Расчет обтекания тела произвольной формы, движущегося в идеальной жидкости над плоским экраном Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т О м IX 19 7 8

№ 3

УДК 533.6.011.32

РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ, ДВИЖУЩЕГОСЯ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ НАД ПЛОСКИМ ЭКРАНОМ

С. В. Егошин

Для расчета скоростей и давлений, а также сил и моментов, действующих на тело произвольной формы, движущееся в идеальной жидкости вблизи плоского экрана, развивается метод [1], разработанный для изолированного тела. Влияние экрана моделируется зеркально отображенным телом. Метод основан на непрерывном распределении источников и стоков по поверхности тел. Полученное интегральное уравнение решается методом последовательных приближений.

Результаты расчетов рассматриваемым методом сравниваются с известными аналитическими решениями и результагами эксперимента для эллипсоидов. Приведены результаты расчета давлений на экране и на поверхности фюзеляжа самолета.

В настоящее время расчет обтекания тела вблизи экрана в предположении потенциальности потока возможен по приближенным методам, изложенным в работах [2—5]. Методы работ [2] и [3] дают возможность расчета обтекания вблизи экрана только эллипсоидов вращения в случаях, когда их большая полуось параллельна экрану. Результаты расчета по методу работ [2, 3] и опытные данные согласуются тем лучше, чем больше расстояние тела до экрана. Метод работы [4] позволяет рассчитывать обтекание тела произвольной формы, однако точность выполнения условия непротека-ния поверхности зависит от расстояния в той же степени, что и в работах [2, 3]. В работе [5] рассмотрена возможность учета интерференции входящих в систему тел, обтекаемых идеальной жидкостью, однако необходимо знание потенциала скоростей одиночного тела произвольной формы.

Развитие методов расчета обтекания одиночного тела, использующих в качестве решения потенциал особенностей на поверхности на случай двух симметричных относительно некоторой плоскости тел, дает возможность, в отличие от методов [2 — 5], точно решить задачу об обтекании тела, движущегося в идеальной жидкости над экраном. В получившем широкое распространение за

рубежом методе работы [6] интегральное уравнение, к которому приводится граничное условие на поверхности тела, заменяется системой линейных алгебраических уравнений. В неуступающем по точности и являющемся менее трудоемким методе [1] интегральное уравнение решается методом последовательных приближений. Данная работа является развитием метода работы [1].

г,

1'

J ■ К

Фиг. і

777777777777

О

1. Картина обтекания твердого тела, движущегося вблизи экрана, в рамках теории идеальной жидкости идентична обтеканию двух тел: основного и симметричного ему относительно экрана, которое в дальнейшем будем называть отображенным.

Свяжем с основным телом подвижную систему координат х,

у, г с ортами I, у, начало которой может фиксироваться в любой относительно основного тела точке пространства, а плоскость хОг была бы параллельна плоскости экрана (фиг. 1).

Если решение искать в виде потенциала простого слоя, непрерывно распределенного по поверхностям основного и отображенного тел (<о и со' соответственно)

Л/

Я'

(1)

то условие непротекания на поверхности любого из тел приводит к интегральному уравнению. Например, для основного тела оно имеет следующий вид:

2 ^(Р) +

Л/

У(Р)п(Р)- (2)

здесь Р— расчетная точка поверхности со;

<3 и — текущие точки поверхностей а) и со' соответственно; V(Р)— переносная скорость точки поверхности тела;

п и п! — внешние нормали к поверхностям ш и

[А и [і' — интенсивности слоев на поверхностях ш И со';

/Г=ор, #' = о7р.

Уравнение (2) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода, имеющим единственное решение в классе непрерывных функций, если поверхность тела удовлетворяет условиям, предъявляемым к поверхности Ляпунова. Ядро уравнения имеет слабую особенность, особый интеграл уравнения существует [7].

