CC BY
0
ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ. ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
Влияние эффектов размерного квантования на эффективную массу основных носителей заряда в светодиодных гетероструктурах со множественными
квантовыми ямами InжGa1_жN/GaN
Е.Р. Бурмистров,1, * Л.П. Авакянц1, ^
1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет
Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 (Поступила в редакцию 07.04.2024; после доработки 18.04.2024; подписана в печать 24.04.2024)
Путем численного самосогласованного решения системы уравнений Шредингера и электронейтральности Пуассона рассчитаны зонные диаграммы светодиодных гетероструктур со множественными квантовыми ямами 1пжОа1_жМ/Оа№. Изучено влияние электрон-фононного взаимодействия, непараболичности закона дисперсии и гибридизации волновой функции на значения эффективной массы основных носителей заряда в квантовых ямах Ы^Оа^^/Оа^ Длинноволновое смещение 2Д-плазмонных резонансов связывается с температурной перенормировкой эффективной массы двумерных носителей. Для описания температурной зависимости эффективной массы вводится функция смещения 2Д-плазмонной резонансной частоты.
PACS: 78.47.+р, 71.22+ 72.90.+у УДК: 538.9
Ключевые слова: гетероструктуры, эффективная масса, закон дисперсии, температурная перенормировка, длинноволновое смещение.
БОТ: 10.55959/MSU0579-9392.79.2440401
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время интенсивно изучается плаз-монное детектирование терагерцевого излучения 1012 Гц) в низкоразмерных электронных системах [1, 2]. Поскольку длина волны двумерного (2Д)-плазмона на три порядка меньше, чем длина волны терагерцевого излучения, необходимо использовать структуру, связывающую электрическое поле терагерцевого излучения с электрическим полем 2Д-плазмона. В работе [3] в качестве такой структуры используется решетчатый затвор, выращенный на поверхности гетеро-структуры AlGaN/GaN методом электронно-лучевой литографии. Генерация плазмонных осцилля-ций осуществляется под действием падающего на гетероструктуру AlGaN/GaN терагерцевого излучения. Электрическое поле плазмона локализуется под металлическими полосами решетчатого затвора, а сам плазмон возбуждается в режиме «сильной связи» [3].
Гетероструктуры AlGaN/GaN с решетчатым затвором демонстрируют резонансное поведение под действием падающего терагерцевого излучения, связанное с возбуждением в активной области поверхностных плазмонных волн. Авторами работы [4] установлено, что с ростом температуры эффективная масса основных носителей заряда в КЯ AlGaN/GaN увеличивается от значения 0.22то при Т = 80 К до 0.34т0 при Т = 280 К.
* Е-таП: [email protected]
1 Е-таП: [email protected]
В работе [4] гетероструктуры со множественными квантовыми ямами (МКЯ) InжGal_жN/GaN используются в качестве источников терагерцево-го излучения. Показано, что гетероструктуры со МКЯ InжGa1_жN/GaN преобразуют фемтосекунд-ные лазерные ИК-импульсы в терагерцевые электромагнитные волны.
Циклотронный резонанс является одним из немногих прямых методов определения эффективной массы основных носителей зарядов в твердых телах [5, 6]. В гетероструктурах с МКЯ InжGal_жN/GaN ее значение зависит от мольной доли !п (х1П) в материале InжGa1_жN. Параметр хх1п неодинаков для разных производителей образцов, а между тем именно мольная доля !п определяет как ширину запрещенной зоны КЯ, так и эффективную массу носителей заряда в ней. При мольной доле !п равной 10% эффективная масса носителей заряда в КЯ InжGa1_жN/GaN составляет 0.22то [7, 8].
При взаимодействии ближнего ИК-излучения (800 нм) с гетероструктурами InGaN/AlGaN/GaN движение носителей заряда в КЯ характеризуется большой эффективной массой [4]. При температуре, равной 90 К, ее среднее значение составляет 0.42то. Такой результат может быть обусловлен электрон-фононным рассеянием, неоднородным распределением концентрации !п в слое InжGal_жN или эффектами поляризации на гетерогранице.
