CC BY
63
ВЛИЯНИЕ АСИММЕТРИЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ НА РАВНОВЕСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРЕДИТНОГО РЫНКА
Муртазова Лариса Ауесовна, к.э.н., доцент кафедры «Экономики и управления на предприятии»,
Асрян Гретта Артуровна, к.э.н., доцент кафедры «Экономики и управления на предприятии»,
Вирабова Марина Рачиковна, к.э.н., доцент кафедры «Экономики и управления на предприятии»
in63@mail.ru
Аннотация: В работе выяснено влияние асимметричной информации, касающейся издержек дефолта, на равновесные характеристики кредитного рынка.
Ключевые слова: кредитный рынок, заемщики, равновесие, риск
Abstract. The paper analyses the influence of asymmetric information concerning default costs, on the equilibrium parameters of the credit market.
Keywords: credit market, borrowers, equilibrium, risk
Согласно эмпирическим исследованиям [1-3], определяющую роль при принятии заемщиком решении о дефолте играют трансакционные издержки (или издержки дефолта), включающие, наряду с издержками процедуры банкротства, ограничения по получению следующего кредита (в особенности это касается крупных кредитов, например, ипотечного кредита), ограничения доступности кредитных карт, а также психологическую составляющую, отражающую возможное неприятие заемщиком нарушения условий кредитного контракта. Заметим, что величина издержек дефолта позволяет определить
степень рискованности кредита, поскольку оказывает влияние на склонность заемщику к дефолту. Заемщики с низкими издержками дефолта (рисковые заемщики) более склонны к дефолту, чем заемщики, имеющие высокие издержки дефолта (надежные заемщики). Далее, величина издержек дефолта для конкретного заемщика является частной информацией. Этим кредитный рынок напоминает рынок страхования, на котором имеет место проблема неблагоприятного отбора.
Целью этой работы является исследование влияния асимметричной информации, касающейся издержек дефолта, на равновесные характеристики кредитного рынка. Заемщики, имеющие высокие издержки дефолта, получают кредиты меньшего размера, чем предпочитаемые ими. Причина в том, что большие кредиты с высоким отношением суммы кредита к начальной стоимости обеспечения предполагают высокую процентную ставку по ним. Такие кредиты могут привлечь только рисковых заемщиков. Заемщики, имеющие высокие издержки дефолта, предпочли бы большие кредиты по справедливой цене (компенсирующей их более низкий риск дефолта), но такие кредиты не предлагаются, поскольку они привлекут более рисковых заемщиков, и кредитор будет нести убытки. В результате получаем одну из форм кредитного нормирования или ограничения, имеющего место в банковской практике.
В этой связи предлагаемая модель предсказывает необходимость ценовой премии для займов с высоким отношением суммы кредита к первоначальной стоимости обеспечения кредита и указывает, что разделение заемщиков на указанные типы является источником этой премии. На практике такая премия существует в форме страхования кредитов, которое применяется для займов с высоким отношением суммы кредита к стоимости первоначального обеспечения кредита (как правило, более 80%). Страхование кредитов, предполагающее выплаты порядка 0,5% от суммы кредита в год, фактически
эквивалентно увеличению процентной ставки по кредиту. Заемщики с низкими издержками дефолта имеют большую вероятность потерпеть дефолт и поэтому менее чувствительны к более высокой цене кредита, чем надежные заемщики.
Ипотека представляет собой однопериодический контракт с погашением во втором периоде. Ставка процента определяется соотношением
1 -В 1 + I — -,
1
где В - размер долга, 1 - основная сумма долга.
Плотность распределения вероятностей случайной величины Р (стоимости объекта) обозначим f (•), а множество значений Р представляет
собой промежуток Р, Р , где Р и Р означают минимальную и максимальную стоимость недвижимости соответственно. Дефолт возникает, если фактическая стоимость Р низка по сравнению с В. В этом случае заемщик предпочитает отказ от недвижимости в пользу кредитора выплате долга.
Критическое значение стоимости Р, ниже которой дефолт целесообразен для заемщика, зависит от величины издержек дефолта. Обозначаем их через С. Величина С может рассматриваться как дисконтированная величина затрат, связанных с дефолтом, во втором периоде. Предполагаем, что заемщик знает свои издержки, связанные с дефолтом, при заключении контракта. Считаем, что величина С одинакова для всех заемщиков.
