Влияние диссипативного туннелирования на энергию связи и оптические свойства квазистационарных d(-)-состояний в квантовой молекуле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322

В. Д. Кревчик, А. В. Калинина, Е. Н. Калинин, М. Б. Семенов

ВЛИЯНИЕ ДИССИПАТИВНОГО ТУННЕЛИРОВАНИЯ НА ЭНЕРГИЮ СВЯЗИ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ Л(-)-СОСТОЯНИЙ В КВАНТОВОЙ МОЛЕКУЛЕ

Аннотация. В рамках теории о квантовом туннелировании с диссипацией методом потенциала нулевого радиуса исследовано влияние параметров диссипативного туннелирования на среднюю энергию связи квазистационарных Д(-)-состояний, на ширину примесного уровня и фотоионизационные спектры квантовой молекулы.

Ключевые слова: квантовая точка, квантовая молекула, диссипативное туннелирование, частота фононной моды, константа взаимодействия с контактной средой, квазистационарные .0(-)-состояния.

Abstract. The article investigates influence of the dissipative tunneling parameters on mean binding energy for quasi-stationary D(-)-states as well as on the width of impure level and photo-ionization spectra in quantum molecule. The investigation is carried out according to the theory of quantum tunneling with dissipation by the method of zero-range potential.

Key words: quantum dots, quantum molecule, dissipative tunneling, frequency of phonon mode, constant of interaction with a heat-bath, quasi - stationary D(-)-state.

Введение

Как известно [1], квазистационарные ^(-)-состояния возникают в случае расположения примесного уровня между дном квантовой точки (КТ) и уровнем энергии ее основного состояния. Интерес к таким ^(-)-состояниям в квантовой молекуле (КМ) (две туннельно-связанные КТ) обусловлен дополнительными возможностями управления энергией связи примесного электрона за счет варьирования параметров диссипативного туннелирования. Действительно, квазистационарные ^(-)-состояния формируются состояниями размерно-квантованной зоны проводимости КТ. При этом влияние прозрачности потенциального барьера проявляется в уширении энергетических уровней зоны проводимости AE = ЙГд (Го - вероятность диссипативного туннелирования), что приводит к модификации волновой функции ^(-)-состояния и, соответственно, зависимости энергии связи квазистационарных ^(-)-состояний и их оптических свойств от параметров диссипативного туннелирования. Теоретические исследования ^(-)-состояний с примесным уровнем, расположенным ниже дна КТ, выполнены в работе [2].

Настоящая работа посвящена квазистационарным ^(-)-состояниям в КМ. Теоретический подход основан на рассмотрении квантового туннелирования с диссипацией применительно к электронному транспорту в КМ, моделируемой двухъямным осцилляторным потенциалом, с учетом взаимодействия с локальной фононной модой при конечной температуре [3]. Продуктивность такого подхода обусловлена тем, что в пространстве наномасштабов физика и химия электронных процессов имеют много общего и появляется возможность для изучения взаимодействия примесного электрона с контактной средой в рамках науки о квантовом туннелировании с диссипацией.

1. Спектр и волновые функции квазистационарных -состояний

Для описания одноэлектронных состояний в КТ используется потенциал конфайнмента в виде потенциала трехмерного гармонического осциллятора:

у0 ((у,z) =

* 2/ 2 2 2 \ т ю0 (х2 + у2 + z2 )

2

(1)

где т - эффективная масса электрона; Юо - характерная частота удерживающего потенциала КТ.

Решение соответствующей спектральной задачи с потенциалом (1) хорошо известно:

Епи п2, пз = ЙЮ0 (п1 + п2 + п3 + 3 / 2) ; (2)

П1, п 2, пз

(( У, г ) =

( 3 \

3„о і і пп1+п2+п3 аол2пі !п2 !пз !2

-1

ехр

( 2,2,2 \ х + у + г

2а0

X

Ґ .. Л Ґ . Л ( \

ХНп1 х Нп 2 у Нп3 г

а о а о а о

(3)

где « = 0, 1, ..., п2 = 0, 1, ..., п3 = 0, 1, ... - квантовые числа; Нп (х) -

полиномы Эрмита; Оо =Л1 ^/(т юо) - характерная длина удерживающего потенциала КТ.