Температурная перенормировка эффективной массы в гетероструктурах InGaN/AlGaN/GaN в полной мере не изучена на сегодняшний день. Данный эффект нельзя объяснить переходом от примесной к собственной проводимости, в результа-
те которого увеличивается концентрация основных носителей заряда в КЯ. Измерения показали, что в гетероструктурах со МКЯ ¡п^Са^^/СаМ значение холловской концентрации в диапазоне температур от 90 до 170 К остается постоянным [4].
Основной целью данной работы является изучение влияния электрон-фононного взаимодействия, гибридизации волновой функции и непараболично-сти закона дисперсии на эффективную массу основных носителей заряда в гетероструктурах со МКЯ
1. МЕХАНИЗМ ГЕНЕРАЦИИ ТЕРАГЕРЦЕВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Настоящая работа основана на результатах ранее проведенных исследований по взаимодействию ближнего ИК-излучения с гетероструктура-ми 1пСаМ/Л1СаМ/СаМ [4]. В работе [4] в качестве источника излучения применяется Ихапфировый лазер, настроенный на длину волны 800 нм, со средней выходной мощностью 57 мВт и с частотой следования импульсов 60 МГц. Гетероструктуры со МКЯ 1пжСа1_жМ/СаМ используются для преобразования фемтосекундных лазерных импульсов в те-рагерцевые электромагнитные волны. Мощность терагерцевого излучения в случае гетероструктур с тремя и пятью КЯ 1пжСа1_жМ/СаМ составила 3 мкВт и 8 мкВт.
Механизм генерации терагерцевого излучения заключается в следующем. Поскольку Ихапфировый лазер настроен на длину волны 800 нм, используемый квант света имеет энергию 1.55 эВ. Ширина запрещенной зоны в области КЯ 1пжСа1_жМ равна 2.6 эВ. В результате двухфотонного поглощения лазерных импульсов длительностью 130 фс в КЯ возникают пространственно разделенные электроны и дырки. Под действием встроенного электрического поля электрон-дырочная пара становится поляризованной [4]. Это ведет к генерации переменного во времени дипольного момента Р^) в системе, который, в свою очередь, приводит к излучению терагерцевых электромагнитных волн [4].
Полярность генерируемых диполей противоположна полярности встроенного в гетерострукту-рах 1пСаМ/Л1СаМ/СаМ электрического поля. Электромагнитное терагерцевое излучение возникает в результате сверхбыстрой динамики электрической поляризации, в ходе которой фотовозбужденные электрон-дырочные пары частично экранируют встроенное электрическое поле. Полное его экранирование приводит к уменьшению механических тангенциальных напряжений между слоями 1пжСа1_жМ и СаМ. Это, в свою очередь, ведет к выравниванию потенциального рельефа активной области (состояние плоских зон). Данный процесс можно рассматривать как «обратный» пьезоэлектрический эффект. Уменьшение напряженности встроенного электрического поля сопровожда-
ется снижением деформации кристаллической решетки. С ростом температуры эффективная масса основных носителей заряда в гетероструктурах со МКЯ In^Gai-^N/GaN увеличивается от значения 0.42ш0 при T = 90 К до 0.56ш0 при T = 170 К.
2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 2.1. Эффект гибридизации волновой функции
Ширина запрещённой зоны нелегированного нитрида галлия СаМ при комнатной температуре составляет Е^аИ = 3.4 эВ [9, 10]. Ширина запрещённой зоны тройного соединения 1пжСа1_жМ зависит от значения параметра х^п и может быть рассчитана по следующей эмпирической формуле [9, 10]: Е1дПх°а1-хК = 0.675х1п + 3.44(1 - х1п) — -1.3(1 — х/„)х/„. В исследованных гетероструктурах содержание 1п составляет хх1п = 23%. Поэтому ширина запрещенной зоны в области КЯ равна Е1дПх°а1-хМ = 2.6 эВ.