С учетом издержек дефолт целесообразен для заемщика, если Р удовлетворяет условию
Р - В < -С. (1)
Разность Р-В в (1) представляет собой чистый капитал, который сохраняется заемщиком после погашения ипотечного займа и тем самым является приращением его благосостояния при отсутствии дефолта. Напротив, в (1) представляет убыток заемщика в случае дефолта. Поэтому благосостояние
заемщика выше при наличии дефолта, если капитал Р-В меньше -С. Заметим, что наличие издержек, связанных с дефолтом, предполагает, что чистая цена актива должна упасть ниже нуля, чтобы дефолт имел смысл. Итак, дефолт целесообразен, если выполняется неравенство
Р < Р = В — С (2)
где Р - критическое значение стоимости недвижимости, ниже которой происходит дефолт.
Оптимальность условия дефолта (2) может быть проверена непосредственно путем анализа функции полезности заемщика. Дисконтный фактор заемщика обозначим 8 (8 < 1), через Y обозначим экзогенную
компоненту благосостояния. Функция полезности заемщика равна ожидаемой дисконтированной величине благосостояния, записываемой следующим образом:
Г - (Ро -1)+ 8'/(— С)ЛР488~(Р - В)/(Р)Д>. (3)
Р Р
Заметим, что в выражении (2) приращение благосостояния во втором
периоде равно -С, интегрируемому в пределах стоимости недвижимости
Р, Р
в которых происходит дефолт, и равно Р-В, интегрируемому в пределах
стоимости недвижимости
Р, Р
в которых выполняются условия по ипотечному займу. Заметим также, что благосостояние уменьшается в первый период на величину Ро — 1, равную доплате заемщика при покупке недвижимости.
Для установления того, что условие (2) оптимально, продифференцируем выражение (3) по Р. Применяя к интегралу правило Лейбница, получаем условие первого порядка
— Сf (Р )—(Р — В )f (Р)— о,
которое приводит к равенству Р — В — С подтверждающему условие (2).
Нетрудно видеть, что условие второго порядка удовлетворяется. После
подстановки Р полезность заемщика преобразуется к следующему виду:
В-С Р
и ^, В) = Г + Z - Р0 - 5 | С/(Р^Р +5 ¡(Р - В)/(Р^Р. (4)
Р В-С
Заметим, что критическое значение стоимости недвижимости получено без использования моделей стоимости опционов. Это возможно поскольку заемщик имеет только одну возможность дефолта, что является следствием предположения о том, что ипотечный кредит состоит из двух периодов. При ипотечном контракте, состоящем из большого числа периодов, эволюция стоимости недвижимости должна рассматриваться с учетом возможности дефолта в один из периодов, что требует применения более сложных методов.
Обозначая г < 1 дисконтный фактор кредитора, записываем прибыль кредитора в следующем виде
ж(2,В)=-1 + г?Т?/(Р)с1Р +г РВ/(Р^Р. (5)
Р В-С
Заметим, что кредитор ссужает стоимость Z заемщику в первом периоде. Вместо использования собственных средств кредитор может функционировать как посредник, используя средства, размещенные в депозиты. В этом случае член ^ в выражении (5) исчезает, однако во втором периоде вместо него возникают затраты (1 + соответствующие выплате кредитором основной
части долга по депозиту и процентов (р представляет собой процентную ставку по депозиту). После сокращения на р и деления на 1 + р получается выражение, эквивалентное (5), причем вместо г второе и третье слагаемые в правой части умножаются на 1/ (1 + р).
Во втором периоде кредитор получает от заемщика В при условии, что стоимость недвижимости находится в пределах [в - С, Р\, в которых дефолт не происходит. Кредитор получает права собственности на недвижимость и далее
сумму Р от ее продажи в интервале стоимости недвижимости [Р, В - С\, в котором происходит дефолт. Поскольку результаты анализа не зависят от учета расходов кредитора по процедуре банкротства, будем считать их равными нулю.