Пусть ^()-центр расположен в точке Яа =(ха,уа,za). Потенциал примеси моделируется потенциалом нулевого радиуса мощностью

у = 2лй /(ат ):

(4)

где а определяется энергией Ег- связанного состояния этого же 0( )-центра в объемном полупроводнике; 5(х) - дельта-функция Дирака.

В приближении эффективной массы волновая функция (г;К-а)

^()-состояния в КТ с параболическим потенциальным профилем удовлетворяет уравнению Шредингера:

(5)

где Ех =

Й2Х2

*

2т

- собственные значения оператора Гамильтона Н

а до

Одноэлектронная функция Грина О (г, гх; Е^) к уравнению Шредингера (5), соответствующая источнику в точке г1=(ух1,у1,z1) и энергии Е^ > 0 (примесный уровень расположен выше дна КТ), запишется в виде

о(,пЕ)= 2

«1, п2,«3

(г1 )Т«1, «2,«3 (г )

«1, «2, «3

( - Е« - /ЙГ0 )

(6)

Используя известную процедуру метода потенциала нулевого радиуса [2], получим дисперсионное уравнение электрона, локализованного на ^()-центре в КТ:

а = -

2 к й

т

ТО

V у

(а, Ка; Е) .

(7)

Далее необходимо получить аналитически замкнутое выражение для одноэлектронной функции Грина. Используя явный вид одночастичных волновых функций Т«1 «2 «3 (г), для функции Грина в (6) будем иметь

(

О ( К; Е^)="

[а0'1 К)

ехр

Н

2

«1

Н

«1

2 а

Аи0 У «1, «2,«3

2«1! «1!

Н

« 2

Н

« 2

Н

« 2

у

Н

« 2

Уа

Н

«3

Л

Н

«3

2«%!

2«2! «2!

-X-

-X

X[Е^ - ЙЮ0 («1 + «2 + «3 + 3/2)- 7ЙГ0 ] .

2 «3! -1

(8)

Суммирование в (8) по квантовым числам «1, «2, «3 можно выполнить, воспользовавшись формулой Мелера [4]:

н,, (х)Н« (у)

1

„V 2 у «!

«=04 у

В результате получим

1

ехр

(9)

О(, (а;£а):

(а0^к) е0

-ехр

2а

0 У 0

3 7ЙГ 0

-еА + - +------------0

Л 2 £0

X

х(1 - ехр [-2/]) 2 ехр

ехр(-2/)(г2 + яО ) - 2ехр(-/)(г,(а) а0 (1 - ехр[-2/])

(10)

где £0 = ЙЮ0, = — .

е0

Для выделения в (10) расходящейся части воспользуемся интегралом Вебера [4]:

*

ехр

1 Г Л

. *2 * Ґ>/Ґ (2л) 0

В результате будем иметь

г

1

\

( 2 V

-—-Рґ 2ґ

V У

2пг

ехр

(~г^).

(11)

(л/л) Ео

2л| г - Яа

Г ехр

— /—2ел + 3 + -

2іЙГ о

V - Яа

Е0

* & ехр

( 3 ІЙГ0 ^

- -ЕЛ ^ + ґ

V 2 Ео у

\3/2 (2л) 0

Подставляя (12) в (7), получим

X

ехр

-3/2

яд1 -ехр(-/)

а^ 1 + ехр (-ґ) (-ехр [-2/])

1

. (12)

-Л2 + | Р 1 + 4 іг0 -Лі I & ехР

-1 -Рл2 + +4іГор |ґ

X

X

2іЛ |~1 - ехр(-2ґ)^3/2

ехр

Яд1 1 - Єхр(-Ґ)

2Р 1 + ехр (-/)

(13)

где

л2 - ел / Еа, Л -л/еі / Еа , Р- я / ^ 4^ |, я - 2Яо / а&, ио - ио/ Еа

К-а = Ка / ad , Го = ЙГ0 /(4Ed); Е^ и - эффективная боровская энергия и радиус соответственно.