В серийном производстве готовых светодиодных устройств на основе МКЯ 1пжСа1_жМ/СаМ используется рост вдоль полярного направления [0001] гексагонального СаМ. В результате пьезоэлектрической и спонтанной поляризаций на гетерогранице формируются встроенные электрические поля с напряженностью порядка единиц МВ/см. Величину пьезоэлектрической поляризации, вызванной рассогласованием постоянных кристаллических решеток 1пжСа1_жМ и СаМ, можно оценить по следующей формуле:
р pz Inx Gai-xN
2фз1 - e33(Cii/C33)),
где
lN - xInaInN - (1 - xIn)ac xInaInN + (1 - xin)aGaN
(1)
(2)
Формулы (1) и (2) содержат компоненты пьезоэлектрического тензора в33, ез1, константы упругой деформации Сц, С33 и постоянные кристаллических решеток СаМ и 1п№
Для учета влияния встроенных пьезоэлектрических полей на форму волновых функций и положение энергетических уровней в КЯ в настоящей работе производилось численное самосогласованное решение системы уравнений Пуассона для электростатического потенциала ц>(г) и Шредингера в приближении эффективной массы в форме БенДани-эла-Дюка [11]:
£0
d dx
£(z)
dy>(z)
dz
, ч . dPInxOa1-xN(z)
+-t:-. (3)
h2 d,
1 d
m*(z) dz
dz
- ey>(z)^i(z)+
AEa (z)^(z) = E^i(z), (4)
a
£
где е(г) — зависящая от координаты диэлектрическая проницаемость, р(г) — распределение электронной плотности в плоскости КЯ, т*(г) — эффективная масса основных носителей заряда, Ег — энергия г-го энергетического уровня с волновой функцией фг (г) в КЯ, АЕс (г) — разрыв зоны проводимости на гетерогранице.
Волновые функции фг(г)в уравнении (4) удовлетворяют граничным условиям:
\фGaN (г = 0 —) = ф1пОам(г = 0+),
I фInGaN (г = Ьа—) = фGaN (г = Ьа + ),
dj>GaN(~)
z=0-
,(z)
dj>I„GaN(~)
i(z)
dlfilnGaN (~)
dz
dz
d'tpGaNjz)
z = La
mh„ at(z
(z) dz
и условию нормировки
r La
\фг(г)\ dz = 1,
z=0+ z=La+
(5)
(6)
0
где Ьа — ширина КЯ.
В процессе решения уравнения Пуассона (3) использовались следующие граничные условия для электростатического потенциала р(г):
р(0) = La ) = фЪ,
d'-PGaN(z)
bGaN-gZ-
= 0-
d'-Pl„GaN(z)
— tInGaN-gZ-
d'-Pl„GaN{z)
ь InGaN-gZ-
z=La
£QaN
dipGaN(z)
dz
=0+
z = La +
(7)
где ръ — встроенный электростатический потенциал на гетерогранице, £GaN ,£InGaN — диэлектрические проницаемости области барьера и КЯ. Концентрация основных носителей заряда в КЯ р(г) рассчитывалась через локальную плотность состояний
т*(г)квТ^1,1| ,ЕР — < \|2
=-^-^1п(1 + ехр( )) ,
г
(8)
где кв — постоянная Больцмана, Т — температура, Ер — квазиуровень Ферми. В формуле (8) суммирование проводится по всем подзонам размерного квантования в КЯ.
Система уравнений (3)—(4) не решается аналитически. Для ее решения использовался блочно-итера-ционный алгоритм, включающий в себя самосогласованное решение двух дифференциальных уравнений (3) и (4). С его помощью удалось определить потенциальный рельеф одиночной КЯ, форму волновых функций и положение энергетических уровней с учетом влияния встроенных пьезоэлектрических полей. Уравнение Шредингера решалось методом «81ер-Ьу-81ер» [12, 13]. Для решения уравнения Пуассона использовался метод Ньютона [14]. Процесс нахождения самосогласованного решения методом итераций состоял из пяти этапов:
1. Выбор начального приближения для р(г).
2. Решение уравнения Шредингера.
3. Расчет концентрации носителей заряда p(z).
4. Решение уравнения Пуассона. Получение потенциала для следующей итерации решения уравнения Шредингера.
5. Проверка критерия сходимости.
Алгоритм, в состав которого входит итерационный цикл, был написан в интегрированной среде разработки PyCharm на языке Python 3.12.0. Окончание итерационного цикла выполнялось при условии достижения максимальной поправки к электростатическому потенциалуу>^), не превышающей 10-6 В.
