Влияние близости земли на присоединенные массы произвольного корпуса Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIX 19 88

№ 2

УДК 629.7.015.3 : 533.682

ВЛИЯНИЕ БЛИЗОСТИ ЗЕМЛИ НА ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МАССЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО КОРПУСА

Л. А. Маслов, Т. С. Петровская

Предложен метод расчета обтекания идеальной жидкостью трехмерного корпуса вблизи плоского экрана. Метод основан на непрерывном распределении источников и стоков по поверхности системы тел в виде основного корпуса и тела, зеркально симметричного ему относительно плоскости экрана. Минимальное расстояние корпуса и его ориентация относительно экрана произвольны. Рассмотрены все шесть простых движений твердого тела в невозмущенной жидкости. Достоверность результатов расчетов параметров обтекания подтверждена их сопоставлением с точными решениями для безграничной жидкости и с экспериментом вблизи экрана. Влияние близости земли показано на примере расчета трехосного эллипсоида.

Несмотря на достаточно широкое развитие методов расчета потенциального обтекания трехмерных тел идеальной жидкостью, большинство этих методов завершается разработкой программ расчета скоростей и давлений без вычисления значений потенциала и его последующего суммирования для определения присоединенных масс. Для получения всех коэффициентов присоединенных масс, особенно необходимых для оценки динамических свойств летательного аппарата, средняя плотность которого соизмерима с плотностью среды, следует рассчитывать не только поступательные, но и вращательные движения твердого тела, что также делается достаточно редко. При моделировании влияния экрана, с помощью зеркально симметричного тела расчету подлежит фактически система тел, что увеличивает объем вычислений в этой и без того трудоемкой трехмерной задаче.

В этой связи представлялось интересным развитие метода расчета поступательного движения трехмерного тела в безграничной жидкости [1], требующего, по сравнению с известными панельными методами, меньшего объема вычислений на расчеты поступательных и вращательных движений тела вблизи экрана и определения присоединенных масс. Применительно к этой задаче используемый здесь метод особенностей на поверхности тела позволяет рассматривать любые расстояния между телами, что не обеспечивалось известными линеаризованными методами учета близости экрана. Метод опробован на расчетах скоростей и давлений вокруг корпуса вблизи экрана при по-

ступательном движении [2] и показал достаточную эффективность в такой задаче.

1. Течение идеальной жидкости вокруг трехмерного тела, совершающего произвольное движение вблизи экрана, моделируется при помощи слоя источников и стоков, непрерывно распределенных по поверхности основного корпуса и корпуса, зеркально симметричного относительно плоскости экрана и называемого отображенным. Потенциал источников удовлетворяет уравнению Лапласа, а их интенсивность является неизвестной интегрального уравнения, к которому приводится условие непротекания поверхности тела. Для краткости изложения не будем здесь в общем виде приводить эти известные уравнения, формулы индуцированных слоем источников скоростей и потенциалов, а также присоединенных масс, ограничившись записью более конкретных соотношений. В значительной степени воспользуемся вычислительными приемами и представлением поверхности трехмерных корпусов, предложенными в работе [1] для тела в безграничной жидкости.

Поверхность основного корпуса будем рассматривать в связанной с ним системе декартовых координат х, у, г с ортами i, /, к.. Координатная плоскость хОу является вертикальной плоскостью симметрии корпуса и перпендикулярна плоскости экрана.; Продольная ось л: направлена от носа корпуса к хвосту, ее положение по высоте корпуса произвольно, а относительно экрана она наклонена на угол г]), называемый здесь углом тангажа. Координатная плоскость уОг должна проходить через носовую точку корпуса. Характерным линейным размером является длина тела Ь, определяемая как расстояние от начала координат до той точки оси х, где она пересекается с плоскостью, проходящей через хвостовую точку параллельно плоскости уОг. Расстояние от указанной точки оси х до плоскости экрана считается высотой Н тела иад экраном (рис. 1). Если координаты х, у и г некоторой текущей точки основного корпуса обозначить соответственно |ь т]1 и то для координат зеркально симметричной точки отображенного корпуса нетрудно получить формулы:

?2 = 2 (Н 4- Ь з1п ф) эШ 4* + $1 сое 2<[> + т)! вШ 2ф,

•ц2 =— 2 (Н + Ь эт ф) сое ф + 2>ь — V], соэ 2Ф,

0)

Ь

о

Хг

В отличие от работы [2], где ось х должна быть параллельной экрану, в данном случае ее положение произвольно.

