МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТА В ТУННЕЛЬНО-РЕЗОНАНСНЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ GAN/ALGAN Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

УДК 621.389.001.24

Моделирование электронного транспорта в туннельно-резонансных гетероструктурах GaN/AlGaN

В.И.Егоркин, М.Н.Журавлёв

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

В.В.Капаев Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН

Разработан численный метод расчета электронного транспорта в резонансно-туннельных гетероструктурах ОаМ/ЛЮаЫ, основанный на самосогласованном решении уравнений Шредингера и Пуассона. Для двух-барьерного туннельно-резонансного диода исследованы зависимость коэффициента пропускания системы от величины внешнего поля и зависимость значения тока в пике от соотношения ширин ям и барьеров. Найдены оптимальные для технических применений значения параметров структуры.

Ключевые слова: гетероструктуры, туннельно-резонансный диод, нитрид галлия.

Туннельно-резонансные гетероструктуры - основа многих перспективных электронных приборов [1], а также традиционный объект для исследования квантово-механических закономерностей [2]. На сегодняшний день одно из основных приборных приложений резонансно-туннельных гетероструктур - создание вертикальных тун-нельно-резонансных диодов (ТРД) с большим отрицательным дифференциальным сопротивлением. По сравнению с классическими ТРД на основе гетеропары ОаЛв/ЛЮаЛБ использование широкозонных соединений нитрида галлия позволяет существенно повысить термическую и радиационную стойкость создаваемых приборов, а также расширить диапазон рабочих частот и мощностей [1].

В ряде работ сообщается о создании нитрид-галлиевых ТРД на сапфировой подложке с ОаК буферным слоем [3, 4]. Несмотря на достигнутые технологические результаты, отсутствует четкое понимание транспортных свойств гетероструктур ЛЮаК/ОаК. В связи с этим моделирование этих систем является актуальной задачей. Характерной особенностью данных соединений является наличие большой спонтанной и пьезоэлектрической поляризаций, что приводит к формированию интерфейсного заряда на гетерогранице [5], существенно искажающего потенциальный профиль. Как было отмечено в [6], это является причиной существенной асимметрии вольт-амперных характеристик (ВАХ) ТРД.

В настоящей работе описывается методика расчета потенциального профиля тун-нельно-резонансных гетеросистем посредством самосогласованного решения уравне-

© В.И.Егоркин, М.Н.Журавлёв, В.В.Капаев, 2011

ний Шредингера и Пуассона с учетом наличия поляризационного заряда. Обсуждаются результаты моделирования ВАХ ТРД.

Потенциальный профиль исследуемой гетеросистемы определяется из решения уравнения Пуассона для электростатического потенциала ф:

^ = ^(еп(г)-е^(г)-о5(г - г«)). (1)

8

Здесь г - координата вдоль оси структуры; - положение гетероинтерфейса;

8 - диэлектрическая проницаемость; е - заряд электрона; N+(2) - концентрация ионизованных доноров; о - индуцированный поляризацией заряд на гетероинтерфейсе; 5^ - г ы ) - 5-функция Дирака.

Основной трудностью при расчете потенциального профиля является адекватный учет о . Величина о определяется разностью поляризаций контактирующих веществ и может быть вычислена с использованием известных значений упругих постоянных GaN, ЛШ и правила Вегарда для твердого раствора [7]. Знак о зависит от ти-

па поверхности раздела: Ga-fa.ce, когда слой GaN заканчивается плоскостью атомов галлия и N-face - плоскостью атомов азота [1, 8]. Для псевдоморфной гетероструктуры AlxGa1-xN/GaN для описания зависимости о от доли алюминия х в приборных расчетах воспользуемся эмпирической формулой [9]:

о(х )= 0,0483x^0,73

5х +103 - 32х + 405

(х +1) + 0,11х + 0,491 + 0,052х. (2)

Использование эмпирических формул обусловлено тем, что указанная зависимость может быть вычислена напрямую только с использованием трудоемких первопринцип-ных методов, не обеспечивающих высокую скорость счета.