Расчет вероятности диссипативного туннелирования Го сводится к следующему [3]. Так как состояние реакционной системы в среде характеризуется многомерной потенциальной поверхностью, возникает проблема выделения координаты туннелирования. Вводится так называемый адиабатический потенциал вдоль координаты туннелирования. Определяется вероятность туннелирования электрона в единицу времени в квазиклассическом приближении с учетом диссипации. Далее в одноинстантонном приближении вычисляется квазиклассическое действие Бд как функция температуры и параметров потенциала, находится траектория дд (т) (инстантон), минимизирующая функцию действия Бд . Предэкспоненциальный множитель Во определяется вкладом траекторий, близко расположенных от инстантона. В приближении идеального инстантонного газа вероятность туннелирования Го

можно представить в виде Го = Во ехр (-Бд), где Во определяется как [3]

В -■

й

у[к

X

* А Р*еЬ V " * Р* 2 Л —1 * + Б р2‘ь Г р2 1 1 2 V У

* еЬ Р* р* Л р1 ** т— х01 ч У — 1 * + Б *еЬ Р2 р2 х* Л 112 т—х 02 V У 1 .

2 зЬ [ Р* 2 Л 2 зь Г р2 1 2

V у J _ V у

1 -

Р*

еЬ

зЬ

Р*

+ Б

еЬ

Р2

2

Г р2 ~* Л Л

у — *02

■-1

зЬ

р2 л 2

V

*еЬ * Р* '* Т- — х 01

Р* 2

2 зЬ * Р*

2

— 1

+ Б

еЬ

Г р2

Р2

2

Л Л

'т 02

зЬ

Р2Л 2

V

— 1

(14)

где

2р*2 *2 — у(—) Л* 2 А 2ЕЬа У8р

А* = Юо -

Б* 2 б 242а*2 —

Б* = Юо - -

рГ=^р=^^. р5^,Я7р^:^^*^?0- V

о Е'р а ет ’

0 'у £

*01 = ^%/тГ^0 ^'*2 = 21/у7'о=-/у!р'о^-

Выражение для имеет следующий вид:

^а *у ^0 ^ +1)(3—М'0—Ь+1**)2 — ^ X / (1 - *2)

2Р

2у

л/^

X

еШ

зь ( Д) ^ Р —т0^^)—еЬ (Р"^)1'

1

+сЬ

((Р* “т0 )лЩ

сШ

(№)■

8Ь (р*^)

X

х{сЬ ((Р* - { )^) - сЬ (Р* (Щ ) +сЬ ((Р* - х0') ^

(15)

(

где ід = аігаЬ

•8ЬР

+ р ; Ь = —; р =

а а &т

* * ; єт

кТ

Еа

У =,

■Х1 =_ 1 2

Х2 = — 2

( *2 *2 є та Ега

. +1 + с

4 *2 ^2 *2 *2

" єт а

4и,

0

*2 *2 Єт а єга

. +1 + с

4Єь2ио

4 *2

Итт

и0

* ? ^с

и

о

( *2 *2 єта

+ 1 + -

*2 *2 4 *2

Єт а 2 , єса

. +1 + с

4и

о

*2 * 4єт ио

( *2 *2 єта

*

4ио

+1 + ■

Есі

4 *2 Л єс а 2 *2 *2 єта

*2 * 4єт ио J 1 1

4 *2 Л єс а 2 *2 *2 єта

*2 * 4є*°ио , * ио

При численном решении дисперсионного уравнения (13) было учтено, что Е = Яе Е^, АЕ = 21т Е^ , где Е - средняя энергия связи квазистационар-ного ^()-состояния; АЕ - ширина примесного уровня; Е^ - комплексный корень уравнения (13).