■После определения (1 из уравнения (2) значения потенциалов подсчитываются по формуле (1), а для относительной скорости на поверхности <» можно записать

V(P)= 2кр(Р)п(Р) +

J jV (Q) + jjV (QO

R'n'

R'3

V(P). (3)

Для точек P, не принадлежащих поверхности со, в формуле (3) следует опустить первое слагаемое.

Расчетной точке P присваиваются координаты х, у, г, текущей точке Q поверхности — координаты -/], С соответственно. Координаты точки Q'—Е' = S, т)' = — -ц — 2Н0, £' = С, (//„ — расстояние от начала координат до экрана).

Обводы тела задаются набором поперечных сечений, перпендикулярных оси абсцисс. В каждом поперечном сечении в качестве параметра вводится координата длины дуги (s — для точки Р, если она принадлежит поверхности со, координаты о и о' — для текущих точек Q и Q' соответственно). В расчетах используется безразмерная координата s = sfL, где L — периметр данного сечения. Аналогично вводится безразмерная координата а.

Обводы поперечного сечения представляются в параметрическом виде

y=y(s), z = z(s).

Для дифференциальных элементов поверхности тела введены обозначения

ду дг ду дг ду дг ...

-f = Pu ~Г = Р2, -----Т~1Г = Р*- (4)

ds ds ds дх дх ds

Элемент поверхности основного тела

da> — L (х) (1 + p*)ll2dx ds. (5)

Для удобства вычисления скоростей на поверхности тела в каждой ее точке вводится связанная с этой точкой система прямоугольных осей координата NTB. Первая ось является внешней нормалью к поверхности, две другие лежат в касательной плоскости. Ось В — бинормаль, направляется по линии пересечения касательной плоскости с поперечной плоскостью x = const в сторону увеличения параметра 5. Ось Т — касательная, образует с N и В правую систему ортогональных координат. Использование этих осей вместо обычных х, у, z при вычислении относительных скоростей на поверхности позволяет подсчитывать лишь два компонента (проекция относительной скорости на нормаль равна нулю) вместо трех.

В результате вычислений единичные векторы внешней нормали, касательной и бинормали приобретают вид

п = (1 + pi)~l/2(p3 i+Ptj — Pi £);

х “ (1 -Г Ръ)~112 (I — Рг Ръ } + Рх Рг Л);

~Ь'ваР\] + р^к.

При расчетах вместо интенсивности простого слоя р вводится функция g, связанная с ^ соотношением

g- 2*L £-(1 + p\f!\

V со

(6>

В результате подстановки величин (5) и (6) в уравнение (2) после преобразований получается следующее двумерное интегральное уравнение:

g = L[f—^PtVJ[ + p2vy — p1vг)], (7)

где

=Я * ^ “°d* +1 .fd°7di''

0 0 00

* f lgy^!Ld'di+ f L'y^tdi'dV,

y J J S 2nR3 ^ J J 6 2я/?'з

0 0 1 1

V

=я

g —---------- rfa dt

s 2u/?3

о о l l

-Я

g't—^tk'dv,

s 2kR'3

(8)

0 0 0 0

/ = — p3 COS a — p2 sin a.

После нахождения из уравнения (7) распределения функции g по рассматриваемому телу, вычисляются безразмерные касательные скорости, которые в частном случае поступательного движения с углом атаки а имеют следующий вид

и, = (1 +p2)-1'2(cos a — PiPz sin a -f vx - p2 ръ vy + p1 ps vz), u„ = px sin a + /?! v + p2 vz,

(9)

где безразмерные компоненты скорости определяются из соотношений (8).

Безразмерные компоненты относительной’ скорости в любой точке пространства, не принадлежащий поверхностям со и о/, определяются по формулам:

их = COS a 4- vx, uv = sin a vy, uz = vz.