В соответствии с работой [1] поверхность тела представляется перпендикулярными оси х сечениями. Контур каждого сечения рассматривается й параметрическом виде '

где координата длины дуги 5 вдоль контура отсчитывается от верхней точки контура. Значение параметра я в! нижней точке контура, т. е. полупериметр сечения, обозначается буивой I и используется для приведения координаты 5 к безразмерному виду з — в/І, в результате чего 0<5<2.

Дифференциальные элементы поверхности обозначены

а выражения единичных векторов нормали, касательной и бинормали в каждой точке поверхности получают вид:

Сохраняется ограничение формы поверхности тела, обусловленное выражениями (2) и требующее отсутствия касательных к поверхности плоскостей, перпендикулярных продольной оси х, за исключением концевых точек, где такие плоскости должны иметь единственную точку касания — концевую. Форма корпусов современных летательных аппаратов удовлетворяет этому требованию. Для области концевых точек применяется специальная аппроксимация поверхности, приведенная в работе [1].

Произвольное движение твердого тела, как обычно, представляется в виде суммы поступательного движения со скоростью Уг (?) некоторого полюса Т и вращения вокруг этого полюса с мгновенной угловой скоростью й(/) (£ — время). Проекции мгновенной скорости поступательного движения Ут на оси х, у, г связанной с основным телом системы координат удобно обозначить Уц, Уг, Уз, а проекции 2 —йь й2, йз и представить в виде 1/4=Й^, У5 = Й2£, 1/в=йз£. Если полюс Т расположить на оси х с абсциссой Хт, то для вектора скорости точки поверхности тела с координатами х, у, г при его произвольном движении можно записать:

У —У («)> г = 2 (в),

ду дх дг ду

(2)

Рх ~ дБ ’ Рг~~’ ав ’ Ръ—Рі дх Рг дх '

элемент поверхности

(1® = / (х) (1 + />1)1/2 сіхйз ,

(3)

п = (1 + р1) 1,2 {р3 і + р2у - Рх к);

т = (1 + рІ)~112 (/ - р2 р3 І + РхРг *); Ь — Ри+Р2к.

(4)

(5)

В силу линейности уравнения Лапласа, краевого условия и выражения (1) для потенциала возмущенных скоростей применим принцип суперпозиции:

Ф

(*, X, у, г) = £ У1 (0 Фг (х, у, г).

/=1

^Цля решения задачи о произвольном движении твердого тела в невозмущенной жидкости необходимо и достаточно определить единичные потенциалы для шести простых движений, которым присваиваются следующие номера: 1, 2, 3 — поступательным вдоль осей соответственно х, у, г со скоростями V 1=^2= У3=1; 4, 5, 6 — вращательным вокруг осей, проходящих через полюс Т параллельно осям х, у, г соответственно, с угловыми скоростями VЬ= VЬ= У6= 1-

Для каждого простого движения находится свое распределение источников, а затем скоростей и потенциалов. Вместо интенсивности источников ц,г в движении с номером / рассматривается приведенная интенсивность gl = 2^:l (х) р1)т \i.JVi , одинаковая в симметричных точках основного и отображенного корпусов. Расчетные формулы индуцированных источниками возмущенных скоростей и потенциалов в любой точке с координатами х, у, г получены в результате преобразований интегралов по поверхности основного и отображенного корпусов в следующем виде:

1 2

4)1,,== 11 ё1 ^ ^ ^ ’ (6)

о о

(7)

о о где

ч = х, у, г, 1= 1, 2, . . . , 6,

К1х =

X— у 2*/??

У- V 2к1?}

г-Ч

2тс Я3,

Я/ = С* - + (У-Ч)2 + (г- С,)2 ,

индекс / относится к текущей точке интегрирования на поверхности основного (/=1) или отображенного (/ = 2) корпусов.

Условие непротекания поверхности в виде интегрального уравнения относительно интенсивности источников при помощи соотношений (3) — (5) получает следующую расчетную форму:

gi = I (х) (/; о - ра ъ1х —р2 VI, +рх , (8)

где для каждого простого движения (1=1, 2,..., 6) получены различные выражения свободного члена:

/ю = Рз> /20 — Р41 /зо~ Р\> /40= — Ръг—Р1 У >

/во = Рз* + Р\ (х — хт), /60 = — р3у + р2(х — хг).

