в дуопольный / В. В. Лебедев, К. В. Лебедев // Математическое и компьютерное моделирование социально-экономических процессов : сб. статей / Под ред. Ю. Н. Гаврильца. - М. : ЦЭМИ РАН, 2012. -Вып. 5. - С. 81-92.
8. Лебедев, В. В. Математическое моделирование нестационарных экономических процессов / В. В. Лебедев, К. В. Лебедев. - М. : Тест, 2011. - 336 с.
9. Лебедев, В. В. Математическое и компьютерное моделирование экономики / В. В. Лебедев, К. В. Лебедев. - М. : НВТ-Дизайн, 2002. - 256 с.
10. Тарасьев, А. М. Влияние параметров производственных функций на равновесное решение и функцию цены задачи оптимального управления / А. М. Тарасьев, А. А. Усова // МТИП. - 2011. - С. 85-115.
11. Янг, Л. Лекции по вариационному исчислнию и теории оптимального управления / Л. Янг. - М., 1974. -488 с.
12. Fundamental methods of mathematical economics / Alpha C. Chiang. - 2d ed. - New York, 1974. - p.784.
13. Lucas, R. E. On the Mechanics of Economic Development / R. E. Lucas // Journal of Monetary Economics, 1988. - Vol. 22. - № 1. - P. 3-42.
14. Shone, R. Economic Dynamics. Phase Diagrams and their Economic Applications / R. Shone. - 2d ed. - Cambridge University Press, 2002. - 708 p.