(10)

Коэффициент давления вычисляется по формуле Бернулли. Отличные от нуля коэффициенты сил и. моментов, действующих на тело, движущееся вблизи экрана, вычисляются по формулам:

1 1 _

су= — 5-1 | ,\ipp2dadx,

о о

1 1

mz = (SM /)-1 j j р {хр2 - уРз) do dx,

о о

(П)

где 5М — площадь миделевого сечения, I — длина тела. 4

Следует отметить, что в данной постановке коэффициент су характеризует только степень влияния экрана.

2. Решение интегрального уравнения (7) и последующее вычисление скоростей и давлений осуществляется в конечном числе дискретных расчетных точек поверхности тела. Выбор расчетных точек в излагаемой методике, вообще говоря, произволен и обусловлен объемом памяти вычислительной машины и ее быстродействием. Чем сложнее форма тела, тем больше число точек и плотность их расположения, необходимые для получения достаточно точных результатов.

На теле расчетные точки должны располагаться в произвольно выбранных сечениях, перпендикулярных оси абсцисс. Расстановка расчетных точек в каждом сечении произвольна, кроме обязательного совпадения первой и последней точки. Программа для ЭЦВМ БЭСМ-6, по которой выполнялись расчеты, обеспечивает использование не более 1280 точек. При этом число расчетных сечений не должно превышать 63, а число точек в сечении не должно быть более 50.

Информация о теле задается таблицами координат х, у, г.

Несобственные двумерные интегралы вычисляются по схеме, предложенной Л. А. Масловым. Отсылая за подробностями к работе [1], приведем лишь основные положения.

Используются новые переменные

| * — £ I

h1 (?) = sign (S — х)

— ^ I А

| а — о0

1/2

1/2

(12)

^2 (°) — Sign (о а0)

I о — о0 I + в

где параметр о0 характеризует точку на контуре I, расстояние от которой г до проекции расчетной точки на поперечную плоскость $ = const, измеренное в этой плоскости, минимально, а А и В — некоторые константы. При этом последнее переменное используется при условиях

\Х — U<0,5; |а — а0 I < 1/12; г <0,064.

Новые переменные (12) при постоянном шаге обеспечивают симметричное расположение узлов интегрирования относительно особенности при увеличении плотности узлов в ее окрестности, что соответствует условиям существования главного значения по Коши и позволяет вычислять несобственные интегралы по правилу трапеций. Параметры А и В характеризуют распределение узлов интегрирования.

Интегральные уравнения решаются методом последовательных приближений по следующей схеме

g0 = (l — 0,5 р)/7,

£„ = (1+Р) 1 Фёп-1 + £п)>

где F = L (— ръ cos а — /?2 sin а), (3 — весовой коэффициент, назначаемый на основе практики вычислений по методу [1] в зависимости от угла атаки следующим образом:

1 при а <45°,

^ 0 при а ;>45°,

п — номер приближения.

Величина g*n определяется из соотношения (6) по значениям gn_i. Итерации выполняются до тех пор, пока не удовлетворится условие

В приводимых ниже примерах расчетов полагалось е=1СГ4.

Частные производные (4) вычисляются с помощью формул Ньютона по значениям дифференцируемой величины в трех соседних расчетных точках. Необходимые при использовании новых переменных (12) значения ординат и интенсивности источников в узлах интегрирования, лежащих, как правило, между расчетными точками, определяются квадратичной интерполяцией по Ньютону.

В концевых точках уравнение (7) неприменимо из-за неограниченности р3. Для этих точек приходится получать специальные соотношения, выполняя предельный переход в уравнении (7) при л;,, стремящемся к нулю или единице. Это преобразование возможно в силу того, что в то время, как р3 стремится к бесконечности, Ь — стремится к нулю. Для определенности необходимо задать форму поверхности тела в окрестности концевой точки. В данном случае обводы тела подчинены следующим соотношениям:

где ук и гк — ордината и аппликата концевой точки соответственно.