При численном решении задачи 5-функцию, входящую в уравнение (1), удобно аппроксимировать прямоугольной функцией, отличной от нуля в некотором слое шириной а. Таким образом, наличие интерфейсного заряда оказывается эквивалентно введению слоя с постоянным значением концентрации полностью ионизованной примеси, равным Ыа = а/а. Процедура вычисления зарядов при этом унифицируется, что приводит к ускорению счета. Значение параметра й определяется из условия сходимости результатов при а ^ 0.

Всю моделируемую структуру условно можно разбить на «квантовые» (собственно ТРД) и «классические» области (контакты и буферные слои). В «квантовых» областях существенны эффекты размерного квантования, для определения распределения концентрации электронов необходимо решать уравнение Шредингера для волновой функции электрона ¥:

^ + ^(Е - Ес0 (г) + еф(= 0, (3)

аг п

где тп - эффективная масса электрона в п-м слое; Е - энергия электрона; Ес0 (г) - ге-

тероструктурный ступенчатый потенциал (положение края зоны проводимости). При решении уравнения Шредингера как в случае задачи на собственные значения, так и при вычислении коэффициента пропускания структуры потенциал в квантовой области аппроксимировался кусочно-постоянной функцией и использовался метод матрицы пе-

Моделирование электронного транспорта.

реноса. Концентрация электронов определяется следующим выражением, зависящим от значений уровней энергии локализованных состояний Е1 и соответствующих им

волновых функций :

V

Здесь ¥ - энергия Ферми; 0 - температура.

В «классических» областях (где квантовые эффекты размерного квантования несущественны) концентрация электронов вычисляется по формуле

п(г) = МсФу2 (¥ - Ес (г)), (5)

где Ыс - эффективная плотность состояний в зоне проводимости; Фу (¥ — Ес (г)) - интеграл Ферми; Ес (г) = Ес0 (г)—еф(г).

Уравнение Пуассона является нелинейным. Более того, в «квантовых» областях связь концентрации электронов с потенциалом определяется решением уравнения Шредингера и не является локальной. В результате использование простых итерационных схем решения оказывается неэффективным. При вычислении концентрации на (/ + 1)-й итерации в качестве начального приближения используется линейная комбинация начального приближения для у-й итерации ф] и потенциала, полученного в ре-

зультате у-й итерации ф] [10]:

~]+1 = ~] + у(ф] — ~] ). (6)

Выбирая параметр у достаточно малым, можно добиться сходимости, но количество требуемых итераций при этом увеличивается в у-1 раз. Изменить ситуацию можно, использовав процедуру улучшения сходимости, предложенную в [11] и заключающуюся во введении зависящей от координаты в соответствии с квадратом модуля волновой функции плотности состояний. Концентрация на у-й итерации при этом определяется выражением

п

]+1 (г) = тк0^/ (г)

тк0

2

1п

( г г п~

1 + ехр

¥ — Е]+1( г) — Е/ (г)

к0

V V

(7)

где Е/ (г) = Е/ — Е{ (г) - зависящая от координаты энергия; Ес (г) - положение края зоны. Аргумент функции распределения зависит от координаты через Ес (как и в классическом случае). Собственное значение энергии также зависит от локального значения потенциала и можно использовать метод Ньютона. При Е]+1 = Е] эта зависимость исчезает и (7) переходит в (4), т. е. при достижении сходимости получим правильный результат.

Рассчитав указанным способом потенциальный профиль с учетом встроенных электрических полей, вычисляется зависимость пропускания Т от энергии Е падающего электрона и ток ] при заданном уровне Ферми ¥ в эмиттере и разности потенциалов на структуре и при заданной температуре 0 :

ешкТ г^^, 1 = ^3 ] Т (Е )1п

2 л2Г

Еп

1 + ехр

¥ - Е к9

1 + ехр

¥ - Е - еи к9

(1Е.

Разработанная методика была использована для исследования транспортных свойств двухбарьерных резонансно-туннельных гетероструктур. Послойная схема моделируемой системы показана на рис.1 (вставка). Как показали расчеты, наличие встроенного поля, обусловленного интерфейсными зарядами, приводит к тому, что при нулевом напряжении и потенциальный профиль оказывается сильно несимметричным (см. рис.1) и пропускание в максимуме - много меньше единицы для ТРД с одинаковыми барьерами.