Заметим, что при условии В - С > Р не существует значений Р, удовлетворяющих неравенству В - С < Р и вероятность дефолта равна единице. Аналогично, если В - С < Р то вероятность дефолта равна нулю. При В - С > Р выражение (4) принимает вид
У + 2 - Р0 - 5С,
а выражение (5) заменяется на - 2 + г/л, где л - математическое ожидание Р. При В - С < Р (4)заменяется выражением У + 2 - Р0 - 5(л- В), а (5) принимает вид - 2 + гВ .
Чтобы определить наклон кривых безразличия заемщика, продифференцируем (3) по 2 и В и получим частные производные иг = 1 и
и В = -5С/(В - С)+ 5С/ (В - С)-5 Р /(Р )ЛР = -5 ]/(Р )ЛР < 0. (6)
В-С В-С
MRSu определяется тогда соотношением
дВ
~д2
и 2 1
= МЯ8и =-------------------------------------^ = — -> 0 (7)
и и р
и=соШ В 5 | /(Р УР
В-С
Поэтому кривые безразличия возрастают. Этот вывод отражает два различных эффекта. Во-первых, поскольку увеличение В нежелательно с точки зрения заемщика, более высокие значения В должны скомпенсировать выгоду от увеличения 2 при фиксированном значении Р. Увеличение В также влияет на полезность, изменяя Р , но поскольку Р выбрано из условия оптимальности, этот эффект исчезает (он представляется первыми двумя членами в (6), которые взаимно уничтожаются). Следует отметить, что при увеличении 2 при
движении вверх по кривой безразличия доплата Р0 — Z уменьшается, понижая тем самым первоначальную долю заемщика в недвижимости.
Укажем несколько других черт кривых безразличия заемщика. Во-первых, поскольку наклон кривых безразличия в (7) не зависит от Z, они имеют одинаковый наклон при заданном В. Далее, поскольку
_В -С _
кривые безразличия являются выпуклыми (и их наклон возрастает с ростом В). Для предельной нормы замещения имеют место неравенства
Для интерпретации (9) заметим, что с ростом издержек дефолта возможность погашения заемщиком ипотечного займа возрастает при любом значении В. При более вероятном погашении займа небольшое увеличение суммарного долга заемщика В достаточно для аннулирования выгод от кредита большего размера. Поэтому кривые безразличия становятся более пологими с ростом С. Аналогично, в силу того, что погашение кредита становится более затруднительным при возрастании фактора дисконтирования заемщика 5 , меньшее увеличение В аннулирует выгоды заемщика от большего 2, снова приводя к более пологим кривым безразличия.
Чтобы вывести наклон кривых одинаковой прибыли, продифференцируем (5). В результате получаем л 2 = -1 и
дМЯБи
дВ
(8)
* ]АрУ*р
дМЯБи
дС
дМЯБи п
------- < 0
дВ
(9)
р
71В =—лВ/(В — С)+ п{В — С)/(В — С)+ п I/{рур. (10)
В —С
Наклон кривых одинаковой прибыли определяется соотношением
MRS
(11)
Ж
р
п ! /(р }/р — с/ (в — с)
в-с
Знак выражения (11) определяется соотношением слагаемых в его знаменателе. Как и в предыдущем случае, два эффекта играют роль. С одной стороны, увеличение Z должно быть скомпенсировано увеличением В для обеспечения постоянства прибыли при неизменном значении Р. Этот положительный эффект представляется интегралом в (11). Однако Р возрастает с ростом В, и в отличие от ситуации с кривой безразличия заемщика, это изменение влияет на прибыль. С ростом Р область стоимостей недвижимости, выше которых кредитор получает Р вместо В, несколько возрастает. Поскольку этот рост происходит при Р = Р, изменение в прибыли составляет Р — В, умноженное на плотность распределения при Р , или — С/(В — С )< 0. Этот отрицательный эффект несет ответственность за неопределенность знака (11).
Первый эффект из отмеченных выше может доминировать в соответствующем интервале значений В, обеспечивая наклон вверх кривых одинаковой прибыли. Для подтверждения этого заметим, что интеграл в (11), который равен вероятности того, что ипотечный кредит погашен, охватывает большую часть площади под плотностью распределения при условии, что реальные вероятности дефолта относительно низки. Эта площадь может превзойти С/ (В — с), если издержки дефолта будут невелики по сравнению с Р
Заметим, что существует неопределенность относительно кривизны
отрицательным в точке, где плотность распределения имеет наклон вниз.