На рис. 1 показана зависимость средней энергии связи ^()-состояния Е и ширины уровня в КТ на основе 1пБЪ от координаты Яа для различных

*

значений параметров диссипативного туннелирования = кТ / Е^ ,

£С = Й\/с / Е^ и е^ = / Е^ , определяющих соответственно температуру,

константу взаимодействия с контактной средой и частоту фононной моды. Как видно из рис. 1,а, с ростом температуры происходит уменьшение величины Е , при этом ширина примесного уровня растет (см. рис. 2,а). Это свя-

*

зано с тем, что с ростом параметра еТ увеличивается вероятность туннелирования Гр, а следовательно, уменьшается время жизни т примесного электрона (Г0 =1/т).

*

Аналогичная ситуация имеет место и с ростом параметра е^ (см. рис. 1,б и рис. 2,б). С увеличением «вязкости» контактной среды (см. рис. 1,в) величина Е растет за счет уменьшения вероятности туннелирования (см. рис. 2,в).

132

а) б) в)

Рис. 1. Зависимость средней энергии связи О' -состояния Е от координат яа На при |я;| = 1.38*10 1 эВ,7?0 = 70 им, 110= 0,42 эВ: а - для различных значений параметра е^ (е^ = 1, ¡-!. =і): 1 - к]- 1. 2 е^. = 4; б - для различных значений

параметра г', : 1 ■- 1. 2 = 4 і в - для различных значений параметра е^ : 1 — ес = 1, 2 - е^, =;4

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

а) б) в)

Рис. 2. Зависимость ширины примесного уровня ДЕ от координат д* =Ка!аА при |^| = 1,38-1С Г2 эВ, Я0 = 70 нм, и0 = 0,42 эВ: а - для различных значений параметра (є^ = 1, = 1): 1 - = Ь 2 - = 4; б - для различных значений

параметра : 1 - £¿=1,2- = 4; в - для различных значений параметра : 1 - £*с = і, 2 - = 4

Л? 1 (17), 2011 Физико-математические науки. Физика

Волновая функция 0( -'-состояния в КТ с параболическим потенциалом конфайнмента согласно (12) имеет следующий вид:

3 ^ г2 + д2

2а,

ТА(г,Яа ) — С®>я 2ехр _ 3

х(-ехр[-2/]) 2 ехр где С^® задается выражением вида

С&> —

— Л Ж ехр

о У о

3 іКГ 0

-сх + - +-----------0

2 Єо

Л

х

ехр(_2/)(г2 + Я^ ) - 2ехр(_)(г,( а0 (-ехр[-2/])

(16)

2>/яа0-

Г ' 7 , іЙГо с ^ + £Х| ІЇ 4. + іЙГо с ^ Єх

V4 2со 2 У [V4 2со 21

х

(

3 іЙГ о

2 +-----0_єх

2 Єо

Л2

х

V V

4 2е,

о

(

-Т

7 + /ЙГо _ел 4 2єо 2

у

+1

уУ

Г

4 2е,

о

-1/2

Г(г)

где ¥(х) = —- логарифмическая производная гамма-функции Эйлера.

Г (х)

2. Расчет спектров фотоионизации .0(-)-центра в квантовой молекуле

Рассмотрим процесс фотоионизации ^()-центра в КМ в условиях диссипативного туннелирования. Вероятность соответствующего оптического перехода электрона определяется как

ЙГо

Pfх(ю) — — У \мгх \2 —

Й f ' (E Е , *2Г2 п ( _ Ех) + Й Го

(17)

где Mfх — матричный элемент рассматриваемого оптического перехода X ^/.

ыгх=(Т

(<

/ п £ m

Hті| .

(18)

Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны

Л

Hіпі , характеризуемой волновым вектором q и единичным вектором поляризации ¿х, запишется следующим образом.