На поверхности тела вычисляются относительные скорости жидкости в проекциях на касательные к поверхности оси х и Ь, определяемые формулами (4), при помощи соотношений:

и^ = (1 + РІ) 1/2 і/и + ^іх—РгРз^іу + РіРг^іг) ; Иг ь =/< і-\-Рі VI у + Ръ VI г ,

(9)

где безразмерные компоненты переносной скорости оказываются равными

/и=1. Ї2і=—РіРз, /зі = />іРз. и=-Р2Р&г-р1р3у ,

/м=-г+р1р3(х-хт), Л1=У + Р2Ръ(х-хт),

/і2 = 0, /о2=/?1, /з2=/>2, и = Рі2- р2у ,

/ъ2 — р2(х — х т), /62 = -Рі(х-Хт).

Для тела, имеющего вертикальную плоскость симметрии, перпендикулярную экрану, отличными от нуля оказываются лишь 18 значений присоединенных масс, статических моментов и моментов инерции. Для каждого из шести простых движений рассматриваемого тела вычисляются три значения. Расчетные формулы этих величин для тела единичной длины объединяются в две группы по номерам движений: для і= 1, 2, 6

і і

і і

Х;і==2 (■[ X, 2 = 2 ГГ ? іР2(І8(ІХ,

0 $ 0 0

11 11

Х/6 = 2 ГГ ^1ргуйвйх — 2 ср. (х — хт)р2йзйх\

0 0 0 0

для і — 3, 4, 5

1 і

Х«з = — 2 ^ <?ір1(І5(іх, Хм = 2 Л <рг {ръг-{-рху)й8с1х 0 0 0 0

і г її

X/ 5 = — 2 Л ср{р3гй5йх — 2 {х — Лт) рА (Ізсіх .

(Ю)

і г

(П)

о о

о о

В этих формулах опущен множитель плотности среды. Для получения коэффициентов присоединенных масс необходимо вычисленные по выражениям (10) и (11) величины масс разделить на объем Д статических моментов — на Ь4/з и моментов инерции — на соответствующие моменты инерции объема тела единичной длины.

2. Численное решение изложенной задачи выполнялось в основном методами, развитыми для произвольного корпуса в безграничной жидкости и изложенными в работе [1]. Здесь ограничимся описанием их основных положений. Так, форма тела задается множеством дискретных точек его поверхности, именуемых расчетными и располагаемых в ряде поперечных сечений. Расстановка поперечных сечений и точек на контуре сечений практически произвольна. В случае малых

расстояний до экрана целесообразно сгущение расчетных точек на обращенной к экрану стороне тела. Всего может использоваться до 1200 точек. Таблицы координат этих точек являются информацией о поверхности тела. В этих точках определяется интенсивность источников решением уравнения (8) методом последовательных приближений, а затем подсчитываются скорости (9) и потенциалы (7).

Основной вычислительной трудностью является подсчет несобственных интегралов (6) и (7), осуществляемый с помощью двух замен переменных. При постоянном шаге новых переменных обеспечивается симметричное относительно расчетной точки расположение узлов интегрирования, сгущающихся в ее окрестности, что позволяет определить главную часть интеграла. Координаты поверхности и значения интенсивности источников между расчетными точками при этом интегрировании определяются квадратичной интерполяцией вдоль двух направлений поверхностных координат.

Интеграл индуктивной скорости (6) является суммой двух интегралов: несобственного по поверхности основного корпуса и обыкновенного по поверхности отображенного корпуса. Однако при малых расстояниях для расчетных точек, обращенных к экрану, этот обыкновенный интеграл близок к несобственному и его вычисление обычными способами может дать существенную погрешность. В работе [2] этот интеграл вычисляется как несобственный, здесь применен более экономный алгоритм, в котором в большей мере используется симметрия.

Вычисления ведутся в соответствии с записью формул (6) и (7). Расстановка узлов интегрирования согласно заменам переменных осуществляется только на поверхности основного корпуса. Каждому такому узлу с помощью формул (1) находится соответственная точка отображенного корпуса. Для нее подсчитывается подынтегральное выражение и складывается с таковым для основного узла. Коэффициент квадратурной формулы, включающий элемент площади, определяется для основного корпуса. По сравнению с методикой [2] в данном случае примерно на 20%' сокращается объем вычислений.