Активная область исследуемых гетероструктур состоит из нескольких периодов In^Gai-^N/GaN. При толщине барьеров более 35A размытие кван-тово-размерных энергетических уровней в КЯ составляет менее 1.5 мэВ. Встроенные электрические поля приводят к искривлению потенциального рельефа одиночной КЯ. Методом фототоковой спектроскопии (PSC) установлено, что в гетерострукту-рах со МКЯ InKGa1-KN/GaN напряженность встроенных электрических полей достигает 3 МВ/см [4]. Все это позволило в качестве начального приближения для самосогласованного расчета использовать результаты (энергии и волновые функции), полученные аналитически для одиночной треугольной КЯ.
При переходе через гетерограницу значения эффективной массы, диэлектрической проницаемости и электростатического потенциала домножались на сглаживающую функцию. Это было сделано для обеспечения соответствия используемой модели физическим процессам в исследуемых гетерострукту-рах. Математически резкий переход не представляет физического интереса. Вычисления были проведены для концентрации основных носителей заряда N2DEG = 2.2 х 1012 см-2 при T = 300 К.
Влияние эффекта гибридизации на эффективную массу основных носителей зарядав КЯ можно оценить, рассчитав приведенную эффективную массу, которая выражается через эффективные массы основных носителей заряда в КЯ и в барьере GaN [15]:
1
m■ m
--[1 - PaaN(Ei)] + -J—PGaN(Ei),
InGaN
mGaN
(9)
где
PGaN = dx \фGaN (x
J-Lb
La
PlnGaN = dx \фInGaN \ .
0
Pgen = PGaN / (PGaN + PlnGaN ).
2
2
(10)
PGaN(Е1), PInGaN (Е1) — вероятность обнаружения основных носителей заряда на возбужденном энергетическом уровне в области барьера и КЯ.
1
1
m
m
1
1
m
z
Для расчета вероятностей использовались волновые функции в приближении треугольной КЯ:
фаам(г) = С ежр(кааКг), х< 0, ■фтиОаМ(г) = (г + а)С2 ехр(-Ьг/2), х > 0
(11)
с граничными условиями (5) и условием нормиров-
2 ГЬа 2
/ \ФоаИ (г)\ ¿г + \ф1иОаИ (г)\ ¿г = 1, (12)
где 'фоаИ(г), гф1иОаи(г) — волновые функции основных носителей заряда в области барьера и КЯ, Ьа, Ьь — ширина 1п,( !н , \ и СаМ,С1, Со, а — константы, коаМ = \/о/Ь2,ио — высота потенциального барьера. Значения Щ, т*0аИ, т*1пааМ подбирались с целью соответствия фааии фтпаам с формой волновых функций, полученных в результате самосогласованного решения системы уравнений Шредингера и Пуассона.
С использованием условия нормировки (12) были определены следующие выражения для констант:
а = 1/(кааи + Ь), С = аС2, Со = лЛ/(а2АоаЛГ + 2/Ь3 + 2а/Ь2 + а2/Ъ), Ь = (33пш*1паам^2пва/2£о )1/3(е/Н)2/3,
(13)
которые вместе с волновыми функциями (11) использовались для вычислений вероятностей (10).
3. ЭФФЕКТ НЕПАРАБОЛИЧНОСТИ ЗОНЫ ПРОВОДИМОСТИ
проводились ранее, например, в работе [18]. В гете-роструктурах 1пСаМ/Л1СаМ/СаМ связь между основными носителями в КЯ и продольными оптическими ^0)-фононами в барьере СаМ носит дально-действующий характер, так как осуществляется посредством электрического поля поляризационной волны [19].
Интенсивность электрон-фононного взаимодействия зависит от диэлектрического окружения и концентрации 2ДЭГ, а также от толщины КЯ. В гетероструктурах 1пСаМ/Л1СаМ/СаМ взаимодействие между основными носителями и LO-фонона-ми характеризуется значением константы Фрёлиха а = 0.49, что говорит о промежуточном характере связи [20].