Рис.1. Потенциальный профиль симметричной ТРД-структуры (барьеры АШ толщиной 1 нм, яма ваК толщиной 2 нм) при и = 0 В (пунктирная линия) и при и = -7 В (сплошная линия)

На рис.2 для симметричной ТРД-структуры (барьеры АШ толщиной 1 нм, яма ваК толщиной 2 нм) приведено семейство зависимостей пропускания от энергии для различных значений напряжения и. Максимум Т{Е) соответствует уровню размерного

квантования Е1 в яме. Из представленных графиков видно, что при нулевом напряжении пропускание в максимуме Т очень маленькое (~ 10-6). При подаче на эмиттер положительного относительно коллектора напряжения и величина Ттах увеличивается с ростом и и при приближении уровня Е1 к уровню Ферми оказывается близкой к единице, что является оптимальным для функционирования ТРД. Ширина уровня в резонансе оказывается порядка 0,1 мэВ, что меньше значения данного параметра в ТРД на основе системы GaAs/AlAs. Это обусловлено более высокими

10" 10" 1СГ 10"' 10" 10"' 10"

5 4 3

2

! и И

0,0

0,2

0,4

0,6 /:'. эВ

Рис.2. Зависимость пропускания Т от энергии падающего электрона Е : 1 - и = 0;

2 - и = 2 В; 3 - и = 4 В; 4 - и = 6 В; 5 - и = 7 В;

Моделирование электронного транспорта...

значениями «высот» барьеров ЛШ и эффективной массы электрона в барьерах. Для более наглядной иллюстрации наблюдаемых закономерностей на рис.3 приведены графики зависимостей от напряжения энергии, соответствующей максимуму пропускания, Етах и

значения пропускания в максимуме Ттах. Как следует из рисунка, при и < 3 В зависимость Тпах(и) является существенно нелинейной и

близкой к экспоненциальной. Увеличение напряжения от 3 до 6 В сопровождается линейным ростом Ттах, после чего рост плавно замедляется и останавливается при достижении функцией единичного значения. В отличие от зависимости Ттах(и), функция Етах(и) близка к линейной во всем диапазоне напряжений.

Исследованы особенности ВАХ ТРД при различных значениях толщин ям км, и барьеров Иы, ИЬ2, образующих структуру. Результаты расчетов представлены на рис.4. Из графиков видно, что варьирование толщин ям в диапазоне 1,5-3 нм, барьеров - 0,8-1 нм приводит к изменению плотности тока в максимуме в достаточно широких пределах от 1 • 104 до 3 104 А/см2. При этом напряжение, соответствующее максимуму плотности тока, находится в диапазоне 5-10 В. Подобные значения токов и напряжений являются достаточными для технических применений. В указанной ранее симметричной системе максимальное

значение плотности тока, равное

4 2

1,3 10 А/см , наблюдается при достаточно высоком напряжении ~ 7 В.

Отметим, что использованная методика основана на предположении баллистического переноса носителей в квантовой области. Такой подход правильно описывает положение максимума тока и его значение. Значение тока в долине определяется плохо контролируемыми процессами рассеяния (на фононах, дефектах) и его вычисление не являлось предметом настоящей работы.

Основываясь на результатах численного моделирования, на сапфировых подложках с ориентацией (0001) методом молекулярно-лучевой эпитаксии были выращены ТРД-структуры с толщинами барьеров ЛШ 1 нм, ОаК ямы - 2 нм. Тестовый элемент -столбчатая конструкция с контактами к эмиттеру и коллектору ТРД. Размер контактных площадок 100*100 мкм. Измерения тока через структуру проводились при комнатной температуре в диапазоне напряжений от 0 до 12 В. Была обнаружена слабая ^-образная особенность ВАХ. Максимум тока наблюдается при напряжении и = 9,5 В.

