CC BY
33
РАВНОВЕСИЕ «СИГНАЛИЗИРОВАНИЕ-ОТРАЖЕНИЕ»
НА КРЕДИТНОМ РЫНКЕ
Наталуха Игорь Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор Кисловодского института экономики и права;
in63@mail.ru
Аннотация: Построена модель равновесия «сигнализирование-
отражение» на кредитном рынке с учетом влияния самостоятельного выбора заемщиками кредитов с фиксированной процентной ставкой.
Ключевые слова: моделирование, кредитный рынок, равновесие, процентная ставка
Abstract. The model of equilibrium “signaling-reflecting” at the credit market taking account of the influence of self-selection by borrowers of credits with fixed interest rate is suggested.
Keywords. modeling, credit market, equilibrium, interest rate
Модель кредитного контракта
На реальных рынках ситуации, связанные с асимметричной информацией, часто предполагают наличие рыночных сигналов и механизмов отражения [1-4]. В этой работе на примере кредитного рынка механизмы сигнализирования и отражения рассматриваются одновременно и демонстрируется возможность разделяющего равновесия «сигнализирование-отражение». Выяснены условия, при которых равновесие «сигнализирование-отражение» является Парето-доминирующим над равновесием отражения. В построенной модели заемщики приобретают различные кредитные записи, тем самым сигнализируя свой тип риска дефолта кредиторам. Кредитные записи, однако, являясь несовершенными сигналами, лишь частично разделяют типы риска дефолта заемщиков, разбивая их на подгруппы. Кредиторы отражают
каждую подгруппу, предлагая меню кредитных контрактов с различными сочетаниями рисковой премии и срока погашения основной суммы долга. Заемщики, далее, делают самостоятельный выбор соответствующих контрактов из меню.
Интуитивно ясно, что для заемщика с более низким риском дефолта более выгодно иметь лучшие кредитные записи. Далее, из-за относительно низких периодических платежей, связанных с кредитами с более длинными сроками погашения долга, заемщики с высокой вероятностью дефолта выбирают контракты с более длинными сроками погашения займа. В пределах группы, имеющей одинаковые кредитные записи, более благополучные заемщики выбирают более короткие сроки погашения займа и, соответственно, платят меньшие рисковые премии. Имеются эмпирические исследования, подтверждающие, что заемщики, характеризующиеся более высоким риском дефолта, более склонны выбирать контракты с более длинным сроком погашения займа.
Рассмотрим множество кредитных контрактов. Каждый контракт характеризуется сроком выплаты основной суммы долга и размерами периодических выплат в расчете на рубль займа. Будем предполагать, что размер периодических выплат определяется как сроком погашения основной суммы долга, так и рисковой премией, компенсирующей риск дефолта заемщика. Для простоты предположим, что соответствующая контрактам структура сроков выплат такова, что текущая величина всех периодических выплат одинакова. Обозначим срок выплаты основной суммы долга ? е{1,2,..,Т} и рисковую премию г, г > 0. Таким образом, комбинация «срок выплаты основной суммы долга, рисковая премия» определяет размер периодической выплаты. Естественно, размер периодической выплаты убывает с ростом срока погашения основной суммы долга t и возрастает с ростом рисковой премии г. Различные комбинации срока выплаты основной суммы долга и рисковой премии, однако, могут определять одинаковый размер периодиче-
ских выплат. Определим текущую величину отдельной выплаты как 1 + г,
что предполагает, что текущая величина полной выплаты по контракту со-'1 Л
ставляет і
- + г V і У
Учет временной структуры контрактов, позволяющий
дифференцировать размер периодических платежей, существенно усложнил бы математическую сторону исследования, однако не привел бы к принципиально новым выводам.
Обозначим периодическую вероятность дефолта р; р является функцией срока выплаты основной суммы долга и рисковой премии: р = р(, г). Чем больше рисковая премия, тем больше каждая периодическая выплата. При этом, в свою очередь, вероятность дефолта также увеличивается. Напротив, чем больше срок погашения долга, тем меньше периодическая выплата и, соответственно, меньше периодическая вероятность дефолта (при условии, что ранее дефолт не случался). Поэтому предположим, что частная производная от периодической вероятности дефолта р(-) по переменной ? отрицательна, т.е. р1 (•)< 0, а частная производная от р(-) по переменной г положительна, т.е. рг (•)> 0. Для краткости формул с этого момента будем опускать аргументы функции р(). При данной периодической вероятности дефолта р, периодической вероятности отсутствия дефолта 1 - р и в предположении
о том, что риски периодического дефолта представляют собой независимые идентично распределенные случайные величины, так что полная вероятность
дефолта составляет 1 - (1 - р ),
ожидаемая стоимость займа для заемщика в расчете на рубль С (•) равна
С[і, г, р(і, г)] = (1 - р 1 + г + рВ + (1 - р )2
'1
- + г V і
+
+
(1 - р)р
ґл
В -
л
- + г
Vі У
+
(1 - р )3
1
Л
- + г
Vі У
+
(1 - р)2 р
ҐЛ
В - 2
Л
- + г
Vі У
+
(1)
+
+
+
І1 - р У
ґл
\
-+ Г Vг У
+(1 - р У1 р
В-(г - 1/1
л
-+ г г у
где - + г - есть текущая величина каждой периодической выплаты, а В за вычетом величины уже внесенных платежей представляет собой стоимость займа в случае, если случается дефолт. Для определенности предполагаем, что платежи соответствуют настоящим (текущим) значениям.