Из соотношений (13), (4) и (7) получаем в этом случае:

Формула (14) используется при определении интенсивности в концевой точке тела. Зависимость от 5 заключена только в множителе (Ь2Ь\— 61&2), учитывающем геометрию тела и подсчитываемом заранее, а в итерациях при решении уравнений изменяется

3. Для проверки правильности предложенного метода на БЭСМ-6 выполнены расчеты обтекания эллипсоидов различного удлинения. На фиг. 2 приведено распределение давления на обращенном к экрану полумеридиане эллипсоида с отношением полуосей а:Ь\с = 4:1:1. Сплошной линией показаны результаты расчета по изложенному методу, пунктирной линией — по методу, предложенному для эллипсоидов вращения в работе [2], точками — результаты эксперимента этой же работы. Следует отметить несколько лучшее согласование опытных данных и результатов расчета по изложенной методике по сравнению с расчетом по методу [2]. Это объясняется тем, что условие непротекания поверхности тел по методу [2] нарушается тем больше, чем меньше расстояние до экрана.

у (X, 5) = ах ($) X + Ь1 (5) X1'2 + ук, г (х, «) = а2 («) х + Ь2 (в) X1/2 + 2к,

(13>

(14)

где

_ дЬ, (я) _ д62 (5)

ТОЛЬКО Ч)х

Сравнение результатов расчета по изложенному методу с результатами эксперимента для миделевого сечения эллипсоида вращения х удлинением, равным 6, при различных относительных расстояниях до экрана Л = (# --радиус миделевого сечения)

показано на фиг. 3. Соответствие результатов расчета и эксперимента можно признать удовлетворительным. Исключением является область поверхности эллипсоида, обращенная к экрану, при Л = 1,1. Это расхождение, по-видимому, объясняется тем, ЧТО В:

Фиг. 3

данном случае на характер течения оказывает влияние пограничный слой экрана.

На фиг. 4 в качестве примера расчета тела произвольной формы'приведены эпюры давления для фюзеляжа самолета в вертикальной плоскости и в поперечных сечениях при х = Х/7, равные 0,093; 0,392 и 0,793. Сплошная линия соответствует обтеканию безграничным потоком, пунктирная — на расстоянии строительной оси фюзеляжа от экрана Н— 15% длины фюзеляжа, что примерно со-

Фиг. 5

ответствует 0,75 D (D — диаметр цилиндрического участка фюзеляжа). При этом же значении h на фиг. 5 нанесены изобары на экране при движении над ним этого фюзеляжа.

-Зависимость на_фиг. 6 характеризует изменение коэффициента су фюзеляжа от k{h = 2h/D). Заметное влияние экрана начинает проявляться при h<i 3-^-4, и это влияние становится значительным при приближении фюзеляжа к экрану.

Как показали расчеты, разработанный метод позволяет достаточно надежно определять картину обтекания тела произвольной формы, движущегося в идеальной жидкости вблизи плоского экрана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маслов Л. А., Юшин В. П. К расчету обтекания трехмерного фюзеляжа идеальной жидкостью. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 8, № 1, 1976.

2. Eisenberg Pb. Ап approximate solution for incompressible flow about an ellipsoid near a plane wall. „J. of Applied Mechanics', vol. 17,

N 2, 1950.

3. Сабанеев В. С. О движении эллипсоиды вращения в жидкости, ограниченной плоской стенкой. „Вестник ЛГУ”, № 13, вып. 3,

1958.

4. Блох Э. А., Г и н е в с к и й А. С. О движении системы тел в идеальной жидкости. Труды ЦАГИ, вып. 1567, 1974.

5. Г о р е л о в Д. Н. О расчете аэродинамической интерференции системы тел в идеальной жидкости. „Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение-, 1964, № 5.

6. Hess J. L., Smith А. М. О. Calculation of potential flow about arbitrary body shapes. International Symposium on Analoque and Digital Technigues Applied to Aeronautics, Li6ge, 1963, Bruxelles, 1964.

7. M и x л и н С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М., Физматгиз, 1959.

Рукопись поступила lOjll 1977 г.