Наблюдаемое расхождение экспериментально измеренного и полученного в результате численного моделирования положения максимума ВАХ является следствием

Рис.4. ВАХ ЛЮаМ/ваМ ТРД при различных значениях ширин квантовой ямы и барьеров:

1 - кЬ1 = кЪ2 = 1 нм, к№ = 1,5 нм ; 2 -кь\ = к^2 = 1 нм, к„ = 2 нм ; 3 - = 0,8 нм , кЪ2 = 1 нм , к„ = 2 нм ; 4 - км = 1 нм, кЪ2 = 0,8 нм , к№ = 2 нм ; 5 - км = к^ = 1 нм, к„ = 2,5 нм

неоднородности толщин слоев из-за высокой шероховатости гетерограницы. В используемом технологическом процессе максимальная величина шероховатости может достигать 1 нм. Из данных моделирования, представленных на рис.4, видно, что изменение толщины GaN квантовой ямы на 0,5 нм приводит к существенному сдвигу положения пика на ВАХ ТРД. Величина сдвига может достигать 3,5 В. Таким образом, с учетом шероховатости выбранная методика моделирования позволяет корректно описывать транспортные свойства резонансно-туннельных GaN/AlGaN гетероструктур.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-07-13528офи_ц).

Литература

1. Quay R. Gallium Nitride Electronics. - Berlin: Springer-Verlag, 2008. - 469 p.

2. Драгунов В.П., Неизвестный И.Г., Гридчин В.А. Основы наноэлектроники. - М.: Университетская книга. - Логос. - Физматкнига, 2006. - 496 с.

3. AlN/GaN double-barrier resonant tunneling diodes grown by rf-plasma-assisted molecular-beam epitaxy / A.Kikuchi1, R.Bannai1, KKishino et. al. // Appl. Phys. Lett. - 2002. - Vol. 81. - P. 1729-1731.

4. Bayram C., Vashaei Z., Razeghi M. AlN/GaN double-barrier resonant tunneling diodes grown by metal-organic chemical vapor deposition. - Appl. Phys. Lett. - 2010. - Vol. 96 - P. 042103.

5. Polarization effects in semiconductors: from ab initio theory to device applications / Ed. by C. Wood, D. Jena. - N.Y.: Springer Science+Business Media, LLC, 2008. - 515 p.

6. Belyaev A.E. Comment on «AlN/GaN double-barrier resonant tunneling diodes grown by rf-plasma-assisted molecular-beam epitaxy» [Appl. Phys. Lett. 81, 1729 (2002)] / A.E.Belyaev, C.T.Foxon, S.V.Novikov et. al // Appl. Phys. Lett. - 2003. - Vol. 83 - P. 3626-3627.

7. Self-Consistent Subband Calculations of AlGaN/GaN Singl Heterojunctions / K.-S.Lee, D.-H.Yoon, S.-B.Bae et. al // ETRI Journal. - 2002. - Vol. 24, N 4. - P. 270-278.

8. Playing with Polarity/ M.Stutzmann, O.Ambacher, M.Eickoff et. al // Phys. Stat. Sol. (b). - 2001. -Vol. 228, N 2. - P. 505-512.

9. Lee T., Joshi R.P. Requirements for low intermodulation distortion in GaN-AlxGai-xN high electron mobility transistor: a model assessment // IEEE Transactions on electron devices. - 2002. - Vol. 49, N 9. -P. 1511-1518.

10. Андо Т., Фаулер А., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. - М.: Мир, 1985. - 416 с.

11. Pacelli A. Self-consistent solution of the Schrodinger equation in semiconductor devices by implicit iteration // IEEE Transactions on electron devices. - 1997. - Vol. 44, N 7. - P. 1169-1171.

Статья поступила 5 октября 2010 г.

Егоркин Владимир Ильич - кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ. Область научных интересов: акустоэлектроника, микроэлектроника, наноэлектроника, физика полупроводников. E-mail: egor@qdn.miee.ru

Журавлёв Максим Николаевич - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ. Область научных интересов: наноэлектроника, методы математического моделирования, системы пониженной размерности, физика конденсированного состояния.

Капаев Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. П.Н.Лебедева РАН. Область научных интересов: теория конденсированного состояния, наноэлектроника, методы математического моделирования, нано- и микроструктуры.