Уравнение (1) устанавливает, что после получения кредита в размере одного рубля в момент нуль, заемщик платит в каждый из последующих t периодов платеж в сумме - + г с вероятностью р, или терпит дефолт с вероятностью 1 - р, в случае которого он платит сумму В за вычетом уже выплаченных сумм.
Чтобы исключить субъективный риск, касающийся дефолта заемщика, будем предполагать, что величина платежа В удовлетворяет неравенству '1 Л
В > г
Переписывая уравнение (1)в виде
с[г, г, р(, г)]=£ (1 - ру
і=14
ґл
\
+
Р(1 - ру
і-1
В
(і -1)
(2)
можно упростить его следующим образом:
Л
С[г, г, р(г, г)] = г - + г (1 - р)г + В1 -(1 - р)
(3)
Первый член в правой части уравнения (3) представляет собой ожидаемую полную выплату при условии отсутствия дефолта заемщика, т.е. сумму платежей, умноженную на вероятность отсутствия дефолта. Второй член в правой части представляет собой ожидаемую стоимость кредитного контракта при условии дефолта, т.е. стоимость дефолта, умноженную на вероятность дефолта. Из уравнения (3) следует, что ожидаемая стоимость кредитного контракта эквивалентна ожидаемой стоимости однопериодического
займа с одной выплатой величиной t
1
Л
с вероятностью отсутствия де-
фолта (1 - р У, сложенной со стоимостью дефолта В, умноженной на вероятность дефолта 1 - (1 - р У. Заметим, что влияние срока погашения займа на дефолт может быть неоднозначным. С одной стороны, чем больше этот срок, тем меньше периодическая выплата и поэтому меньше вероятность возникновения неплатежеспособности заемщика при наступлении очередного периодического платежа. С другой стороны, при большем сроке погашения основной суммы займа контракт состоит из большего числа периодов, что повышает вероятность дефолта заемщика. Какой из эффектов окажется доминирующим, зависит от процесса погашения заемщиком долга, создающего вероятность дефолта, и от комбинации (х, г), устанавливаемой кредитным контрактом.
Будем предполагать, что функция затрат С[х, г, р(х, г)] является убывающей функцией срока погашения основной суммы долга Х. Хотя увеличе-
ние срока погашения основной суммы долга увеличивает и сумму выплат Гл Л
, и общий промежуток времени, в течение которого может произойти
t
1
- + г Vt У
дефолт Х, оно уменьшает периодическую вероятность дефолта и поэтому вероятность подверженности заемщика штрафу в случае дефолта В. Тем самым мы предполагаем, что второй эффект превосходит первый. Кроме того, из (1 ^
неравенства В > t - + г следует, что функция С[х, г, р(х, г)] возрастает по пе-
ременной г (это проверяется непосредственным дифференцированием уравнения (3) по г). Действительно, повышение рисковой премии увеличивает каждую из периодических выплат при отсутствии дефолта, также как и вероятность наступления дефолта и подверженности штрафу В. Итак, имеют место неравенства
аС [Х, г, р(, г)]< 0 (4)
аХ
и
а_
аг
С[х, г, р(х, г)] > 0.
(5)
Кроме того, предположим, что первое слагаемое в правой части уравнения (3) - вероятность отсутствия дефолта, умноженная на сумму всех периодических: выплат - возрастает по переменным Х и г, т.е.
и
а_
а
1
Л
(1 - р У
= г (1 - р у +(1 + н X1 - р У
1п (1 - р )-
1 - р
> 0 (6)
а_
аг
1
\
(1 - р У
Х (1 - р )Х + (1 + Хг )х (1 - р )Х рг > 0
(7)
где рХ и рг означают частные производные от функции р(-) по переменным Х и г соответственно. Интуитивно ясно, что увеличение срока погашения основной суммы долга увеличивает полную выплаченную сумму при данной рисковой премии г. Такое увеличение также уменьшает вероятность дефолта, тем самым увеличивая вероятность полной выплаты по кредиту, что и является обоснованием неравенства (6). Далее, заметим, что увеличение рисковой премии приводит к появлению двух противоположных эффектов: оно увеличивает периодическую выплату, однако уменьшает вероятность ее выплаты. Мы предполагаем, что первый эффект превосходит последний, что и приводит к неравенству (7).