Н ій —Хг

I 2 *

2яй а

*2 т ю

7о ехр(щг)

(

Л

\

ех р

V у

(19)

где Хо = Ееу ^ / Ер - коэффициент локального поля, учитывающий увеличение амплитуды оптического перехода за счет того, что эффективное локальное поле ^(-)-центра Ее^у превышает среднее макроскопическое поле в кристалле Ер; а* = |е|2/ (4 ле ^л/ё % с ) - постоянная тонкой структуры с учетом

статической относительной диэлектрической проницаемости е ; с - скорость света в вакууме; - интенсивность света; ю - частота поглощаемого излу-

чения; |е| - абсолютное значение электрического заряда электрона.

Волновая функция начального состояния для центрированного случая ( =(0,0,0)

запишется как

( r 2 V 4

Л

v~ <0 j

exp

( 2 \ ( r

2

V0 j

3 ihr о

-eÀ+- +--------0

Л 2 Єо

£x+ іПТо 1 2 Єо 4

2

v~ 0 j

(20)

где С = —С@°л 2 ; Жа р(х) - функция Уиттекера [4].

Волновая функция конечного состояния Vуп I т имеет вид

f

ni

exp

x

i+ x Ln 2

2i +1 (i - m )! І 4л (i + m)!

P™ (cos 9)exp(/тф).

(21)

где P™ (cos 9) - присоединенные функции Лежандра первого рода; Щх) -

обобщенные полиномы Лагерра; Cn f 2п!Г ^ f + n + | 0оГ ^ ^ + |

множитель нормировки; г, 9, ф - сферические координаты; n, f, m - радиальное, орбитальное и магнитное квантовые числа соответственно.

С учетом (19)-(21) для Mбудем иметь

MfX - ^0«

2ла

ю

І0 (Ef -EÀ)CCni-

n i+2

[2i +1 (i - m)!

Г(i + „ + 3IV 4л (i + m)! 0

J dt x

xl 1-(

3 ^л2л ( r ^ f ( r 2 ^ i+1 ( r 2 'ï

2 JJ J r2sin 0drd0dф r exp r 2 Ln 2 r 2

0 0 0 v a0 j v a0 j V a0 j

3

3

х ехр (-£а/)ехр

г ехр(-2ґ) а0 (і-ехр[-21])

( Г)Рт (со80)ехр(-/тф), (22)

где Е^ = Еп£ = Йю0 ^ 2п +1 + -3|.

В силу сферической симметрии рассматриваемой задачи для оптических переходов в дипольном приближении действует обычное правило отбора: переходы идут из основного £-состояния примесного центра в возбужденные ^-состояния КТ. В результате для (22) получим

3ю

х

Г| п + — | 0

3

| & ехр (-єа/ )і-ехр [ -2ґ]) 2 X

( 3 Л

п ^

х£ (-1)* П + 2

к=0 ^п-к J

где было учтено, что

\2к+4 Г 2 Л Г

Г2

ехр

V а02 у

ехр

г ехр(-2ґ) а0 (і-ехр[-2ґ])

% (х )=2 (-О*

к=0

(

п + а кп-ку

к

к!

(23)

(24)

После вычисления интегралов в (23) для Мд получим

М

/ м

I2 = 2а м210 т?2 2

12^

Е0 а0

лю

п!

5 /ЙГ 0

2п + Т +---------------

2 е0

Л

2

3 /ЙГ0

2 +-------0 - ем

у V2 Є0 у

Г| п + - IГ

5 7 + /йГо +емЛ

V4 2е0 2

Г 1 + іЙГ0 Л Г2 Г 3 + і ЙГ0 Л

X-

4 +'2ео

4 +'2ео

х

4 2е,

0

¥

Г1+іЙГ0- емЛ

4 2е0 2

¥

4 2е,

0

+1

х

2 (-і)к

к=0 к!2к(п-к)!Г| к + 2 |Г

11 + к +

4 2е0 2

(25)

Вероятность рассматриваемого оптического перехода определится как

N

Р/ м(ю) = Р0 X-12

п=0

Цпп!