При взаимодействии носителей заряда с интерфейсными LO-фононами дискретные энергетические уровни в КЯ могут смещаться, что, в свою очередь, сопровождается увеличением эффективной массы
где
2 п
тр = ш*р (1 + па.1/8).
Г°° д3(8/?3 + 9/?2Д + 3/?Д2)
10 (1 + я2)3(. + 7)(. + /?)3
7 = дтр/до, в = Ь/до.
¿г,
(15)
(16)
Формулы (15)—(16) содержат волновой вектор в модели экранирования Томаса-Ферми дтг = тр е2/еоЬ2 и волновой вектор ЬО-фонона до = \] 2т*0а1<!шьо / с частотой шЬо = 732.4 см-1 [16, 21].
ки
В квантово-размерных структурах на основе МКЯ 1пжСа1-жМ/СаМ встроенные электрические поля могут влиять на параболичность закона дисперсии носителей заряда в зоне проводимости Ее.
Т. Хиросима и Р. Ланг предположили, что непа-раболичность закона дисперсии основных носителей заряда в зоне проводимости приводит к увеличению их эффективной массы [16]. Оценить величину данного эффекта можно в рамках двухзонной модели Кейна [17]:
= <\/(1 + Ч(Ек) + ЕрУЕ^-^), (14)
где тр и т* — значения эффективной массы квазиуровня Ферми и основного энергетического уровня, {Ей) = Ео/3 — средняя кинетическая энергия двумерного электронного газа (2ДЭГ) в модели треугольной КЯ.
4. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Исследования электрон-фононного взаимодействия в гетероструктурах со МКЯ 1пжСа1-жМ/СаМ
5. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ПО ДАННЫМ ТЫ2-ТБ8
Из закона дисперсии стробируемых 2Д-плазмо-нов следует, что квадрат частоты плазмонного резонанса обратно пропорционально зависит от эффективной массы носителей заряда [4]. Так как эффективная масса является функцией температуры, то квадрат частоты 2Д-плазмонного резонанса также зависит от температуры:
А
где А — нормировочная постоянная.
При взаимодействии ближнего ИК-излучения с гетероструктурами 1пСаМ/Л1СаМ/СаМ частоты 2Д-плазмонных резонансов испытывают длинноволновое смещение в диапазоне температур от 90 до 170К [4]. Поэтому в качестве нормировочной константы А в выражении (17) следует брать значение квадрата частоты 2Д-плазмонного резонанса при пороговой температуре Т = 90 К:
т* (Т) = 11п(90К )/!1п(Т) = Е(Т). (18)
Таким образом, в формуле (18) мы осуществили переход от абсолютных значений квадратов резонансных частот /? п к их относительным величинам. Определим функцию смещения 2Д-плазмон-ной резонансной частоты:
Чт)
/?,п(90К )//2„(Т).
(19)
С ее помощью можно исследовать температурную зависимость эффективной массы основных носителей заряда в гетероструктурах со МКЯ 1пжСа1_жМ/СаМ.
В настоящей работе для моделирования функции температурного сдвига 2Д-плазмонных резонансов используется следующее выражение:
т
,(Т) = 1 + аехр( —)",
(20)
где а и в — неизвестные постоянные. Для определения их значений прологарифмируем обе части выражения (20):
1п(£ - 1) = 1п а + (Т/90К)в.
(21)
Вводя обозначение 1п а = С, получим, что 1п(2 — 1) является степенной функцией нормированной температуры Т/90 К с постоянными коэффициентами С и в:
1п(£ — 1) = С + (Т/90К )в.
(22)
Таким образом, решая систему линейных уравнений (22), можно определить значения неизвестных а и в.
В настоящей работе функция (20)
т*(Т)/т0 = 1 + аехР(^)'3
(23)
используется для описания температурной зависимости эффективной массы носителей заряда в гете-роструктурах с МКЯ ¡п^Са^^/Са^
6. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
В качестве исходных параметров в процессе самосогласованного решения системы дифференциальных уравнений (3-4) использовались данные, значения которых представлены в табл. 1.