и В .
имеет знак,
одинаковый со знаком выражения
которое может быть
Поэтому кривые одинаковой прибыли могут иметь интервалы локальной вогнутости. Чтобы устранить такую возможность и анализировать только случай выпуклых кривых одинаковой прибыли, в дальнейшем будем предполагать, что плотность распределения однородна, т.е. /' = 0. Подставляя
плотность распределения в виде 1 в (11), получаем наклон кривых
одинаковой прибыли
Р — Р
Ш5Ж - ПР—В) (12)
Это выражение положительно при В < Р, но кривая равной прибыли изгибается назад между Р и Р + С, и наклон ее становится отрицательным в интервале этих значений. Однако, поскольку знаменатель выражения (12) уменьшается с ростом В, очевидно, что наклон кривой равной прибыли увеличивается при движении вверх вдоль возрастающей части этой кривой, что соответствует выпуклости. Наклон кривой безразличия в случае, если плотность распределения вероятностей стоимости недвижимости однородна, получается
также подстановкой / (р - в выражение (7), что дает
Р — Р
Р — Р
М™и - 3[Р — (ВР— С)] (13)
Поскольку кривые безразличия выпуклы, касание их с кривыми отсутствия прибыли возможно только в том случае, если кривые нулевой прибыли характеризуются «большей выпуклостью», чем кривые безразличия. Такая ситуация иллюстрируется рис. 1.
При условии, что плотность распределения вероятностей стоимости недвижимости однородна, это условие удовлетворяется, и равновесие типа
показанного на рис. 1 существует. Для того, чтобы убедиться в этом, сначала решим относительно В условие касания двух кривых, приравнивая выражения (12) и (13). Это дает
В * - Р —0С^ (14)
П — о
Как показано ниже, условие Г) < 0 (показывающее, что заемщик менее
терпелив, чем кредитор), должно выполняться, чтобы решение (14)было допустимым. Равновесный контракт, согласно (14), характеризуется суммой долга, равной максимально возможной стоимости недвижимости во втором периоде минус издержки дефолта, умноженные на положительную константу.
Рис. 1. Равновесие на кредитном рынке
*
Равновесный размер кредита Z может быть получен с помощью кривых
* -г-г-
одинаковой прибыли при В=В . Полагая прибыль в выражении (5) равной нулю
и подставляя в полученное выражение (14), получаем равновесное значение размера кредита
, *
2 = ц
P + Р
---= +
2
Гл 82 Ї С2
Ц-з2)) 2(р - Р) _
(15)
Заметим, что 2 зависит от ожидаемого значения Р
Р + Р
2
также как от разброса значений Р.
Для того, чтобы проверить, что ипотечный контракт, определяемый условиями (14) и (15), действительно оптимален, нужно провести сравнение относительной выпуклости кривых безразличия и равной прибыли. Это можно сделать, рассматривая разность наклонов кривых MRSЖ — MRSU. Используя (12) и (13), получаем
MRSЖ — MRSU < 0, если В < В'
MRSЖ - MRSu > 0 если В > В
(16)
Условие (16) показывает, что кривая равной прибыли является более
*
пологой, чем кривая безразличия при В, меньших В , и более крутой при В,
*
больших В . Поэтому кривая равной прибыли является более выпуклой, чем кривые безразличия, т.е. точка касания этих кривых действительно является оптимальным решением. Следует отметить еще несколько черт кривых безразличия и кривых нулевой прибыли. Во-первых, обе кривые линейны при значениях В ниже Р + С, с коэффициентами, равными 1/8 и 1/ц соответственно. Кроме того, обе кривые вертикальны при значениях В выше Р + С. Дополнительный результат можно получить, подставляя однородную плотность распределения в (4) и (5). После преобразований можно прийти к выводу, что оба уравнения определяют параболы; 2 является квадратичной функцией В. В системе координат, в которой ось 2 горизонтальна, ветви этих
парабол направлены в отрицательном направлении.
Литература
1. Деньги, кредит, банки / Под ред. проф. О.И.Лаврушина. - М.: Финансы и статистика, 2002.
2. Stanton, R., and N. Wallace. (1998). "Mortgage Choice: What's the Point?", Real Estate Economics 26, 173-205.
3. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: «Дело», 2002.