Другие второстепенные вычисления типа производных (2) или обыкновенных интегралов (10) осуществляются стандартными методами второго порядка.

3. Примеры расчетов выполнены с целью подтверждения достоверности получаемых результатов и иллюстрации применения метода к оценке влияния близости экрана. Достоверность подтверждаете^ сопоставлением с точным решением для трехосного эллипсоида в безграничной жидкости и экспериментальными данными для тела вращения вблизи экрана. Результаты расчетов коэффициентов присоединенных масс трехосного эллипсоида с соотношением осей вдоль х, у, г соответственно 4:2:1 вместе с точными значениями [3] приведены в следующей таблице:

Коэффициент *и ^22 ^33 ^55 ^66

Расчет 0,131 0,401 1,485 0,391 0,952 0,146

Точное решение 0,127 0.400 1,528 0,409 0,984 0.145

Расчетные значения, полученные при использовании примерно 1000 расчетных точек на одной половине тела, отличаются от точных в среднем на 3 %, что свидетельствует о достаточной точности используемой методики расчета присоединенных масс.

Для сопоставления с экспериментом рассчитывалось тело вращения дирижабельной формы, рассмотренное в атласе [4] под названием' «КОКС № 4», с соотношением длины Ь к максимальному диаметру й, равному 4,5. Экспериментальные данные получены в ЦАГИ в аэродинамической трубе зеркальным методом при числах Рейнольдса, равных 3,2-10е. Расчетное и экспериментальное распределение коэффициента давлений ср ! представлено на рис. 2 в зависимости от продольной координаты х при нулевом угле атаки для нижнего меридиана, наиболее подверженного влиянию экрана. Давления сравниваются при двух значениях высоты над экраном Н = Н/Ь = 0,122 и 0,155 и в безграничной жидкости (к=оо). Получено удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных давлений, включая самую малую высоту Л = 0,122, когда наименьший зазор между экраном и самой нижней точкой модели (при х = 0,375) составлял 1,Т%: длины модели.

Достоверность определения суммарных характеристик вблизи экрана проверялась сопоставлением! расчетной и экспериментальной подъемных сил рассмотренного выше тела вращения под нулевым углом атаки. Вдали от экрана как расчетное, так и экспериментальное значения этой силы равны нулю. Вблизи экрана ее расчетное значение определяет взаимодействие между основным и отображенным корпусами, и следует думать, что и в реальном обтекании эта сила возникает по тем же причинам без образования отрывных вихревых зон, не учитываемых расчетом. На рис. 3 сплошной линией построена расчетная

Рис. 2

0

8 1/к

-0,0Ь

-0,08

Рис. 3 Су

зависимость коэффициента подъемной силы, полученной интегрированием давлений, от отношения 1/Л, точками нанесены экспериментальные значения. Хорошее соответствие результатов получено вплоть до высоты Л = 0,15, что подтверждает как возможность такого сопоставления, так и достоверность получаемых расчетом суммарных характеристик.

Применимость метода к оценке влияния экрана на присоединенные массы демонстрируется на примере систематических расчетов обтекания рассмотренного выше трехосного эллипсоида при всех шести его движениях и различных расстояниях от экрана. Простым, вычитанием соответствующего коэффициента присоединенных масс для безграничной жидкости из результатов расчета вблизи экрана получены приращения за счет близости экрана, построенные на рис. 4 в зависимости от отношения 1II}. Как показали расчеты, влияние экрана на присоединенные массы начинает ощущаться лишь с высоты, меньшей длины тела. Приближение к экрану вызывает увеличение всех рассмотренных коэффициентов, степень которого зависит от типа движения и формы корпуса.

Рис. 4

Таким образом, разработанные метод и программа для ЭВМ позволяют достаточно надежно оценить количественное влияние близости земли на распределение давлений и присоединенные массы произвольного корпуса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маслов Л. А., Юшин В. П. К расчету обтекания трехмерного фюзеляжа идеальной жидкостью. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. 8, № 1.

2. Е г о ш и н С. В. Расчет обтекания тела произвольной формы, движущегося в идеальной жидкости над плоским экраном. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 3.

3. Р и м а н И. С., Крепе Р. Л. Присоединенные массы тел различной формы. — Труды ЦАГИ, 1947, вып. 635.

4. Ф о м и н а Н. Н. Атлас форм корпусов дирижаблей. — Труды

ЦАГИ, 1935, вып. 238.

Рукопись поступила 7// 1987 г.