Характерной особенностью гетероструктур со МКЯ 1пжСа;[_жМ/СаМ являются малые значения спонтанной поляризации Р^Пр N в слое 1пжСа1_жМ (табл. 1). Следовательно, основное влияние на динамику носителей заряда в КЯ оказывают встроенные пьезоэлектрические поля.
На рис. 1, а,б представлены энергетические диаграммы одиночной КЯ 1пжСа1_жМ/СаМ шириной 2.5 и 3 нм, полученные на основании самосогласованного решения системы уравнений Шрединге-ра (3) и электронейтральности Пуассона (4). На рис. 1, в,г,д,е показаны формы волновых функций
Таблица 1. Параметры гетероструктур со МКЯ Тп^Оах-^ N/GaN
Х1„ 0.23
ц>ъ, эВ 1.3
2.6
эВ 3.4
£СаЛг 9.5
е/п.СаЛг 12.2
„СаЛГ тт,, а , нм 0.31
а1пСаМ, нм 0.33
КЛ/М2 -0.029 х 1(П6
-Р/Хса^ЛМ Кл/М2 -0.032 х 10"6
Кл/м2 0.092 х 10~6
носителей заряда на основном Ео и возбужденном Е1 энергетических уровнях.
Решение уравнения Шредингера показало, что в КЯ заселены только два энергетических уровня со значениями энергий Е0 = 2.7 эВ и Е1 =3.4 эВ (рис. 1, а), а также Е0 = 2.4эВ и Е1 = 3.1 эВ (рис. 1, б). Энергетические уровни расположены ниже квазиуровня Ферми, величина которого составляет 3.4 эВ (рис. 1, а, б).
Численное решение уравнения Пуассона позволило установить отклонение электростатического потенциала от прямоугольной формы вследствие воздействия встроенных пьезоэлектрических полей. Потенциальный профиль одиночной КЯ приближен к треугольному (рис. 1, а, б).
В гетероструктурах с МКЯ ¡п^Са^^/СаМ хвост волновой функции основных носителей заряда в КЯ частично локализован в области барьера СаМ (рис. 1, г, д). Следовательно, эффект гибридизации волновой функции может приводить к увеличению эффективной массы носителей заряда в КЯ. Так как максимум плотности вероятности нахождения носителя заряда на возбужденном энергетическом уровне локализован ближе к гетерогранице, чем на основном, то его волновая функция проникает в область барьера СаМ на большую глубину. В табл. 2 представлены значения эффективной массы двумерных носителей, рассчитанные с использованием формул (9)-(10).
В исследованных гетероструктурах ширина барьера СаМ составляет 15 нм при ширине КЯ, равной 3 нм. Изолированность КЯ приводит к тому, что хвост волновой функции проникает в СаМ лишь на небольшую глубину. В силу малого значения вероятности Рдеп, равного 1.1%, гибридизация волновой функции вызывает незначительное увеличение эффективной массы носителей заряда в гете-роструктурах с МКЯ 1пжСа1_жМ/СаМ (табл. 2).
В одиночной КЯ квазиуровень Ферми значительно удален от дна зоны проводимости (рис. 1, а).
Рис. 1. Зонные диаграммы одиночной КЯ 1пжОа1_жN/GaN (а) шириной 2.5 нм и (б) 3 нм, полученные на основании самосогласованного решения системы уравнений Шредингера и Пуассона. Ер — квазиуровень Ферми, Е0,Е1 — положения основного и возбужденного энергетических уровней, АЕс — разрыв зоны проводимости на гетерогранице. в, г, д, е — Формы волновых функций Ф0(г), Ф1(г) на энергетических уровнях Е0 и Е1
Таблица 2. Рассчитанные значения параметров 2ДЭГ в гетероструктурах со МКЯ Тп^а].-^N/GaN
Рдеп> % 1.1
Ер, эВ 3.4
Е0, эВ 2.7
777.1 0.23 то
П7СаЛг 0.19то
и0, эВ 1.4
Следовательно, эффект непараболичности закона дисперсии должен проявляться сильнее для носителей заряда, локализованных вблизи квазиуровня Ферми. Вычисления с использованием формулы (10) показали, что вследствие нарушения па-раболичности закона дисперсии эффективная масса носителей заряда в зоне проводимости увеличивается лишь на 20% относительно значения, равного 0.22т0.