2п + ■~-2^пХ | + 4^

X

2п + 5 + 2/Цп - 2^п | 2 + 2іЦп - 2^п I ГI 3 + 7'^п - ^п

¥I 4 + ^п-1п I-¥I 7 + /-Цп Чп | + 1

-X

X

п (2к + 3)!!г( п + -|Г(к + 2)

2 (-1)к—к---------------Гятл:--------------

к=0 к!2к(п-к)!ГIк + ^ IГI- + к + і^пЧ*

(26)

где Р0 =

М,

48

0 І0а&, X = -ЙЮ, Цп = 2Г0Р , ^ = 1 Л2Р, N = [С ] Е&

- целая

часть числа

С =

2Р(Х + Л2 )-5

4

На рис. 3 представлена спектральная зависимость вероятности фото-() * * ионизации О-центра в КМ для различных значений параметров е^ , еС, рассчитанная с помощью формулы (26).

Как видно из рис. 3,а, уменьшение средней энергии связи Е квазиста-

(—) * ционарного П' -состояния с ростом сопровождается увеличением вероят-

ности фотоионизации О()-центра, в то время как рост «вязкости» контактной

*

среды (параметр еС) (см. рис. 3,б) приводит к уменьшению величины Рд (ю) за счет увеличения времени жизни примесного электрона.

Таким образом, в работе продемонстрировано существенное влияние параметров диссипативного туннелирования на среднюю энергию связи и фотоионизационные спектры квазистационарных О()-состояний в КМ. Показано, что следствием прозрачности потенциального барьера является конечное время жизни примесного электрона, которое уменьшается с ростом вероятности диссипативного туннелирования. Выявлена высокая чувствительность фотоионизационных спектров к температуре и константе взаимодействия с контактной средой. Полученные результаты открывают определенные перспективы для управления квазистационарными примесными состояниями в массиве туннельно-связанных квантовых точек.

*10"*, с'1

5

4

3 2

1

0

>= 10“5, с“'

2.5

2

1.5

1

0.5

О 0.03 0.09 0.15 о.21 °-27 ¿®,эВ

б)

Рис. 3. Спектральная зависимость вероятности фотоионизации _0()-центра в КМ при Е = 1,38-10-2эВ, К0 = 70 нм, и0 = 0,42 эВ: а - для различных значений

параметра еТ (є*^ = 1, еС = 1): 1 - еТ = 1, 2 - еТ = 4; б - для различных

и _ * 1 ^ /ч *

значений параметра еС : 1 - еС = 1, 2 - еС = 4

Список литературы

1. Кревчик, В. Д. Анизотропия магнитооптичекого поглощения комплексов «квантовая точка - примесный центр» / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, Р. В. Зайцев // ФТП. - 2002. - Т. 36, № 10. - С. 1225-1232.

2. Кревчик, В. Д. Примесное поглощение света в структурах с квантовыми точками / В. Д. Кревчик, Р. В. Зайцев // ФТТ. - 2001. - Т. 43, № 3. - С. 504-507.

3. Жуковский, В. Ч. Изучение управляемости диссипативного туннелирования в системах взаимодействующих квантовых молекул / В. Ч. Жуковский и др. // Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. - 2007. - № 2. - С. 10-14.

4. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. - М. : Наука, 1973. - Т. 1, 2.

Кревчик Владимир Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный университет

E-mail: physics@pnzgu.ru

Калинина Алла Владимировна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: physics@pnzgu.ru

Калинин Евгений Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра общей физики, Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского

E-mail: kalinin_en@mail.ru

Семенов Михаил Борисович

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра физики, Пензенский государственный университет

E-mail: physics@pnzgu.ru

Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head sub-department of physics, Penza State University

Kalinina Alla Vladimirovna Postgraduate student,

Penza State University

Kalinin Evgeny Nikolaevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of general physics, Penza State Pedagogical University named after V. G. Belinsky

Semenov Mikhail Borisovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of physics, Penza State University

УДК 539.23; 539.216.1; 537.311.322 Кревчик, В. Д.

Влияние диссипативного туннелирования на энергию связи и оптические свойства квазистационарных .0(-)-состояний в квантовой молекуле / В. Д. Кревчик, А. В. Калинина, Е. Н. Калинин, М. Б. Семенов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 1 (17). - С. 126-139.