Введем функцию ожидаемого дохода кредитора в расчете на рубль займа
I (•). Эта функция имеет структуру, сходную с функцией затрат заемщика. В то время как выплаты заемщика являются доходом кредитора, издержки заемщика в случае дефолта В могут включать компоненты, не являющиеся частью дохода кредитора. Поэтому при определении дохода кредитора, получаемого от займа, заменим издержки заемщика в случае дефолта В доходом кредитора при дефолте (до вычета уже внесенных заемщиком платежей) D.
Заметим, что D < В и, более того, D < Х
1
Л
Равновесие отражения
Предположим, что существуют два типа заемщиков, которые различаются риском дефолта. Пусть рь (р1) обозначает вероятность дефолта для заемщика с высоким (низким) риском дефолта, причем
РИ (,г)> р1 (і,г)
(8)
для любых значений і, г .
Мы утверждаем, что при данном меню кредитных контрактов, предлагаемых кредитором, конфиденциальная информация о заемщиках может
быть выявлена при конкурентном равновесии. При данных значениях рИ, р1 и при условии, что функции издержек заемщика и прибыли кредитора определяются равенствами (3),(73), достигается разделяющее равновесие, в котором конкурирующие кредиторы, максимизирующие ожидаемый доход, предлагают кредитные контракты заемщикам, минимизирующим ожидаемые из-
Л А И I
держки. Это равновесие достигается, если переменные і , і , г и г удовлетворяют следующим условиям:
Кредитор:
I
іИ, гИ, рИ (И, гИ )
= г
V і
= і
і
г
і
И
\
~Т + г
V і У
(1 - РИ ґ=
(і - р1) = 4і, г1, р1 (1, г1)
(9)
Заемщик с высоким риском дефолта:
С + В + В
іИ, гИ, рИ (И, гИ )
~Т + г
-(і - ри У
-(і - ри )1
< г
= С
V і
+
(і0)
У
\1, г1, рИ (1, г1)
Заемщик с низким риском дефолта:
И
И
і
с + в + в
}', г1, р1 ((', г1)
л
-(1 - р')' -( - У Г
< і
1 А
Т + г
VI
с
(1 - р' У (1 - р')
і', г', р1 , г')
+
+
(11)
где ^, гА и ^, г1 представляют собой срок погашения кредита и рисковую премию кредита, выбираемого заемщиками с высоким и низким уровнями диска дефолта, соответственно.
Можно сформулировать следующее Утверждение:
УТВЕРЖДЕНИЕ. Существует единственное разделяющее равновесие отражения, при котором заемщик с низким (высоким) риском дефолта выбирает кредитный контракт с более коротким (более длинным) сроком погашения
долга и более низкой (высокой) рисковой премией, т.е. ^ ^ и г1 < гк.
Таблица 1
Численный пример равновесия отражения
Тип заемщика 1
В 10 10
Т 9 5
R 0,35 0,32
р1 0,65 0,60
с (•) 9,99 9,92
і (•) 0 0
Интуитивно ясно, что из-за экзогенной более низкой вероятности дефолта для заемщика с низким риском дефолта менее дорого выбирать контракт, который эндогенно увеличивает вероятность дефолта; а именно, заемщик будет выбирать контракт с меньшим сроком погашения займа. Мотива-
цией выбора такого контракта является самоидентификация заемщика как «более благополучного» и поэтому приобретающего контракт с более низкой рисковой премией.
Можно сформулировать следующее Следствие.
СЛЕДСТВИЕ. Полная вероятность дефолта при достигнутом равновесии меньше (больше) для заемщика с низким (высоким) риском дефолта, в то время как относительная величина периодической вероятности дефолта зависит от чувствительности функции p(-) и издержек дефолта В.
Заметим, что согласно структуре построенной модели, для кредитора существенна только полная вероятность дефолта, а не периодическая вероятность дефолта. Следовательно, тот факт что, в равновесии имеет место неравенство rl < rh, соответствует тому, что полная вероятность дефолта заемщика с низким риском дефолта меньше, чем для заемщика с высоким риском
дефолта. Тем не менее, поскольку tl < th, , последнее не позволяет с определенностью сделать какие-либо выводы, касающиеся относительного равновесного уровня периодических вероятностей дефолта ph иpl , который зависит от параметра В и от чувствительности вероятностей pl (t, r) к изменению аргументов.
Литература
1. Engers, M. (1987). Signaling with Many Signals, Econometrica 55. 663-674.
2. Quinzii, M., and J.C. Rochet. (1985). "Multidimensional Signaling", Journal of Mathematical Economics 14, 261-284.
3. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. - М.: «ИНФРА-М», 1997.
4. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: «Дело», 2002.