С ростом температуры от 90 до 170 К в ге-тероструктурах усиливается роль электрон-фонон-
ного взаимодействия. На основании численного интегрирования с использованием формулы (16) получены следующие значения: I = 0.36, до = 2.6 ■ 106 см-1 и тр/тр « 1.1. Столь малая поправка дает основания не учитывать электрон-фононное взаимодействие и его влияние на изменение эффективной массы. Следовательно, элек-трон-фонное взаимодействие, гибридизация волновой функции и непараболичность закона дисперсии не приводят к увеличению эффективной массы основных носителей заряда до значения, равного 0.42т0 при Т = 90 К [4].
Температурная перенормировка эффективной массы с масштабом порядка полутора раз может быть связана с особенностями взаимодействия ближнего ИК-излучения с гетероструктура-ми с МКЯ 1пжСа1-жМ/СаМ. В табл. 3 представлены значения частот 2Д-плазмонных в диапазоне от 90 до 170 К, которые были получены ранее в работе [4]. В гетероструктурах с тремя и пятью КЯ 1пжСа1-жМ/СаМ полное смещение плазмонной резонансной частоты составляет 700 ГГц и 600 ГГц (табл. 3).
Таблица 3. Значения частот 2Д-плазмонных резонансов в диапазоне температур от 90 до 170 К в гетероструктурах с МКЯ In^Gai-zN/GaN
г, к
90 110 130 150 170
ТГц 3.3 3.2 3.2 2.9 2.6
f!%w, ТГц 3.4 3.3 3.3 3.0 2.8
Рис. 2. (й,б) Функция смещения 2Д-плазмонной резонансной частоты и (в,г) температурная зависимость эффективной массы основных носителей заряда в гетероструктурах с тремя и пятью КЯ Ы^ах-а;N/GaN. На рис. 2, в,г точками показаны экспериментальные значения эффективной массы, полученные ранее в работе [4]
Так же, как и авторы работы [3], мы связываем длинноволновое смещение плазмонной резонансной частоты с температурной перенормировкой эффективной массы, которая становится существенной при температурах Т > 90К. Для аппроксимации температурной зависимости эффективной массы мы используем функцию смещения 2Д-плазмон-ной резонансной частоты (23). На рис. 2 показан результат такой аппроксимации.
В гетероструктурах с тремя и пятью КЯ InœGa1-œN/GaN с ростом температуры от 90 до 170 К эффективная масса увеличивается на 40% и 20% относительно своего исходного значения при T = 90 К (рис. 2, в, г). Данный эффект может быть связан с неоднородным распределением концентрации In в области КЯ, возникающим в процессе послойного осаждения исследованных гетерострук-тур методом газофазной эпитакси. Действительно, слой GaN осаждается при более высоких температурах (100000C), чем слой InœGai_œN (7000°C). Поэтому в процессе роста неизбежен процесс диффузии атомов In в GaN, что может приводить к их неравномерному распределению вдоль всего слоя InœGai-œN, а также к их частичной локализации в области барьера GaN.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основании численного самосогласованного решения системы уравнений Шредингера и электронейтральности Пуассона рассчитаны зонные диаграммы одиночной КЯ InœGa1-œN/GaN. Показано, что в КЯ заполнены только два энергетических уровня, расположенные ниже квазиуровня Ферми. Форма потенциального рельефа одиночной КЯ приближена к треугольной.
Изучено влияние электрон-фононного взаимодействия, непараболичности закона дисперсии и гибридизации волновой функции на эффективную массу основных носителей заряда в КЯ InœGa1-œN/GaN. При оценке влияния каждого из них установлено, что температурная перенормировка эффективной массы со столь большим масштабом, порядка полутора раз, связана с особенностями взаимодействия фемтосекундных ИК-импульсов с гетероструктура-ми InGaN/AlGaN/GaN. Данные эффекты не могут быть использованы в качестве объяснения температурной перенормировки эффективной массы двумерных носителей в гетероструктурах с МКЯ InœGai_œN/GaN.
Для описания температурной перенормировки эффективной массы использована функция смещения 2Д-плазмонной резонансной частоты с экспоненциальным типом зависимости. В гетерострукту-рах со МКЯ InœGa1-œN/GaN эффективная масса увеличивается от значения 0.42то при T = 9 0К до 0.56ш0 при T = 170К.
Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда развития теоретической физики и математики «Базис».
[1] Popov V.V. // Journal of Infrared, Millimeter, and [2] Schuster F., Coquillat D., Videlier H. et al. // Optics Terahertz Waves 32, 1178 (2011). Express 19, 7827 (2011).
[3] Pashnev D., Kaplas T., Korotyeyev V.V. et al. // Appl. Phys. Lett. 117, 051105 (2020).
[4] Бурмистров Е.Р., Авакянц Л.П. // ЖЭТФ 163, 5, (2023).
[5] Syed S, Heroux J.B., Wang Y.J. et al. // Appl. Phys. Lett. 83, 4553 (2003).
[6] Tang N, Shen B, Wang M.J. et al. // Appl. Phys. Lett. 88, 172115 (2006).
[7] Pristovsek M. // Appl. Phys. Lett. 102, 242105 (2013).
[8] Зубрилов А.С., Мельник Ю.В., Николаев А.Е. и др. // ФТП 33, 10 (1999).
[9] Schley P., Goldhahn R., Gobsch G. et al. // Physica Status Solidi (B) 246, 6 (2009).
[10] Pel6 R.R., Caetano C, Marques M. et al. // Applied Physics Letters 98, 15 (2011).
[11] BenDaniel D.J., Duke C.B. // Phys. Rev. textbf152, 683 (1966).
[12] Stern F, Sarma S.D. // Phys. Rev. B 30, 840 (1984).
[13] Stern F. // Phys. Rev. B 5, 4891 (1972).
[14] Фадеев М.А., Марков К.А. Численные методы. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2005.
[15] Bastard G. Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures. Les Editions de Physique, Paris, 1988
[16] Hiroshima T, Lang R. // Appl. Phys. Lett. 49, 8 (1986).
[17] Ando T, Fowler A.B., Stern F. // Rev. Mod. Phys. 54, 437 (1982).
[18] Давыдов В.Н., Лапин А.Н., Задорожный О.Ф. // Изв. вузов. Физика 64, 3 (2021).
[19] Bernardini J.F., Fiorentini V., Vanderbilt D. // Phys. Rev. B 56, 10024 (1997).
[20] Drechsler M., Hofmann D.M., Meier B.K. et al. // Japan. J. of Appl. Phys. 34, 2, (1995).
[21] Hofmann T., Kbhne P., Schliche S. et al. // Appl. Phys. Lett. 101, 19 (2012).
Influence of Dimensional Quantization Effects on the Effective Mass of Major Charge Carriers in LED Heterostructures with In^Gai_^N/GaN Multiple
Quantum Wells
E.R. Burmistrov", L.P. Avakyants6
Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University Moscow 119991, Russia E-mail: a eugeni. conovaloff@yandex. ru, b [email protected]. msu. su
By numerically solving the self-consistent system of the Schrodinger equations and Poisson electroneutrality, zone diagrams of LED heterostructures with In^Gai-^N/GaN multiple quantum wells have been calculated. The effect of electron-phonon interaction, nonparabolicity of the dispersion relation, and hybridization of the wave function on the values of the effective mass of major charge carriers in the InIGa1-IN/GaN quantum wells has been studied. The long-wave shift of 2D-plasmon resonances is associated with the temperature renormalization of the effective mass of two-dimensional carriers. To describe the temperature dependence of the effective mass, the function for the displacement of the 2D-plasmon resonance frequency is introduced.
PACS: 78.47.+p, 71.22.+i, 72.90.+y.
Keywords: heterostructures, effective mass, dispersion law, temperature renormalization, long-wave shift. Received 07 April 2024.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2024. 79, No. 4. Pp. 469-476. Сведения об авторах
1. Бурмистров Евгений Романович — аспирант, мл. науч. сотрудник; e-mail: [email protected].
2. Авакянц Лев Павлович — профессор, доктор физ.-мат. наук; e-mail: [email protected].
